全等三角形的经典模型
i作弊?三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 3三角形7级 倍长中线与截长补短Q 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 满分晋级漫画释义 订全等三角形的经典模型（一）秋季班第二讲秋季班第三讲秋季班第四讲/考试尺砸件阳.目才卜宙曲学邺三曲帮三垂直模型等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题( AC=BC或90° ,45 ,45 ).如图1;⑵常见辅助线为作高，禾U用三线合一的性质解决问题•如图2；⑶补全为正方形.如图3, 4.的经典模型等IB宜角三箱形模型图3 图4已知：如图所示， Rt △ ABC 中，AB=AC , BAC 90° O 为BC 的中点,⑴写出点O 到厶ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断△ OMN 的形状，并证明你的结论 .⑶如果点 M 、N 分别在线段 CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中 保持AN=CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.证明：•••/ BAC=90° , AB=AC , O 为 BC 中点 •••/ BAO= / OAC = ZABC = Z ACB=45° , ••• AO=BO=OC , •••在△ ANO 和厶CMO 中， AN CM BAO C AO CO• △ ANO 也厶 CMO ( SAS )• ON=OM , / AON = Z COM , 又•••/ COM / AOM =90° ,, • △ OMN 为等腰直角三角形.两个全等的含30° , 60°角的三角板 ADE 和三角板ABC ，女口 图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连接 BD ，取BD 的 中点M ,连接ME , MC •试判断△ EMC 的形状，并说明理由.【解析】△ EMC 是等腰直角三角形典题精练_________ i t ■【解析】 ⑴OA=OB=OC⑵连接OA,•/OA=OC BAO C 45° AN=CM• △ ANO CMO •ON=OM• NOA MOC• NOA BONMOC BON 90• NOM 90• △ OMN是等腰直角三角形 ⑶厶ONM 依然为等腰直角三角形，【例1】【例2】 MA证明：连接AM •由题意，得 DE AC, DAE BAC 90°, DAB 900 :.△ DAB 为等腰直角三角形•••• DM MB ,••• MA MB DM , MDA MAB 45° . ••• MDE MAC 105° , • △ EDM △ CAM . • EM MC, DME AMC .又 EMC EMA AMC EMA DME 90° . • CM EM ,• △ EMC 是等腰直角三角形.【例3】 已知：如图， △ ABC 中，AB AC , BAC 点，AFBD 于E ，交BC 于F ，连接DF . 求证： ADB CDF . 1 2 AB AC 3 C• △ ABM ◎△ CAF . • AM CF . 在△ ADM 和△ CDF 中， AD CD DAM C AM CF• △ ADM ◎△ CDF . • ADB CDF .证法二：如图，作 CM AC 交AF 的延长线于 M .T AF BD , •32 90° ,BAC 90° , • 1 2 90° , • 13.在△ ACM 和△ BAD 中，【解析】证法一: 如图，过点 A 作AN BC 于N ，交 •/ ABAC , BAC 90° ,• 3DAM 45° .••• C45° , • 3 C .••• AF BD , 1 BAE 90°BAC 90° , • 2 BAE 90° .• 1 2 .在△ ABM 和△ CAF 中,C1 3AC ABACM BAD 90°••• △ ACM ◎△ BAD .二M ADB, AD CM•/ AD DC , • CM CD .在△ CMF和△ CDF中，CF CFMCF DCF 45°CM CD• △ CMF ◎△ CDF . • M CDF•- ADB CDF .【例4】如图，等腰直角△ ABC中，AC BC , ACB 90°, P为△ ABC内部一点，满足【解析】补全正方形ACBD，连接DP,易证△ ADP是等边三角形，DAP 60 ,BAP 15 , PAC 30 , • ACP 75 ,BCP 15【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt△ ABC中，/ BAC=90°, AB=AC, M为AC中点，连结BM ,作AD丄BM 交BC于点D，连结DM，求证：/ AMB= / CMD .PB PC，AP AC，求证:BCP 15 .BAD 45 ,【解析】作等腰Rt△ ABC关于BC对称的等腰Rt△ BFC，延长AD交CF于点N , •/ AN丄BM，由正方形的性质，可得AN=BM ,易证Rt△ABM 也Rt A CAN , /-Z AMB = Z CND , CN=AM ,•/ M 为AC 中点，/• CM=CN ,•/Z 1 = Z 2,可证得△CMD◎△ CND,•••Z CND = Z CMD ,•••Z AMB = Z CMD .【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt△ ABC 中，Z BAC= 90 ° AB=AC, AD=CE, AN丄BD 于点M，延长BD 交NE的延长线于点F，试判定厶DEF的形状.【解析】作等腰Rt△ ABC关于BC对称的等腰Rt△ BHC, 可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K ,•/ AK 丄BD，可知AK=BD，易证：Rt△ ABD 也Rt△ CAK,• Z ADB= Z CKN , CK=AD,•/ AD=EC, • CK=CE ,易证△ CKN◎△ CEN, /Z CKN= Z CEN, 易证Z EDF = Z DEF , DEF为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，Rt△ ABC 中，Z A=90°, AB=AC, D 为BC 上一点，DE // AC, DF // AB, 且BE=4, CF =3，求S 矩形DFAE.A ACFN【解析】作等腰Rt△ ABC关于BC的对称的等腰可知四边形ABGC为正方形，分别延长可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S 矩形DFAE=S矩形DMGN =DM DN=3 4=12.【探究四】求线段长【备选4】如图，△ ABC中，AD丄BC于点D，/ BAC=45°, BD=3 , CD=2,求AD的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但•••/ BAC=45°,若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ ADB的对称直角三角形和Rt△ ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.【解析】以AB为轴作Rt A ADB的对称的Rt△ AEB，再以AC为轴作Rt△ ADC的对称的Rt △ AFC .可知BE=BD=3, FC=CD=2,延长EB、FC 交点G, •••/ BAC=45°,由对称性，可得 / EAF=90° 且AE=AD=AF ,易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD,设AD=x,贝U BG=x—3, CG=x—2,在Rt△ BCG中，由勾股定理，得x 2 x 3 52,解得x=6,即AD=6 .【探究五】求最小值Rt △ GCB，FD、ED 交BG、CG 于点N、M，G【备选5】如图，Rt △ ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC=4 , M 为AC 的中点，P 为斜边 AB 上的动点，求PM+PC 的最小值.【引例】 已知AB 丄BD , ED 丄BD , AB=CD , BC=DE ，⑴求证：AC 丄CE ; ⑵若将△ CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，AB C 1D ,其余条件不变，试判断 AC 丄C i E 这一结论是否成立？若成立，给予证【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形, 可知四边形 ACBD 为正方形，连接 交 AB 于点 P ，连接 CP 为：PM + PC=DM= 42一222 5 .即作 Rt △ ACB 关于AB 对称的 Rt △ ADB , CD ，可知点C 关于AB 的对称点D ，连接MD,贝U PM+PC 的值为最小，最小值题型二：三垂直模型思路导航常见三垂直模型明；若不成立，请说明理由①【解析】⑴I AB丄BD, ED丄BD• B D 90 在厶ABC与△ CDE中AB CDB DBC DE• △ ABC CDE ( SAS)••• 1 E••• 2 E 90• ACE 90 ,即AC 丄CE⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似,△ ABC ◎△ G DEACB C i ED••• AC 丄C i E【例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0, 10 , 8 , 4，点C在第一象限.求正方形边长及顶点C的坐标.（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）只要证明C i ED DC iE 90 DC i EACB 90【解析】 过点C 作CG 丄x 轴于G ,过B 作BE 丄y 轴于E ,并反向延长交 CG 于F 点A 、B 的坐标分别为 0,10 , 8 , 4••• BE=8， AE=6， ••• AB=10•••四边形ABCD 是正方形，• AB=BC13 90 2 3 90• 1 2•/ AEB BFC 90• △ AEB ◎△ BFC • CF=BE=8, BF=AE=6 • CG=12 EF=14• C(14 , 12)，正方形的边长为 10如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD // BC , AB BC , E 是 AB 的中点, ⑴求证：BE AD ;⑵ 求证：AC 是线段ED 的垂直平分线; ⑶ △ DBC 是等腰三角形吗？请说明理由.【解析】⑴•• ABC 90 , BD EC ,• ECB DBC 90 , ABD DBC 90 , • ECB ABD ,•/ ABC DAB 90 , AB BC• △ BAD 也厶 CBE , • AD BE .⑵•• -E 是AB 中点，• EB EA 由⑴得：AD BE , • AE AD•/ AD // BC , • CADACB 45 ,BAC 45 , • BAC DAC由等腰三角形的性质，得：EM MD , AM DE即AC 是线段ED 的垂直平分线.⑶△ DBC 是等腰三角形，CD BD由⑵得：CD CE ，由⑴得：CE BD • CD BD , • △ DBC 是等腰三角形.【点评】此题中三垂直模型:【例6】 ABC CEB C［醯彈突號J【例7】 ⑴如图〔，△ ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD=CE ，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出/ APD 的度数= ________________ ; ⑵如图 2, Rt △ ABC 中，/B=90°,M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且 AM = BC 、BM=CN , 连接AN 、CM 相交于点P .请你猜想/EC // AN. APM ECM 45 .°,并写出你的推理过程.（2013平谷一模）APM =【解析】⑴图略,⑵45°证明：作 可证△ EAM 也△ MBC ••• ME MC , AME BCM .••• CMB MCB 90 , • CMB EMC 90 .• △ EMC 是等腰直角三角形，MCE 又厶 AEC ◎△ CAN ( SAS )ECA NAC. AE 丄 AB 且 AE CN BM . AME 90 . 45 .B已知：如图，△ABC中，AC=BC,1长线于E,并且AE 2 BD，求证:延长AE交BC的延长线于F•/ BE 丄AF , ACB 90 FAC DBC•••在厶AFC和厶BDC中，FAC DBCAC BCACF BCD• △ AFC 也△ BDC (ASA ) • AF=BD口1又••• AE -BD21-AE AF EF2ACB 90 ，D是AC上一点，AE丄BD的延BD平分ABC .【解析】训练1.思维拓展训练（选讲）EF = EC , DE=4cm ，矩形 ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长. 【解析】 在 Rt △ AEF 和 Rt △ DEC 中，•/ EF 丄 CE , FEC=90° ,•••/ AEF + / DEC =90° ,而 / ECD + / DEC =90° , •••/ AEF = Z ECD.又/FAE=Z EDC=90° . EF=EC • Rt △ AEF 也 Rt △ DCE .••• AE = CD . /• AD =AE+4.••• BE 是AF 的中垂线••• BA = BF••• BD 平分 ABC训练2. 已知，在正方形 ABCD 中，E 在BD 上，DG 丄CE 于G,DG 交AC 于F.求证：OE=OF【解析】■/ ABCD 是止方形• OD=OC DOC 90•/ DG 丄 CE DGC 90••• DOCDGC •/ OFDGFCODF ECO•在厶DOF 和厶COE 中， DOF COE OD OC ODF OCE••• △ DOF COE (ASA ) • OE=OF训练3. 已知：如图， △ ABC 中，AB AC , BAC 90° D 是BC 的中点，AF BE 于 【解析】 G .求证：DH DF•/ AB AC , BAC 90° D 是 BC 的中点• AD=BD=CD , AD 丄 BC • ADB 90••• AF BEAGH 90DBE DAF 在厶BDH和厶ADF 中,DBH DAF BD AD ADB ADF• △ BDH 也厶 ADF (ASA ) • DH=DF训练4.如图，已知矩形 ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点,EF 丄EC ,且DD FB C•••矩形ABCD的周长为32 cm , • 2 (AE+AE+4) =32 .解得AE=6 cm.题型一等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】如图，△ ACB 、A ECD 均为等腰直角三角形，则图中与△ BDC 全等的三角形为 _________ .【解析】△ AEC【练习2】 如图，已知 Rt △ ABC 中 ACB 90° AC BC ，D 是AC 2BF .【解析】I ACB 90 ° BF // AC ,••• ACD CBF 90° , ADC CAD 90° .•/ CE AD , FCB ADC 90° , CAD FCB . 又••• AC CB , • △ ADC ◎△ CFB . • DC FB .••• D 是BC 的中点， • BC 2BF , 即 AC 2BF .题型二三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形（AD > AB ）,点E 在BC 上，且AE =AD , DF 丄AE ，垂足为F .请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并 给予证明.【解析】经探求，结论是：DF = AB .证明如下：•••四边形ABCD 是矩形， • / B= 90o , AD // BC , • / DAF = / AEB .•/ DF 丄 AE , • / AFD = 90o , •/ AE = AD , • △ ABE DFA .• AB = DF.BC 的中点，CE AD ，垂足为E .BF // AC ，交CE 的延长线于点 F .求证:B【练习5】 四边形ABCD 是正方形.⑴如图1,点G 是BC 边上任意一点（不与B 、C 两点重合），连接AG ,作BF 丄AG 于点F , DE 丄AG 于点E .求证：△ ABF ◎△ DAE ;⑵在⑴中，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 _________________ （直接写出结论即可， 不需要证明）；⑶如图2,点G 是CD 边上任意一点（不与C 、D 两点重合），连接AG ,作BF 丄AG 于点F , DE 丄AG 于点E.那么图中全等三角形是 ______________________ ，线段EF 与AF 、 BF 的等量关系是 _________________________________ （直接写出结论即可，不需要证 明）.• △ ABF ◎△ DAE (AAS ) ⑵ EF AF BF ⑶也 ABF ◎△ DAEEF BF AF【练习4】 如图，△ ABC 中，AC BC , AE CD 交CD 延长线于E ，BF 【解析】根据条件， ACE 、 CBF 都与 •- ACE CBF •在△ ACE 和△CBF BCA 90° D 是AB 上任意一点, CD 于 F •求证:EF BF AE • BCF 互余，AC CB , AEC ••• △ ACE ◎△ CBF 贝U CE BF 中， CFB 90° ,二 EF CE,AE CF CF , BF AE •【解析】⑴在正方形ABCD 中，AB=AD ,• BAF DAE 90°Q BAFABF 90• ABF DAE在厶ABF 和厶DAE 中ABF DAE,AFB DEA,AB DA,BAD 90DCDGC测试1. 问题：已知△ ABC中，BAC 2 ACB，点D是厶ABC内的一点，且AD CD , BD BA .探究DBC与ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.当BAC 90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为__________ ;当推出DAC 15时，可进一步推出DBC的度数为_______可得到DBC与ABC度数的比值为_____________ .（2010北京中考）【解析】相等；15° ; 1:3ACB 90 , CD AB 于点D，点E 测试2. 已知：如图，在厶ABC中,在AC 上，CE=BC, 过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC. 【解析】•/ FE AC于点E , ACB 90°FEC ACB 90° •F ECF 90° •又I CD AB于点D , •••A ECF 90° •••• A F •在△ ABC和△ FCE中，A F,ACB FEC,BC CE,•△ ABC 也厶FCE •• AB FC •测试 3. 如图，Rt A ABC 中，/ C=90° , AC 10cm , BC 5cm，一条线段PQ=AB, P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.当厶ABC和厶APQ 全等时，点Q到点A的距离为.5cm 或10cm.。
全等三角形的10个模型(一)2024
全等三角形的10个模型（一）引言概述：全等三角形是指两个或多个三角形的对应边和对应角完全相等的情况。
全等三角形在几何学中有广泛的应用，不仅在证明和推导定理时起到重要的作用，还在实际问题的解决中提供了有力的工具。
本文将介绍十个关于全等三角形的模型。
这些模型旨在帮助读者更好地理解和运用全等三角形的性质和应用。
正文：1. 模型一：完全相等的三边- 全等三角形的基本条件就是三边相等。
- 通过边的对应关系确定两个三角形是否全等。
- 证明时可利用边长相等的性质进行推导。
2. 模型二：完全相等的两边和夹角- 如果已知两个三角形的两边和夹角都相等，则这两个三角形全等。
- 通过边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
3. 模型三：完全相等的两角和夹边- 如果已知两个三角形的两角和夹边都相等，则这两个三角形全等。
- 边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
4. 模型四：等腰三角形和全等条件- 等腰三角形是指两边相等或两角相等的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是等腰三角形，且两个等腰三角形的两边或两角都相等，则这两个三角形全等。
5. 模型五：直角三角形和全等条件- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是直角三角形，且两个直角三角形的两边或两个锐角均相等，则这两个三角形全等。
总结：通过十个模型的介绍，我们可以看到全等三角形是几何学中一个重要而广泛应用的概念。
理解全等三角形的性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。
在实际问题中，我们常常可以利用全等三角形的模型来推导和证明定理，从而得出更深入的结论。
三角形全等5大模型含参考答案
三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是．2如图，五边形ABCDE中，AB=BC=7，AE=ED=8，∠ABC+∠AED=180°，M为边CD的中点，BM=9，EM=10，则五边形ABCDE的面积为=．3(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.162如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．3在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．4已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC．(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为．(2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s)．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°2如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，BF与CE相交于点M．(1)求证：EC=BF；(2)求证：EC⊥BF．3(1)如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．题型04半角模型1已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点．(1)如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM=CN，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积；(3)如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．2已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④2【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．提优练习1如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm22如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC =3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53如图，已知△ABC中，BD=AD，F是高AD和BE的交点，FD=4，AF=2，则线段BC的长度为()A.6B.8C.10D.124在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD的取值范围是()A.1<AD<7B.1<AD<8C.1<AD<6D.2<AD<55如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D 为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是()A.aB.2aC.3aD.不能确定6如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD= 4，BE=3，则DE=．7如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为．8如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB= DE=AE，若BC=5，则AD的长是．9如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC-AB=5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为 ．10如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°．P是BC边上一点，CP=CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB=5，则点Q到边AB的距离为．11如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB=5，EN=2，则DM=．12如图，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．(1)求证：△ABE≌△CAF；(2)若CF=5，BE=2，求EF的长．13(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．14在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．16在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合)，以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度．(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．17如图，已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE．18如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；拓展延伸如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；∠EAF=12实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°(即∠AON=30°)的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF=70°，请直接写出两舰艇之间的距离为海里．三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是．【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，由SAS 证明△ACD ≌△EBD ，得出BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；【解答】(1)解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，如图1所示∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD =CD ∠BDE =∠CDA DE =AE，∴△BDE ≌△CDA (SAS )，∴BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE <AE <AB +BE ，∴10-6<AE <10+6，即4<AE <16，∴2<AD <8；故答案为2<AD <8．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．2如图，五边形ABCDE 中，AB =BC =7，AE =ED =8，∠ABC+∠AED =180°，M 为边CD 的中点，BM =9，EM =10，则五边形ABCDE 的面积为=．【分析】延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，易证△BCM ≌△FDM ，△ABE ≌△DFE ，根据全等三角形的对应边相等，可得△BEF 是等腰三角形，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图，延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，在△BMC 和△FMD 中，BM =FM ∠BMC =∠FMD CM =DM，∴△BMC ≌△FMD 中(SAS )，∴BM =FM ，BC =FD =AB ，∠C =∠FDM ，∵∠A +∠ABC +∠C +∠CDE +∠AED =(5-2)×180°=540°，∵∠ABC +∠AED =180°，∴∠A +∠C +∠CDE =360°，∵∠CDE +∠CDF +∠EDF =360°，∴∠A =∠EDF ，在△ABE 和△DFE 中，AB =DF ∠A =∠EDF AE =DE，∴△ABE ≌△DFE (SAS )，∴BE =EF ，∵BM =FM ，∴EM ⊥BF ，∴S 五边形ABCDE=S △ABE +S △BCM +S 四边形BMDE=S △BEF=12BF •EM =12×9×2×10=90．故答案为：90．【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．3(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接CE ．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB =5，AC =3，设AD =x ，可得x 的取值范围是；(2)如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF >EF．【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD =CD ，再由对顶角相等得出∠ADB =∠CDE ，即可得出结论；②先由△ABD ≌△ECD ，得出CE =5，再由ED =AD ，得出AE =2AD =2x ，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；(2)先根据SAS 判断出△DEF ≌△DEH ，得出EH =EF ，再根据SAS 判断出△BDH ≌△CDF ，得出CF =BH ，即可求出答案．【解答】(1)①证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADB 和△ECD 中，BD =CD ∠ADB =∠CDE (对顶角相等)AD =DE，∴△ABD ≌△ECD (SAS )；②解：由①知，△ABD ≌△ECD ，∴CE =AB ，∵AB =5，∴CE =5，∵ED =AD ，AD =x ，∴AE =2AD =2x ，在△ACE 中，AC =3，根据三角形的三边关系得，5-3<2x <5+3，∴1<x <4，故答案为：1<x <4；(2)证明：如图2，延长FD，截取DH=DF，连接BH，EH，∵DH=DF，DE⊥DF，即∠EDF=∠EDH=90°，DE=DE，∴△DEF≌△DEH(SAS)，∴EH=EF，∵AD是中线，∴BD=CD，∵DH=DF，∠BDH=∠CDF，∴△BDH≌△CDF(SAS)，∴CF=BH，∵BE+BH>EH，∴BE+CF>EF．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF ．【分析】(1)根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE =AC =6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD <8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】(1)解：∵在△ADC 和△EDB 中， AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD，∴△ADC ≌△EDB (SAS )，故选B ；(2)解：∵由(1)知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6<2AD <8+6，∴1<AD <7，故选C ．(3)证明：延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD =BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，DC =DB ∠ADC =∠MDB DA =DM∴△ADC ≌△MDB ，∴BM =AC ，∠CAD =∠M ，∵AE =EF ，∴∠CAD =∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC，即AC=BF．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.16【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解．【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F，∵AB=AC，∴BE=CE=4，∵∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠DBF，∵∠AEB=∠BFD=90°，AB=DB，∴△AEB≌△BFD(AAS)，∴DF=BE=4，∴S△DCB=1CB•DF，2×8×4=16，∴S△DCB=12故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形．2如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．【分析】过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，根据垂直定义可得∠AEB =∠CDB =90°，从而可得∠BAE +∠ABE =90°，再利用同角的余角相等可得∠BAE =∠DBC ，然后利用AAS 证明△ABE ≌△BCD ，从而利用全等三角形的性质可得AE =BD =14，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，∵AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠AEB =∠CDB =90°，∴∠BAE +∠ABE =90°，∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠DBC =90°，∴∠BAE =∠DBC ，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCD (AAS )，∴AE =BD =14，∴△ABD 的面积=12BD •AE =12×14×14=98，故答案为：98．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD =5，BE =2，求线段DE 的长．【分析】(1)①由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；②由①得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；(2)与(1)证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案．【解答】(1)①证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∠CDA =∠BEC ∠DAC =∠ECB AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )；②证明：由(1)知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ；(2)证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，∠ACD =∠BEC ∠ADC =∠BEC AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE =5-2=3．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．4已知，在△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BDA =∠AEC =∠BAC ．(1)如图①，若AB ⊥AC ，则BD 与AE 的数量关系为，BD ，CE 与DE 的数量关系为．(2)如图②，当AB 不垂直于AC 时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA =∠AEC ，BD =EF =7cm ，DE =10cm ，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以x cm/s 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t (s )．是否存在x ，使得△ABD 与△EAC 全等？若存在，求出相应的t 与x 的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE =∠ABD ，再由AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得BD =AE ，CE =AD ，即可解决问题；(2)同(1)得△ABD ≌△CAE (AAS )，得BD =AE ，CE =AD ，即可得出结论；(3)分△DAB ≌△ECA 或△DAB ≌△EAC 两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t 的值，即可解决问题．【解答】解：(1)∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∠BAD +∠CAE +∠BAC =∠BAD +∠ABD +∠BDA =180°，∴∠BAD +∠CAE =∠BAD +∠ABD ，∴∠CAE =∠ABD ，∵∠BDA=∠AEC，AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE，故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；(2)成立，BD=AE，BD+CE=DE，理由如下：同(1)得：△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，CE=AD，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE；(3)存在，理由如下：当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，∵AD+AE=DE=10cm，∴CE=AD=DE-AE=3cm，∴t=AD2=32，∴x=3÷32=2；当△DAB≌△EAC时，∴AD=AE=12DE=5cm，DB=EC=7cm，∴t=AD2=52，x=7÷52=145，综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=32，x=2或t=52，x=145．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°【分析】求出∠BAD =∠EAC ，证△BAD ≌△EAC ，推出∠2=∠ABD =30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，∴∠1=∠EAC ，在△BAD 和△EAC 中，AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE，∴△BAD ≌△EAC (SAS )，∴∠2=∠ABD =30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°，故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD ≌△EAC ．2如图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)求证：EC =BF ；(2)求证：EC ⊥BF．【分析】(1)利用SAS 说明△ABF ≌△AEC 得结论；(2)先利用全等三角形的性质说明∠AEC =∠ABF ，再利用三角形内角和定理说明∠BMD =90°得结论．【解答】证明：(1)∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE =∠CAF =90°．∴∠BAE +∠BAC =∠CAF +∠BAC ，即∠EAC =∠BAF ．在△ABF 和△AEC 中，AB =AE ∠EAC =∠BAF AC =AF，∴△ABF ≌△AEC (SAS )．∴EC =BF ．(2)由(1)知：△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC =∠ABF ．∵AE ⊥AB ，∴∠BAE =90°．∴∠AEC +∠ADE =90°．∵∠ADE =∠BDM ，∴∠ABF +∠BDM =90°．在△BDM 中，∠BMD =180°-∠ABF -∠BDM =180°-90°=90°．∴EC ⊥BF ．【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．3(1)如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为40°的等腰三角形，BC 、DE 分别是底边，求证：BD =CE ；(2)如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．填空：∠AEB 的度数为；线段BE 与AD 之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【分析】(1)根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD ≌△CAE ，即可判断出BD =CE ．(2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等边三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为60°即可．(3)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°即可；最后根据DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，可得CM =DM =EM ，所以DE =DM +EM =2CM ，据此判断出AE =BE +2CM 即可．【解答】(1)证明：∵∠BAC =∠DAE =40°，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ．(2)解：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180°-60°=120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =120°-60°=60°，综上，可得∠AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE =AD ．故答案为：60°、BE =AD ．(3)解：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∠CDE =∠CED =45°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180-45=135°，∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135-45=90°；∵∠DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，∴CM =DM =EM ，∴DE =DM +EM =2CM ，∴AE =AD +DE =BE +2CM ．【点评】(1)此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．(2)此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．题型04半角模型1已知四边形ABCD 是正方形，M 、N 分别是边BC ，CD 上的动点．(1)如图①，设O 是正方形ABCD 对角线的交点，若OM ⊥ON ，求证：BM =CN ，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD 的边长为4cm ，求四边形MONC 的面积；(3)如图②，若∠MAN =45°试说明△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半．【分析】(1)由正方形的性质可以得出△BOM ≌△CON ，由全等三角形的性质就可以得出ON =OM ；(2)由全等可以得出S △BOM =S △CNF ，就可以得出S 四边形MONC =S △BOC ，S △BOC 的面积就可以得出结论；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，得出△ABE ≌△ADN ，由全等三角形的性质可以得出△ANM ≌△AEM ，进而有MN =ME =MB +BE ，分别表示出C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．从而可以得出结论．【解答】解：(1)证明：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴∠BOC =90°，∠OBC =∠OCD =45°，OB =OC ，AB =BC =DC =AD ．∵∠EOF =90°∵∠BOM +∠MOC =90°，∠NOC +∠MOC =90°∴∠BOM =∠CON ．在△OBM 和△OCN 中，∠BOM =∠CON OB =OC ∠OBC =∠OCD，△OBM ≌△OCN (ASA )．∴OM =ON ；(2)∵△OBM ≌△OCN ，∴S △OBM =S △OCN ．∴S △OBM +S △MOC =S △OCN +S △MOC ，即S △OBC =S 四边形MONC ．∵S △OBC =4×4×14=4，∴S 四边形MONC =4；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，∴△ABE ≌△ADN ，∴∠4=∠1．AE =AN ，BE =DN ．∵∠2=45°，∴∠1+∠3=45°．∵∠4+∠3=∠MAE =45°．∴∠MAE =∠2．在△ANM 和△AEM 中，AN =AE ∠2=∠MAE AM =AM，∴△ANM ≌△AEM (SAS )，∴MN =ME =MB +BE ，∴MN =DN +MB ．∵C △MNC =MN +MC +CN ，∴C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．∵C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．∴△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，三角形的周长和正方形的周长的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等得出OM =ON 是关键．2已知，正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；【分析】(1)由SAS证明△ABM≌△ADN，即可得出AH=AB，(2)延长CB至E，使BE=DN，由SAS证明△AEB≌△AND，得出AE=AN，∠EAB=∠NAD，证出∴∠EAM=∠NAM=45°，再由SAS证明△AEM≌△ANM，得到AH=AB即可；(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN 交于点C，得正方形ABCE，设MH=x，则MC=5-x，NC=2，MN=x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解得x即可．【解答】解：(1)AH=AB；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=AD，在△ABM和△ADN中，AB=AD ∠B=∠D BM=DN，∴△ABM≌△ADN(SAS)，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，∴△AMN是等腰三角形，又∵AH⊥MN，∴∠AHM=90°，∠HAM=∠HAN，∵∠MAN=45°，∴∠HAM=12×45°=22.5°，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°=∠HAM，在△ABM和△AHM中，∠BAM=∠HAM ∠B=∠AHM=90°AM=AM，∴△ABM≌△AHM(AAS)，∴AH=AB；故答案为：AH=AB；(2)数量关系成立，AH=AB．理由如下：如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAM=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()【分析】利用ASA 证明△AEP ≌△CFP ，得PE =PF ，则△EPF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断．【解答】解：∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°，故①正确；∵点P 为BC 的中点，∠BAC =90°，AB =AC ，∴AP =CP ，∠APC =90°，∠BAP =∠C =45°，∵∠EPF =∠APC ，∴∠APE =∠FPC ，在△AEP 和△CFP 中，∠EAP =∠C AP =PC ∠APE =∠CPF，∴△AEP ≌△CFP (ASA )，∴PE =PF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴四边形AEPF 的面积为S △AEP +S △AFP =S △CPF +S △APF =S △APC =12S △ABC，故④正确，⑤不正确；∵∠BAC =∠EPF =90°，∴∠AFP 和∠AEP 互补，故③正确；∵PE 不是定长，故②不正确．∴正确的有：①③④，故选：D ．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEP ≌△CFP 是解题的关键．2【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE= AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(2)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(3)延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE =BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长= EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论．【解答】(1)解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．(2)解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；(3)解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE=CG∠A=∠BCG AB=BC，∴△AEB≌△CGB(SAS)，∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE=BG∠EBF=∠GBF BF=BF，∴△EBF≌△GBF(SAS)，∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．【分析】(1)延长CB至M，使得BM=DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(2)通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【解答】证明：(1)延长CB至M，使得BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，AB=AD，在△ABM与△ADF中BM=DF∠ABM=∠ADF AB=AD，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM =AF ，∠DAF =∠BAM ，∵EF =BE +DF =BE +BM =ME ，在△AME 与△AFE 中AE =AEEF =ME AM =AF，∴△AME ≌△AFE (SSS )，∴∠MAE =∠EAF ，∴∠BAE +∠DAF =∠EAF ，即∠EAF =12∠BAD ；(2)线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系是EF +DF =BE ，在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADF =180°，∴∠ABM =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中， BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF (SAS )，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中， AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF (SAS )，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ．【点评】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．提优练习1如图，△ABC 的面积为1cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，则△PBC 的面积为()A.0.4cm 2B.0.5cm 2C.0.6cm 2D.0.7cm 2【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出AP =PE ，得出S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，推出S △PBC =12S △ABC，代入求出即可．【解答】解：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB =∠EPB =90°，在△ABP 和△EBP中，∠ABP =∠EBP BP =BP ∠APB =∠EPB，∴△ABP ≌△EBP (ASA )，∴AP =PE ，。
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)
模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝27°．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，DE＝BD，∴AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝54°，∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC∴AB＝EC，∴AE＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案为：27°．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°解：如图，在BC上截取CE＝AC，连接PE，∵∠ACB＝60°，∴∠CAB+∠ABC＝120°∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，∴∠CAP＝∠BAP＝∠CAB，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP，∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP∴△ACP≌△ECP（SAS）∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE，∴AP＝BE，∴BE＝PE，∴∠EPB＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP∴∠PAB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°，∴∠PAB＝40°，∴∠CAB＝80°故选：C．【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED．∵AD＝CD，∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4，∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，＝•CD•CE＝×448．∴S△ECD（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，∴△ECM≌△DCF，∴CM＝CF，∵∠ADC＝60°，∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴△CFM是等边三角形，∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，∵E是AB中点，∴AE＝EB，∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE，∵AB＝6，∴CD＝AB＝3．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中结论依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，，∴△ACF≌△DEB（SAS）．【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∴∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∴∠BOD+∠AOD＝90°，∠AOC+∠AOD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）；（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO＝45°，又∠BAO＝45°，∴∠CAD＝90°，∵AD＝1，∠ADC＝60°，∴CD＝2AD＝2．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，在△DBC和△EBC中∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE，∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN，在△AMD和△ANE中∵∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．解：设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x，∵AB＝12，AE＝6，∴BE＝6，EG＝6，∴EF＝6+x，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，62+（12﹣x）2＝（x+6）2，x＝4，即CF的长为4．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．解：PC与PD相等．理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°．∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC，则PE＝PB＝4，∵∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°，∴∠ABE＝∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE＝PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE＝AP+PE＝3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案为：3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：CE＝DB，CE⊥DB．理由：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CE⊥BD．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，（故①正确）；②又∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ＝60°，∠DAC＝∠EBC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴AP＝BQ，（故②正确）；③∵△ACP≌△BCQ，∴AP＝QB，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣AP＝BE﹣QB，∴DP＝EQ，∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故③错误）；④∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故④正确）．∴正确的有：①②④．故选：C．【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA＝∠ECD，连接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求证：BE＝AD．（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？证明：（1）∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．解：（2）图2、图3、图4中，BE和AD还相等，理由是：如图图2、图3、图4，∵∠BCA ＝∠ECD ，∠ACD +∠BCA ＝180°，∠ECD +∠BCE ＝180°，∴∠BCE ＝∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝AD．实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C2．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，∠AOB ＝∠COD ＝36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①∠AMB ＝36°，②AC ＝BD ，③OM 平分∠AOD ，④MO 平分∠AMD ．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝32﹣16．解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为4，∴CM＝4，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝4，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，∴BC2＝BN2+CN2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，故答案为：32﹣16．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，＝6；延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有①③④（填序号）．解：∵正方形ABCD的边长为6，CE＝2DE，∴DE＝2，EC＝4，∵将△ADE沿AE折叠至△AFE，∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，设BG＝x，则：GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，∵CG2+CE2＝GE2，∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴BG＝GF＝3，CG＝6﹣3＝3，∴BG＝CG，∴④正确；∵EF＝ED，GB＝GF，∴GE＝GF+EF＝BG+DE，∴③正确；＝GC•CE＝×3×4＝6，∵S△GCE∵GF＝3，EF＝ED＝2，△GFC和△FCE等高，：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3，∴S△GFC∴②不正确，故答案为：①③④．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．（1）证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′，∴△AD′F≌△CBF（AAS），∴CF＝AF；（2）解：设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AF的长度为5．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝6cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵DB＝AB＝3cm，∴BE＝2×3cm＝6cm；（3）解：BE与AD垂直．理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠1＝∠2，而∠3＝∠4，∴∠EBD＝∠ECD＝90°，∴BE⊥AD．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．证明：（1）如图，∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠EAB＝∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠EBD+∠EDB＝∠ADC+∠ACD＝90°，∵∠EDB＝∠ADC，∴∠EBA＝∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED＝∠AGD＝90°，∵点D是AB的中点，∴BD＝AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED＝GD，BE＝AG，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE＝45°∴∠FAG＝45°∴∠GAF＝∠GFA，∴GA＝GF，∴CF＝BE＝AG＝GF，∵CD＝DG+GF+FC，∴CD＝DE+BE+BE，∴CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．（1）解：由题意得，解得m＝2，则+|b﹣5|＝0，所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，a＝12，b＝5，即BE＝12，CF＝5；（2）证明：延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，在△BED和△CPD中，，∴△BED≌△CPD（SAS），∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，在△EDF和△PDF中，，∴△EDF≌△PDF（SAS），∴EF＝FP，∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，∵BE＝CP，PF＝EF，∴BE2+CF2＝EF2；（3）解：连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∵ED⊥FD，∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠EDA＝∠FDC，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF＝5，DE＝DF EDF为等腰直角三角形，∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF＝＝13，设DE＝DF＝x，根据勾股定理得：x2+x2＝132，解得：x＝，即DE＝DF＝，＝DE•DF＝××＝．则S△DEF9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为AE＝BD；请直接写出∠APD＝30°；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．（1）解：如图1中，∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMC＝∠DMP，∴∠APD＝∠ACD＝30°，故答案为AE＝BD，30°（2）解：如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．理由：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMP＝∠DMC，∴∠APD＝∠ACD＝30°．（3）证明：如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，∵△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，＝S△DCB（全等三角形的面积相等），∵S△ACE∴CH＝CG，∴∠DPC＝∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），∵∠APD＝∠BPE，∠APC＝∠DPC+∠APD，∠BPC＝∠EPC+∠BPE，∴∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D ＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC 和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．解：（1）BC﹣AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA+∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC，∴BC﹣AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB+∠CMA＝180°，∴∠B+∠D＝180°；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，∵CB＝CM＝12，∴BN＝MN＝a，在Rt△BCN中，CN2＝BC2﹣BN2＝122﹣a2，在Rt△ACN中，CN2＝AC2﹣AN2＝162﹣（8+a）2，则122﹣a2＝162﹣（8+a）2，解得：a＝3，即BN＝MN＝3，则AB＝14．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，由旋转得：∠P'BP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝PB＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝P'B＝，由勾股定理得：P′M＝，AM＝AP'+P'M＝1+，由勾股定理得：AB＝；（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，如图丙，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∴∠EBP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB＝45°，∴FE＝BF＝1，∴AF＝2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝，∴正方形ABCD的面积为5．答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的面积为5．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为30°．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．解：（1）如图1中，设AD交EC于点O，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝CA，∠ACE＝∠ACB＝∠B，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，故答案为30°．（2）（1）中的结论还成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°，又∵CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝120°，即∠DAE＝120°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°．（3）∵AB＝AC，AB＝12，∴AC＝12，∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴，∴AD2＝AF•AC，∴AD2＝12AF，∴，∴当AD最短时，AF最短、CF最长，易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时．，∴CF＝AC﹣AF＝12﹣3＝9，∴CF的最大值为9。
数学复习：全等三角形相关模型
数学复习：全等三角形相关模型一、角平分线模型（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；结论：①△ACD≌△ABD；②CD=DB（角分线垂两边，对称全等必呈现）（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；结论：①△OPM≌△OPN；②△OMN为等腰三角形；③P是MN的中点（三线合一）；（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，结论：△OED≌△OFD；（4）作平行线①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB 等腰三角形；②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH 等腰三角形；已知：OP 平分∠MON ，AB ∥ON ，已知：OC 平分∠AOD ，DH ∥OC ，结论：△OAB 等腰三角形结论：△ODH 等腰三角形角平分线+两边垂线→全等三角形辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC已知：AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AC ，DB ⊥AB ，求证：CD=DB证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠1=∠2，∵CD ⊥AC ，DB ⊥AB ，∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD 和△ABD 中，∴△ACD ≌△ABD （AAS ）∴CD=BD⎪⎩⎪⎨⎧AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2∠=1∠例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例1：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．求证：BD=2CE例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD 交AD的延长线于M.求证：2AM=（AB+AC）例3：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，求证：EF∥BC.截取构造全等：例1：如图，AB>AC ，∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型摘要：一、全等三角形的概念和性质1.全等三角形的定义2.全等三角形的性质二、全等三角形的判定方法1.SSS（边-边-边）2.SAS（边-角-边）3.AAS（角-角-边）4.RHS（直角边-斜边-直角边）5.SS（边-边）三、全等三角形的应用1.几何证明2.测量问题3.实际问题四、全等三角形模型的构建1.模型一：SSS2.模型二：SAS3.模型三：AAS4.模型四：RHS5.模型五：SS6.模型六：HL（斜边-直角边）7.模型七：AA（两角-一边）8.模型八：梯形-平行四边形正文：全等三角形是几何学中一个重要的概念，指的是具有相同形状和相同大小的两个三角形。
全等三角形具有许多有趣的性质，如对应边相等、对应角相等、对应中线相等等。
在解决几何问题时，掌握全等三角形的性质和判定方法具有很高的实用价值。
全等三角形的判定方法有五种，分别是SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、AAS（角-角-边）、RHS（直角边-斜边-直角边）和SS（边-边）。
这些方法各有适用范围，需要根据具体问题灵活选用。
全等三角形在几何证明、测量问题以及实际问题中都具有广泛的应用，例如，可以用全等三角形证明两个图形是全等的，从而解决一些复杂的几何问题；在测量问题中，全等三角形可以帮助我们准确地测量未知长度；在实际问题中，全等三角形可以用来分析建筑物的结构，解决实际工程问题等。
在全等三角形的八大基本模型中，SSS、SAS、AAS、RHS和SS是最基本的模型，可以通过这五种模型构建出许多具体的全等三角形问题。
此外，还有模型六HL（斜边-直角边）、模型七AA（两角-一边）和模型八梯形-平行四边形，这些模型在解决一些特殊问题时具有很高的实用价值。
总之，全等三角形作为几何学中的一个重要概念，具有丰富的性质和判定方法，广泛应用于几何证明、测量问题以及实际问题。
全等三角形模型初中数学经典模型
有三个直角，一 △ABF≌△BED 组对应边相等， 同角或等角的
余角相等 △BAD≌△CEB
训练 4 已知：如图，AC⊥CE，AB⊥BD，ED⊥BD， BC＝DE.求证：AB＝CD.
训练 4 题图
证明：∵AC⊥CE，AB⊥BD， ∴∠A＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠ECD＝90°， ∴∠A＝∠ECD， ∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， 在△ABC 和△CDE 中，
训练 5 题图
证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE， 在△BEC 与△CDA 中，
∠BCE＝∠CAD， ∠CEB＝∠ADC， CB＝AC，
∴△BEC≌△CDA(AAS)．
3．共旋转型(手拉手模型)
图示
特点
结论
△ABC≌△ADE 共顶点，对应
线段相等 △ABC≌△DEC
△ABC≌△FBD 共顶点，对应
线段相等
△ABC≌△EDC
△ABD≌△ACD′ 共顶点，对 应线段相等
△CBD≌△CAD′
共顶点，对 △ADE≌△ABE′
应线段相等
训练 3 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，∠B ＝∠D，∠1＝∠2.求证：△ABC≌△ADE.
第四章 三角形
1.平边平 △ABC≌△DEF 行，一组对应
边在同一条直
线上
△ABC≌△DEF
训练 1 [2019 西藏]如图，点 E，C 在线段 BF 上，BE ＝CF，AB＝DE，AC＝DF.求证：∠ABC＝∠DEF.
训练 1 题图
专题02 全等三角形中的六种模型梳理
专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。
在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。
本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。
二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。
如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。
模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。
如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。
模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。
在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。
微专题 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
-20-
全等三角形的常见模型
F B
DA
-21-
C Em
全等三角形的常见模型
A E
B
D
-22-
C
全等三角形的常见模型
-23-
全等三角形的常见模型
-9-
模型四 半角模型
等边三角 形含半角 (∠BDC=120°)
等腰直角三 角形含半角
正方形 含半角
全等三角形的常见模型
-10-
典例5 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB 上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.
全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
-14-
模型六 手拉手模型（二）
两个等腰直角三角形：
全等三角形的常见模型
-15-
模型六 手拉手模型（三）
两个等边三角形：
全等三角形的常见模型
模 型 归 纳
-16-
动画
全等三角形的常见模型
-17-
例题 7
全等三角形的常见模型
-18-
例题8
全等三角形的常见模型
-19-
例题 9
典例3 如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE, AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.
全等三角形的常见模型
-7-
类型2 共顶点的旋转模型 典例4 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5, ∠DAB=∠DCB=-8-
无论哪种类型,图中两个全等三角形满足其中一个可以通过 另一个旋转得到.其常见图形有:
全等三角形的常见模型
-4-
模型二 对称模型
典例2 (2020·湖南怀化)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,
全等三角形经典模型总结
全等三角形经典模型总结1.S-A-S（边-角-边）全等法则：当一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
2.A-S-A（角-边-角）全等法则：当一个三角形的两角和夹边分别等于另一个三角形的两角和夹边时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，BC=EF，并且∠BCA=∠EFD，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
3.S-S-S（边-边-边）全等法则：当两个三角形的三边分别对应相等时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且AC=DF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
4.H-L（高-底）全等法则：如果两个三角形的高和底分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果h1是三角形ABC的高，b1是它的底，h2是三角形DEF的高，b2是它的底，如果h1=h2，b1=b2，则三角形ABC全等于三角形DEF。
5.A-A-S’（角-角-边）全等法则：若三角形的两个角和两个边分别与另一三角形的两个相对角和边对应，则两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，并且AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
6.1-1-1全等法则：如果两个三角形的边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，AC=DF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
7.1-1-边（边-边）全等法则：如果两个三角形的两个边和一个夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且∠ABC=∠DEF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。