第十三章 工业机器人机构学
[西北工业大学国家精品课程]机械原理-PPT课件完整版 (1)
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西北工业大学【国家精品教程 国家精品教程】机械原 机械原理（课件完整版）目 录• • • • • • 第一章 第 章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 绪论 机构的结构分析 平面机构的运动分析 平面机构的力分析 机械的效率及自锁 机械的平衡目 录• 第七章 机械的运转及其速度 波动的调节 • 第八章 平面连杆机构及其设计 • 第九章 凸轮机构及其设计 • 第十章 齿轮机构及其设计目 录• 第十 第十一章 章 齿轮系及其设计 • 第十 第十二章 章 其他常用机构 • 第十三章 工业机器人机构 及其设计第 章 第一章绪论§1-1 本课程研究的对象及内容 §1-2 学习本课程的目的 §1-3 如何进行本课程的学习返回§1-1本课程研究的对象及内容1．研究对象 机械 是机构和机器的总称。
机构是指一种用来传递与变换运动 和力的可动装置 和力的可动装置。
机器是指一种执行机械运动装置， 可用来变换和传递能量、物料和信息。
可用来变换和传递能量 物料和信息 实例： 内燃机 工件自动装卸装置 六自由度工业机器人 2．研究内容 有关机械的基本理论操 作 机 示 教 板控制系统§1-2学习本课程的目的课程性质、任务及作用 机械未来发展§1-3如何进行本课程的学习掌握本课程的特点 注重理论联系实际 逐步建立工程观点 认真对待每个教学 节 认真对待每个教学环节机器和机构的概念（1）机构 机构 是指 是指一种用来传递与变换运动和力的可动装置 种用来传递与变换运动和力的可动装置。
如常 见的机构有带传动机构、链传动机构、齿轮机构、凸轮机构、螺 旋机构等等。
旋 等等 这些机构一般被认为是由刚性件组成的。
而现代机构中除了 刚性件以外，还可能有弹性件和电、磁、液、气、声、光…等元 故这类机构称为广义机构 而由刚性件组成的机构就称为狭 件 故这类机构称为广义机构；而由刚性件组成的机构就称为狭 件。
工业机器人机构及其机械原理
工业机器人机构及其机械原理一、工业机器人机构1.旋转关节：旋转关节允许连接的两个部件相对旋转。
其常见的工作方式有单自由度（DOF）和多DOF。
单DOF的旋转关节只能以一个轴向进行旋转；而多DOF旋转关节则可以在一个平面内进行多向旋转。
2.滑动关节：滑动关节允许两个部件在平行轴线上相对滑动。
与旋转关节不同，滑动关节是沿着直线路径进行移动的关节。
3.旋转-滑动关节：旋转-滑动关节结合了旋转关节和滑动关节的特点，可以实现旋转和滑动两种运动方式。
这种关节结构适用于需要在旋转和滑动两个方向上进行运动的任务。
除了关节，机器人的机构还包括其他附属装置，如力传感器、末端执行器等。
二、工业机器人机械原理1.驱动系统：驱动系统负责提供机器人关节运动所需的动力。
常见的驱动系统包括电动机和气动/液压驱动。
电动驱动广泛应用于工业机器人中，可以通过电能转换为机械能，驱动机器人的关节进行运动。
气动和液压驱动则适用于一些需要较大力矩和力量的机器人任务。
2.传动系统：传动系统负责传递动力和控制关节的运动。
常见的传动方式有齿轮传动、皮带传动、链传动等。
齿轮传动一般用于需要高精度的机器人任务，具有传动效率高、精度高等优点；皮带传动则适用于速度较高的机器人任务，具有运动平稳、噪声小等特点；链传动适用于承受大力矩的机器人任务。
3.执行系统：执行系统是机器人执行任务的最终部分，决定了机器人的实际功能。
执行系统包括末端执行器、夹持工具等。
末端执行器是机器人与工件进行接触的部分，可以根据不同的任务进行定制，如机器人手爪、机器人刷子等。
夹持工具是机器人用于抓取和固定工件的工具，可以根据工件的形状和尺寸进行设计。
机器人机构学【ch07】3T-0R并联机器人机构拓扑结构综合与分类 培训教学课件
支路结构类型与支路组合
例如，表7-1中SOC栏第二列所给出的7种类型。
支路结构类型与支路组合
混合单开链支路结构类型
根据表6-1选定4种两支路并联机器人机构，如图7-1所示。
支路结构类型与支路组合
支路组合方案 基于并联机器人机构支路数目、主动副位置，同时考虑到并联机器人机构对 称性、SOC支路与HSOC支路结构特点和运动输出特征，由表7-1所示的支 路类型可设计很多组合方案，均可获得3T-0R并联机器人机构，这里仅列出 部分组合方案。
表7-2中No.22～No.24等并联机器人机构。该类机构在装配时，应满足ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ持瞬时运动
特性不变的条件。然而，制造与装配误差总会存在，故其运动敏感性较强。
”
谢谢观看
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
图7-9所示的3T-0R并联机器人机构。根据主动副判定准则，该并联机器人机构同一平台上的3个P副可 同时为主动副。
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
基于改变支路运动副次序或方向的类型扩展：图7-10所示的两种混合单开链支路运动输出特征等效， 其区别仅在于4R平行四边形回路在支路中位置不同。
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类
3T-0R并联机器人机构拓扑结构类型及其分类 基于等效支路的完全取代扩展
① SOC{I-B(1)}，即SOC{-H//H//H//H-}。
② HSOC{I-B(1)}，即HSOC{-R(-P(4R))//R//P-}。
工业机器人技术及应用(教案)2-工业机器人的机械结构和运动控制
工业机器人技术及应用(教案)2-工业机器人的机械结构和运动控制工业机器人技术及应用(教案)--工业机器人的机械结构和运动控制一、引言工业机器人作为现代制造业中的重要设备，其广泛的应用对于提高生产效率和降低劳动强度具有重要意义。
本节课将介绍工业机器人的机械结构和运动控制原理，帮助学生们全面了解工业机器人技术的基本知识。
二、工业机器人的机械结构工业机器人的机械结构是实现其工作功能的重要组成部分。
主要包括机械臂、关节、执行器等几个主要部分。
1. 机械臂机械臂是工业机器人的核心部件，其结构类似于人的手臂，由一系列可伸缩的关节组成。
常见的机械臂结构有串联型和并联型两种。
串联型机械臂的各个关节依次连接，使得机械臂的末端能够灵活移动。
而并联型机械臂则通过某种机构将各个关节同时运动，提高了机械臂的稳定性和精确性。
2. 关节关节是机械臂上各个可运动部分的连接点，决定了机械臂在不同方向上的活动范围。
根据机械臂的需要，关节可以分为旋转关节和平移关节。
3. 执行器执行器是机械臂上用于实现夹持、切割、焊接等具体工作的部件。
常见的执行器包括机械手、夹爪、焊枪等。
执行器的选择需要根据具体工作场景和要求来确定。
三、工业机器人的运动控制工业机器人的运动控制是指通过控制系统对机器人的运动进行精确控制，使其能够按照预定的轨迹和动作完成工作任务。
主要包括轨迹规划、运动学和动力学控制等几个方面。
1. 轨迹规划轨迹规划是确定机器人末端执行器的运动轨迹，在规定时间内完成工作任务。
常用的轨迹规划方法有插补法和直接法。
插补法通过计算机控制系统对机器人的运动进行插值计算，确定关节运动的速度和加速度，使机器人能够满足工作要求。
而直接法则是通过预先编写运动轨迹的数学模型，直接控制机器人的关节运动。
2. 运动学控制运动学控制是通过控制机械臂各个关节的运动，实现机器人末端执行器的精确控制。
运动学控制主要涉及关节位置控制和轨迹跟踪控制。
通过精确计算各个关节的运动学模型和运动学方程，可以确定机械臂在工作空间中的位置和姿态。
机器人机构学-绪论
主要学术成果
科研成果及所受奖励: 2004教育部新世纪优秀人才支持项目获得者 2003入选辽宁省千百万人才工程 1995年评为机械工业部部级优秀青年科技专家， 1996年项目《机构结构的拓扑特征、尺度特征及动力 学模型的研究》获得教育部科技进步（甲类）二等奖 1997年评为机械工业部部级学术骨干 1999年项目《以序单开链为基本单元的机械系统新理 论研究》获得教育部科技进步（甲类）二等奖 2000年项目《齿轮连杆机构结构及运动学的基本理论 及新方法的研究》获得山东省科技进步奖三等奖
自我介绍
名字：褚金奎 主要学术经历： 2002.5-至今:大连理工大学 机械工程学院教授、博士生导师 2001.10-2002.4:日本国 东北大学工学部 机械智能工学科 客座教授 1998.7-2002.10：西安理工大学、机械与精密仪器学院机械学专业 教授、博士生导师 1997.5-1998.6 : 西安理工大学、机械与精密仪器学院机械学专业 教授 1996.10-1997.4 : 日本国 山形大学机械工学部 机械系统工学科 研 究员 1996.7-1996.10 : 日本国 近畿大学 理工学部 机械工学科 高级访问 学者 1989.4-1992.10： 在北京航空航天大学机器人研究所攻读博士学 位 主要研究方向：机构学，机器人，实体造型与运动方针，MEMS
输入 （运动 机构系统 力、能 量）
输出 （运动 力、能 量）
1.2 机构的组成及分类
构件的种类 含运动副的多少分：双副杆、三副杆、多副杆… 构件的特性：齿轮、凸轮、带轮、棘轮、机架、原动件…. 运动副的种类 运动性质：平面、空间 平面（ R、P)、空间(C、S、H) 接触特性: 高副（凸轮、齿轮、摩擦副）、低副（R、P)等 连接特性：拉压介质运动副：带、链、钢丝 及其他介质如液压机构 机构的分类 运动特性：平面、空间、低副机构、高副机构、 构件的特性：齿轮机构、凸轮机构、连杆机构、组合机构等 运动副与构件的连接特性: 低级机构、高级机构, 柔性机构等
机器人机构学-绪论
机器人机构学-绪论引言机器人机构学是一门研究机器人结构和运动学的学科。
随着人工智能和自动化技术的快速发展，机器人在工业生产、医疗保健、军事应用等领域得到越来越广泛的应用。
机器人机构学的研究可以帮助我们理解机器人的结构特点和运动规律，进而设计出更加灵活、高效的机器人系统。
机器人机构的定义机器人机构是指构成机器人的各个部件之间的连接关系，包括机身、传动系统、关节、传感器等。
机器人机构的设计对机器人的性能、可靠性和适应性等方面的影响极大。
机器人机构的分类根据机器人机构的结构和运动特点，可以将其分为以下几类：1.串联机构：由一系列关节连接而成，每个关节只有一个自由度。
典型的串联机构包括人的手臂和腿等。
2.并联机构：由多个并联的关节组成，每个关节都有自由度。
并联机构具有较高的刚度和精度，常用于需要快速准确定位的任务。
3.混合机构：由串联机构和并联机构的组合构成，兼具串联机构的灵活性和并联机构的刚度。
4.柔性机构：通过柔性材料的变形实现机器人的运动。
柔性机构具有较好的适应性和承载能力，适用于狭小空间和不规则环境的工作。
机器人运动学机器人运动学研究机器人的位置、姿态和运动规律。
根据运动学理论，可以通过给定机器人关节的角度、长度和位置等参数，计算机器人末端执行器的位置和姿态。
机器人运动学分为正运动学和逆运动学两个方面：正运动学正运动学是指已知机器人关节的运动参数，推导出机器人末端执行器的位置和姿态的过程。
通过正运动学，可以确定机器人在空间中的准确位置，具有重要的实际应用价值。
逆运动学逆运动学是指已知机器人末端执行器的位置和姿态，计算机器人关节的运动参数。
逆运动学是机器人控制的核心问题之一，解决逆运动学可以实现机器人的自主控制和路径规划。
机器人机构学的应用机器人机构学的研究成果广泛应用于各个领域。
以下是机器人机构学的几个典型应用：1.工业机器人：工业机器人广泛应用于生产线上的重复性、高精度任务，如焊接、装配和搬运等。
《工业机器人》课件
工业机器人在推动经济发展方面的贡献
工业机器人在推动经济发展方面发挥着重要作用，提高了工业生产效率，促进了产业升级和国家经济的发展。
工业机器人的可持续发展和环 保问题
工业机器人的发展应注重可持续性和环保性，采用节能技术和清洁生产方式， 减少对环境的影响。
竞争状况
工业机器人行业竞争激烈，包括ABB、Fanuc、KUKA等领先企业。
工业机器人在提高生产效率方面的作 用
1 自动化操作
工业机器人实现了自动化生产，提高了生产效率和产品质量。
2 精确操作
工业机器人具备精确的操作能力，减少了人为误差，提高了生产效率。
3 高速作业
工业机器人可以高速作业，加快了生产速度，提高了生产效率。
工业机器人在智能制造中的应用案例
物流领域
工业机器人在物流和仓储领域中的 应用越来越广泛，实现货物的自动 搬运和分拣。
医疗行业
工业机器人在医疗手术和康复辅助 等领域中发挥重要作用，提高治疗 效果和手术安全。
农业领域
工业机器人在农业生产中的应用逐 渐增加，实现农作物的种植、采摘 和病虫害防治。
工业机器人的未来发展趋势和展望
《工业机器人》PPT课件
工业机器人的发展与应用是现代制造业的重要组成部分。本课件将介绍工业 机器人的定义、种类、发展历程、优势和应用领域，以及机器人的构造、工 作原理和控制系统。
工业机器人的发展历程
1
早期发展
20世纪50年代至60年代，工业机器人始出现，但发展相对缓慢。2
技术突破
20世纪70年代至80年代，随着计算机和传感器技术的进步，工业机器人的性能和 功能得到了显著提升。
3
智能化发展
21世纪以来，工业机器人逐渐实现智能化，具备自主学习和适应能力，为智能制 造和自动化生产提供了强大支持。
机器人机构学【ch02】螺旋理论基础 培训教学课件
刚体的瞬时螺旋运动
刚体的瞬时移动 当刚体2相对刚体1做平移运动时，速度v沿单位矢量S方向，速度矢量可以 表示为v=vS，此单位矢量S通常选择移动副导轨方向。 然而，对于平移运动，刚体上所有的点都具有相同的移动速度v，也就是说 将矢量S平行移动并不改变刚体的运动状态，所以移动速度矢量是自由矢量。
刚体的瞬时螺旋运动
点、线、面的相互关系及两直线的互矩
两平面的交线
有两个平面，其坐标分别为(n1; n01)和(n2; n02)，两平面的交线与n1及 n2垂直，亦即平行于n1×n2。为求这条交线的方程，可将下面的三重 叉积展开。
r×(n1×n2)=(r·n2)n1-(r·n1)n2
点、线、面的相互关系及两直线的互矩
螺旋的数乘满足分配律与交换律。
(2-45)
螺旋的代数运算
两螺旋的加法运算
两螺旋 $1 S1 S10 、$2 S2 S20 ，其加法运算之和一般仍为螺旋(特殊情况下也可能为线 矢量或偶量)，且和螺旋的原部与对偶部分别为两螺旋的原部与对偶部之和。
S 1 S 2 (S1 S2 ) (S10 S20 )
因此，两螺旋的互易积与原点的选择无关。
05
刚体的瞬时螺旋运动
刚体的瞬时螺旋运动
在三维空间里，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同时存在刚体 绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋 运动的特殊情况。本节首先讨论刚体的纯转动和纯平移运动，再讨论 一般形式的螺旋运动。
刚体的瞬时螺旋运动
螺旋的代数运算
不共面的两线矢量之和为节距不为零的螺旋。通常情况下，线矢量与偶量之 和也为节距不为零的螺旋，但在特殊情况下(线矢量与偶量垂直时)并不成立， 例如，线矢量为(2, 0, 0; 0, 0, 1)，偶量为(0, 0, 0; 0, 0, 1)，它们的和仍然为 线矢量。
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第十三章工业机器人机构学提要介绍了工业机器人的组成原理、分类与工作性能特点。
研究了坐标变换与空间物体的位姿与位移的齐次坐标表达;研究了已知各个关节的相对运动时,如何确定工业机器人末端操作器的位姿；研究了已知目标对象的位姿时,如何确定工业机器人各个关节的相对运动量。
１3．1 概述工业机器人是用来搬运材料、零件与工具,进行焊接与喷涂的可再编程的多功能机械手，通过调用不同的程序来完成预设的多种工作任务。
1３.2 工业机器人的组成工业机器人由三大部分六个子系统组成。
三大部分是机械部分、传感部分和控制部分。
六个系统是驱动系统、机构与结构系统、感觉系统、机器人与环境交互系统、人机交互系统和控制系统。
１.机器人的机构与结构系统工业机器人的机械部分由三部分组成,即机身、手臂和末端操作器。
机身可以是固定的,也可以是移动的。
手臂进一步划分为上臂和下臂,上臂与机身形成肩关节，上臂与下臂形成肘关节,下臂与末端操作器形成碗关节，如图1３.3所示。
2. 机器人手部的机构与结构系统1) 具有一个相对自由度的末端操作器2) 具有多个自由度的末端操作器1３．3工业机器人的分类与性能1）直角坐标型直角坐标型操作机如图1３．6所示，它有三个移动关节(PPP),可使末端操作器作三个方向的独立位移。
该种型式的工业机器人，定位精度较高,空间轨迹规划与求解相对较容易，计算机控制相对较简单。
它的不足是空间尺寸较大，运动的灵活性相对较差，运动的速度相对较低。
２)圆柱坐标型圆柱坐标型操作机如图１３.７所示,它有两个移动关节和一个转动关节(PPＲ)，末端操作器的安装轴线之位姿由(z，r,θ)坐标予以表示。
该种型式的工业机器人，空间尺寸较小,工作范围较大，末端操作器可获得较高的运动速度。
它的缺点是末端操作器离z轴愈远,其切向线位移的分辨精度就愈低。
3) 球坐标型球坐标型操作机如图1３.８所示,它有两个转动关节和一个移动关节(RＲP),末端操作器的安装轴线之位姿由(θ,φ, r)坐标予以表示。
该种型式的工业机器人,空间尺寸较小,工作范围较大。
4）关节型关节型操作机如图１3.9所示,它有三个转动关节（ＲＲＲ),即机身上部相对于下部的转动θＹ0，肩关节的转动θZ1和肘关节的转动θZ２。
腕关节的转动θZ3属于末端操作器的自由度。
该种结构的工业机器人,空间尺寸相对较小，工作范围相对较大，还可以绕过机座周围的障碍物，是目前应用较多的一种机型。
１3．４工业机器人的运动学基础工业机器人是由若干个关节所联系起来的一种开链，其一端固结在机座上，另一端安装有末端操作器。
确定工业机器人末端操作器安装轴线的方位,确定末端操作器的位姿与位移，确定工业机器人的操作对象,即目标物体的位姿与位移,构成了工业机器人运动学基础应该研究的一部分工作。
13.４.1目标物体的空间转动矩阵一个通过坐标原点的矢量V1绕通过坐标原点的单位矢量u转动φ角到达V２，要求确定V２的位姿。
为了确定矢量V1绕通过坐标原点的单位矢量u转动φ角到达V２的位姿,将它作如下转动。
１)平面内单位矢量绕坐标轴的转动矩阵2)空间内单位矢量绕坐标轴的转动矩阵[例１3-1］图13．11为单臂操作机械手，手臂相对于机身拥有一个转动自由度，手腕相对于手臂拥有一个转动自由度。
已知手腕上的坐标系ｏxyz相对于机身坐标系ＯXYZ的位姿矩阵SW为SＷ中前三行前三列的元素表示手腕坐标系的姿态,[2,6,2]T表示手腕坐标系原点的位置。
（1)若手臂相对于机身坐标系OXＹZ的Ｚ轴转动＋９０o，则坐标系o xｙz转到坐标系o1ｘ１ｙ1z１。
(2) 若手臂相对于机身不动，手腕上的坐标系ｏxyｚ相对于手臂上的z轴转动+90，则坐标系oｘｙz转到坐标系o2x2ｙ2ｚ2。
试写出以上两种转动的矩阵SW1、SW２。
解：坐标系O1x1y1ｚ１在固定坐标系OXYZ的位姿矩阵SW１为O2ｘ２y２z2坐标系在固定坐标系OXＹZ的位姿矩阵ＳW2为１3.４工业机器人的运动学基础工业机器人是由若干个关节所联系起来的一种开链,其一端固结在机座上,另一端安装有末端操作器。
确定工业机器人末端操作器安装轴线的方位，确定末端操作器的位姿与位移，确定工业机器人的操作对象，即目标物体的位姿与位移，构成了工业机器人运动学基础应该研究的一部分工作。
1３．4．1 目标物体的空间转动矩阵一个通过坐标原点的矢量V１绕通过坐标原点的单位矢量u转动φ角到达V2，要求确定Ｖ2的位姿。
为了确定矢量Ｖ1绕通过坐标原点的单位矢量u转动φ角到达V2的位姿,将它作如下转动。
1)平面内单位矢量绕坐标轴的转动矩阵2) 空间内单位矢量绕坐标轴的转动矩阵[例１３-1] 图1３．11为单臂操作机械手，手臂相对于机身拥有一个转动自由度,手腕相对于手臂拥有一个转动自由度。
已知手腕上的坐标系oxyz相对于机身坐标系OＸYZ的位姿矩阵ＳW为SW中前三行前三列的元素表示手腕坐标系的姿态,［２,6,2]T表示手腕坐标系原点的位置。
(1)若手臂相对于机身坐标系ＯXYZ的Ｚ轴转动+９０o,则坐标系oｘｙz转到坐标系o１ｘ1y１z１。
（2) 若手臂相对于机身不动，手腕上的坐标系oｘyｚ相对于手臂上的z轴转动+90，则坐标系oxｙz转到坐标系o2ｘ2ｙ2z2。
试写出以上两种转动的矩阵SＷ1、SＷ２。
解：坐标系O1ｘ1y1ｚ1在固定坐标系OXＹZ的位姿矩阵SＷ１为O2x2y２z2坐标系在固定坐标系ＯXYZ的位姿矩阵ＳW2为１2.4．２坐标系之间的空间变换矩阵设单位矢量ｖ在坐标系o'xyz中的投影分别为vｘ、v y和v z；矢量P在坐标系OＸYＺ中的投影分别为P X，ＰＹ和P Z;x轴在坐标系OＸYZ中X、Ｙ和Z上的投影分别为tｘX、t xY和t xＺ；ｙ轴在坐标系ＯＸＹZ 中X、Ｙ和Z上的投影分别为t yX、tｙY和ｔｙＺ;z轴在坐标系OXＹZ中X、Ｙ和Z上的投影分别为ｔｚX、ｔzY和t zZ。
ｔxX、ｔxＹ和t xＺ的表达式分别为tｘＸ＝coｓ(x，Ｘ），tｘY=coｓ(x,Y)，t xZ=cos(x，Ｚ),其余的关系式类推。
为此,连杆坐标系o?xyz相对于固定坐标系OXＹＺ的位姿为为了计算机求解方便，将上式改写为齐次坐标形式ω2、中心轮3的角速度ω3分别为结合图1２.1９（a)与式(12．26）、式(１２.2７)~式（１２．2９)得传动比i1H为１3．4.３目标物体的齐次坐标表示在如图13．1３（ａ)所示的坐标系OXYＺ中放置一个楔块，在楔块上设置坐标系ｏxyz,其上的特征点为Ａ１,A2，A３，A4，A5和A6。
这些特征点在自身坐标系oｘyz中的坐标分别为A1(１,0,0），A2（-1,０,０),A３(-1,0,２),A4(1,0,2)，A5（1,4,0），A6(-1,4,０)。
由图１3.1３（b)也可以得到坐标系ＯＸYＺ在坐标系ｏｘyz中的齐次坐标。
已知Ｘ轴的方位为[0，0,1,0], Ｙ轴的方位为[1，０，0,0]，Z轴的方位为[0，1,０，0］，坐标系OXYZ 的原点Ｏ在坐标系oxｙz中的位置为［0,0,－4,1] 。
为此，坐标系OXＹZ在坐标系oxyz中的位姿矩阵Ｔ[XYＺ→ｘyz]为１2．4.4刚体的空间位移矩阵在如图13.1４所示的坐标系OXYＺ中有一个连杆，连杆的初始位置用ｐ1ｑ1表示,终止位置用pq表示,p1点的位置矢量用R表示，连杆上的p1点沿一单位矢量ｕ位移s，同时连杆绕矢量u转动φ角,现在确定q点相对于q１点的位置。
设已知ｐ１=[ｐ1X p１Ｙp1Z]T,q1=[ｑ１Xｑ1Y q1Z]T，则q=［q X q Y q Z]T的矢量表达式与矩阵表达式分别为式(13.19)右端左侧的矩阵称为刚体的有限螺旋位移矩阵。
1３.4.5 欧拉角表示的变换矩阵在图１３.15(a)所示的固定坐标系OXYZ中放置一个矢量Ｕ，其初始位置为U1，坐标系ＯＸ'Y＇Z'是由ＯXYZ绕Z轴转ψ角度而得到的位置，此时,矢量U1转到U2的位置;坐标系OＸ＂Ｙ"Z"是由OＸ'Y'Z'绕X'轴转θ角度而得到的位置，此时，矢量Ｕ2转到U３的位置;矢量Ｕ3再绕Z"转动φ角而到达U4的位置。
在以上的相对转动中,每次都是相对于动坐标系进行的,而不是相对于固定坐标系进行的。
ψ、θ和φ 称为欧拉角。
若让所有的转动都是相对于固定坐标系ＯＸＹZ进行的，如图13.15(ｂ)所示,且转动顺序为,先绕Z轴转φ角度，再绕Ｘ轴转θ角度，最后绕Z轴转ψ角度。
转动变换矩阵为以上两种变换的展开式均为13.４.6 转动关节之间的位移矩阵连杆n右端的坐标系O n XｎＹn Zｎ在左端的坐标系Oｎ-1X n－1Yｎ-1Z n-1中的齐次变换矩阵T n为化简后得转动关节之间的位移矩阵为13.5工业机器人的正向运动学工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
设工业机器人中的一个连杆一端关节上的坐标系相对于另一端关节上的坐标系的位姿由齐次变换矩阵Ti表示，设T1表示第一个连杆一端动关节上的坐标系相对于另一端固定关节上的坐标系的位姿;设第二个连杆的一端与第一个连杆形成动关节，另一端与下一个连杆形成动关节，齐次变换矩阵用T2表示，则第二个连杆相对于固定关节上的坐标系的位姿W2为W2＝T1T2。
依次类推,若有六个连杆，则第六个连杆相对于固定关节上的坐标系的位姿W6为Ｗ６=T1T２T３T4Ｔ5 T6W6的表现形式可以用以下的（4×4)矩阵予以表示式(13.２3）右端的前三列前三行表示末端操作器的姿态,第四列前三行表示末端操作器的位置。
１3.5.１平面关节型机器人的正向运动方程图１３.１7(a)所示为由一个肩关节、一个肘关节和一个腕关节组成的平面关节型的机器人简图,它的三个关节的轴线Z0、Z1、Ｚ２是平行的,它的结构参数如表13．1所示。
W3=T1 T２T3中每一项的矩阵表达式为W3=T1 T2 T３矩阵表达式为若转角θ１=30，θ2＝－60和θ3＝－3０，如图13.17（c)所示,则该平面关节型机器人的手部坐标系O3X3Y3Ｚ３在固定坐标系O０Ｘ0Y０Z0中的位姿W3为【计算演示】13.5.2斯坦福机器人的正向运动方程图１3.１8所示为斯坦福机器人的结构简图,针对图示的坐标系，其参数关系如表1２.2所示。
下面求末端操作器的位姿１) 坐标系Ｘ1Y1Z1相对于固定坐标系X０Y０Ｚ０的位姿2)坐标系Ｘ２Y2Z2相对于X1Y1Z1的位姿3) 坐标系X3Ｙ３Z3相对于Ｘ2Y2Ｚ2的位姿４) 手腕坐标系相对于X3Y3Z3的位姿(1) 坐标系Ｘ4Y4Z4相对于X3Y３Ｚ3的变换矩阵(2）坐标系X5Ｙ５Z5相对于Ｘ4Ｙ4Z4的变换矩阵(3)坐标系X6Y6Z6相对于Ｘ5Y5Z5的变换矩阵一旦知道了T１~T6,则任意杆件之间的变换矩阵可以使用以上公式求解出来。