2019-2020学年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）∵E是PC的中点，∴S△EAC =S△PAC=．…（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）在Rt△ABC中，S△ABC=．…（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C 2的方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵λ＞1，∴点C （﹣1，0）在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点． 当直线l 垂直于x 轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l 为y=k （x +1）（A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0）， 由，得．由韦达定理得．∵，而点C （﹣1，0），∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），则y 1=﹣2y 2， 即y 1+y 2=﹣y 2，故．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值．∴直线的方程为或．21．（12分）已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性； （Ⅱ）若．证明：当x ＞0，且x ≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g （x ）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x 2+x ﹣a=0的判别式△=1+8a ．…（2分） ①当时，△≤0，g'（x ）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
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2019届广东省茂名市高三第一次综合测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由交集的定义直接求解即可.【详解】包含的整数有1,2，，．答案：【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2．已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为（）A．1 B．-2 C．-1 D．0【答案】C【解析】先由复数的乘法运算将复数整理，再由复数的基本概念即可求出结果.【详解】为实数，，得．答案：【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的基本概念，属于基础题型.3．广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的，考试分为四个成绩等级：24分及以下不给等级，25～49分为，50～69分为，70～84分为，85～100分为.培恩中学高二学生参加2018年6月份学业水平测试的成绩全部在级（含级）以上.该校共有500名学生参加了考试，学生成绩等级统计如图所示，该校学生水平测试成绩评论等级为的学生人数是（）A．205 B．185 C．85 D．25【解析】由总人数乘以成绩评论等级为的比例，即可求出结果.【详解】评价等级为的人数是：．答案：【点睛】本题主要考查扇形统计图的识别，属于基础题型.4．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先设双曲线的焦距，再由焦点相同可得，结合，即可求出结果.【详解】设双曲线的焦距为，依题意，即 ,又，, 即，双曲线的离心率为．答案：【点睛】本题主要考查双曲线与椭圆的简单性质，只需熟记a,b,c三者之间关系即可求解，属于基础题型.5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．，，则B．，，，则C．，，则D．当，且时，若，则【答案】C【解析】由空间中直线与平面位置关系判断；由直线与直线位置关系，判断和以及即可.由可能,也可能, 错；中的直线平行，也可能异面，错；正确；中的直线也可能异面；错．答案：【点睛】本题主要考查空间中点线面的位置关系，只需掌握直线与直线，平面与平面间的位置关系即可做出判断，属于基础题型.6．在平行四边形中，为上一点，且，记，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由平面向量的运算法则解题即可.【详解】如图，．答案：【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，对此类题目，常用平行四边形法则以及三角形法则来处理，属于基础题型.7．函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由函数求出定点的坐标，再由三角函数的定义求出角的正弦值和余弦值，最后由二倍角公式即可求出结果.【详解】。
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|24}A x Z x =∈-<<，2{|230}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．(2,1)-B ．(1,3)-C ．{1-，0}D ．{0，1，2}2．（5分）i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限3．（5分）在集合{1，2}和{3，4，5}中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为( ) A ．112B ．13C ．14D ．164．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 是单调函数，且()f x 满足1(1)2f -=，则( ) A ．1()(2)2f f -<B ．1()(2)2f f ->C ．1()(2)2f f -=D ．1()12f =-5．（5分）已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩„…„则3z x y =+的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．116．（5分）公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，⋯，192，⋯，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，⋯，正一百九十二边形，⋯的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )（精确到0.01)．（参考数据sin150.2588)︒≈ A ．3.14B ．3.11C ．3.10D ．3.057．（5分）已知1tan()43πα-=-，则sin 2(α= )A ．35-B ．45-C ．35D ．458．（5分）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =u u u u r u u u u r，则(AM BC =u u u u r u u u r g )A ．3B ．6C ．8D ．129．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．43C ．23 D ．1310．（5分）已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C上，且线段1PF 的中点坐标为(0,)b ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．5D ．211．（5分）下列函数图象中，函数||()()x f x x e Z αα=∈的图象不可能的是( )A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知函数21,1()(),1ax ax x f x a R x alnx x ⎧-+=∈⎨->⎩…，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,)e +∞C ．(4,)+∞D ．2(4,)e二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13．（5分）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，若直线10x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m = ．14．（5分）已知数列{}n a 满足0n a >，且n lga ，1n lga +，2n lga +成等差数列，若34674a a a a =，则5a = ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F，直线:l y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为： ．16．（5分）已知ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，b =且(2)cos cos a c B b C -=，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必考题，22、23题为选考题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考部分：共60分17．某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑g ，ˆˆ)a y bx =-（参考数据：511319i i i x y ==∑，521598)ii x ==∑18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC AC =，22AB DC ==，13AA =．（1）求证：平面1A DC ⊥平面11ABB A ； （2）求点A 到平面1A DC 的距离．19．已知数列{}n a 满足，*3211(1)()232n a a a a n n n N n +++⋯+=+∈． （1）求1a ，2a 的值（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*n N ∀∈，314n S <…． 20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点0(P x ，0)y 在抛物线C 上，且满足0||1PF y =+．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上的任意一点M 作抛物线C 的切线，交抛物线C 的准线于点N ．在y 轴上是否存在一个定点H ，使以MN 为直径的圆恒过H ．若存在，求出H 的坐标，若不存在，则说明理由．21．设函数()x g x lnx ae =+，()x h x axe =，10a e<<， （1）求()g x 在1x =处的切线的一般式方程； （2）请判断()g x 与()h x 的图象有几个交点？（3）设0x 为函数()()g x h x -的极值点，1x 为()g x 与()h x 的图象一个交点的横坐标，且10x x >，证明：0132x x ->．（二）选考部分：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．设A 为椭圆221:1424x y C +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点． （Ⅰ）写出1C 参数方程和2C 普通方程； （Ⅱ）求||AB 最大值和最小值．23．已知函数()|22|()f x x a a R =-∈，对x R ∀∈，()f x 满足()(2)f x f x =-． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若x R ∃∈，使不等式21()(2)2f x f x m m -++…，求实数m 的取值范围．2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|24}A x Z x =∈-<<，2{|230}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．(2,1)-B ．(1,3)-C ．{1-，0}D ．{0，1，2}【解答】解：{1A =-Q ，0，1，2，3}，{|31}B x x =-<<， {1A B ∴=-I ，0}．故选：C ．2．（5分）i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第二象限 B ．第一象限 C ．第四象限 D ．第三象限【解答】解：Q 22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===---+， ∴在复平面内对应的点为(1,1)-，故选：C ．3．（5分）在集合{1，2}和{3，4，5}中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为( ) A ．112B ．13C ．14D ．16【解答】解：在集合{1，2}和{3，4，5}中各取一个数字组成一个两位数， 基本事件总数236n =⨯=，这个两位数能被4整除包含的基本事件为24，只有1 个，∴这个两位数能被4整除的概率为16p =． 故选：D ．4．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 是单调函数，且()f x 满足1(1)2f -=，则( ) A ．1()(2)2f f -<B ．1()(2)2f f ->C ．1()(2)2f f -=D ．1()12f =-【解答】解：()f x Q 是R 上的奇函数，且()f x 是单调函数，1(1)2f -=， (0)0f ∴=，(1)(0)f f ->，()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减，∴1()(2)2f f ->．故选：B ．5．（5分）已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩„…„则3z x y =+的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．11【解答】解：由约束条件足5,210,220,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩„…„ 作出可行域如图， 化目标函数3z x y =+为3y x z =-+， 联立5210x y x y -=⎧⎨+-=⎩⇒23x y =⎧⎨=-⎩；由图可知，当直线3y x z =-+过(2,3)B -时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3． 故选：B ．6．（5分）公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，⋯，192，⋯，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，⋯，正一百九十二边形，⋯的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )（精确到0.01)．（参考数据sin150.2588)︒≈ A ．3.14B ．3.11C ．3.10D ．3.05【解答】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为1，顶角为003601524=，所以每个等腰三角形的面积001360111sin sin152242s =⨯⨯⨯=⨯，所以正二十四边形的面积为2412sin15120.2588 3.11s =⨯︒≈⨯≈，故选：B ．7．（5分）已知1tan()43πα-=-，则sin 2(α= )A ．35-B ．45-C ．35D ．45【解答】解：1tan()43πα-=-，故：1tan 11tan 3αα-=-+，解得tan 2α=．所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++． 故选：D ．8．（5分）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =u u u u r u u u u r，则(AM BC =u u u u r u u u r g)A ．3B ．6C ．8D ．12【解答】解：如图，三角形ABC 为等边三角形，且边长为2， 由2BM CM =u u u u r u u u u r ，得BC CM =u u u r u u u u r ，∴2()22cos6046AM BC AC CM BC AC BC BC =+=+=⨯⨯︒+=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ．故选：B ．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．43C ．23 D ．13【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为2的三棱锥体． 如图所示：所以112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选：C ．10．（5分）已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C上，且线段1PF 的中点坐标为(0,)b ，则双曲线C 的离心率为( ) A 2B 3C 5D ．2【解答】解：1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为(0,)b ，可得：22b b a=，可得2a b =，所以双曲线的离心率为：2225c a b e a a +==故选：C ．11．（5分）下列函数图象中，函数||()()x f x x e Z αα=∈的图象不可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 图象中函数的定义域为R ，函数是偶函数，则α为正偶数时，满足对应图象，B 图象中函数的定义域为{|0}x x ≠，函数是偶函数，则α为负偶数时，满足对应图象，C 图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故C 不满足条件．D 图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故D 满足条件． 故选：C ．12．（5分）已知函数21,1()(),1ax ax x f x a R x alnx x ⎧-+=∈⎨->⎩„，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,)e +∞C ．(4,)+∞D ．2(4,)e【解答】解：①当0a =时，显然不符合题意，舍去；②当0a <时，()f x x alnx =-为(1,)+∞上的增函数，在区间(1,)+∞上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；③当0a >时，则()f x 在(-∞，1]上有两个零点，在(1,)+∞上有两个零点．当1x „时，2214()1()24af x ax ax a x -=-+=-+，由于对称轴是12x =，(0)f f =（1）10=>，故只要1()02f <，即4a >；当1x >时，()f x x alnx =-，()1a x af x x x-'=-=，令()0f x '=，则x a =，当01a <…时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，与条件矛盾，不符合题意，舍去； 当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在0(,)x a ∈+∞，使得000()0f x x alnx =->； 故x a =时()f x 有极小值，要满足条件，只要f （a ）0a alna =-<，即a e >； 综上所述，4a >且a e >，故4a >； 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13．（5分）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，若直线10x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m = 3- ．【解答】解：根据题意可得，圆心(0,)C m 到直线10x y -+=的距离d r =，①又直线10x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，所以r ， 联立①②可得，3m =-． 故答案为：3-14．（5分）已知数列{}n a 满足0n a >，且n lga ，1n lga +，2n lga +成等差数列，若34674a a a a =，则5a【解答】解：由题意可得，212n n n lga lga lga +++=， 即221n n n a a a ++=，即数列{}n a 为等比数列， 由等比数列的性质可得，4346754a a a a a ==， 0n a >Q ，则5a =15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，直线:l y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 1 ．【解答】解：由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，直线:l y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，可知三角形OAF 是正三角形，1(2A c )，所以FB =，2c a +=，可得1c e a ==．1．16．（5分）已知ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b =且(2)cos cos a c B b C -=，则ABC ∆面积的最大值为【解答】解：在ABC ∆中，利用正弦定理化简(2)cos cos a c B b C -=，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，整理得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，即2sin cos sin()sin A B C B A =+=，sin 0A ≠Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ，3B π∴=，Q b =∴根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2212a c ac =+-，222a c ac +Q …（当且仅当时取“=”号），22122a c ac ac ac ac ∴=+--=…，即12ac „，当且仅当a c =时取等号，1sin 2ABC S ac B ∆∴==„则ABC ∆面积的最大值为故答案为：三、解答题：（本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必考题，22、23题为选考题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考部分：共60分17．某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑g ，ˆˆ)a y bx =-（参考数据：511319i i i x y ==∑，521598)ii x ==∑ 【解答】解：（1）根据题意，12,27x y ==， 2972,3432x y x ==g ，又31977i i i x y ==∑，321432i i x ==∑，1221977972ˆ 2.5434432ni ii nii x ynx ybxnx ==--===--∑∑g ，27 2.5123=-⨯=-，故线性回归方程为 2.53y x =-；（2）当10x =时， 2.510322y =⨯-=，|2223|2-<， 当8x =时， 2.58317y =⨯-=，|1417|2->． 所得到的线性回归方程是不可靠．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC AC =，22AB DC ==，1AA =．（1）求证：平面1A DC ⊥平面11ABB A ； （2）求点A 到平面1A DC 的距离．【解答】解：（1）证明：Q 在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 点D 是AB 的中点，BC AC =，CD ⊂平面ABC ，CD AB ∴⊥，1CD AA ⊥，1AB AA A =Q I ，CD ∴⊥平面11ABB A ，CD ⊂Q 平面1A DC ，∴平面1A DC ⊥平面11ABB A ．（2）解：设点A 到平面1A DC 的距离为d ，Q 点D 是AB 的中点，BC AC =，22AB DC ==，13AA =． 11C ADAA ACD V V --=，∴111133ACD DCA S AA S d ∆⨯⨯=⨯⨯V ， ∴1111131133232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得1d =，∴点A 到平面1A DC 的距离为1．19．已知数列{}n a 满足，*3211(1)()232n a a a a n n n N n +++⋯+=+∈． （1）求1a ，2a 的值（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*n N ∀∈，314n S <…．【解答】解：（1）数列{}n a 满足，*3211(1)()232n a a a a n n n N n +++⋯+=+∈①． 当1n =时，11a =． 当2n =时，2112322a a +=⨯⨯，解得24a =． 解：（2）当2n …时，3121(1)2312n a a a n n n -++⋯+=--②， ①-②得：(1)(1)22n a n n n n n n +-=-=， 所以2n a n =（首项符合通项）． 故：2n a n =．证明：（3）根据题意2212111(1)n n n n b a a n n ++==-+， 所以222111111111449(1)(1)n S n n n =-+-+⋯+-=-<++， 当1n =时，113144S =-=． 且函数21()1(1)f x x =-+为增函数，故：*n N ∀∈，314n S <„．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点0(P x ，0)y 在抛物线C 上，且满足0||1PF y =+．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上的任意一点M 作抛物线C 的切线，交抛物线C 的准线于点N ．在y 轴上是否存在一个定点H ，使以MN 为直径的圆恒过H ．若存在，求出H 的坐标，若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,)2p F ，准线方程为2p y =-，由抛物线的定义可得00||12pPF y y =+=+，即2p =， 可得抛物线的方程为24x y =；（2）设2(,)4n M n ，由24x y =的导数为12y x '=，可得切线的斜率为12n ，切线的方程为21()42n y n x n -=-，即2124n y nx =-，由抛物线的准线方程1y =-，可得24(2n N n-，1)-，假设存在(0,)H t ，使以MN 为直径的圆恒过H ，可得MH NH ⊥，可得1MH NHk k =-g ，即2214142n tt n nn---=--g ， 即有22(1)24n t t t -=+-，当1t =时，上式对任意的实数n 均成立， 则存在定点(0,1)H ．21．设函数()x g x lnx ae =+，()x h x axe =，10a e<<， （1）求()g x 在1x =处的切线的一般式方程； （2）请判断()g x 与()h x 的图象有几个交点？（3）设0x 为函数()()g x h x -的极值点，1x 为()g x 与()h x 的图象一个交点的横坐标，且10x x >，证明：0132x x ->． 【解答】解：（1）由1()x g x ae x'=+得切线的斜率为k g '=（1）1ae =+，切点为(1,)ae ． ∴切线方程为：(1)(1)y ae ae x -=+-， ∴所求切线的一般式方程为(1)10ae x y +--=．（2）令()()()x x f x g x h x lnx ae axe =-=+-由题意可知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211()(1)x x xax e f x ae a x e x x -'=+-+=．令2()1x m x ax e =-，得2()(2)x x m x a xe x e '=-+， 由10a e<<，0x >得，可知()m x 在(0,)+∞内单调递减， 又m （1）10ae =->，且221111()1()1()0m ln a ln ln a a a a=-=-<，故()0m x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ， 则011x lna <<，当0(0,)x x ∈时，0()()()0m x m x f x x x'=>=， ()f x ∴在0(0,)x 内单调递增；当0(x x ∈，)+∞时，0()()()0m x m x f x x x'=<=， ()f x ∴在0(x ，)+∞内单调递减，0x ∴是()f x 的唯一极值点．令()1x lnx x ϕ=-+，则当1x >时，1()10x xϕ'=-<，故()x ϕ在(1,)+∞内单调递减， ∴当1x >时，()x ϕϕ<（1）0=，即1lnx x <-，从而1111111()(1)1()0ln a f ln lnln a ln e lnln ln ln a a a a a aϕ=+-=-+=<，又0()f x f >Q （1）0=，()f x ∴在0(x ，)+∞内有唯一零点，又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点．()g x ∴与()h x 的图象有2交点；（3）由（2）及题意，01()0()0f x f x '=⎧⎨=⎩，即0120111(1)xx ax e lnx a x e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴1011201x x x lnx e x --=，∴1020111x x x lnx e x -=-， Q 当1x >时，1lnx x <-，又101x x >>，故10220101(1)1x x x x ex x --<=-，两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是100022(1)x x lnx x -<<-，整理得0132x x ->，命题得证．（二）选考部分：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．设A 为椭圆221:1424x y C +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点． （Ⅰ）写出1C 参数方程和2C 普通方程； （Ⅱ）求||AB 最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆221:1424x y C +=转换为参数方程为2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，转换为直角坐标方程为2210240x y x +-+=，整理得22(5)1x y -+=．（Ⅱ）椭圆上点(2cos A θ，)θ到曲线2C 的圆心(5,0)的距离d =当1cos 2θ=-时，||max AO =，当cos 1θ=时，||min AO =所以||11max AB ==，||1min AB =．23．已知函数()|22|()f x x a a R =-∈，对x R ∀∈，()f x 满足()(2)f x f x =-． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若x R ∃∈，使不等式21()(2)2f x f x m m -++…，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数()|22|()f x x a a R =-∈，对x R ∀∈，()f x 满足()(2)f x f x =-， 可得()f x 的图象关于直线1x =对称，可得1a =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2|1|f x x =-， 若x R ∃∈，使不等式21()(2)2f x f x m m -++…， 可得2|1||22|m m x x +--+„的最大值，由|1||22||1||1||1||11||11|2x x x x x x x --+=--+-+-----+=„， 当且仅当1x =-时，取得等号，即最大值2，则22m m +„，解得21m -剟．。
精品推荐2019届广东省茂名市高三第一次综合测试数学(文)试题 扫描版
绝密★启用前试卷类型：A2019年茂名市高三级第一次综合测试 文科数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．【解析】∵A 包含的整数有1, 2，B ={0, 1, 2}，∴A ∩B ={1, 2}．答案：C2．【解析】∵(1+i)(a +i)＝a −1+(a +1)i 为实数，∴ a +1=0，得a = −1．答案：C 3．【解析】评价等级为A 的人数是：500×41%=205人．答案：A4．【解析】设双曲线的焦距为2c ，依题意2a 2−2b 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2,又b 2=c 2−a 2，∴a 2=3(c 2−a 2), 即2243c a =．答案：D 5．【解析】由可能a ,也可能a , A 错；B 中的直线a , b 平行，也可能异面，B 错；C 正确；D 中的直线a , b 也可能异面；D 错．答案：C6．【解析】如图，11()33BE BA AE AB AC AB AB AD =+=-+=-++ 21123333AB AD a b =-+=-．答案：B7．【解析】依题设得()cos()3f x x =+π，所以A, B, C 正确．答案：D8．【解析】函数y =log a (x +4)+2(a ＞0且a ≠1)的图像恒过A (−3, 2)，则sin cos ==αα以sin2=2sin cos =1213-．答案：B.9．【解析】设矩形模型的长和宽分别为x , y ，则x ＞0, y ＞0，由题意可得2(x +y )=8，所以x +y =4，所以矩形菜园的面积S =xy ≤22()4444x y +==，当且仅当x =y =2时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为2cm 时，面积最大，为4cm 2．答案：C10.【解析】显然f (x )是奇函数，图像关于原点对称，排除D ；在区间(0,2π)上，sin2x ＞0，sin x ＞0， 即f (x )＞0，∴排除B 和C ；答案：A11．【解析】如图，在长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，∵DC ∥AB ， ∴相交直线D 1B 与AB 所成的角是异面直线D 1B 与DC 所成的角. 连接AD 1，由AB ⊥平面ADD 1A 1，得AB ⊥AD 1.∴在Rt △ABD 1中，∠ABD 1就是D 1B 与DC 所成的角，即∠ABD 1=，又AB =2，∴AD 1=AB tan∴在Rt △ADD 1中，D 1D =R ， 则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得4R 2=D 1B 2=AD 2+DC 2+D 1D 2=4+4+8=16， ∴长方体外接球表面积是4R 2=16．答案：AE D CBABCAB 1C 1A 1DD 112．解析：g (x )有两个零点,即方程f (x )−ax =0有两个不等的实根. 也就是函数y =f (x ) 与y =ax 有两个交点，如图，作出y =f (x )的图象，而y =ax 是过原点的直线， ①当a ＞0时，求出y =ax 与y =ln x 相切时的斜率a =1e ，数形结合， 当且仅当0＜a ＜1e 时，y =ax 与y =f (x )有两个交点. ②当a ＜0时，y =ax 与y =f (x )恒有两个交点. ③当a =0时，y =ax 与y =f (x )只有一个交点.综上得a 的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1e )．答案：B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．0 14．4 15．．613．【解析】f (x )是奇函数，所以f (−1)= −f (1)，2211(1)(1)a a -=--++解得a =0．答案：014．【解析】：作出不等式组所表示的可行域如图所示：当动直线y = −2过点A (2,0)时，z max =22+0=4．答案：415．【解析】如图所示,设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ， 则∠AOB =75°,∠ABO =45°, 所以∠OAB =60°．由正弦定理知,10==AO AB ，所以OA 米)，AB =(米)，∴OA AB +=米)．答案：16．【解析】如图，由题设，得圆心C (3,1),半径r OA =直线OA 的方程为x +y =0，则△OAM 边OA 上的高h 就是点M 到直线OA 的距离，圆心C (3, 1)到直线OA 的距离为d == (x −3)2+(y −1)2=2上的点M 到直线OA 的距离的最大值为h max =d +r故△OAM 面积的最大值max 11622S OA h =⋅=⨯=．答案：6 三、解答题：共70分. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．解：(Ⅰ)由a 1=1,112n n n a a a +=+得1211112123a a a ===++，232131512213a a a ===++， 343151712215a a a ===++，即a 2, a 3, a 4的值分别为111,,573．……………………3分OA75°10 45°D(Ⅱ)(法一)证明：由112nn na a a +=+得112112n n n n a a a a ++==+，………………5分 ∴1112n n a a +-=，又a 1=1, 111a =， .………………………………6分 ∴数列{}1na 是首项为111a =，公差为2的等差数列．.………………………7分． (Ⅱ)(法二)证明：由a 1=1, 112n n n a a a +=+，得111a =， 1111112n n nn na a a a a +-=-+ ……………………………………………4分 1211122n n n n n a a a a a +=-=+-=．…………………………………6分因此，数列{}1na 是首项111a =，公差为2的等差数列．…………………7分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得112(1)21nn n a =+-=-， ∴{a n }的通项公式为121n a n =-． ……………………………………8分 ∴c n =a n a n +1=1111()22121(21)(21)n n n n =--+-+，……………………………9分 ∴S n =c 1+c 2+c 3+∙∙∙+c n 11111111[(1)()()()]5572332121n n =-+-+-+⋅⋅⋅+--+………10分 =11(1).22121n n n -=++ ………………………………………………………12分 18．(Ⅰ)证明：依题意，AD ⊥BC ，由翻折的不变性得，AD ⊥DE ，AD ⊥DS ，…………………………………2分 又DS ∩DE =D ，DE 、DS 平面SDE ，………………………………………3分 ∴ AD ⊥平面SDE ， …………………………………………………………4分 ∵AD 平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面SDE ；.…………………………………………………5分 (Ⅱ)解法一：由已知得几何体ADSEF 是四棱锥S −ADEF ，EF 为△ADC 的中位线，∴EF ∥AD 且EF =12AD =3．.……………………6分由题设得四边形ADEF 为直角梯形，AD =6，DE =3，∴S ADEF =12(AD +EF )∙DE =12(6+3272． .……………………………7分在平面SDE 内，作SO ⊥DE ，O 为垂足，由(Ⅰ)知平面ADEF ⊥平面SDE ， 平面ADEF ∩平面SDE =DE ，SO 平面SDE ，∴SO ⊥平面ADEF ，即SO 是四棱锥S −ADEF 的高．.………………………8分在△SDE 中，设G 是SD 的中点，连接GE ，依题设知ES =DE =3，DS =4，故EG ⊥DS ， ∴EG= …………………………………………10分S AFED 第18题图(2) OG利用等面积得SO=DS GE DE ⋅== ………………………………11分∴四棱锥S −ADEF的体积为2711332S ADEF ADEF V S SO -=⋅=⨯=．………………12分解法二：由已知得几何体ADSEF 是四棱锥S −ADEF ，EF 为△ADC 的中位线，∴EF ∥AD 且EF =12AD =3．.…………………6分由题设得四边形ADEF 为直角梯形，AD =6，DE =3，∴S ADEF =12(AD +EF )∙DE =12(6+3272． .…………………………7分在平面SDE 内，作SO ⊥DE ，O 为垂足，由(Ⅰ)知AD ⊥平面SDE ，SO 平面SDE ，∴SO ⊥AD ，又AD ∩DE =D ，AD 、DE 平面ADEF ，∴SO ⊥平面ADEF ，即SO 是四棱锥S −ADEF 的高．.………………………8分 在△SDE 中，依题设知ES =DE =3，DS =4，由余弦定理得: 2221cos 29DE ES DS DES DE ES +-∠==⋅，又∠DES ∈(0, ) ∴sin ∠DES，故11sin 3322DES S DE ES DES ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=10分利用等面积得12DES S DE SO ∆=⋅=∴SO =，………………………………………11分 ∴四棱锥S −ADEF的体积为2711332S ADEF ADEF V S SO -=⋅=⨯=．…………………12分19．解：(Ⅰ)根据题意绘制茎叶图如下：(Ⅱ)样本数据的中位数为：788179.52+=．……............…......…3分 平均数为7801(96+81+82+84+86+73+76+78+65+59)781010=⨯==x ， ∴方差为2222222222210081[18+3+4+6+8+(5)+(2)+0+(13)+(19)=100.8101]0==⨯----s ．…6分 (Ⅲ)成绩在平均分以上(含平均分)的作品有：78，81，82，84，86，96共6件；……………7分 从成绩在平均分以上(含平均分)的作品中随机抽取两件作品的基本事件有：(78, 81），(78, 82），59 657368 81246 96……............…......…....…..... .....….... .....….....……2分S AFE D第18题图(2)O(78, 84)，(78, 86)，(78, 96)，(81, 82)，(81, 84)，(81, 86)，(81, 96)，(82, 84)，(82, 86)，(82, 96)，(84, 86)，(84, 96)，(86, 96)共有15个；………............…......……9分设事件A 为成绩为82分的作品被抽取到，则事件A 包含的基本事件有：(78, 82)，(81, 82)，(82, 84)，(82, 86)，(82, 96)共5个； …………………............…......…10分 ∴51().153P A == ……………………………………………11分 因此，成绩为82分的作品被抽取到的概率为13．…………………12分20．解：(Ⅰ)依题意得F (0,2p ), 设P (x 0, y 0)，由PF 的中点坐标为5(2,)2，得 0+x 0=2×2且2p +y 0=2×52，∴x 0=4，y 0=5−2p ． ….………………….…….……………2分 ∵P (x 0, y 0)在抛物线x 2=2py 上，∴16=2p (5−2p )， 即p 2−10p +16=0，解得p =2或p =8(舍去)． …………… .………… .……………… . ………4分∴抛物线C 的方程为x 2=4y ； …………………… .………………… .… . ………5分 (Ⅱ)(法一)依题意直线l 的斜率存在，设直线l ：y =kx +2，M (x 1, y 1), N (x 2, y 2)，则Q (−x 1, y 1)，…. 6分联立{24,2x y y kx ==+，消去y 得x 2−4kx −8=0，显然△＞0，由韦达定理得{12124,8.x x k x x +==- …….……7分 ∵222121212121444QN x x y y x x k x x x x ---===++，……… .……………… . …… .…………… .…………8分 ∴直线QN 方程为2111()4x x y y x x --=+，… .……………… . …… .…………… .…………9分 即212121*********()(),444444x x x x x x x x x x x x y y x x x x ----=++=++=+ …………………10分 ∵x 1∙x 2 = −8, ∴QN 方程为2124x x y x -=-, ………………… . ……………… .….…………11分 即直线QN 方程恒过定点(0, −2)． ………………… . ……………… .….…………12分 (法二)依题意知直线QN 的斜率存在且不为0，设直线QN 方程为y=kx+b ，Q (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)， 则M (−x 1, y 1) ……………… . ……………. ……………….…………6分联立{24,x y y kx b ==+，消去y 得x 2−4kx −4b =0．∵Q ，N 是抛物线C 上不同两点，∴必有△＞0,由韦达定理得{12124,4.x x k x x b +==-…… .…… . ……7分∵M , A , N 三点共线, 1122(,2),(,2)AM x y AN x y =--=-，∴−x 1(y 2 −2) − x 2(y 1 − 2)=0．………8分∴1221(2)(2)0x kx b x kx b -+--+-=，∴12122(2)()0kx x b x x +-+=，即2(4)(2)40k b b k ⋅-+-⋅=化简得：20kb k +=,…………9分∵k ≠0，∴b = −2． ……………… .…………………………………… .…………… .…………10分 ∴直线QN 方程为y =kx −2, ……………… . ……………… . … .…………….……………11分∴直线QN 恒过定点(0,−2)． ……………… . …………………… .………… .….……………12分21．解：(Ⅰ)122e e e 1()()e e e x x x x a a x xf x a x x x ---''==⋅= …… . ……………… .….…… .…………1分 由切线斜率k =2e 21(2)e 22f a ＝-'=⋅，解得a =2．. ……………………… .….……… .………2分 ∴12e ()x f x x -=，其定义域为(−,0)∪(0,+)，121()2e x x f x x --'=.…… .…….….…… .……3分 令()f x '>0，解得x ＞1，故f (x )在区间(1,+)上单调递增；.………….….…….….…… .……4分 令()f x '<0，解得x ＜1，且x ≠0，故f (x )在区间(−,0)和区间(0,1]上单调递减；..…… .……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知g (x )= e x ln x 12e x x -+，定义域为(0,+)．从而g (x )＞1等价于2ln ee x x x x >-， …….….…….….…… .……….……… .….…… .…6分 设h (x )=x ln x (x ＞0)，则()ln 1h x x '=+，11()ln 10e e h '=+=.∴当x ∈(0, 1e )时，()h x '＜0，当x ∈(1e ,+)时，()h x '＞0. …….……… .…….…… .…7分故h (x )在区间(0, 1e )上单调递减，在区间(1e ,+)上单调递增，.……… .…….………….….…8分从而h (x )在(0,+)的最小值为h (1e )=1e -. ... (9)分设m (x )=2e e x x -(x ＞0)，则1()e xx m x -'=， ∴当x ∈(0, 1)时，()m x '＞0，当x ∈(1,+)时，()m x '＜0. ……….…. ….…….….…….…….…10分故m (x )在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1,+)上单调递减，从而m (x )在(0,+)的最大值为m (1)=1e -，综上所述，在区间(0,+)上恒有h (x )＞m (x )成立，即g (x )＞1． (12)分22．解：(Ⅰ)设点Q 的坐标为(x , y )，∵Q 为线段OP 的中点，∴点P 的坐标为(2x , 2y )．.……….…1分由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化简得点Q 的轨迹的直角坐标方程为22153y x += ①.……2分 将x =cos ，y =sin ，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q 的轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．..….…….…….………….……..……5分(Ⅱ)(法一)把直线l 参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)代入①得22344153t t +=，化简得：2103t =…7分∴12t t ==………………. ….………. ….………. ….…………….……..…….……8分 设M 、N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由直线参数方程t 的几何意义得弦长12||||MN t t =-=．…….…….……..……….…………….…….……….………..……10分 (法二)由直线l 参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为3π，.…….……6分 ∴直线l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈)．.…….…….……….…….…….……..…….……..……7分 由22,3(32sin )15,πθρθ⎧⎪=⎨+=⎪⎩解得：1,3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩和2,3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩…….…….….….…….……..……9分∴弦长12||||MN ρρ=-=．.…….…….….……….….……..…….………….….……..……10分 (法三)由直线l 参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)知，直线l的普通方程为y =，.…….……6分联立2153y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，解得11x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩和22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ …….…….……….……….…….……8分弦长||MN 10分 23．解：由已知 f (x )=|2x+1|−|x −a |=11,,2131,,21,,x a x x a x a x a x a ⎧----⎪⎪+--≤≤⎨⎪++⎪⎩＜＞(a ＞0) ……………………………1分(Ⅰ)当a =1时，f (x )=12,,213,1,22,1,x x x x x x ⎧---⎪⎪-≤≤⎨⎪+⎪⎩＜＞ 由f (x )≥1，得1,221,x x ⎧⎪-⎨--≥⎪⎩＜或11,231,x x ⎧⎪-≤≤⎨≥⎪⎩或{1,21,x x +≥＞即x ≤−3或13≤x ≤1或x ＞1.………………………3分 ∴x ≤−3或x ≥13，即不等式f (x )≥1的解集{ x | x ≤−3或x ≥13} ………………………5分(Ⅱ)函数f (x )的解析式知当x ＜12-时，f (x )单调递减，当12-≤x ≤a 时，f (x )单调递增，当x ＞a 时， f (x )单调递增.∴当x =12-时，f (x )取得最小值f (x )min = f (12-)=12-−a ． …………………………………8分由12-−a ＞−2，解得a ＜＞0， ∴实数a 的取值范围是(0,．.……………………………………………………………10分。
2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)及解析
广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）=S△PAC=．…∵E是PC的中点，∴S△EAC（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）=．…（10分）在Rt△ABC中，S△ABC∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．=S△AOC+S△BOC∴△OAB的面积为S△OAB====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)含答案
2019年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{x|0≤x≤2}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知i是虚数单位，若（1+i）（a+i）为实数，则实数a的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．03．（5分）广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的，考试分为四个成绩等级；24分及以下不给等级，25～49分为D，50﹣69分为C，70﹣84分为B，85﹣100分为A．培恩中学高二学生参加2018年6月份学业水平测试的成绩全部在D级（含D级）以上，该校共有500名学生参加了考试，学生成绩等级统计如图所示，该校学业水平测试成绩评价等级为A的学生人数是（）A．205B．185C．85D．254．（5分）已知椭圆2（a＞b＞0）与双曲线1的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．a∥b，b∥α，则a∥αB．a?α，b?β，α∥β，则a∥bC．a∥b，a⊥α，则b⊥αD．当a?α，且b?α时，若b∥α，则a∥b6．（5分）在?ABCD中，E为AC上一点，且3，记，，则（）A．B．C．D．7．（5分）将函数g （x ）＝cos （x）的图象向左平移个单位长度，得到y ＝f （x ）的图象，则下列说法错误的是（）A ．f （x ）的一个周期为2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x对称C ．f （x+π）的一个零点为xD ．f （x ）在（，π）单调递减8．（5分）函数y ＝log a （x+4）+2（a ＞0且a ≠1）的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin2α＝（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）用一段长为8cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（）A ．9cm2B ．16cm2C ．4cm2D ．5cm 210．（5分）函数f （x ）＝sin2x+sin x 在[﹣π，π]，的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，D 1B 与DC 所成的角是60°，则长方体的外接球表面积是（）A ．16πB ．8πC ．4πD ．4 π12．（5分）已知函数f （x ），，＞，g （x ）＝f （x ）﹣ax ，若函数y ＝g （x ）有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，0）∪（0，e ）B ．（﹣∞，0）∪（0，）C ．（，+∞）D ．（﹣∞，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）已知函数f（x）是奇函数，则实数a的值为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是米（结果保留根号）16．（5分）已知点O（0，0），A（﹣2，2），点M是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2上的动点，则△OAM面积的最大值为．三、解答题：（本大題共5小题，共70分其中17至21题为必考题，22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考部分：共60分17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）证明数列{}为等差数列；（Ⅲ）设c n＝a n a n+1，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）如图（1）所示，AD是△ABC的边BC上的高，E，F分别是DC，AC的中点，AD＝DC＝6，BD＝4，分别将△ABD和△CEF沿着线段AD和EF折起，使得B，C两点重合为点S，得到几何体ADSEF，如图（2）所示．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面SDE；（Ⅱ）求几何体ADSEF的体积．19．（12分）2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到100件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取10件作品进行试评．若这10件作品的成绩如下：65，82，78，86，96，81，73，84，76，59．（Ⅰ）请绘制以上数据的茎叶图；（Ⅱ）求该样本的中位数和方差；（Ⅲ）在该样本中，从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品，求成绩为82分的作品被抽到的概率．20．（12分）设抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜8）的焦点为F ，点P 是C 上一点，且PF 的中点坐标为（2，）（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）动直线l 过点A （0，2），且与抛物线C 交于M ，N 两点，点Q 与点M 关于y 轴对称（点Q 与点N 不重合），求证：直线QN 恒过定点．21．（12分）已知函数f （x ）（a ∈R ）在x ＝2处的切线斜率为号．（Ⅰ）求实数a 的值，并讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若g （x ）＝e xlnx +f （x ），证明：g （x ）＞1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy ，已知椭圆的方程为：1，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q ．（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 的参数方程为，（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长|MN |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＞﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2019年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{x|0≤x≤2}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，A包含的整数有1，2，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，若（1+i）（a+i）为实数，则实数a的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：∵（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i是实数，∴a+1＝0，即a＝﹣1．故选：C．3．（5分）广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的，考试分为四个成绩等级；24分及以下不给等级，25～49分为D，50﹣69分为C，70﹣84分为B，85﹣100分为A．培恩中学高二学生参加2018年6月份学业水平测试的成绩全部在D级（含D级）以上，该校共有500名学生参加了考试，学生成绩等级统计如图所示，该校学业水平测试成绩评价等级为A的学生人数是（）A．205B．185C．85D．25【解答】解：由扇形统计图得：评价等级为A的人数是：500×41%＝205人．故选：A．4．（5分）已知椭圆2（a＞b＞0）与双曲线1的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的焦距为2c，依题意2a2﹣2b2＝a2+b2，即a2＝3b2，又b2＝c2﹣a2，∴a2＝3（c2﹣a2），即，∴双曲线的离心率为e．故选：D．5．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．a∥b，b∥α，则a∥αB．a?α，b?β，α∥β，则a∥bC．a∥b，a⊥α，则b⊥αD．当a?α，且b?α时，若b∥α，则a∥b【解答】解：在A中，有可能a?α，也可能a?α，故A错；在B中，直线a，b可能平行，也可能异面，故B错；在C中，a∥b，a⊥α，则由线面垂直的性质定理得b⊥α，故C正确；在D中，直线a，b也可能异面，故D错．故选：C．6．（5分）在?ABCD中，E为AC上一点，且3，记，，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵，，；∴，；∴．故选：B．7．（5分）将函数g（x）＝cos（x）的图象向左平移个单位长度，得到y＝f（x）的图象，则下列说法错误的是（）A ．f （x ）的一个周期为2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x对称C ．f （x+π）的一个零点为xD ．f （x ）在（，π）单调递减【解答】解：依题设得，所以①函数的周期为T ＝2π，故：A 正确，②对于B ，当x时，函数的值为1，故：B 正确．③对于C 当x 时，函数f （π）＝cos （）＝0，故：C 正确．故选：D ．8．（5分）函数y ＝log a （x+4）+2（a ＞0且a ≠1）的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin2α＝（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对于函数y ＝log a （x+4）+2（a ＞0且a ≠1），令x+4＝1，求得x ＝﹣2，y ＝2，可得它的图象恒过A （﹣3，2），则，，则sin2α＝2sin αcos α ，故选：B ．9．（5分）用一段长为8cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（）A ．9cm2B ．16cm2C ．4cm2D ．5cm2【解答】解：设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2（x+y ）＝8，所以x+y ＝4，所以矩形菜园的面积S ＝xy，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2．故选：C．10．（5分）函数f（x）＝sin2x+sin x在[﹣π，π]，的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：显然f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D；在区间（0，）上，sin2x＞0，sinx＞0，即f（x）＞0，∴排除B和C；故选：A．11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，D1B与DC所成的角是60°，则长方体的外接球表面积是（）A．16πB．8πC．4πD．4π【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵DC∥AB，∴相交直线D1B与AB所成的角是异面直线D1B与DC所成的角．连接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1．∴在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B与DC所成的角，即∠ABD1＝60°，又AB＝2，∴AB＝BD1cos60°，所以，，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径为R，则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得4R2＝D1B2＝16，则R＝2，∴长方体外接球表面积是4πR2＝16π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x），，＞，g（x）＝f（x）﹣ax，若函数y＝g（x）有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，e）B．（﹣∞，0）∪（0，）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：g（x）有两个零点，即方程f（x）﹣ax＝0有两个不等的实根．也就是函数y＝f （x）与y＝ax有两个交点，如图，作出y＝f（x）的图象，而y＝ax是过原点的直线，①当a＞0时，求出y＝ax与y＝lnx相切时的斜率a，数形结合，当且仅当0＜a＜时，y＝ax与y＝f（x）有两个交点．②当a＜0时，y＝ax与y＝f（x）恒有两个交点．③当a＝0时，y＝ax与y＝f（x）只有一个交点．综上得a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，）．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）已知函数f（x）是奇函数，则实数a的值为0．【解答】解：f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即，则（a﹣x）2＝（a+x）2，即a2﹣2ax+x2＝a2+2ax+x2，得﹣2ax＝2ax，即4ax＝0，则4a＝0，解得a＝0．故答案为：014．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，0），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×2+0＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故答案为：4．15．（5分）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是55米（结果保留根号）【解答】解：设树根部为O，折断处为A，树梢为B，则∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB＝60°．OB＝10．由正弦定理知，，所以OA（米），（米），∴（米）．答案：．16．（5分）已知点O（0，0），A（﹣2，2），点M是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2上的动点，则△OAM面积的最大值为6．【解答】解：如图，由题设，得圆心C（3，1），半径r，，直线OA的方程为x+y＝0，则△OAM边OA上的高h就是点M到直线OA的距离，圆心C（3，1）到直线OA的距离为，可得圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2上的点M到直线OA的距离的最大值为h max＝d+r＝3，故△OAM面积的最大值．故答案为：6三、解答题：（本大題共5小题，共70分其中17至21题为必考题，22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考部分：共60分17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）证明数列{}为等差数列；（Ⅲ）设c n＝a n a n+1，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，，得，，，即a2，a3，a4的值分别为，，；（Ⅱ）（法一）证明：由得，∴，又a1＝1，，∴数列是首项为，公差为2的等差数列．（Ⅱ）（法二）证明：由a1＝1，，得，，因此，数列是首项，公差为2的等差数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）得，∴{a n}的通项公式为，∴c n＝a n a n+1，∴S n＝C1+C2+C3+…+c n．18．（12分）如图（1）所示，AD是△ABC的边BC上的高，E，F分别是DC，AC的中点，AD＝DC＝6，BD＝4，分别将△ABD和△CEF沿着线段AD和EF折起，使得B，C两点重合为点S，得到几何体ADSEF，如图（2）所示．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面SDE；（Ⅱ）求几何体ADSEF的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意，AD⊥BC，由翻折的不变性得，AD⊥DE，AD⊥DS，…………………………………（2分）又DS∩DE＝D，DE、DS?平面SDE，………………………………………（3分）∴AD⊥平面SDE，…………………………………………………………（4分）∵AD?平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面SDE．…………………………………………………（5分）解：（Ⅱ）解法一：由已知得几何体ADSEF是四棱锥S﹣ADEF，EF为△ADC的中位线，∴EF∥AD且EF AD＝3．．……………………（6分）由题设得四边形ADEF为直角梯形，AD＝6，DE＝3，∴S ADEF（AD+EF）?DE（6+3）×3．……………………………（7分）在平面SDE内，作SO⊥DE，O为垂足，由（Ⅰ）知平面ADEF⊥平面SDE，平面ADEF∩平面SDE＝DE，SO?平面SDE，∴SO⊥平面ADEF，即SO是四棱锥S﹣ADEF的高．………………………（8分）在△SDE中，设G是SD的中点，连接GE，依题设知ES＝DE＝3，DS＝4，故EG⊥DS，∴EG．…………………………………………（10分）利用等面积得SO．………………………………（11分）∴四棱锥S﹣ADEF的体积为．………………（12分）解法二：由已知得几何体ADSEF是四棱锥S﹣ADEF，EF为△ADC的中位线，∴EF∥AD且EF AD＝3．．…………………（6分）由题设得四边形ADEF为直角梯形，AD＝6，DE＝3，∴S ADEF（AD+EF）?DE（6+3）×3．．…………………………（7分）在平面SDE内，作SO⊥DE，O为垂足，由（Ⅰ）知AD⊥平面SDE，SO?平面SDE，∴SO⊥AD，又AD∩DE＝D，AD、DE?平面ADEF，∴SO⊥平面ADEF，即SO是四棱锥S﹣ADEF的高．．………………………（8分）在△SDE中，依题设知ES＝DE＝3，DS＝4，由余弦定理得：∠，又∠DES∈（0，π）∴sin∠DES，故．……………（10分）利用等面积得，∴，………………………………………（11分）∴四棱锥S﹣ADEF的体积为．…………………（12分）19．（12分）2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到100件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取10件作品进行试评．若这10件作品的成绩如下：65，82，78，86，96，81，73，84，76，59．（Ⅰ）请绘制以上数据的茎叶图；（Ⅱ）求该样本的中位数和方差；（Ⅲ）在该样本中，从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品，求成绩为82分的作品被抽到的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据题意绘制茎叶图如下：………………………………………（2分）（Ⅱ）样本数据的中位数为：．………………（3分）平均数为，∴方差为．…（6分）（Ⅲ）成绩在平均分以上（含平均分）的作品有：78，81，82，84，86，96共6件；……………（7分）从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品的基本事件有：（78，81），（78，82），（78，84），（78，86），（78，96），（81，82），（81，84），（81，86），（81，96），（82，84），（82，86），（82，96），（84，86），（84，96），（86，96）共有15个；9分设事件A 为成绩为8（2分）的作品被抽取到，则事件A 包含的基本事件有：（78，82），（81，82），（82，84），（82，86），（82，96）共5个；……………………………（10分）∴．……………………………………………（11分）因此，成绩为82分的作品被抽取到的概率为．…………………（12分）20．（12分）设抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜8）的焦点为F ，点P 是C 上一点，且PF 的中点坐标为（2，）（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）动直线l 过点A （0，2），且与抛物线C 交于M ，N 两点，点Q 与点M 关于y 轴对称（点Q 与点N 不重合），求证：直线QN 恒过定点．【解答】解：（Ⅰ）依题意得F （0，），设P （x 0，y 0），由PF 的中点坐标为，，得0+x0＝2×2且y0＝2，∴x0＝4，y0＝5，∵P（x0，y0）在抛物线x2＝2py上，∴16＝2p（5），即p2﹣10p+16＝0，解得p＝2或p＝8（舍去），∴抛物线C的方程为x2＝4y；（Ⅱ）（法一）依题意直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（﹣x1，y1），联立消去y得x2﹣4kx﹣8＝0，显然△＞0，由韦达定理得，∵，∴直线QN方程为，即，∵x1?x2＝﹣8，∴QN方程为，即直线QN方程恒过定点（0，﹣2）．（法二）依题意知直线QN的斜率存在且不为0，设直线QN方程为y＝kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），则M（﹣x1，y1），联立消去y得x2﹣4kx﹣4b＝0．∵Q，N是抛物线C上不同两点，∴必有△＞0，由韦达定理得，∵M，A，N三点共线，，，，，∴﹣x1（y2 ﹣2）﹣x2（y1 ﹣2）＝0．∴﹣x1（kx2+b﹣2）﹣x2（kx1+b﹣2）＝0，∴2kx1x2+（b﹣2）（x1+x2）＝0，即2k?（﹣4b）+（b﹣2）?4k＝0化简得：kb+2k＝0，∵k≠0，∴b＝﹣2，∴直线QN方程为y＝kx﹣2，∴直线QN恒过定点（0，﹣2）．21．（12分）已知函数f（x）（a∈R）在x＝2处的切线斜率为号．（Ⅰ）求实数a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）＝e x lnx+f（x），证明：g（x）＞1．【解答】解：（Ⅰ）′．………………．…．……．…………（1分）由切线斜率k′，解得a＝2．………………………．…．………．………（2分）∴，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），′．…．…．……．……（3分）令f'（x）＞0，解得x＞1，故f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；…．…．……．…．……．……（4分）令f'（x）＜0，解得x＜1，且x≠0，故f（x）在区间（﹣∞，0）和区间（0，1]上单调递减；．……（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知g（x）＝e x lnx，定义域为（0，+∞）．从而g（x）＞1等价于＞，……．…．……．…．……．………．………．…．……．…（6分）设h（x）＝xlnx（x＞0），则h'（x）＝lnx+1，?′．∴当x∈（0，）时，h'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，h'（x）＞0．……．………．……．……．…（7分）故h（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，……．…………．…．…（8分）从而h（x）在（0，+∞）的最小值为h（）．………．…．…．…．…．………．……．…（9分）设m（x）（x＞0），则′，∴当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，m'（x）＜0．…．……．……．…（10分）故m（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，从而m（x）在（0，+∞）的最大值为m（1），综上所述，在区间（0，+∞）上恒有h（x）＞m（x）成立，即g（x）＞1．．…．………．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy，已知椭圆的方程为：1，动点P在椭圆上，O为原点，线段OP的中点为Q．（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的参数方程为，（t为参数），l与点Q的轨迹交于M、N两点，求弦长|MN|．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x，y），则点P的坐标为（2x，2y），由点P在椭圆上得，化解可得：①．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入①得，化简可得点Q轨迹的极坐标方程为ρ2（3+2sin2θ）＝15．（Ⅱ）（法一）把直线l参数方程（t为参数）代入①得化简得：．所以，，∴弦长；（法二）由直线l参数方程（t为参数）知，直线l过极点，倾斜角为，∴直线l的极坐标方程为∈．由解得：或．∴弦长．（法三）由直线l参数方程（t为参数）知，直线l的普通方程为，联立①解得，．弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＞﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由已知f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣a|，＜，，＞（1分）（Ⅰ）当a＝1时，f（x），＜，，＞由f（x）≥1，得＜或或＞即x≤﹣3或x≤1或x＞1．…………………………………（3分）∴x≤﹣3或x，即不等式f（x）≥1的解集{x|x≤﹣3或x} …………………………（5分）（Ⅱ）函数f（x）的解析式知当x＜时，f（x）单调递减，当x≤a时，f（x）单调递增，当x＞a时，f（x）单调递增．∴当x时，f（x）取得最小值f（x）min a…………………………………（8分）由a＞﹣2，解得a＜，又a＞0∴实数a的取值范围是（0，）．．…………………………………………………………………（10分）。
2020届广东省茂名市高三第一次综合测试数学(文)试题(解析版)
2020年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(文科)第一部分选择题(共60分)一、选择题：(本大题共12小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}2|230B x x x =--<，则A B =I ( )A. ()2,1-B. ()1,3-C. {}1,0-D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知{}1,0,1,2,3A =-，解不等式2230x x --<，得13x -<<，即{}|13B x x =-<<，再与集合A 取交集，即可.【详解】Q {}|24A x Z x =∈-<<∴{}1,0,1,2,3A =-又Q {}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<{}0,1,2A B ∴⋂=故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题. 2.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第二象限 B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】C 【解析】【详解】()()2i 12i i 11i 1i 1z i--===--=---，复数21i z i =-在复平面内对应坐标为()1,1-，所以复数21iz i =-在复平面内对应的点在第四象限，故选C.3.在集合{}1,2和{}3,4,5中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为( ) A.112B.13C.14D.16【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有可能的两位数，从中找出能被4整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】在{}1,2和{}3,4,5两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为31124=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题. 4.已知定义在R 上的奇函数()f x 是单调函数，且()f x 满足()112f -=，则( ) A. ()122f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭B. ()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭C. ()122f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 为奇函数，求得()1f 的值，由此判断出()f x 的单调性，进而得出()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 【详解】∵()112f -=由奇函数的定义得()()1112f f =--=-，∴()()11f f ->.∵()f x 是R 上的单调函数，∴()f x 在R 上单调递减，故()122f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭. D 选项无法判断. 故选:B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.5.已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最小值为( )A. 1B. 3C. 5D. 11【答案】A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线3y x =-到可行域边界点，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为()2,3A -，()4,1B -，()0,1C ，当直线3y x =-平移到点()0,1C 时，z 取到最小值为 3011z =⨯+=.故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )(精确到0.01).(参考数据sin150.2588︒≈) A. 3.14 B. 3.11C. 3.10D. 3.05【答案】B 【解析】 【分析】圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径1r =，顶角为3601524=oo ，根据圆面积2S r π=，利用三角形面积公式in 12s S ab C =，计算正二十四边形的面积2124sin152S r ⨯'=⨯⨯o ，求解即可. 【详解】由题意可知，单位圆面积2S r ππ==，正二十四边形的面积21241sin152S =⨯⨯⨯'o.则22124sin152r r π⨯⨯⨯=o .即12sin15120.2588 3.1056 3.11π=≈⨯=≈o . 故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式，属于较易题. 7.已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=( )A. 35-B. 45-C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式，求得tan α的值，然后利用“1”的代换的方法，将sin 2α转化为只含tan α的形式，由此求得sin 2α的值. 【详解】∵1tan 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tantan 14432111tan tan 344ππαππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭===⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 22222sin cos 2tan 224sin 2sin cos tan 1215ααααααα⨯====+++. 故选:D.【点睛】本小题主要考查两角差正切公式，考查齐次方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8.ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =u u u u r u u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r( )A. 3B. 6C. 8D. 12【解析】 【分析】利用,AB AC u u u r u u u r 为基底表示出,AM BC u u u u r u u u r ，利用向量数量积的运算求得AM BC ⋅u u u u r u u u r. 【详解】依题意ABC ∆是等边三角形，C 为BM 的 中点，2AB AC ==，选取AB u u u r ，AC u u u r为基向量，则2AM AC CM AC BC AC AB =+=+=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r()()2AM BC AC AB AC AB ⋅=-⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AC AB AC AB =+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r2223cos 60AC AB AC AB =+-⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r124432262=⨯+-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2B.43C.23D.13【答案】C 【解析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】如图所示，由三视图可知，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PA ⊥平面ABC 底面ABC ∆为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为11122123323P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选:C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.10.已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x ya b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.3 C.5 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF ，则21//2OM PF ，即222PF OM b ==，根据双曲线的定义可知，122PF a b =+，在12Rt FF P ∆中，2221212||||PF PF F F =+，即2b a =，根据221c be a a==+求解，即可.【详解】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF .Q 线段1PF 的中点M 坐标为()0,b∴点P 在双曲线C 的右支上.如图所示：Q 原点O 为线段12F F 的中点∴21//2OM PF ，即212PF F F ⊥，222PF OM b ==. 由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，即122PF a b =+，12||2F F c = 在12Rt F F P ∆中，2221212||||PF PF F F =+， 即()()()2222222a b b c +=+，整理得2b a =.2221125c b e a a==+=+=故选：C【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于中档题. 11.下列函数图象中，函数()()||x f x x eZ αα=∈的图象不可能的是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】当2α=时，验证A 正确. 当2α=-时，验证B 正确. 当1α=时，验证D 正确.【详解】当2α=时，()2xf x x e =，定义域为R 关于原点对称.()()()22xxf x x ex e f x --=-==，则()f x 为偶函数.当0x >时，()2xf x x e =.则()()()()22222(2)0xx x x x x f x x e x e e x xe x e xe x '''==+=+=+>'即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减. 此时函数()f x 的图象可能为A 选项.当2α=-时，()2xef x x=，定义为{|x x R ∈且}0x ≠关于原点对称.()()()22xxeef x f x xx --===-，则()f x 为偶函数. 当0x >时，()2xe f x x=.则()()()()222224322(2)x xxx x x e x x e e x e xe e x f x x x x x '''-⎛⎫--==== ⎪⎝⎭' 当02x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减 当2x ≥时()0f x '≥，即则函数()f x 在[)2,+∞上单调递增. 根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为B 选项. 当1α=时，()xf x xe =，定义为R 关于原点对称.()()()xxf x x exe f x --=-=-=-，则()f x 为奇函数.当0x >时，()xf x xe =. 则()()()()(1)0xx x x x x f x xe x e e x e xe e x '''==+=+=+>'令()()1xg x e x =+，则()()()()()()111(2)0x xxxg x e x e x e x e x '''⎡⎤=+=+++=+'>⎣⎦即()0f x '>并且在()0,∞+上单调递增，并且()f x 在()0,∞+上单调递增.根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为D 选项. 故选：C【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.12.已知函数()21,1ln ,1ax ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是( )A. (),0-∞B. (),e +∞C. ()4,+∞D. ()24,e【答案】C 【解析】 【分析】由题意易知，0a ≤时不满足题意.当0a >且1x ≤时()21f x ax ax =-+，为开口向上，对称轴为12x =的二次函数，最多两个零点，当0a >且1x >时()ln f x x a x =-，()1a x a f x x x'-=-=，当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，最多两个零点，若使得函数()f x 有四个零点，则需()11020a f f a ⎧>⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩，求解即可.【详解】当0a =时，()1,1,1x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，函数()f x 无零点，舍去.当0a <且1x ≤时，()21f x ax ax =-+为开口向下，对称轴为12x =的二次函数， 211111102224f a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1110f a a =-+=>.则1x ≤时，函数()f x 与x 轴只有一个交点. 当0a <且1x >时，()ln f x x a x =-.()()()ln 10a x af x x a x x x''-=-=-=>' 函数()f x 在()1,+∞上单调递增，()()11f x f >=.则1x >时，函数()f x 与x 轴无交点.则当0a <时，函数()f x 有一个零点.与题意不符，舍去. 当0a >且1x ≤时()21f x ax ax =-+.为开口向上，对称轴为12x =的二次函数. 21111112224f a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1110f a a =-+=>.函数()f x 在(],1-∞最多有两个零点 当0a >且1x >时()ln f x x a x =-.()()()ln 1a x af x x a x x x''=-='-=-. 当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，()ln f a a a a =- 函数()f x 在()1,+∞最多有两个零点若使得函数()f x 有四个零点，则需()11020a f f a ⎧>⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩.即11104ln 0a a a a a >⎧⎪⎪-+<⎨⎪-<⎪⎩，解得4a >. 故选：C【点睛】本题考查根据函数零点个数，求参数的取值范围.属于较难的题.第二部分非选择题(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13.已知圆C 的圆心坐标是()0,m ，若直线10x y -+=与圆C 相切于点()2,1A --，则m =______. 【答案】－3 【解析】 【分析】利用直线CA 与直线10x y -+=垂直得到1AC l k k ⋅=-，由此列方程求得m 的值.或利用圆心到切线的距离等于半径，结合两点间的距离公式列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意直线CA 与直线10x y -+=垂直，所以1AC l k k ⋅=-，即1112m +⨯=-，故3m =-.=3m =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查方程的思想，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足0n a >，且lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，若34674a a a a =，则5a =______.【解析】 【分析】根据等差中项的性质列方程，由此判断出{}n a 为等比数列，由等比数列的性质化简34674a a a a =求得5a 的值.【详解】∵lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，∴212n n n a a a ++=，即{}n a 为等比数列，∴237465a a a a a ==，从而4346754a a a a a ==则5a =0n a >，∴5a =【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查对数运算，考查等比数列的性质，属于基础题.15.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为F ，直线l ：y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为：______.1 【解析】 【分析】画出图像，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆对称轴以及AF BF ⊥，判断出四边形1AF BF 为矩形，利用直线y =的倾斜角，结合椭圆的定义列方程，化简后求得离心率.【详解】如图所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性 及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||||OA OF OF c ===.由直线3y x =得60AOF ∠=︒，∴||AF c =，且130AF F ∠=︒，13AF c =. 椭圆的定义可得，1||32AF AF c c a +=+=，∴3131c e a ===-+. 故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的对称性，考查直线的倾斜角，考查椭圆离心率的计算，属于基础题.16.已知ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，23b =()2cos cos a c B b C -=，则ABC ∆面积的最大值为______. 【答案】33【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得cos B 的值，由此求得B 的大小，利用余弦定理和基本不等式求得ac 的最大值，由此求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由()2cos cos a c B b C -=得2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()2sin cos sin A B B C =+，又∵()A B C π=-+，∴2sin cos sin A B A =，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，又()0,B π∈，∴3B π=.∵23b =222cos 2a c b B ac +-=得2222211222a c b ac a c ac+-=⇒+=+，由基本不等式式得，22122ac a c ac +=+≥，即12ac ≤，又因为三角形的面积为11sin 1222ac B ≤⨯=a c =时，取等号， 故ABC ∆面积的最大值为故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：(本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必考题，22、23题为选考题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (一)必考部分：共60分17.某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(1)在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?(参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-)(参考数据：511319i ii x y==∑，521598i i x ==∑)【答案】(1)5ˆ32yx =-(2)得到的线性回归方程是不可靠的 【解析】【分析】(1)利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.(2)用(1)求得的回归直线方程，预测当10,8x=时，估计数据与实验数据的误差，由此判断出得到的线性回归方程不可靠.【详解】(1)由数据得111312123x++==，253026273y++==.∴3972x y⋅=，23432x=.∵511319i iix y==∑，∴3113191023814977i iix y==-⨯-⨯=∑，由521598iix==∑，同理得321434iix==∑.∴31322139779725ˆ43443223i iiiix y x ybx x==-⋅-===--∑∑，5ˆˆ271232a y bx=-=-⨯=-.所以y关于x的线性回归方程为5ˆ32y x=-.(2)当10x=时，ˆ22y=，|2223|2-<，当8x=时，ˆ17y=，|1714|2->.所以得到的线性回归方程是不可靠的.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行检测，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC AC=，22AB DC==，13AA=.(1)求证：平面1A DC⊥平面11ABB A；(2)求点A到平面1A DC的距离.【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】(1)通过证明1,CD AA CD AB ⊥⊥证得CD ⊥平面11ABB A ，由此证得平面1A DC ⊥平面11ABB A . (2)解法一：利用等体积法计算出点A 到平面1A DC 的距离；解法二：在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，证得AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，利用等面积法求得点A 到平面1A DC 的距离. 【详解】(1)证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥， ∵BC AC =，D 是的AB 的中点，∴CD AB ⊥， 又1AA AB A =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵CD ⊂平面1A DC ，∴平面1A DC ⊥平面11ABB A ；(2)解法一∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA 是三棱锥1A ADC -的高， 且1AA AD ⊥，由(1)及已知得ADC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，111122ADC S ∆=⨯⨯=，∴11111332A ADC ADC V S AA -∆=⨯=⨯=，又1AA 12A D ==，由(1)得CD ⊥平面11ABB A ，1A D ⊂平面11ABB A ，∴1CD A D ⊥， ∴111121122A DC S A D CD ∆=⨯=⨯⨯=，设点A 到平面1A DC 的距离为h ，由11A A DC A ADC V V --=，得11S 36A DC h ∆⨯=，∴h =A 到平面1A DC解法二：由(1)平面1A DC ⊥平面11ABB A ，平面1A DC I 平面111ABB A A D =，在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，则AE ⊥平面1A DC ，故AE 就是点A 到平面1A DC 的距离， ∵1AA ⊥平面ABC ，∴在1Rt A AD ∆中，22112A D A A AD =+=.利用等面积得1131322A A AD AE A D ⋅===，因此，点A 到平面1A DC 3【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知数列{}n a 满足，()()*32111N 232n a a a a n n n n +++⋅⋅⋅+=+∈. (1)求1a ，2a 的值(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*N n ∀∈，314n S ≤<. 【答案】(1)11a =,24a =(2)()2*N n a n n =∈(3)证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题目所给已知条件，依次求得12,a a 的值. (2)利用“退1作差法”求得数列{}n a 的通项公式.(3)利用裂项求和法求得数列{}n b 的前n 项和为n S ，根据n S 的单调性证得314n S ≤<. 【详解】(1)由()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+()*N n ∈ 当1n =时，()111112a =+=，即11a =.当2n =时，()211221322a +=⨯⨯+=，解得24a =. (2)∵()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+①，∴当2n ≥时，()3121112312n a a a a n n n -+++⋅⋅⋅+=--②①－②()()111122n a n n n n n n =+--=，∴2n a n =，由(1)11a =，即上式当1n =时也成立. 因此，{}n a 的通项公式为()2*N n a n n =∈；(3)由(2)得()()2222121211111n n n n n b a a n n n n +++===-++， ∴()123222222211111111223341n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()2111n =-+∵()2111n S n =-+单调递增，∴当1n =时n S 取最小值134S =， ∵*N n ∀∈，()2101n >+，∴()21111n -<+，即1n S <.因此，314n S ≤<. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.20.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且满足0||1PF y =+.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线C 上的任意一点M 作抛物线C 的切线，交抛物线C 的准线于点N .在y 轴上是否存在一个定点H ，使以MN 为直径的圆恒过H .若存在，求出H 的坐标，若不存在，则说明理由. 【答案】(1)24x y =(2)存在一个定点()0,1H ，使以MN 为直径的圆恒过H【解析】 【分析】(1)利用抛物线的定义，结合0||1PF y =+，求得p ，由此求得抛物线C 的方程.(2)首先假设存在一个H ，使以MN 为直径的圆恒过H .设出切线MN 的方程，利用导数建立切线斜率的等量关系式，结合HM HN ⊥0HM HN ⋅=⇒u u u u r u u u r，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得H 点的坐标，由此证得存在H 点符合题意. 【详解】(1)由抛物线定义知0||2pPF y =+，又0||1PF y =+， ∴0012py y +=+，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.(2)存在一个H ，使以MN 为直径的圆恒过H . 由(1)得抛物线C 为214y x =，准线方程为1y =-. 依题意切线MN 斜率一定存在且不为0，设切线MN 方程为y kx b =+. 设定点为()0,H t ，()()111,0M x y x ≠，(),1N a -，∵12y x '=，∴切线斜率112k x =，又211111114MN x y k x a x a ++==--， ∵MN k k =，∴211111142x x x a+=-，解得1122x a x =-. 以MN 为直径的圆恒过定点H 等价于HM HN ⊥.∴()211111,,4HM x y t x x t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r ，112,12x HN t x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r .∴()2111121124x HM HN x x t t x ⎛⎫⎛⎫⋅=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()22111204t x t t =-++-=恒成立.∴10t -=且220t t +-=，解得1t =，存在一个定点()0,1H ，使以MN 为直径的圆恒过H .【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的切线、圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查利用导数求解抛物线切线有关问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21.设函数()ln xg x x ae =+，()xh x axe =，10ea <<，(1)求()g x 在1x =处的切线的一般式方程； (2)请判断()g x 与()h x 的图像有几个交点?(3)设0x 为函数()()g x h x -的极值点，1x 为()g x 与()h x 的图像一个交点的横坐标，且10x x >，证明：0132x x ->.【答案】(1)()110ae x y +--=(2)()g x 与()h x 的图像有2交点(3)证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.(2)构造函数()()()f x g x h x =-，利用导数研究()f x 的单调区间和零点，由此判断()g x 与()h x 的图像的交点个数.(3)结合(2)以及题意得到()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，化简得到102011ln e 1x x x x x -=-，利用放缩法以及取对数运算，化简证得0132x x ->成立.【详解】(1)由()1e x g a xx '=+得切线的斜率为()11e k g a '==+，切点为()1,e a . ∴切线方程为：()()e 1e 1y a a x -=+-， ∴所求切线的一般式方程为()110ae x y +--=.(2)令()()()ln e e xxf xg xh x x a ax =-=+-由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()()211e e 1e x x xax f x a a x x x-'=+-+=. 令()21e xm x ax =-，得()()22e exxm x a x x '=-+，由10ea <<，0x >得，可知()m x 在()0,∞+ 内单调递减，又()11e 0m a =->，且221111ln 1ln 1ln 0m a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()0m x =在()0,∞+内有唯一解，从而()0f x '=在()0,∞+内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a <<，当()00,x x ∈时，()()()00m x m x f x x x'=>=，∴()f x 在()00,x 内单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x f x x x'=<=，∴()f x 在()0,x +∞内单调递减， 因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1x x x ϕ=-+，则当1x >时，()110x xϕ'=-<，故()x ϕ在()1,+∞内单调递减， ∴当1x >时，()()10x ϕϕ<=，即ln 1x x <-，从而1ln 111ln ln ln 1ln a f a e a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln ln ln 1ln 0a a a ϕ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭，又因为()()010f x f >=，∴()f x 在()0,x +∞内有唯一零点，又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在()0,∞+内恰有两个零点. 所以()g x 与()h x 的图像有2交点；(3)由(2)及题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1,ln 1e ,xx ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-, ∵当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()1020120111x x x x e x x --<=-, 两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->，命题得证.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究两个函数图像的交点个数，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.(二)选考部分：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.(Ⅰ)写出1C 参数方程和2C 普通方程；(Ⅱ)求AB 最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),()2251x y -+=(Ⅱ)1，2 【解析】【分析】(Ⅰ)根据椭圆的参数方程cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩，(α为参数)，直接写出1C 参数方程，再根据222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩，将2C 转化为普通方程，即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M，计算AM =计算max AM 与min AM ，求解max 1AM +与min 1AM -，即可.【详解】(Ⅰ)由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)， 又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=， ∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ，则||AM === ∵[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM =当cos 1α=时，min ||3AM =. 当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，以及二次函数的最值，属于中档题. 23.已知函数()()22f x x a a R =-∈，对R x ∀∈，()f x 满足()()2f x f x =-.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若R x ∃∈，使不等式()()2122f x f x m m -+≥+，求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1a =,(Ⅱ)21m -≤≤【解析】【分析】(Ⅰ)根据函数的对称性， 确定()f x 的图象关于直线1x =对称，求解即可.(Ⅱ)令()()()3,11231,1123,1x x g x f x f x x x x x --≥⎧⎪=-+=---≤<⎨⎪+<-⎩，则()()max 12g x g =-=，根据存在性问题，可知()2max g x m m ≥+，求解m 的取值范围即可. 【详解】(Ⅰ)∵R x ∀∈，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象关于直线1x =对称，又()|22|2||f x x a x a =-=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，∴1a =.(Ⅱ)令()()()122g x f x f x =-+，由(Ⅰ)()2|1|f x x =-， 则()3,112131,113,1x x g x x x x x x x --≥⎧⎪=--+=---≤<⎨⎪+<-⎩因此，()g x 区间[)1,-+∞上单调递减，在区间(),1-∞-上单调递增. ∴()()max 12g x g =-=.R x ∃∈使不等式()()2122f x f x m m -+≥+等价于()2maxg x m m ≥+，即220m m +-≤.解得21m -≤≤，即实数m 的取值范围是21m -≤≤.【点睛】本题考查函数的对称性，含绝对值不等式的求解，属于常规题.。
2020年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
21. 解：（1）由
得切线的斜率为 k=g'（1）=1+ae，切点为（1，ae）．
∴切线方程为：y-ae=（1+ae）（x-1）， ∴所求切线的一般式方程为（1+ae）x-y-1=0． （2）令 f（x）=g（x）-h（x）=lnx+aex-axex 由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），
且
．
，
可得 m2+m≤|x-1|-|2x+2|的最大值， 由|x-1|-|2x+2|=|x-1|-|x+1|-|x+1|≤|x-1-x-1|-|x+1| 2， 当且仅当 x=-1 时，取得等号，即最大值 2， 则 m2+m≤2，解得-2≤m≤1． 【解析】
1. 解：∵A={-1，0，1，2，3}，B={x|-3＜x＜1}，
（参考公式：
，
）
18. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，点 D 是 AB 的中点，BC=AC，
AB=2DC=2，
．
（1）求证：平面 A1DC⊥平面 ABB1A1；
（2）求点 A 到平面 A1DC 的距离．
19. 已知数列{an}满足，a1+
．
（1）求 a1，a2 的值 （2）求数列{an}的通项公式；
则 • =（ ）
A. 3
B. 6
C. 8
9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（）
D. 12
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A. 2 B. C. D.
10. 已知 F1、F2 为双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点 P 在双曲线 C
上，且线段 PF1 的中点坐标为（0，b），则双曲线 C 的离心率为（ ）
广东茂名2019年高三第一次高考重点考试数学文试题(word版)
广东茂名2019年高三第一次高考重点考试数学文试题（word 版）数学试卷〔文科〕第一部分选择题〔共50分〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、{}P =，{}|11Q x x =-≤≤，那么P Q =() A、{}B 、{}0,1C 、D 、{}02、气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，以下理解正确的选项是()。
A 、茂名市明天将有80%的地区降雨B 、茂名市明天将有80%的时间降雨C 、明天出行不带雨具确信要淋雨D 、明天出行不带雨具淋雨的可能性特别大3、计算：2(1)i i +=()A 、-2B 、2C 、2iD 、-2i4、双曲线221(0)5x y m m -=>的右焦点F(3，o)，那么此双曲线的离心率为() A 、6B、2C 、32D 、345、向量(1,2),(2,1)a x b =-=,那么a b ⊥的充要条件是〔〕A 、12x =- B 、1x =-C 、5x =D 、x =0 6、函数121()()2x f x x =-的零点个数为() A 、0B 、1C 、2D 、37、某程序框图如下图，该程序运行后，输出的x 值为31，那么a 等于()A 、0B 、1C 、2D 、38、假设某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为12，那么该几何体的俯视图能够是()9、函数1()ln()f x x x=-的图象是()10、设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=1(,2)2m =，11(,sin )n x x =。
点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗〔其中O 为坐标原点〕，那么()y f x =的最大值及最小正周期分别是()A 、1,2πB 、1,42πC 、2,πD 、2,4π第二部分非选择题〔共100分〕【二】填空题〔本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多项选择的按第14小题给分，共20分〕〔一〕必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
2019年广东省茂名市高考文科数学一模试卷及答案解析
2019年广东省茂名市高考文科数学一模试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|02}A x x =<…，{0B =，1，2}，则(A B =I ) A ．{0}B ．{|02}x x 剟C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数(1)()i a i ++是实数，则实数(a = ) A ．0B ．2-C ．1-D ．13．（5分）广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的，考试分为四个成绩等级；24分及以下不给等级，25~49分为D ，5069-分为C ，7084-分为B ，85100-分为A ．培恩中学高二学生参加2018年6月份学业水平测试的成绩全部在D 级（含D 级）以上，该校共有500名学生参加了考试，学生成绩等级统计如图所示，该校学业水平测试成绩评价等级为A 的学生人数是( )A ．205B ．185C ．85D ．254．（5分）已知椭圆22222(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=的焦点相同，则双曲线的离心率为( ) A 3B 2C 3D 235．（5分）已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A ．//a b ，//b α，则//a αB ．a α⊂，b β⊂，//αβ，则//a bC ．//a b ，a α⊥，则b α⊥D ．当a α⊂，且b α⊂/时，若//b α，则//a b6．（5分）在ABCD Y 中，E 为AC 上一点，且3AC AE =u u u r u u u r ，记AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，则(BE =u u u r)A ．2133a b -+r rB ．1233a b -rrC ．4133a b +rrD ．4133a b -+rr7．（5分）将函数()cos()6g x x π=+的图象向左平移6π个单位长度，得到()y f x =的图象，则下列说法错误的是( ) A ．()f x 的一个周期为2π B ．()y f x =的图象关于直线3x π=-对称C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(2π，)π单调递减 8．（5分）函数log (4)2(0a y x a =++>且1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin 2(α= ) A ．513-B ．1213-C ．1213D ．9139．（5分）用一段长为8cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( ) A ．29cmB ．216cmC ．24cmD ．25cm10．（5分）函数()sin 2sin f x x x =+在[π-，]π，的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1D B 与DC 所成的角是60︒，则长方体的外接球表面积是( ) A ．16πB ．8πC ．4πD ．42π12．（5分）已知函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩…，()()g x f x ax =-，若函数()y g x =有两个零点，则a的取值范围是( )A ．(-∞，0)(0⋃，)eB ．(-∞，0)(0⋃，1)eC．21(e ，)+∞ D ．1(,)e-∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置） 13．（5分）已知函数2()()xf x x a =+是奇函数，则实数a 的值为 ．14．（5分）已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，若2z x y =+的最大值为 ．15．（5分）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与地面成75︒角，折断部分与地面成45︒角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是 米（结果保留根号）16．（5分）已知点(0,0)O ，(2,2)A -，点M 是圆22(3)(1)2x y -+-=上的动点，则OAM ∆面积的最大值为 ．三、解答题：（本大題共5小题，共70分其中17至21题为必考题，22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考部分：共60分 17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，1(*)12nn na a n N a +=∈+． （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）证明数列1{}na 为等差数列；（Ⅲ）设1n n n a a +=ð，求数列{}n ð的前n 项和n S ．18．（12分）如图（1）所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的高，E ，F 分别是DC ，AC 的中点，6AD DC ==，4BD =，分别将ABD ∆和CEF ∆沿着线段AD 和EF 折起，使得B ，C 两点重合为点S ，得到几何体ADSEF ，如图（2）所示．（Ⅰ）求证：平面ADEF ⊥平面SDE ； （Ⅱ）求几何体ADSEF 的体积．19．（12分）2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到100件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取10件作品进行试评．若这10件作品的成绩如下：65，82，78，86，96，81，73，84，76，59． （Ⅰ）请绘制以上数据的茎叶图； （Ⅱ）求该样本的中位数和方差；（Ⅲ）在该样本中，从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品，求成绩为82分的作品被抽到的概率．20．（12分）设抛物线2:2(08)C x py p =<<的焦点为F ，点P 是C 上一点，且PF 的中点坐标为5(2,)2（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）动直线l 过点(0,2)A ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，点Q 与点M 关于y 轴对称（点Q 与点N 不重合），求证：直线QN 恒过定点． 21．（12分）已知函数1()()x ae f x a R x -=∈在2x =处的切线斜率为号2e ．（Ⅰ）求实数a 的值，并讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若()()x g x e lnx f x =+，证明：()1g x >． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy ，已知椭圆的方程为：2212012x y +=，动点P 在椭圆上，O为原点，线段OP 的中点为Q ．（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长||MN ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21|||(0)f x x x a a =+-->． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x …的解集；（Ⅱ）若不等式()2f x >-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．2019年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）【解答】解：Q 集合{|02}A x x =<…，A 包含的整数有1，2， {0B =，1，2}， {1A B ∴=I ，2}．故选：C ．【解答】解：(1)()(1)(1)i a i a a i ++=-++Q 是实数， 10a ∴+=，即1a =-．故选：C ．【解答】解：由扇形统计图得：评价等级为A 的人数是：50041%205⨯=人． 故选：A ．【解答】解：设双曲线的焦距为2c ，依题意222222a b a b -=+， 即223a b =，又222b c a =-，2223()a c a ∴=-，即2243c a =，∴双曲线的离心率为23c e a ==．故选：D ．【解答】解：在A 中，有可能a α⊂，也可能a α⊂/，故A 错； 在B 中，直线a ，b 可能平行，也可能异面，故B 错；在C 中，//a b ，a α⊥，则由线面垂直的性质定理得b α⊥，故C 正确； 在D 中，直线a ，b 也可能异面，故D 错． 故选：C ． 【解答】解：如图，Q 3,,AC AE AD a AB b ===u u u r u u u r u u u r u u u r rr ；∴1,3AE AC AC a b ==+u u u ru u ur u u u r r r ； ∴112()333BE AE AB a b b a b =-=+-=-u u u r u u u r u u u r r r r r r ．故选：B ．【解答】解：依题设得()cos()3f x x π=+，所以①函数的周期为2T π=， 故：A 正确， ②对于B ， 当3x π=-时，函数的值为1，故：B 正确． ③对于C 当6x π=时，函数()cos()062f ππππ+=+=， 故：C 正确． 故选：D ．【解答】解：对于函数log (4)2(0a y x a =++>且1)a ≠，令41x +=，求得2x =-，2y =，可得它的图象恒过(3,2)A -， 则sin cosαα=则12sin 22sin cos 13ααα==-， 故选：B ．【解答】解：设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则0x >，0y >，由题意可得2()8x y +=，所以4x y +=，所以矩形菜园的面积22()4444x y S xy +===…，当且仅当2x y ==时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为2cm 时，面积最大，为24cm ． 故选：C ．【解答】解：显然()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；在区间(0,)2π上，sin 20x >，sin 0x >，即()0f x >，∴排除B 和C ； 故选：A ．【解答】解：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，//DC AB Q ，∴相交直线1D B 与AB 所成的角是异面直线1D B 与DC 所成的角．连接1AD ，由AB ⊥平面11ADD A ，得1AB AD ⊥．∴在1Rt ABD ∆中，1ABD ∠就是1D B 与DC 所成的角，即160ABD ∠=︒，又2AB =，1cos60AB BD ∴=︒，所以，14cos60ABBD ==︒，设长方体1111ABCD A B C D -外接球半径为R ，则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得221416R D B ==，则2R =，∴长方体外接球表面积是2416R ππ=．故选：A ．【解答】解：()g x 有两个零点，即方程()0f x ax -=有两个不等的实根．也就是函数()y f x = 与y ax =有两个交点，如图，作出()y f x =的图象，而y ax =是过原点的直线， ①当0a >时，求出y ax =与y lnx =相切时的斜率1a e=，数形结合，当且仅当10a e<<时，y ax =与()y f x =有两个交点． ②当0a <时，y ax =与()y f x =恒有两个交点． ③当0a =时，y ax =与()y f x =只有一个交点． 综上得a 的取值范围是(-∞，0)(0⋃，1)e．故选：B ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置） 【解答】解：()f x 是奇函数， 所以()()f x f x -=-， 即22()()x xx a x a -=--++， 则22()()a x a x -=+，即222222a ax x a ax x -+=++， 得22ax ax -=，即40ax =， 则40a =， 解得0a =． 故答案为：0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时，直线2y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由20x y y +=⎧⎨=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即(2,0)B ，代入目标函数2z x y =+得2204z =⨯+=． 即目标函数2z x y =+的最大值为4． 故答案为：4．【解答】解：设树根部为O ，折断处为A ，树梢为B ，则75AOB ∠=︒，45ABO ∠=︒， 所以60OAB ∠=︒．10OB =． 由正弦定理知，10sin 45sin 75sin 60AO AB ==︒︒︒， 所以106OA =（米)，15256AB +=（米)，∴5256OA AB +=+（米)．答案：5256+．【解答】解：如图，由题设，得圆心(3,1)C ，半径2r =222222OA +=， 直线OA 的方程为0x y +=，则OAM ∆边OA 上的高h 就是点M 到直线OA 的距离，圆心(3,1)C 到直线OA 的距离为222d ==22(3)(1)2x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为32max h d r =+=， 故OAM ∆面积的最大值112232622max S OA h ==⨯=g ．故答案为：6三、解答题：（本大題共5小题，共70分其中17至21题为必考题，22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考部分：共60分 【解答】解：（Ⅰ）由11a =，112n n na a a +=+，得1211112123a a a ===++，232113212513a a a ===++，343115212715a a a ===++，即2a ，3a ，4a 的值分别为111,,357；（Ⅱ）（法一）证明：由112n n n a a a +=+得112112n n n na a a a ++==+，∴1112n na a +-=，又11a =，111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列．（Ⅱ）（法二）证明：由11a =，112n n na a a +=+，得111a =，1111112n n n n na a a a a +-=-+ 1211122n n n n na a a a a +=-=+-=， 因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项111a =，公差为2的等差数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）得112(1)21nn n a =+-=-， {}n a ∴的通项公式为121n a n =-，11111()(21)(21)22121n n n a a n n n n +∴===--+-+ð，12311111111[(1)()()()]2335572121n n S C C C n n ∴=+++⋯+=-+-+-+⋯+--+ð11(1)22121nn n =-=++． 【解答】证明：（Ⅰ）依题意，AD BC ⊥，由翻折的不变性得，AD DE ⊥，AD DS ⊥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 又DS DE D =I ，DE 、DS ⊂平面SDE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）AD ∴⊥平面SDE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） AD ⊂Q 平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面SDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）解：（Ⅱ）解法一：由已知得几何体ADSEF 是四棱锥S ADEF -，EF 为ADC ∆的中位线，//EF AD ∴且132EF AD ==．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 由题设得四边形ADEF 为直角梯形，6AD =，3DE =，1127()(63)3222ADEF S AD EF DE ∴=+=+⨯=g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 在平面SDE 内，作SO DE ⊥，O 为垂足，由（Ⅰ）知平面ADEF ⊥平面SDE ， 平面ADEF ⋂平面SDE DE =，SO ⊂平面SDE ，SO ∴⊥平面ADEF ，即SO 是四棱锥S ADEF -的高．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 在SDE ∆中，设G 是SD 的中点，连接GE ，依题设知3ES DE ==，4DS =，故EG DS ⊥，EG ∴=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）利用等面积得DS GE SO DE ==g ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）∴四棱锥S ADEF -的体积为1127332S ADEF ADEF V S SO -==⨯=g ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）解法二：由已知得几何体ADSEF 是四棱锥S ADEF -，EF 为ADC ∆的中位线，//EF AD ∴且132EF AD ==．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 由题设得四边形ADEF 为直角梯形，6AD =，3DE =，1127()(63)3222ADEF S AD EF DE ∴=+=+⨯=g ．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 在平面SDE 内，作SO DE ⊥，O 为垂足，由（Ⅰ）知AD ⊥平面SDE ，SO ⊂平面SDE ，SO AD ∴⊥，又AD DE D =I ，AD 、DE ⊂平面ADEF ，SO ∴⊥平面ADEF ，即SO 是四棱锥S ADEF -的高．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 在SDE ∆中，依题设知3ES DE ==，4DS =，由余弦定理得：2221cos 29DE ES DS DES DE ES +-∠==g ，又(0,)DES π∠∈45sin DES ∴∠=，故1145sin 332522DES S DE ES DES ∆=∠=⨯⨯⨯=g g ．⋯⋯⋯⋯⋯（10分）利用等面积得1252DES S DE SO ∆==g ，∴45SO =，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）∴四棱锥S ADEF -的体积为11274565332S ADEF ADEF V S SO -==⨯⨯=g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）【解答】解：（Ⅰ）根据题意绘制茎叶图如下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）（Ⅱ）样本数据的中位数为：788179.52+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 平均数为1780(96818284867376786559)781010x =⨯+++++++++==， ∴方差为2222222222211008[183468(5)(2)0(13)(19)]100.81010s =⨯+++++-+-++-+-==．⋯（6分）（Ⅲ）成绩在平均分以上（含平均分）的作品有：78，81，82，84，86，96共6件；⋯⋯⋯⋯⋯（7分）从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品的基本事件有： (78,81)，(78,82)，(78,84)，(78,86)，(78,96)，(81,82)，(81,84)，(81,86)， (81,96)，(82,84)，(82,86)，(82,96)，(84,86)，(84,96)，(86,96)共有15个；9分设事件A 为成绩为8（2分）的作品被抽取到，则事件A 包含的基本事件有：(78,82)，(81,82)，(82,84)，(82,86)，(82,96)共5个；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）∴51()153P A ==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 因此，成绩为82分的作品被抽取到的概率为13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）【解答】解：（Ⅰ）依题意得(0,)2pF ，设0(P x ，0)y ，由PF 的中点坐标为5(2,)2，得0022x +=⨯且05222p y +=⨯，04x ∴=，052py =-， 0(P x Q ，0)y 在抛物线22x py =上，162(5)2pp ∴=-， 即210160p p -+=，解得2p =或8p =（舍去），∴抛物线C 的方程为24x y =；（Ⅱ）（法一）依题意直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则1(Q x -，1)y ，联立242x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得2480x kx --=，显然△0>，由韦达定理得121248.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，Q 222121212121444QNx x y y x x k x x x x ---===++， ∴直线QN 方程为2111()4x x y y x x --=+， 即221211*********()()444444x x x x x x x x x x x xy y x x x x ----=++=++=+，128x x =-Q g ，QN ∴方程为2124x xy x -=-，即直线QN 方程恒过定点(0,2)-．（法二）依题意知直线QN 的斜率存在且不为0， 设直线QN 方程为y kx b =+，1(Q x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则1(M x -，1)y ，联立24x y y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得2440x kx b --=．Q Q ，N 是抛物线C 上不同两点，∴必有△0>， 由韦达定理得121244.x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，M Q ，A ，N 三点共线，1122(,2),(,2)AM x y AN x y =--=-u u u u r u u u r， 1221(2)(2)0x y x y ∴----=．1221(2)(2)0x kx b x kx b ∴-+--+-=，12122(2)()0kx x b x x ∴+-+=，即2(4)(2)40k b b k -+-=g g 化简得：20kb k +=， 0k ≠Q ，2b ∴=-，∴直线QN 方程为2y kx =-， ∴直线QN 恒过定点(0,2)-．【解答】解：（Ⅰ）1221()()x x x x a e a e x e x f x ae e x e x x'---'===⋯⋯g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯．⋯⋯．⋯⋯⋯⋯（1分） 由切线斜率221(2)22ek f ae -'===g ，解得2a =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯．⋯⋯⋯．⋯⋯⋯（2分）∴12()x e f x x -=，其定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，121()2x x f x e x--'=．⋯．⋯．⋯⋯．⋯⋯（3分）令()0f x '>，解得1x >，故()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；⋯．⋯．⋯⋯．⋯．⋯⋯．⋯⋯（4分）令()0f x '<，解得1x <，且0x ≠，故()f x 在区间(,0)-∞和区间(0，1]上单调递减；．⋯⋯（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知12()x xe g x e lnx x-=+，定义域为(0,)+∞．从而()1g x >等价于2xx xlnx e e>-，⋯⋯．⋯．⋯⋯．⋯．⋯⋯．⋯⋯⋯．⋯⋯⋯．⋯．⋯⋯．⋯（6分）设()(0)h x xlnx x =>，则()1h x lnx '=+，11()10h ln e e'=+=．∴当1(0,)x e ∈时，()0h x '<，当1(x e∈，)+∞时，()0h x '>．⋯⋯．⋯⋯⋯．⋯⋯．⋯⋯．⋯（7分）故()h x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1(e，)+∞上单调递增，⋯⋯．⋯⋯⋯⋯．⋯．⋯（8分）从而()h x 在(0,)+∞的最小值为11()h e e=-．⋯⋯⋯．⋯．⋯．⋯．⋯．⋯⋯⋯．⋯⋯．⋯（9分） 设2()(0)x x m x x e e =->，则1()xx m x e -'=， ∴当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0m x '<．⋯．⋯⋯．⋯⋯．⋯（10分）故()m x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 从而()m x 在(0,)+∞的最大值为m （1）1e=-，综上所述，在区间(0,)+∞上恒有()()h x m x >成立，即()1g x >．．⋯．⋯⋯⋯．⋯（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为(,)x y ，则点P 的坐标为(2,2)x y ，由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化解可得：22153x y +=①．由cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q 轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．（Ⅱ）（法一）把直线l参数方程12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入①得22344153t t +=化简得：2103t =．所以12t t ==， ∴弦长12||||MN t t =-=；（法二）由直线l参数方程12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）知，直线l 过极点，倾斜角为3π，∴直线l 的极坐标方程为())3R πθρ=∈．由223(32sin )15πθρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：13πθρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23πθρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴弦长12||||MN ρρ=-=（法三）由直线l参数方程12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）知，直线l的普通方程为y =，联立①解得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩．弦长||MN ==． [选修4-5：不等式选讲] 【解答】解：由已知11,21()|21|||31,21,x a x f x x x a x a x a x a x a ⎧---<-⎪⎪⎪=+--=+--⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎪++>⎪⎪⎩剟（1分）（Ⅰ）当1a =时，12,21()3,122,1x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-⎨⎪+>⎪⎪⎩剟由()1f x …，得1221x x ⎧<-⎪⎨⎪--⎩…或11231x x ⎧-⎪⎨⎪⎩剟…或121x x >⎧⎨+⎩…即3x -„或113x 剟或1x >．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 3x ∴-„或13x …，即不等式()1f x …的解集{ |3x x -„或1}3x … ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ）函数()f x 的解析式知当12x <-时，()f x 单调递减，当12x a -剟时，()f x 单调递增，当x a >时，()f x 单调递增．∴当12x =-时，()f x 取得最小值1()2min f x a =-- ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）由122a -->-，解得32a <，又0a >∴实数a 的取值范围是3(0,)2．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）。
【2019届高考数学】广东省茂名市2019届高三第一次综合测试 数学(文)(扫描版)
9．【解析】设矩形模型的长和宽分别为x,y，则x＞0,y＞0，由题意可得2(x+y)=8，所以x+y=4，
所以矩形菜园的面积S=xy≤ ，当且仅当x=y=2时取等号，
所以当矩形菜园的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2．答案：C
10.【解析】显然f(x)是奇函数，图像关于原点对称，排除D；在区间(0, )上，sin2x＞0，sinx＞0，
17．解：(Ⅰ)由a1=1, 得 ， ，
，即a2,a3,a4的值分别为 ．……………………3分
(Ⅱ)(法一)证明：由 得 ，………………5分
∴ ，又a1=1, ，.………………………………6分
∴数列 是首项为 ，公差为2的等差数列．.………………………7分．
(Ⅱ)(法二)证明：由a1=1, ，得 ，
利用等面积得SO= ．………………………………11分
∴四棱锥S−ADEF的体积为 ．………………12分
与y=ax有两个交点，如图，作出y=f(x)的图象，而y=ax是过原点的直线，
①当a＞0时，求出y=ax与y=lnx相切时的斜率a= ，数形结合，
当且仅当0＜a＜ 时，y=ax与y=f(x)有两个交点.
②当a＜0时，y=ax与y=f(x)恒有两个交点.
③当a=0时，y=ax与y=f(x)只有一个交点.
即f(x)＞0，∴排除B和C；答案：A
11．【解析】如图，在长方体ABCD–A1B1C1D1中，∵DC∥AB，
∴相交直线D1B与AB所成的角是异面直线D1B与DC所成的角.
连接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1.
∴在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B与DC所成的角，即∠ABD1=60，