人教版2017九年级(上册)数学第二十二章 22.3《实际问题与二次函数》第二课时课件
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2.一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳 起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手 高度为1.8m。当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最高高度，然后准确落入篮筐内。 已知篮筐中心离地面的距离为3.05m，你能 求出球所能达到的最大高度约是多少吗？ （精确到0.01m）
2
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四、课堂小结
1.构建二次函数模型解决实际问题应用问题时，应关 注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨； 2.对具有抛物线形状的实际问题，应能根据图形的特 征建立恰当的平面直角坐标系，这样能更快捷的解 决问题，应注意体会。
10/6/2017Fra bibliotek作业
1.从教材习题22.3中选取
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解：建立如图所示直角坐标系，设篮筐中心点为A 点，运动员出手点为B点，顶点为C点，依题意 可得A（0,3.05），B（-4,1.8），设C（-1.5， m）,设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B代 入可求得1.8=16a-4b+3.05 b 又由图象可知 2a 1.5，b=3a 可求得y=-0.3125x²-0.9375x+3.05 4ac b 则m 4a 3.75m 即球所能达到的最大高度约是3.75m
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解：如图所示，以A为坐标原点,AD所在直线为x轴，AB所在直 线为y轴建立平面直角坐标系。 连BC，则∠ABC=135°，过C点作CE⊥x轴，
垂足为E，又过B点作BF⊥CE，垂足为F， 依题意易证四边形AEFB为矩形， ∴ ∠ABF=90°，∴ ∠CBF=135°-90°=45°， ∴ ∠BCF=45°，Rt△CBF为等腰直角三角形， 又由题意易知AB=1.5米，CF=2米，∴BF=CF=2 米，则B（0,1.5），C（2,3.5）设该图象解析 式为y=a（x-h）²+k，则y=a（x-2）²+3.5，将 B（0,1.5）代入可求得a=-0.5 ∴y=-0.5（x-2）²+3.5设D（m，0）代入，得 m= +2≈4.6米（负值已舍去）
第2课时
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一、情景导入，初步认识
问题 某商场试销一种成本为每件60元的服装， 规定试销期间销售单价不低于成本价，且每件 获利不得高于45％。经试销发现，销售量y（件） 与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b,且 x=65时，y=55；x=75时，y=45
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(1)试求出一次函数的表达式； （2）若该商场所试销服装的获利为w元，试写出w 与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少 元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ （3）若所获得利润不低于500元，试确定销售单 价x的范围。
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二、思考探究，获取新知
问题 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时， 水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
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解：设这条抛物线的解析式为
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三、运用新知，深化理解
1.一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设 水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转 的喷水头，其喷出的水流成抛物线形。喷头B 与水流最高点C的连线与水管AB之间夹角为 135°（即∠ABC=135°），且水流最高点C比 喷头B高2米。试求水流落点D与A点的距离 （精确到0.1米）
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章 二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
人教版数学九年级上册第二十二章《 22.3实际问题与二次函数》课件
衣售价x(元)之间的函数关系式为
. (以上关系式只列
式不化简）
3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件 x元（15 ≤ x ≤24)出售，可卖出（600－20x）件，使利润最大，则
每件售价应定为 元. 24
综合演练
4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次） 的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次， 每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这 一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
能力拓展
能力拓展
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与 当月的销售量各是多少？
③降价多少元时，利润最大，由最涨大价利和润降是价多的少讨？论及现在的销售情
y = -20x2+100x+6000， 况,你知道应该如何定价能使利润最大
当x =
=2.5 y=-
了吗?
时即,定价57.5元时，最大2利0润×2是.562+12150元0×.2.5+6000=6125.
综合以上可知，应定价65元时，才能使利润最大.
正常销售 涨价销售
20 20+x
300 300-10x
6000 y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
即：y=-10x2+100x+6000.
合作探究
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可 以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第3课时)教案 (新版)新人教版
实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2．当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系． 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82所以a ＝－154因此，函数关系式是 y ＝－154x 2 ②∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。
九年级数学上册第22章二次函数22.3实际问题与二次函数第三课时建系
22.3 实际问题与二次函数 （第3课时）
第1页
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题数学模型，如生活中 包括求最大利润，最大面积等．这表达了数学实 用性，是理论与实践结合集中表达．本节课主要研 究建立坐标系处理实际问题．
第2页
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中变量之间二次函数关系， 正确建立坐标系，并利用二次函数图象、性质处理 实际问题．
0
0
X
(3)
(4)
第7页
三、巩固训练--应用新知， 巩固提升
温馨提醒： （1）写出图中点AB坐标 (2)18M是图中那条线段长度。
C A
y O
h 20 m
DB x
第8页
三、巩固训练—大展身手
第9页
三、巩固训练—大展身手
第10页
三、巩固训练—大展身手
第11页
3．应用新知， 巩固提升
问题5
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所表示直角坐标系中，求出这条抛物线表
示函数解析式；
（2）设正常水位时桥下水深为 2 m，为确保过往
船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 m．求水深超
出多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
y O
C A
h
DB x
20 m 第12页
4．小结
（1）这节课学习了用什么知识处理哪类问题？ （2）处理问题普通步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思索问题方法？用函数思想 方法处理抛物线形拱桥问题应注意什么？
第13页
为原点，
以
为y轴
建立平面直角坐标系，
22.3+实际问题与二次函数(1)——面积最值问题+课件+2023—2024学年人教版数学九年级上册
重难导学
1．如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边
形EFGH也是正方形，已知AB＝4，求正方形EFGH的最小面积．
解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝GH.
∵∠AHE＋∠DHG＝∠DGH＋∠DHG，
∴∠AHE＝∠DGH.
∠ = ∠，
∠ = ∠，
在△AHE和△DGH中，
解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为
(47－2x＋1)m. 依题意，得y＝x(47－2x＋1)，
即y＝－2(x－12)2＋288.
∵47 − 2 + 1 ≤ 20，
∴ ≥ 14.
∵−2 < 0，对称轴为直线= 12，
∴当 = 14时，y有最大值. ∴鸡场的最大面积为14×20=280（2 ）.
最小面积是8.
重难导学
2．(数形结合)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC
＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q
从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从
A，B两点同时出发．
(1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式；
∴ 当 ≥ 10时，随的增大而减少.
∴当 = 10时，y最大，最大值为80.
答：当 = 10时，所围苗圃的面积最大，最大面积为802
课堂导学
课堂总结：
实际问题求最值的步骤
(1)列出函数关系式(要化为一般式)；(2)求自变量的取值范围；
(3)求出对称轴或配方为顶点式；(4)看范围确定最值．
围是0＜x＜18.
课堂导学
【变式2】如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)围成一个两面靠墙
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。
教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。
2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。
2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。
五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。
引导学生运用二次函数知识进行解决。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。
教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数课件
对称轴：x=2；
3
对称轴：x=− ；
2
顶点坐标：(2，－9)；
顶点坐标：( − ，
最小值：－9；
3
2
最大值：
25
4
.
25
4
)；
新知探究
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运
动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间
是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
是多少？(铝合金型材宽度不计)
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为
这里应有x＞0，
6−3
＞0，
2
6−3
m.
2
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
=∙
6−3
2
x
例题探究
当 =
− 时，二次函数
2
值 =
4−2
．
4
y = ax 2 ＋ bx ＋ c 有最小(大)
h/m
=
−
2
=
30
−
2×(−5)
ℎ=
4−2
4
−302
4×(−5)
=
= 3，
40
= 45．
20
O
h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)
1
2 3
4
5 6 t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m．
墙长18m，这个矩形的长、宽
各为多少时，菜园的面积最大， 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？
则如何表示另一边？
最大面积是多少？
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500