微积分北京大学出版社课后详解
北师大选修微积分基本定理课件
• [点评] 定积分广泛应用于实际生活中，准 确理解题意，正确列出定积分是解决此类问 题的关键．此题是根据速度求路程，同样， 求给定力所做的功也可以用定积分来解决．
• 设有一长为25cm的弹簧，假设施加100N的 力，那么弹簧伸长到30cm，求使弹簧由 25cm伸长到40 cm所做的功．
• [分析] 因为弹簧的力是一个变力，所以不 能用常规的方法求解，考虑用定积分求解．
＝(13x3＋2x－32x2)|10＋(32x2－13x3－2x)|21＝1.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一条切线，使之与曲线 以及x轴所围成图形的面积为 112 .试求切点A的坐标以及过切点A 的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A(x0，
y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－
北师大选修微积分基本定理课件
§2 微积分根本定理 第四章
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．通过实例，直观理解微积分根本定理的 含义及意义．
• 2．会用微积分根本定理求函数的定积分． • 3．会用定积分求相关图形的面积、变速直
• (1)求f(x)的解析式；
• (2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x，x＝0，x＝1， x＝2所围成的平面图形的面积．
• [解析] (1)由得：f ′(1)＝2，求得a＝1， • ∴f(x)＝x2＋2.
(2)由题意知阴影部分的面积是：
S＝1(x2＋2－3x)dx＋2(3x－x2－2)dx
0
1
线运动的路程及变力做功问题．
• 本节重点：微积分根本定理． • 本节难点：微积分根本定理的应用．
微积分课后习题答案知识讲解
习题1 —1解答1. 设 f(x,y)xyx11x，求 f ( x, y), f (, ), f (xy,),- 1 f(x, y) yx y y 解 f( x, y) xy-；f(-,-y x y )1-；f(xy,-) x 2 x y2y ;1 y 丿xyf(x,y) 2xy x 2. 设 f (x, y)In xIn y ，证明：f(xy,uv) f(x,u) f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv) In(xy) In(uv) (Inx In y)(1 nu Inv) Inx Inu In x Inv Iny Inu In y Inv f(x,u) f(x,v) f(y,u) f(y,v)（1）f(x, y),1 x 2 ,y 21;(2)f(x,y)\i'4x 2y .In(1 x 2 2/ y )(3)f(x, y)1 x2 a 22 y b 22z . 2; c (4) f(x, y,z)、x、y -z1 x2 2y2z3.求下列函数的定义域，并画出定义域的图形:解（1）D1,y 1{(x, y) x(2) D(x, y) 0 yx 24.求下列各极限:5.证明下列极限不存在:则 H m 3 lim^3;x 20x 0x y x 0x 2x如果动点P(x, y)沿x 2y 趋向(0,0)，贝y limy 0 x 2y(3) D2x(x,y)~ra(4) D(x, y,z)x0,y2y2y b 2I1zxyJxy(2xy1 xy 1 0 1y 2 0 (1)H xyxxyvxxy\1(1) r X y lim ; x 0 x yy 0lim 飞；0x y 2 (xy)2(1) 证明如果动点P(x,y)沿y2x 趋向(0,0)x yxynxylim 2x 0 x 2y 1 AH xy所以极限不存在。
(2)证明如果动点P(x,y)沿y x趋向(0,0)则limx 0y x 02 2x y~2~2 2 x y (x y)如果动点P(x, y)沿y 2x趋向(0,0)，则limx 0 y 2x 02 2x y~2~2 2x y (x y)"m0-^ 0x 04x x所以极限不存在。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =
高等数学上册教材答案北大
高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。
在数学中，我们需要明确了解极限的定义。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。
对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。
连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。
1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。
导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。
微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。
第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。
函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。
常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。
2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。
通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。
2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-2讲义：第四章 §2 微积分基本定理 Word版含答
姓名，年级：时间：§2微积分基本定理已知函数f(x)＝x，F(x)＝错误!x2。
问题1:f（x）和F(x)有何关系？提示:F′(x)＝f（x)．问题2:利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!。
问题3：求F(2）－F（1)的值．提示：F(2)－F（1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4：你得出什么结论?提示：错误!f(x)d x＝F（2）－F（1)，且F′（x)＝f(x）．问题5：由错误!f(x）d x与F(2)－F（1)之间的关系,你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a），其中F′（x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F（x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时,常常用记号F(x）错误!来表示F（b)－F（a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作错误!f（x)d x＝F（x) 错误!＝F（b）－F（a)．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1］(1) 错误! (2x＋3）d x;(2) 错误!（cos x＋e x)d x；(3）错误!错误!d x。
[思路点拨］先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] （1）∵(x2＋3x）′＝2x＋3，∴错误! (2x＋3）d x＝（x2＋3x）错误!＝1＋3＝4。
（2）∵（sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误! (cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x）错误!＝1－e－π.(3）∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!d x＝错误!错误!＝7＋错误!＝错误!。
[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时,通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x）的导函数F′(x）＝f(x)为止（一般情况下忽略常数),然后再利用微积分基本定理求出结果．1。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分北京大学出版社课后详解
2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4
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习题8.1
1. 写出下列级数的一般项：
（1）2345612345
+++++⋅⋅⋅； 解： 1n n u n
+= （2）135123234345
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 解： ()()2112n n u n n n −=
++ （3）1111tan 2tan 3tan 4tan 24816++++ 解： 1tan 2
n n u n = 2. 用级数收敛的定义判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和：
（1）11ln
n n n
∞=+∑ ； 解： ()()()()
()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln ln 1n S n n n =−+−++−=+∵ ，
则lim n n S →∞=∞，∴级数发散. （2
）1n ∞=； 解：
n u =
=−∵
1n S =++=− ， 则lim n n S →∞=∞，∴级数发散. （3）()()1
12121n n n ∞=−+∑ ；
解： 111111111123352121221n S n n n ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+−+−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥−++⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦∵ ， 则1lim 2
n n S S →∞==，级数收敛，和为12. （4）()1212n n n ∞
=+−∑. 解： ()111122n n n n u −=
+−∵是1q <的等比级数的通项之和，故级数收敛
1
1152211331122S −
∴=+=−=−+，即和为53. 3. 判别下列级数的敛散性：
（1）1
21n n n ∞=+∑； 解： 1lim lim
0 212n n n n u n →∞→∞==≠∴+∵ 级数发散. （2）11
(1)
n n ∞−=−∑； 解： 1lim lim(1)n n n n u −→∞→∞
=−=∵不存在 0 ≠∴级数发散. （3）23
23222333
−+− ； 解： ()1213n
n n u −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∵，是213q =−<的等比级数，∴级数收敛. （4
）12； 解：
n u =
∵，从而
11lim lim 102n n n n n u →∞→∞===≠，∴级数发散. （5）111113691215
+++++ ； 解： 13n u n =∵，而级数11n n
∞=∑发散，∴级数发散. （6）21111111 (23100222)
n +++++++++； 解： 删掉前面100项为2111......222n ++++是12
q =是等比级数，∴级数收敛. （7）22111111232323
n n ++++++ ； 解： 1123n n n u =+∵是公比小于1的等比级数的通项之和，∴级数收敛. （8）231111111152535
5n n ++++++++ . 解： 115n n u n =+∵，其中11n n
∞=∑发散，∴级数发散.。