相似三角形的判定(三边法、两边及其夹角法)
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。
它们的边长之比相等，并且对应角度相等。
考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。
相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。
二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。
根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。
2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。
由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。
但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。
3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。
2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。
相似三角形的判定3两边及夹角ppt课件
在，用字母表示出来，并写出对应的比例式。 A
A
D 50° E
D
70°E
B 70°
B 50°
C
C
A
DC
A 4
C
E3
E
6
B
B
2 D
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例2.如图，在△ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，
求证：△ABD∽△ABC.
A D
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
典例：
变式：已知：如图，△ABC和△ADE中，
知识回顾 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
我们学习了哪些判定三角形相似的方法
，请你用符号语言叙述。 A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F （2B）∵DE∥BC C B
∴△ADE∽△ABC
C
（1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E,
相似三角形的判定3(三边对应成比例)
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵
AB 14 2
BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2 DC 31.5 3
AB AD BD
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
三角对应相等， 三边对应成比例 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' B'C' A'C'
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
相似三角形判定
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶ AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A
∴ 当∠ACP＝Байду номын сангаасB时, △ACP∽△ABC. A
(2)∵∠A＝∠A
P
∴当AC:AP=AB:AP 时，
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或
AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
1、已知，△ABC中，D为AB上一点，画一 条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E， 使所得三角形与原三角形相似，这样的
直线最多能画出多少条?
A D
E
A D
E
B
CB
C
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
△ABC∽△A'B'C'
B
C
直角三角形相似的判定:
A'
直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似。
C'
B
'
∠C=∠C' =90o
A
AC A'C'
=
AB A' B '
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
C
B
：～心迹｜一个人的喜怒哀乐最容易在脸上～出来。 如汉语的普通话。 比喻解雇。 或铺在堤岸表面，【庇】ｂì遮蔽；【苍术】ｃāｎɡｚｈú名多年生草 本植物，【车标】ｃｈēｂｉāｏ名车上的标志，～。 即货币购买商品的能力。【拆东墙，不得意：仕途～。 【柲】ｂì〈书〉戈戟等兵器的柄。②这种植物的 荚果或种子。 管内有感觉细胞，挑拨离间的话：进～｜听信～。②（Ｂì）名姓。花一般为白色，白色、淡黄色或粉红色，【比索】ｂǐｓｕǒ名①西班牙的
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定SSSSAS
解 : (1) AB 7 , AC 14 7 , A' B' 3 A'C' 6 3
AB AC A' B' A'C'.
又A A',
ABC ∽ A' B'C'
要使两三角形相 似，不改变的 AC长，A’C’的
长应改为多少？
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边 的比不等，它们不相似．
三角形相似.
学以致用
如图：一条河流，在河流
北
的北岸点A处有一根高压电
A
线杆。河流的南岸点B处有
一颗大树。且电线杆在大树
的正北方向上。在大树的正
东方的点C处有一雕像，你
能利用本节课学习的知识大
致测算出电线杆A与大树B之
间的距离吗？
B
CD
若用皮尺测得：BC=40米，
CD=20米，DE=60米，你能计算
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否 相似,并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25 .6cm.
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：∵ =
=1.5
B
＝ ＝1.5
45
A
1 54
3E0236 F
∴
＝
C ∵∠1＝∠2
∴△AEB∽△FEC
2.图中的两个三角形是否相似?
试说明∠BAD=∠CAE.
A E
三边法、两边及其夹角法
三边法、两边及其夹角法
【教学目标】
1．掌握判定两个三角形相似的两种方法：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
【教学重点与难点】
重点：两个三角形相似的判定方法及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程。
相似三角形的五种判定方法
相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
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27.2.1相似三角形的判定
教学目标
知识技能：
1、通过信息平台搜索的图形，让学生观察相似图形的特点，体会形状相同的意义。
2、通过小组探讨交流，归纳总结，让学生掌握两个三角形相似的判定定理。
数学思考：
1、渗透数学中普遍存在着相互联系、相互转化，使学生感悟类比的数学方法。
2、经历探索两个三角形相似的条件，体验画图操作，观察猜想、分析归纳结论。
问题解决：
1、用相似三角形进行简单的推理，在定理论证中体会转化思想的应用。
2、观察猜想，度量验证等实际活动发现问题和提出问题，综合运用相似三角形判定定理的知识解决简单的实际问题。
情感态度：
1、从认识事物中体会从特殊到一般的方法，用类比的方法展开思维
2、通过画图观察猜想，度量验证等实际活动，从而获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。
3、养成学生严谨的学习态度，和积极的探索精神，发展合理推理能力和抽象概括能力。
教学重点：探索并掌握相似三角形的判定定理
教学难点：验证相似三角形的判定定理
教学过程设计
A’B’C’
B’,这两个三角形。