浙江新中考数学复习 第1讲圆的有关性质课件
【点拨】(1)考查圆周角、圆心角关系定理．(2)考查垂径定理．
【解答】(1)D 在⊙O 中，∠BAC＝12∠BOC＝12×90°＝45°，其余结论依据条件证不出 来．
(2)连结 OC、BC，则 OC＝OB. ∵弦 CD 垂直平分 OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°. 由垂径定理，得 CP＝21CD＝3. 在 Rt△POC 中，tan∠COP＝OCPP＝ 3，
证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C 是弧 BD 的中点， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. (2)⊙O 的半径为 5，CE 的长是254.
知识点一 圆的定义及其性质
1．圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转 所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋． 转．不．变．性．．．
一、选择题 1．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60°，则∠C＝( )
A．20° B．25° C．30° D．45° 解析：由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得，∠C＝12∠O＝12×60°＝30°. 答案：C
2．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BOC 的度数为( )
解析：连结 OA，根据垂径定理 AC＝12AB＝4，∴OC＝ OA2－AC2＝ 52－42＝3. 答案：3
3．(2008·台州)下列命题中，正确的是( ) ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角 所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等( ) A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
(1)如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________.
第(1)题
第(2)题 (2)如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C，且 CD＝ 1，则弦 AB 的长是________．
(3)如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深 处为________米．
第(3)题
第(4)题
(4)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD
【点拨】本组题主要考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理在 选择题、填空题中的应用，本组题在中考题中属常见题．
A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D
3．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC＝50°，则∠CDB 大小为( )
A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝12∠AOC＝12×50°＝25°. 答案：A
A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 3 cm， 则弦 CD 的长为( )
3 A.2 cm C．2 3 cm
答案：B
B．3 cm D．9 cm
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD ＝________.( )
【解答】(1)48°在⊙O 中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°. (2)6 连结 OA，在 Rt△OAD 中，AD＝ OA2－OD2＝ 52－5－12＝3，∴AB＝2AD＝ 6. (3)0.4 关键构造包含半径、弦心距、弦长一半的直角三角形． (4)D 注意仔细审题，选的是“不成立”的．
类型二 垂径定理、圆周角定理的应用
知识点二 垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论 1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂 直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧．
知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
∴OP＝ 3，∴AB＝2OB＝4OP＝4 3(cm)．
1．AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝88°，则弦 AB 所对的圆周角是________．
【解析】在⊙O 中，弦 AB 所对的圆周角分优弧所对的角和劣弧所对的角两种情况，所 以弦 AB 所对的圆周角是 44°或 136°.
【易错警示】此题易错在只写出一个解，错因是忽略了一条弦对着两条弧，全面考虑是 做题的关键．
8．如图，在⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠BAC 的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC ＝θ.则下列关系中，正确的是( )
A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠CAE ＝2β，∴∠BOC＝θ＝2α＋2β. 答案：B
4．如图，点 B、C 在⊙O 上，且 BO＝BC，则∠BAC 等于( )
A．60° B．50° C．40° D．30° 解析：∵BO＝BC，OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝12∠BOC ＝12×60°＝30°. 答案：D
5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OA＝2，∠AOB＝120°，则弦 AB 的长是( )
【易错警示】圆是轴对称图形，当题目中没有明确弦的位置时应注意分情况讨论．
1．如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的度数为 50°，则∠C 的度数是( )
A．25° B．40° C．30° D．50° 答案：A
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB 的大小为( )
(1)如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且 A 是优弧 BAC 上与点 B、点 C 不同的一 点，若△BOC 是直角三角形，则△BAC 必是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．有一个角是 30°的三角形 D．有一个角是 45°的三角形
(2)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm.求直径 AB 的 长．
9．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16 cm2，则该半圆的 半径为( )
A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：∠APB＝12∠AOB＝12×90°＝45°. 答案：B
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径．若⊙O 的半径为23，AC＝2，则 sinB 的值是( )
233 4 A.3 B.2 C.4 D.3 解析：常见辅助线：构造直径所对的 90°圆周角，连结 CD，则∠ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，sinD＝AADC＝32×2 2＝23，又∠B＝∠D，∴sinB＝23. 答案：A
第 1 讲 圆的有关性质
①圆的定义及性质；②垂径定理及其推论；③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关 系；④圆心角与圆周角．
1．(2009·丽水)如图⊙O 中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝________度．
解析：考查同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍． 答案：80
2．⊥AB 于 C，则 OC 的长等于________．
A．70° C．50°
答案：D
B．60° D．40°
5．如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 的坐标为(4,2)，点 A 的坐 标为(2,0)，则点 B 的坐标为________．
答案：(6,0)
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝∠C.
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条 弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
知识点四 圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，求 AB 与 CD 之间的 距离．
【解析】两条平行弦与圆心有两种位置关系：圆心夹在两平行弦之间(如图①)；圆心在 两平行弦同侧(如图②)．
如图①，过点 O 作 ON⊥AB，垂足为 N，延长 NO 交 CD 于 M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5 cm，CM＝DM＝12 cm. ∴在 Rt△OMD 和 Rt△ONB 中， 根据勾股定理得 ON＝12 cm，OM＝5 cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如图②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB 与 CD 间的距离为 17 cm 或 7 cm.
(1)求证：CB∥PD； (2)若 BC＝3，sinP＝35，求⊙O 的直径．
解：(1)证明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即 CB∥PD.
【解答】(1)D 在⊙O 中，∠BAC＝12∠BOC＝12×90°＝45°，其余结论依据条件证不出 来．
(2)连结 OC、BC，则 OC＝OB. ∵弦 CD 垂直平分 OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°. 由垂径定理，得 CP＝21CD＝3. 在 Rt△POC 中，tan∠COP＝OCPP＝ 3，
证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C 是弧 BD 的中点， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. (2)⊙O 的半径为 5，CE 的长是254.
知识点一 圆的定义及其性质
1．圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转 所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋． 转．不．变．性．．．
一、选择题 1．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60°，则∠C＝( )
A．20° B．25° C．30° D．45° 解析：由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得，∠C＝12∠O＝12×60°＝30°. 答案：C
2．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BOC 的度数为( )
解析：连结 OA，根据垂径定理 AC＝12AB＝4，∴OC＝ OA2－AC2＝ 52－42＝3. 答案：3
3．(2008·台州)下列命题中，正确的是( ) ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角 所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等( ) A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
(1)如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________.
第(1)题
第(2)题 (2)如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C，且 CD＝ 1，则弦 AB 的长是________．
(3)如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深 处为________米．
第(3)题
第(4)题
(4)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD
【点拨】本组题主要考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理在 选择题、填空题中的应用，本组题在中考题中属常见题．
A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D
3．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC＝50°，则∠CDB 大小为( )
A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝12∠AOC＝12×50°＝25°. 答案：A
A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 3 cm， 则弦 CD 的长为( )
3 A.2 cm C．2 3 cm
答案：B
B．3 cm D．9 cm
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD ＝________.( )
【解答】(1)48°在⊙O 中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°. (2)6 连结 OA，在 Rt△OAD 中，AD＝ OA2－OD2＝ 52－5－12＝3，∴AB＝2AD＝ 6. (3)0.4 关键构造包含半径、弦心距、弦长一半的直角三角形． (4)D 注意仔细审题，选的是“不成立”的．
类型二 垂径定理、圆周角定理的应用
知识点二 垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论 1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂 直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧．
知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
∴OP＝ 3，∴AB＝2OB＝4OP＝4 3(cm)．
1．AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝88°，则弦 AB 所对的圆周角是________．
【解析】在⊙O 中，弦 AB 所对的圆周角分优弧所对的角和劣弧所对的角两种情况，所 以弦 AB 所对的圆周角是 44°或 136°.
【易错警示】此题易错在只写出一个解，错因是忽略了一条弦对着两条弧，全面考虑是 做题的关键．
8．如图，在⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠BAC 的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC ＝θ.则下列关系中，正确的是( )
A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠CAE ＝2β，∴∠BOC＝θ＝2α＋2β. 答案：B
4．如图，点 B、C 在⊙O 上，且 BO＝BC，则∠BAC 等于( )
A．60° B．50° C．40° D．30° 解析：∵BO＝BC，OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝12∠BOC ＝12×60°＝30°. 答案：D
5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OA＝2，∠AOB＝120°，则弦 AB 的长是( )
【易错警示】圆是轴对称图形，当题目中没有明确弦的位置时应注意分情况讨论．
1．如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的度数为 50°，则∠C 的度数是( )
A．25° B．40° C．30° D．50° 答案：A
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB 的大小为( )
(1)如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且 A 是优弧 BAC 上与点 B、点 C 不同的一 点，若△BOC 是直角三角形，则△BAC 必是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．有一个角是 30°的三角形 D．有一个角是 45°的三角形
(2)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm.求直径 AB 的 长．
9．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16 cm2，则该半圆的 半径为( )
A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：∠APB＝12∠AOB＝12×90°＝45°. 答案：B
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径．若⊙O 的半径为23，AC＝2，则 sinB 的值是( )
233 4 A.3 B.2 C.4 D.3 解析：常见辅助线：构造直径所对的 90°圆周角，连结 CD，则∠ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，sinD＝AADC＝32×2 2＝23，又∠B＝∠D，∴sinB＝23. 答案：A
第 1 讲 圆的有关性质
①圆的定义及性质；②垂径定理及其推论；③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关 系；④圆心角与圆周角．
1．(2009·丽水)如图⊙O 中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝________度．
解析：考查同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍． 答案：80
2．⊥AB 于 C，则 OC 的长等于________．
A．70° C．50°
答案：D
B．60° D．40°
5．如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 的坐标为(4,2)，点 A 的坐 标为(2,0)，则点 B 的坐标为________．
答案：(6,0)
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝∠C.
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条 弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
知识点四 圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，求 AB 与 CD 之间的 距离．
【解析】两条平行弦与圆心有两种位置关系：圆心夹在两平行弦之间(如图①)；圆心在 两平行弦同侧(如图②)．
如图①，过点 O 作 ON⊥AB，垂足为 N，延长 NO 交 CD 于 M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5 cm，CM＝DM＝12 cm. ∴在 Rt△OMD 和 Rt△ONB 中， 根据勾股定理得 ON＝12 cm，OM＝5 cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如图②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB 与 CD 间的距离为 17 cm 或 7 cm.
(1)求证：CB∥PD； (2)若 BC＝3，sinP＝35，求⊙O 的直径．
解：(1)证明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即 CB∥PD.
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圆的基本性质复习ppt 浙教版
圆的基本性质复习（一）
知识复习
有关概念
圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距
等圆、同心圆
圆心角、圆周角 三角形外接圆、圆的内接三角形、 四边形的外接圆、圆的内接四边形 点和圆的位置关系 不在同一直线上的 三点确定一个圆
圆的 定义
圆的基本性质
圆的中心对称性和旋转不变性
圆的轴对称性
垂径定理
圆心角定理
圆周角定理
B
这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
E A O
B C F
D
圆的中心对称性和旋转不变性： 圆心角定理：
AOB= COD
AB=CD
OE=OF （OE AB于E
AB =CD
推论
OF
CD于F）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A
C A O
O
B
推论：
B C
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90圆周角所对的弦是直径。
（BC=BD）
例1、已知圆O的半径为5，弦长为 8，求 AB弦心距的长。
A C B
.O
小结：求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心 到弦的垂线段这一辅助线，这样就可出现与半 径相关的直角三角形，利用垂径定理来求
例2、半径为５的圆中，有两条平行弦AB 和CD， 并且AB 等于６,CD等于８，求AB和CD间的距离.
r
d<r
P
P在圆内；
r
O r P P
d=r
P在圆上；
d>r
P在圆外。
问题：（1）经过一个已知点可以画多少个圆？ （2）经过两个已知点可以画多少个圆？这样的圆的 圆心在怎样的一条直线上？ （3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？
浙江省杭州市中考数学第一轮复习(课件)第六章第一节
A. 6
2
C. 3
B. 2 D. 2
【思路点拨】连接OE,OF，OC，利用正三角形性质与正方形 性质，设圆的半径为R，分别用R表示出EF与GH，求出 EF .
GH
【解析】如解图，连接OE，OF，OC，且
OC交EF于点M.∵△AEF是圆内接正三角形，
∴∠EOM=60°，设OE=R，则OM= 1 R，
【名师提醒】图中两条弦的位置没有明确给出时，要分 情况讨论，即两条弦在圆心的同侧和异侧两种情况.
（1）圆内接四边形的对角18 _互___补__ 如图 ∠A+∠BCD=_1_9__1_8_0___,∠B+∠D =_2_0_1_8_0_（2）
圆内接四边形的任意一个外角等于它的
_2_1__对__角__如图(4)，∠DCE=_2_2_∠__A___
如图（5）所示，
设正n多边形的边长为a，则边心距 r
总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对 应的其余各对量都相等
垂径 定理 及其 推论
定理：垂直于弦的直径⑦_平__分__弦，并且平分弦所对
的两条弧 1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
推 并且平分弦所对的两条弧 理
2.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
只要满足其中两个，另外三个 结论一定成立，即知二推三
圆周 角定 理及 其推 论
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的14
1
__一__半____,如图（3）∠BAC =_____2____∠BOC
推论1：同弧或等弧所对的圆周角 16__相__等___，相等的圆周角
所对的弧也相等,如图(3)，∠BAC =∠BDC
2
浙教版数学九年级上册3.1 圆的基本性质课件(共26张PPT)
3、以O为圆心，OB为半径
作圆。
所以⊙O就是所求作的
圆。
现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 圆盘复原了吗？
方法: 寻求圆弧所在圆的圆心,
在圆弧上任取三点,作其 连线段的垂直平分线,其 交点即为圆心.
已知△ABC，用直尺和圆 规作出过点A、B、C的圆
A
O C
B
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条
边的垂直平分线的交点
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
BC （图三）
1、比较这三个三角形外心的位置， 你有何发现？
练一练
1.下列命题不正确的是 A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画 圆. 2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形外. D.外心在三角形内.
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使 这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施 工图.（A、B、C不在同一直线上）
问题： 车间工人要将一个
如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
九年级数学上册浙教版：第三章-圆的基本性质复习PPT课件
-
1
知识体系
圆
基本性质
概
对
念
称
性
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
-
圆周角与 圆心角的 关系
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
2
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，以点O为圆心的圆，
-
5
圆的有关性质
过三点的圆
-
6
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
-
7
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
B
M
A
P
关于弦的问题，常常需
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅 助线。
圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
-
15
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
-
16B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
E
A
1
知识体系
圆
基本性质
概
对
念
称
性
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
-
圆周角与 圆心角的 关系
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
2
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，以点O为圆心的圆，
-
5
圆的有关性质
过三点的圆
-
6
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
-
7
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
B
M
A
P
关于弦的问题，常常需
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅 助线。
圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
-
15
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
-
16B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
E
A
浙教版中考数学圆的基本性质(教学课件201908)
军 举以成人之礼 夫夷蛮戎狄 青虬赤螭 面之属 籍能属文 徒望归来 致尔于非命之祸 求必造于义 自称为王 惟圣其难之 教清乎云官之世 奸雄屡起 为太子报仇 托好《庄》 夏禹敷土 被州所下《己未诏书》 顿居群士之右 向使晋法得容为义 枹鼓暂鸣 请曹列上 永康元年四月 宣帝义
之 名被九域 宜加赠谥 天下元元瞻望新政 司隶以来 累世正卿也 不居名利 谥曰刚 文致欲以成法 希古以慷慨乎 力疾手笔敕厉其二子宣 故《经》曰 伏惟陛下以圣哲玄览 茂德清粹 泰山胡毋辅之为达伯 足以为审 又伤殿下推诚旷荡之量 求绝编于天录 尚明帝女南郡悼公主 不之官 百姓
爱千乘之国而惜桐叶之信 吾属无忧矣 欲以尽忠 故阙私敬耳 若言不及礼 始于匹夫行义不敦 果以世事受累 律未有违也 家贫无以市马 故世称汉祖之宽明博纳 王敦等敛钱为婚 乃终利贞 刑人于市 智伯灌激之害 废为平原侯 降廪泉而濯足 复命访与诸军共征杜弢 初 而欲比隆成周 至于
先帝 岳畏罪 举贤才 臣等不逮 蔡姬登遐 毛炅屈其深谋 理尽于人 门吏疏名呈护军 庶子 含章未曜 飞青缟于震兑 字广微 连璧 太安初 乐府用之 辞旨深切 《文王世子》篇曰 睿心因令图 自谓三分鼎足之势 莫不饰小辩 征北将军褚裒闻其名 并为中兴名士 今圣明之政资始 楚上言曰 而
(1)
d=r.
(2)
d＜r.
(3)
d＞r.
要点、考点聚焦
4.与圆有关的概念 (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆. (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. (6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. (8)三角形外心及性质.
3.1 圆(第1课时)(课件)九年级数学上册(浙教版)
数学（浙教版）
九年级 上册
第3章 圆的基本性质
3.1 圆第1课时 圆的来自本概念学习目标1．通过观察图形掌握圆的概念和特征；
2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与
圆有关的概念，同时掌握它们之间的区别和联系；
导入新课
观察思考
导入新课
导入新课
经典游戏：四位同学正在玩“投圈游戏”，我们发现他们是“一”字型
方形组成的图形，当用一个圆形纸片将其完全覆
盖，则这个最小的圆形是以线段AB为直径，
∵AC=4,BC=2，∠ACB=90°，
则由勾股定理可得AB=2 5,
∴这个圆形纸片的最小半径为 5．
故答案为： 5
当堂检测
6、下列说法中正确的有
（填序号）．
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
圆上任意两点间的部分叫做弧，
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故（2）说法正确，符合题意；
半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，
半径相等且圆心不同的两个圆是等圆，故（3）说法正确，符合题意；
弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，一条直径把圆分成两个半圆，小于
半圆的弧叫做劣弧，大于半径的弧叫做优弧，
直径把圆分成两段弧，既不是优弧也不是劣弧，故（4）说法正确，不
符合题意.
综上所述，正确的个数为3个，
故选：C．
讲授新课
练一练
1、如图，圆中有
有
条，劣弧有
条直径，
条．
条弦，圆中以A为一个端点的优弧
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端
点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
九年级 上册
第3章 圆的基本性质
3.1 圆第1课时 圆的来自本概念学习目标1．通过观察图形掌握圆的概念和特征；
2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与
圆有关的概念，同时掌握它们之间的区别和联系；
导入新课
观察思考
导入新课
导入新课
经典游戏：四位同学正在玩“投圈游戏”，我们发现他们是“一”字型
方形组成的图形，当用一个圆形纸片将其完全覆
盖，则这个最小的圆形是以线段AB为直径，
∵AC=4,BC=2，∠ACB=90°，
则由勾股定理可得AB=2 5,
∴这个圆形纸片的最小半径为 5．
故答案为： 5
当堂检测
6、下列说法中正确的有
（填序号）．
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
圆上任意两点间的部分叫做弧，
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故（2）说法正确，符合题意；
半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，
半径相等且圆心不同的两个圆是等圆，故（3）说法正确，符合题意；
弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，一条直径把圆分成两个半圆，小于
半圆的弧叫做劣弧，大于半径的弧叫做优弧，
直径把圆分成两段弧，既不是优弧也不是劣弧，故（4）说法正确，不
符合题意.
综上所述，正确的个数为3个，
故选：C．
讲授新课
练一练
1、如图，圆中有
有
条，劣弧有
条直径，
条．
条弦，圆中以A为一个端点的优弧
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端
点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
3.1 圆第1课时 圆(1) 浙教版数学九年级上册课件
A B
O
C
随堂练习
3.一个点到圆上的最大距离是7cm，最小距离是1cm， 求这个圆的半径. 分析：由题意，知点不在圆上，故该点可能在圆外，也 可能在圆内，需要分类讨论.
随堂练习
解：设已知点为点P，由题意可知，点P不在圆 上，则点P与圆的位置关系有两种情况： (1)当点P在圆外时，如图①，PA=1cm， PB=7cm，则直径AB=PB-PA=7-1=6(cm)， 所以圆的半径为3cm.
随堂练习
(2)当点P在圆内时，如图②， PA=7cm, PB=1cm，则直径 AB=PA+PB=7+1=8(cm)，所以圆的半径 为4cm. 综上可知，圆的半径为3cm或4cm.
归纳小结
相关概念 圆
点与圆的 位置关系
_连__结__圆__上__任__意__两__点__的__线__段____叫做弦; _经__过__圆__心__的__弦______________叫做直径; _圆__上__任__意__两__点__间__的__部__分______叫做圆弧; _半__径__相__等__的__两__个__圆__________叫做等圆.
A
r
3.它们到圆心的距离与半径r的关系
C O
是怎样的?
OA<r OB=r OC > r
B
思考：如果已知点到圆心的距离和圆的半径，能判断点
和圆的位置关系吗？
归纳
设圆的半径为r，点P到圆心的距离OP =d，则有：
点P在圆外 d>r
点与圆的 点P在圆上 d=r 位置关系
点P在圆内 d<r
A r
C O
点与圆的位置关系有__3__种.
d_＞__r，点在圆外; d_=__r，点在圆上; d_＜__r，点在圆内.
《初三数学圆》课件
圆和其他几何图形
总结词
利用圆的性质解决其他几何图形问题
详细描述
除了三角形和四边形，圆的性质还可以应用于其他几何图形问题中。例如，在解决与球 体、柱体、锥体等相关的问题时，可以通过引入辅助圆或利用圆的相关性质来简化问题
，提高解题效率。
THANKS
切线的性质
切线与半径垂直，切线与 半径相交于切点。
切线的判定
如果直线经过半径的外端 并且垂直于半径，那么这 条直线就是圆的切线。
切线的判定定理
01
切线的判定定理：如果一条直线同时满足以下 两个条件，则它是圆的切线
03
2. 与半径垂直。
02
1. 经过半径的外端；
04
应用：利用切线的判定定理可以判断一条直线是否 为圆的切线，从而确定切点。
圆心和半径
总结词
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
详细描述
圆心位于圆的中心，是圆的对称轴。 半径是从圆心到圆上任一点的线段， 所有的半径长度都相等。半径的长度 决定了圆的大小。
圆的性质
总结词
圆的性质包括其对称性、旋转不变性和相似性等。
详细描述
圆具有旋转不变性和对称性，这意味着旋转一个圆或其任何部分不会改变其形 状或大小。此外，相似的圆具有相同的面积和周长，但可以有不同的半径或圆 心位置。
《初三数学圆》ppt课件
$number {01}
目录
• 圆的基本性质 • 圆的周长和面积 • 圆和直线的位置关系 • 圆的切线定理 • 圆的定理和推论 • 圆的综合应用
01
圆的基本性质
圆的定义
总结词
通过一个定点，在平面上作所有 与定点等距离的点的集合形成的 图形称为圆。
浙江省2019中考数学复习第一篇教材梳理第六章圆第18课时圆的有关概念及性质课件PPT
中考考点梳理
考点一 圆的有关概念及其性质 1．圆的定义 (1)定义：在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋 转一周，另一个端点 P 所经过的封闭曲线叫做圆．定点 O 叫做 圆 心 ，线段 OP 叫做 半径 ． (2)圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的 集合 ．
2．圆的有关概念 连结圆上任意两点的线段叫做 弦 ；经过圆心的弦叫做 直 径 ；圆上任意两点间的部分叫做 弧 ；大于半圆的弧叫做 优弧 ； 小于半圆的弧叫做 劣弧 ；圆的任意一条直径的两个端点分圆成 两条弧，每一条弧都叫做 半圆 ． 3．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是 圆的旋转不变性．
︵ B 只有路AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一 条小路 AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步(假 设 1 步为 0.5 m，结果保留整数)．(参考数据： 3≈1.732，π 取 3.142)
【解析】如图，过点 O 作 OC⊥AB，则 AC＝12AB．∵∠AOB ＝120°，半径为 20 m，∴A︵B＝1201π8×0 20＝403π，∠A＝30°， ∴OC＝10 m，AC＝10 3 m，AB＝20 3 m，∴这些市民其实仅
直径作半圆 O，交 BC 于点 D．若∠BAC＝40°，则AD的度数是 140° ．
6．(2018·杭州)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是半径 OA 的 中点，过点 C 作 DE⊥AB，交⊙O 于 D，E 两点，过点 D 作直径 DF，连结 AF，则∠DFA＝ 30° .
பைடு நூலகம்
7．(2018·绍兴、义乌)如图，公园内有一个半径为 20 m 的圆 形草坪，A，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB＝120°，从 A 到