样本的数字特征
《样本的数字特征》课件
均值和标准差来控制产品质量。
06
样本的偏态和峰态特征
偏态的概念和计算方法
偏态的概念
偏态是指样本数据分布的不对称性，即数据分布偏向某一方向的程度。
偏态的计算方法
计算偏态的方法有多种，其中最常见的是偏态系数。偏态系数的计算公式为：(S = frac{sum{(X_i bar{X})^3}}{N cdot S^3}) 其中 (S) 是偏态系数，(X_i) 是每个数据点，(bar{X}) 是样本均值，(N) 是样本数量， (S^2) 是样本方差。
在数据分析中的应用
数据清洗
样本数字特征可以帮助我 们识别异常值和缺失值， 以便进行数据清洗和预处 理。
数据可视化
样本数字特征可以用于绘 制图表和直方图，以便更 好地理解和分析数据。
预测分析
样本数字特征可以用于构 建预测模型，例如使用回 归分析预测未来的数据点 。
在金融领域的应用
1 2
风险评估
样本数字特征可以用于评估投资组合的风险，例 如计算收益率的均值和方差，以便了解投资组合 的波动情况。
0≤f(x)≤∞0 leq f(x) leq infty0≤f(x)≤∞。
正态分布的应用
描述自然现象的概率分布
01
许多自然现象的概率分布符合正态分布，如人的身高、考试分
数等。
统计分析
02
在统计分析中，正态分布在样本的数字特征描述、假设检验等
方面有着广泛的应用。
质量控制
03
在生产过程中，正态分布用于质量控制和过程控制，通过控方差
方差是用来度量一组数据与其平均值之间的离散程度。
方差越大，说明数据点与平均值的偏差越大，数据的离散程度越高。
方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2$，其中 $N$是数据点的数量，$x_i$是每个数据点，$mu$是数据的平均值。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的重要概念，它可以帮助我们从一个小样本中推断出整个总体的特征。
在实际应用中，这项技术被广泛用于市场调查、医学研究、商业决策等领域，帮助我们更好地了解和分析数据。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理、相关的统计学方法和实际应用。
让我们了解一下什么是样本的数字特征和总体的数字特征。
在统计学中，样本是从总体中随机抽取的一部分数据，总体是我们要研究的整体数据集。
样本的数字特征是指通过对抽样数据进行计算，得到的表示数据集特征的数字。
常见的样本数字特征包括均值、方差、标准差等。
而总体的数字特征则是指整个数据集的特征，通常我们是无法直接观测到总体的数字特征的，所以需要通过对样本的数字特征进行估计来推断总体的数字特征。
接下来，我们将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理和方法。
在统计学中，估计总体的数字特征通常使用点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个常见方法。
最常用的点估计方法是用样本的均值来估计总体的均值。
假设我们从总体中抽取了一个大小为n的样本，样本的均值记作x̄，总体的均值记作μ，那么通过样本的均值x̄来估计总体的均值μ的方法可以表示为：μ≈x̄。
除了均值，样本的方差和标准差也常用于估计总体的方差和标准差。
通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的优点是简单直观，但缺点是可能会受到样本容量的影响，当样本容量较小时，估计结果可能不够准确和可信。
区间估计是通过样本的数字特征来构造总体数字特征的置信区间来估计总体的数字特征的方法。
置信区间是指用样本的数字特征构造一个区间，使得总体数字特征落在这个区间内的概率达到一定的置信水平。
常用的区间估计方法包括平均数的置信区间估计、比率的置信区间估计、方差的置信区间估计等。
区间估计的优点是较点估计来说更加全面和准确，但计算复杂度较高，需要考虑更多的因素。
样本的数字特征讲解学习
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”， 由此估计总体平均数为多少？
平均数的估值 = 频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.25×0.04+0.75×0.08 +1.25×0.15+1.75×0.22 +2.25×0.25+2.75×0.14 +3.25×0.06+3.75×0.04 +4.25×0.02=2.02（t）.
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
（1）你认为众数应在哪个小矩形内？ 由此估计总体的众数是什么？
取最高矩形
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
中点的横坐标 2.25作为众数.
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
一组数据的和与这组 数据的个数的商
全体的信息； （3）受极端值的影响较大，任何
一个数据的改变都会引起平均数
的改变
4、标准差与方差：
（1）标准差：用来描述样本数据的离散程度.
假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，
则标准差的计算公式是：
s1 nx 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2.
情境创设：
小范在公司工作了一周后
经理，你忽悠了 我,我已问过其 他技术员,没有 一个技术员的工 资超过3000元.
平均工资确实 是每月3000元, 你看看公司的
工资报表.
思考回答： 下表是该公司月工资报表:
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，我们经常需要对总体的数字特征进行估计。
由于总体往往很大或者难以获得全部数据，我们通常只能通过抽样得到部分数据。
这时，我们可以利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而对总体进行推断。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法和相关概念。
一、样本与总体的概念在统计学中，总体是指研究对象的全部个体或观察值的集合。
总体通常是我们想要了解的全部群体，比如全国人口总数、某一批产品的质量总体等。
样本是从总体中选取的、具有代表性的一部分个体或观察值的集合。
样本的选择要求有代表性，即能够反映总体的一般情况。
在实际应用中，由于种种原因往往难以获得全部总体数据，因此我们通常只能依靠样本数据来进行统计推断。
二、样本的数字特征样本的数字特征是用来表示样本数据的数字指标，通常包括中心位置的指标（均值、中位数）、离散程度的指标（标准差、方差）和形状的指标（偏度、峰度）等。
这些数字特征可以帮助我们了解样本数据的集中趋势、变异程度和分布形状，从而为估计总体的数字特征提供依据。
1. 中心位置的指标中心位置的指标用来表示样本数据的集中趋势，反映了样本数据的平均水平。
常用的中心位置指标包括均值和中位数。
均值是样本数据的平均值，可用于表示样本数据的平均水平。
中位数是将样本数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，能较好地反映样本数据的中心位置。
2. 离散程度的指标离散程度的指标用来表示样本数据的分散程度，反映了样本数据的离散程度。
常用的离散程度指标包括标准差和方差。
标准差是样本数据偏离均值的平均距离的平方根，是对样本数据的分散程度的度量。
方差是标准差的平方，是样本数据离均值的平均偏差的度量。
3. 形状的指标1. 点估计点估计是利用样本的数字特征估计总体的数字特征的一种方法。
点估计通常是利用样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个数值。
比较常用的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本标准差估计总体标准差等。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征是描述样本数据分布情况的统计量，可以通过样本的数字特征来估计总体的数字特征。
在统计学中，常用的样本数字特征包括均值、中位数、方差、标准差和偏度等。
这些数字特征可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和偏斜程度，从而对总体的情况进行估计。
均值是样本数据的平均值，可以用来估计总体的平均值。
通过样本均值来估计总体均值的过程称为点估计。
如果样本均值是来自一个大样本，并且满足一些假设条件，那么根据中心极限定理，样本均值的抽样分布将服从正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行总体均值的估计。
中位数是样本数据的中间值，可以用来估计总体的中位数。
中位数能够较好地反映数据的中间位置，不受极端值的影响。
对于偏斜的数据分布，中位数通常比均值更能够代表数据的中心位置。
方差和标准差是样本数据的离散程度的度量，可以用来估计总体的离散程度。
方差是各数据与均值之差的平方和的平均数，而标准差则是方差的平方根。
通过样本的方差和标准差，我们可以对总体的离散程度进行估计。
偏度是样本数据分布偏斜程度的度量，可以用来估计总体的偏斜程度。
偏度为0表示数据分布不存在偏斜，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
通过样本的偏度，我们可以了解数据分布的偏斜情况，从而对总体的偏斜程度进行估计。
样本的数字特征可以帮助我们对总体的数字特征进行估计。
在进行估计时需要注意样本的代表性、样本容量以及样本的分布情况等因素，以确保估计的准确性和可靠性。
在进行估计时还可以利用区间估计的方法，即通过样本数字特征来估计总体数字特征的置信区间，以提高估计的精度和置信度。
样本的数字特征
• 例1：对自行车运动员甲、乙两人在相 同条件下进行了6次测试，测得他们的 最大速度（m/s）的数据如下：
甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适。
x 33
甲组 s 3.74
x 33
乙组
s 3.61
甲的标准差大于乙的标准差，所以乙的成绩稳定
例：从甲、乙、丙、三个厂家生产的同一种
产品中抽取8件产品，对其使寿命跟踪调查结 果如 下（单位：年）：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙3，3，4，7，9，10，11，12.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
1 n
(x1
x
2
xn )
乙组数据的平均值： 8
标准差
1. 数据的离散度，可以用极差，方差或标准差来 描述.标准差与方差的测量效果是一致的，在实际 应用中一般多采用标准差.公式如下：
s (x1 x )2 (x2 x )2 L (xn x )2 n
2、标准差的含义
标准差越大，数据的离散程度越大，反之标准差 越小，数据的离散程度越小。 标准差为0时，数据都相同。
A.2, 1/3
B. 2,1
C.4, 2/3
D. 4,3
如果样本数值都变为
则： X =Kx + b s = k^2 * s
K X+b
(宁夏)．甲、乙、丙三名射箭运动员
在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如
下表:
甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5
乙的成绩
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5.方差
(1)定义:标准差的平方,即 s2= 1??[(x1-??)2+ (x2-??)2+…+ (xn-??)2]. (2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程 度的大小 .
(3)取值范围:[0,+ ∞).
数据 x1,x2,x3,…,xn x1+b ,x2+b,…,xn+b (b 为常数) ax1,ax2,…,axn(a 为常数)
的平均数为??=
??1 +
??2+ …+ ??
????.
(2)特征:平均数对数据有 “取齐”的作用,代表该组数据的 平均
水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化 ,这是众数和中位
数都不具有的性质 .所以与众数、中位数比较起来 ,平均数可以反映
出更多的关于样本数据全体的 信息,但平均数受数据中极端值的影
ax1+b ,ax2+b,…,axn+b (a,b 为常数)
平均数 x
x+b ax
ax+b
方差 s2 s2 a2s2
a2s2
标准差 s s |a|s
|a|s
【做一做 5】下列刻画一组数据离散程度的是 ( )
A.平均数 B.方差
C.中位数 D.众数
解析:方差刻画一组数据离散程度的大小 .
Hale Waihona Puke 答案:B6.用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多 ,总体的平均数、众数、 中位数、标准差、方差是不知道的 ,因此,通常用样本的平均数、众 数、中位数、标准差、方差来估计.这与上一节用样本的频率分布来 近似地代替总体分布是类似的 .只要样本的代表性好,这样做就是合 理的 ,也是可以接受的 .
中位数不受少数几个极端值的影响 ,这在某些情况下是优 点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 .
【做一做 2】数据组-5,7,9,6,-1,0 的中位数是
.
解析:将该组数据按从小到大排列为 -5,-1,0,6,7,9,则中位数是
0+6
2 = 3.
答案:3
3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商 .数据 x1,x2,…,xn
得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致 . (3)平均数显然是频率分布直方图的 “重心”我. 们知道,n 个样本
数据 x1,x2,…,xn 的平均数??= 1??(x1+x2+x3+…+x n),则就有 n??=x1+x2+x3+…+x n,所以??对数据有“取齐”的作用,代表了一组数据 的数值平均水平 .在频率分布直方图中 ,平均数是直方图的平衡点 ,假
【做一做 6-2】电池厂从某日生产的电池中抽取 10 个进行寿命
测试,得数据如下(单位:小时):30,35,25,25,30,34,26,25,29,21, 则该日
生产电池的平均寿命估计为 ( )
A.27
B.28
C.29
D.30
解析:这 10 个数据的平均数是
1 10
(30+
35+
25+
25+
30+
众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息 的忽视使其无法客观地反映总体特征.
【做一做 1】数据组 8,-1,0,4,17,4,3 的众数是
.
答案:4
2.中位数 (1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列 ,处于中间位置的 数称为这组数据的中位数 . (2)特征:一组数据中的中位数是 唯一的,反映了该组数据的集中 趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积 相等.
4.标准差
(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 ,一般用 s
表示,通常用以下公式来计算
s=
1
??[(
??1 -??)2
+
(??2 -??)2
+
…+
(????-??)2 ].
可以用计算器或计算机计算标准差 .
(2)特征:标准差描述一组数据围绕 平均数波动的大小,反映了一
组数据变化的幅度和离散程度的大小 .标准差较大,数据的离散程度
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 :用样本平 均数估计总体平均数 ;用样本标准差估计总体标准差 .样本容量越大 , 估计就越精确 .
【做一做 6-1】下列判断正确的是( ) A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数 D.样本容量越大 ,样本平均数越接近总体平均数 答案:D
34+
26+
25+
29+
21)=
28,则该日生产的电池的
平均寿命估计为 28 小时.
答案:B
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中 ,众数的估计值就是最 高矩形的中点的横坐标 .
(2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等 , 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征 , 因而从直方图本身得不出原始的数据内容 ,所以由频率分布直方图
较大;标准差较小 ,数据的离散程度较 小.
【做一做 4】一组数据的单位是 m,平均数是??,标准差为 s,则
() A.??与 s 的单位都是 km B.??与 s 的单位都是 cm C.??与 s 的单位都是 m D.??与 s 的单位不同 解析:??与 s 的单位都与数据组中的数据单位相同 ,是 m. 答案:C
设横轴表示一块放置直方图的跷跷板 ,则支点取在平均数处时跷跷 板达到平衡.
2.理解方差与标准差 剖析:(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 . 标准差、方差越大 ,数据的离散程度越大 ;标准差、方差越小 ,数据的 离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围是 [0,+ ∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅 度,数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同 ,且平方后可能夸大了偏差 的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一 样的,但在解决实际问题时 ,一般多采用标准差 .
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
知识能力目标引航 1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征 . 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用之解决有关问 题.
1.众数 (1)定义:一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. (2)特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了 该组数据的集中趋势.
响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低 .
【做一做 3】10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 则其平均数是
.
解析:平均数是110 (15+ 17+ 14+ 10+ 15+ 17+ 17+ 16+ 14+ 12)= 14.7.
答案:14.7