2020年高考数学(文)分类专题训练《九 解析几何 第26讲 双曲线》(含近十年高考真题及解析)
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
双曲线 高考数学真题分类题库2020解析版 考点38
考点38双曲线一、选择题1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T11)设F1,F2是双曲线C:x2-23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.2【命题意图】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题,涉及双曲线的定义,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.【解题指南】由△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形得到|PF1|2+|PF2|2=16,再利用双曲线的定义得到||PF1|-|PF2||=2,联立即可得到|PF1||PF2|的值,代入△12=12|PF1||PF2|中计算即可.【解析】选B.由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2=12|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,12|PF1||PF2|=3.所以△12=2.(2020·全国卷Ⅱ文科·T9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:22-22=1>0,>0的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【命题意图】本题考查双曲线的焦距、双曲线渐近线、基本不等式等知识,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选B.双曲线C:22-22=1>0,>0的两条渐近线方程为y=±x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时,等号成立,所以c≥4,则焦距2c的最小值为8.3.(2020·全国卷Ⅱ理科·T8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:22-22=1>0,>0的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【命题意图】本题考查双曲线的焦距、双曲线渐近线、基本不等式等知识,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选B.双曲线C:22-22=1>0,>0的两条渐近线方程为y=±x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时,等号成立,所以c≥4,则焦距2c的最小值为8.4.(2020·全国卷Ⅲ理科·T11)设双曲线C:22-22=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.8【命题意图】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用,涉及勾股定理、三角形面积公式的应用.12mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e==5,所以a=1.【解析】选A.设PF1=m,PF2=n,m>n,△B12=5.(2020·浙江高考·T8)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-2图像上的点,则|OP|=()C.7D.10【命题意图】本题主要考查双曲线的定义及曲线的交点问题,考查分析问题和解决问题的能力,体现了数学抽象与数学运算的核心素养.【解析】选D.由题可知P点轨迹为双曲线右支,且2a=2,a=1,c=2,b=3,所以双曲线的方程为x2-23=1(x>0),函数y=34-2,与双曲线的交点坐标为B=10.二.填空题6.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T15)已知F为双曲线C:22-22=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.【命题意图】本题主要考查双曲线的离心率的求法,以及双曲线的几何性质的应用,属于基础题.【解题指南】根据双曲线的几何性质可知,B=2,B=c-a,即可根据斜率列出等式求解即可.B=2,B=c-a,即2-=3,变形得c2-a2=3ac-3a2,化简可得,e2-3e+2=0,解得e=2或e=1(舍去).答案:27.(2020·全国卷Ⅲ文科·T14)设双曲线C:22-22=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为.【命题意图】本题考查的是有关双曲线性质,利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键,要注意判断焦点所在位置.2 2-22=1可得其焦点在x轴上,因为其一条渐近线为y=2x,=2,e===3.答案:3.7.(2020·北京高考·T12)已知双曲线C:26-23=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.【命题意图】考查双曲线的性质.【解析】由已知,a2=6,b2=3,所以c2=a2+b2=9,右焦点为(3,0).渐近线为y,不妨取x+2y=0,则焦点到渐近线的距离为=3.答案:(3,0)3【方法技巧】焦点到渐近线的距离总为b,b=3.8.(2020·江苏高考·T6)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线22-25=1>0的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是.【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,渐近线问题.【解析】由22-25=0得渐近线方程为y=±5x,又a>0,则a=2,由c2=a2+5=9,c=3,得离心率e==32.答案:32【光速解题】e=32.答案:32。
2024年新高考版数学专题1_9.3 双曲线及其性质(分层集训)
A. 22
2
B. 4 10
5
答案 D
C. 7
D. 10
4.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方
程为y= 5 x,且与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
2
12 3
A. x2 - y2 =1
8 10
B. x2 - y2 =1
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
答案 CD
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为
渐近线的双曲线的方程可能是 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
C.x2- y2 =1
4
答案 ABD
y
k1
x2 y2 16
x
1 2
m,
1(x 1),
得
(16-
k12
)x2+(
k12
-2k1m)x-
1 4
k12
+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
k12 2k1m k12 16
,x1x2=
1 4
k12
m2 k1m k12 16
16
,
则|TA|=
设其方程为 x2 - y2 =1(a>0,b>0,x≥a),
a2 b2
则2a=2,2c=2 17 ,解得a=1,c= 17 ,
则b2=c2-a2=( 17 )2-12=16,
2020新高考数学压轴题 高中数学《双曲线》大题50道,word版,含答案解析
高中数学《双曲线》大题50题高中数学《双曲线》大题50题及答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y 轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．高中数学资料共享群734924357每天都有更新！11．已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB 的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且•＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），点P（3，）在双曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O与E、F构成的三角形面积为2，求直线l的方程．20．已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21．已知圆M：（x+1）2+y2＝，圆N：（x﹣1）2+y2＝，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．22．已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．（1）求m的取值范围；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？24．若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN 的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．27．已知双曲线C：﹣＝1 的离心率是，其一条准线方程为x＝．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．29．已知椭圆C与双曲线﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x﹣3y+5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．（1）求双曲线S的方程；（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P （0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2 （Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C 交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．36．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．37．已知点是椭圆C：的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．38．已知双曲线C：的离心率为，点（4，2）在C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N两点，求|OM|+|ON|的最大值．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB 是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．41．如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；（2）求的取值范围．42．已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0），A（x A，b2）是C1上位于第二象限内的一点，曲线C2是以点C（0，b2+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b2的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b2的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求x A；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．44．已知曲线，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2．（1）当Q运动到时，求的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y 轴交于S点，若，，且λ+μ＝1，求证T为定点．45．设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．46．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y 轴分别交于点M（m，0）（﹣＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．48．直线上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程；（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．49．已知双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为．（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）高中数学《双曲线》大题50题答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．【解析】选①．因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c，所以a+c＝+＝3+，解得m＝3，故C的方程为﹣＝1；选②．若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，则故C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，b2＝﹣m，c2＝﹣3m，所以c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝﹣3，则C的方程为﹣＝1；选③．若m＞0，则a2＝m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝4，则C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝﹣2，则C的方程为﹣＝1．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，所以M（，）；（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k MN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）2+4]＝0，∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴，∴直线l的方程为：y＝，即5x﹣2y﹣3＝0，③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x2﹣＝1上，∴x02﹣＝1，∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x02﹣＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．【解析】（1）双曲线I：，A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得以A为圆心的圆经过B，则圆的半径r＝4，圆的方程为（x+2）2+y2＝16；（2）直线L过点A（﹣2，0），且直线的斜率存在，设直线L的方程为y＝k（x+2），（k ＞0），联立双曲线方程消去y，可得（5﹣4k2）x2﹣16k2x﹣16k2﹣20＝0，可得x A+x P＝，可得x P＝，y P＝k（x+2）＝，可得AP的中点T坐标为（，），由题意可得k TB＝﹣，即为＝﹣，解得k＝（负的舍去），则直线L的方程为y＝（x+2）；（3）假设I上存在异于A、B点M、N，使+2＝成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），由+2＝，可得x2＝2﹣2x1，y2＝﹣2y1，将M，N的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1，又﹣＝1，解得x1＝2，y1＝0，与B重合，故不存在．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：，且①，双曲线的渐近线方程为，即②．又∵a2+b2＝c2…③，由①②③可得．得双曲线方程为：；（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则依题意可知D点坐标为（0，y0），∵PD的中点为M，∴，即，∵点P在圆x2+y2＝3上运动，，得4x2+y2＝3，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．【解析】（I）离心率为3，实轴长为1，即e＝＝3，a＝，可得c＝，F（﹣，0），可设抛物线的方程为y2＝2px，p＞0，可得＝，即p＝3，可得抛物线的方程为y2＝6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1＝，x2＝，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，得y2﹣6my﹣6t＝0，由韦达定理得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OM⊥ON，∴k OM•k ON＝•＝﹣＝﹣1，即t＝6，由△＝36m2+24×6＞0恒成立，则|MN|＝＝•＝6≥12，当且仅当m＝0时，|MN|取得最小值12．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣，即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y 轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．【解析】（1）设C：，因为离心率为2，所以c＝2a，．所以C的渐近线为，由，得c＝2．于是a＝1，，故C的方程为．（2）方法一、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．方法二、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，，由题设，所以，．设P（x，y）是圆D上点，则，即，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【解析】（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2c tan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝•2c•|y1﹣y2|＝•|k（x1﹣x2）|＝•|k|•＝|k|•，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4•＝4•＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
专题九 解析几何第二十六讲 双曲线答案
专题九 解析几何第二十六讲 双曲线答案部分 2019年1.解析 如图所示，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y =±．则1553232OPF S =⨯⨯=△．故选B ． 2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即b = 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是y =．3.解析：根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以c =，则该双曲线的离心率为ce a==C ．4.由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan 50b a =︒，1cos50c e a =====︒. 故选D ．5.解析：解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得PQ =，再由PQ OF =，得c =，即222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则12OP a OF ===，c e a ==故选A ．6.解析 由题意知，1b =，ce a===，解得12a =.故选D. 7.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF ===4=，即2b a =，所以c =，所以双曲线的离心率为ce a==故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ． 5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=， 得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ． 6．C【解析】由题意e a ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a bc +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意， 有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1ba =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±．12．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =A ． 13．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．14．A 【解析】 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．15．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．16．C【解析】由题知，c a =54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．17．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 18．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤． 19．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 20．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点P (2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．21．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 22．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 23．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．24．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =， 又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =25．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 26．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由e ==27．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C ． 28．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 29．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 30．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．31．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 32．232a x c ==，渐近线的方程为3y x =±，设3(2P，则3(,2Q ，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 33．1,2a b ==【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b =+，解得1,2a b ==．34．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 35．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为 22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以2244λ-=，所以1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=． 36．2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c +=，ce a=，解得2e =+2e =． 37．C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯⨯⨯=38．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =， 即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．39．2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =， 可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以2e =．40．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．411【解析】由已知可得，12cos303PF c c ==，22sin30PF c c ==，由双2c a -=，则1c e a ===． 42．44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，所以PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=．43．121,22,a c PF PF a ==-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=44．1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a ．45．2【解析】由题意得m ＞0,∴a =m ,b =,4,422++=∴+m m c m由e =5=ac得542=++m m m ，解得m =2． 46．22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =又因双曲线的离心率为c a =2a =，故23b =，所以双曲线的方程为22143x y -=． 47．2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．48．【解析】（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以c =直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c cB a -又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a -=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=（2）由（1）知a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y- 则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =49．【解析】（1）设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知||4,-=化简得L 的方程为22 1.4x y -=xT 2T 1OF PM（2）过M ，F 的直线l方程为2(y x =--，将其代入L 的方程得215840.x-+=解得1212((515551515x x l L T T ==-故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2．。
浙江2020版高考数学第九章平面解析几何9.6双曲线讲义(含解析)
§9.6双曲线1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质概念方法微思考1.平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0，0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响.∵e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编2.[P61T1]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3.[P61A 组T3]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4.[P62A 组T6]经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3) D.(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.6.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C ：y 2－x 24＝1的渐近线方程为__________，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________. 答案 y ＝±x 2 x 212－y 23＝1解析 双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ；与y 2－x 24＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y 2－x 24＝m (m ≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m ＝12－424＝－3，即该双曲线的方程为y 2－x 24＝－3，即x 212－y 23＝1.题型一 双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3. 2.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC 的顶点为A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 由条件可得，圆与x 轴的切点为T (3，0)，由相切的性质得|CA |－|CB |＝|TA |－|TB |＝8－2＝6<|AB |＝10，因此点C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， ∵2a ＝6，2c ＝10，∴a ＝3，b ＝4，故顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3).(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0，12)；③经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7).解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法 1.定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： (1)c 2＝a 2＋b 2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . 2.待定系数法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程. (2)常见设法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)；④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)；⑤与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2).跟踪训练2 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________. 答案x 216－y 29＝1 解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ， 则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±3x B.y ＝±33x C.y ＝±2x D.y ＝±22x 答案 A解析 如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0).由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称， 则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ， 所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足∠PF 2F 1＝π2，连接PF 1交y 轴于点Q ，若|QF 2|＝2c ，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 3答案 C解析 设O 为坐标原点，由题意可得，PF 2⊥x 轴，OQ ∥PF 2，所以Q 为PF 1的中点，易知F 2(c ，0)，因为|QF 2|＝2c ，所以|OQ |＝c ，又|OQ |＝12|PF 2|，所以|PF 2|＝2|OQ |＝2c ，所以|PF 1|＝22c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即22c －2c ＝2a ，所以e ＝c a＝12－1＝2＋1.故选C.(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，A 为虚轴的一个端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →＝tBF →(t ∈R )，则该双曲线的离心率为( )A.2B. 5C.1＋32D.1＋52答案 D解析 由题图知F (－c ，0)，A (0，－b )，渐近线方程为y ＝±b ax .由已知得A ，B ，F 三点共线，且AF ⊥OB .所以点F 到渐近线OB 的距离为d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，|AF |＝c 2＋b 2，又由△BOF ∽△OAF ，得|FO |2＝|FB |·|FA |.即c 2＝b c 2＋b 2，即c 4＝b 2(c 2＋b 2)，则c 4＝(c 2－a 2)(2c 2－a 2)，整理得c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝3－52舍去.所以该双曲线的离心率e ＝3＋52＝6＋254＝5＋12，故选D. 思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0).2.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (1)已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫102，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 答案 C解析 由|F 1F 2|＝2|OP |，可得|OP |＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2， 整理得(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2.又|PF 1|≥3|PF 2|，即2a ＋|PF 2|≥3|PF 2|，可得|PF 2|≤a ，所以|PF 2|＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a . 由e ＝c a，且e >1，可得1<e ≤102.故选C. (2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B.4C.233D. 3答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ， 因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ， 因为B 为双曲线左支上一点， 所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ， 由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°， 得c 2＝7a 2，则e 2＝7， 又e >1，所以e ＝7.故选A.离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ， 则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32， 故选A.例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的内切圆半径为a2，则该双曲线的离心率为( ) A.6－1B.3＋12C.6＋12D.6＋1答案 C解析 由对称性不妨设点P 在第一象限，如图，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边于G ，D ，E 三点，则|PG |＝|PE |，|GF 1|＝|DF 1|，|EF 2|＝|DF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|GF 1|－|EF 2|＝|DF 1|－|DF 2|＝2a ，设D (x 0，0)，则x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，即x 0＝a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，∴|PF 1|＝|GP |＋|GF 1|＝a 2＋|DF 1|＝a2＋c ＋a＝3a 2＋c ，|PF 2|＝|PE |＋|EF 2|＝a 2＋|DF 2|＝a 2＋c －a ＝c －a2，在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝(2c )2，整理得4c 2－4ac －5a 2＝0，则4e 2－4e －5＝0，解得离心率e ＝6＋12(舍负)，故选C.1.(2018·浙江)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)答案 B解析 ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 故选B.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax . 又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 5.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1――→的值为( )A.3B.2C.－3D.－2 答案 B解析 由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1――→＝|F 2P →|·|F 2F 1――→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6.已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B解析 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2) D.(2，＋∞)答案 A解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.9.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________. 答案x 24－y 28＝1 y ＝±2x 解析 由2a ＝4，c a＝3，得a ＝2，c ＝23，b ＝22， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，渐近线方程为y ＝±2x .10.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________. 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形. ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴1F AB S＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4. 11.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.答案 (0，2)解析 对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，求双曲线C 的离心率. 解 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得 |PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos∠F 1FP ， 即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负).13.(2018·湖州模拟)已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，∠AF 1B ＝90°，△AF 1B 的内切圆的圆心的纵坐标为72a ，则双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.5D.52答案 A解析 设内切圆的圆心M (x ，y )，圆M 分别切AF 1，BF 1，AB 于S ，T ，Q ，如图，连接MS ，MT ，MF 1，MQ ，则|F 1T |＝|F 1S |，故四边形SF 1TM 是正方形，边长为圆M 的半径.由|AS |＝|AQ |，|BT |＝|BQ |， 得|AF 1|－|AQ |＝|SF 1|＝|TF 1|＝|BF 1|－|BQ |，又|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|， ∴Q 与F 2重合，∴|SF 1|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a ，即(x －c )2＋y 2＝4a 2，① |MF 1|＝22a ，(x ＋c )2＋y 2＝8a 2，②联立①②解得x ＝a 2c ，y 2＝4a 2－b 4c 2，又y ＝72a ，故7a 24＝4a 2－b 4c 2，得e ＝c a＝2. 14.如图，已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线与圆x 2＋y2＝1相切于点T ，与双曲线的左、右两支分别交于A ，B ，若|F 2B |＝|AB |，求b 的值.解 方法一 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义， 得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos∠F 2F 1A ＝b c，sin∠F 2F 1A ＝1c，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ＋2×b c ，2×1c ，将点A 的坐标代入双曲线得(－c 2＋2b )2c 2－4c 2b 2＝1，化简得b 6－4b 5＋5b 4－4b 3－4＝0，得(b 2－2b －2)(b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2)＝0，而b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2＝b 2(b －1)2＋b 2＋1＋(b －1)2>0，故b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3. 方法二 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接AF 2，则|AF 2|＝2＋|AF 1|＝4.连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ， 所以cos∠F 2F 1A ＝b c. 在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 2F 1A ＝|F 1F 2|2＋|AF 1|2－|AF 2|22|F 1F 2|·|AF 1|＝c 2－32c ，所以c 2－3＝2b ，又在双曲线中，c 2＝1＋b 2， 所以b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且交双曲线的右支于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1∶r 2＝3∶1，则直线l 的斜率为( ) A.±1B.±2C.±3D.±2 答案 C解析 方法一 当A 在第一象限时，如图1，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ， 则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |， 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ， ∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ， ∴|F 2P |＝c －a ， ∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点， 连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2. 连接O 1F 2，O 2F 2，又O 1F 2平分∠F 1F 2A ，O 2F 2平分∠F 1F 2B ， ∴∠O 1F 2O 2＝90°，∴Rt△O 1F 2P ∽Rt△F 2O 2P ∽Rt△O 1O 2F 2，∴|O 1F 2|2＝|O 1P |·|O 1O 2|，|O 2F 2|2＝|O 2P |·|O 1O 2|， ∴|O 1F 2|2|O 2F 2|2＝|O 1P ||O 2P |＝r 1r 2＝3， 则tan∠O 2O 1F 2＝|O 2F 2||O 1F 2|＝33，∴∠O 2O 1F 2＝30°，则∠O 1F 2P ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°， ∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3. 综上，直线l 的斜率为± 3.方法二 当A 在第一象限时，如图2，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ，则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |，又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ，∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ，∴|F 2P |＝c －a ，∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点，连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2.设⊙O 2切BF 2于点H ，连接O 1N ，O 2H ，则在直角梯形O 2HNO 1中，|O 2H |＝r 2，|O 1N |＝r 1＝3r 2，|O 1O 2|＝r 1＋r 2＝4r 2，作O 2T ⊥O 1N 于点T ，则|O 1T |＝r 1－r 2＝2r 2，故在Rt△O 1O 2T 中，∠O 2O 1T ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°，∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3.综上，直线l 的斜率为± 3.16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF 2的倾斜角为120°，△PF 1F 2的面积S ＝32(a 2＋b 2)，求双曲线C 的离心率. 解 方法一 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以|PF 2|＝|y 0|sin60°＝c . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos∠PF 2F 1＝c 2＋(2c )2－2×c ×2c ×cos60°＝3c 2，所以|PF 1|＝3c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝(3－1)c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝23－1＝3＋1.方法二 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以x 0＝c －|y 0|tan60°＝c 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c . 由点P 在双曲线上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1， 整理得c 4－8c 2a 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e >1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考第九章 9.6 双曲线 Word版含解析
§双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．．双曲线定义平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合＝{－＝}，＝，其中，为常数且>，>.()当<时，点的轨迹是双曲线；()当＝时，点的轨迹是两条射线；()当>时，点不存在．．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝(>，>)－＝(>，>)图形性质范围≥或≤－，∈∈，≤－或≥对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点(－)，()(，－)，(，)渐近线＝±＝±离心率＝，∈(，＋∞)，其中＝实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长＝，线段叫做双曲线的虚轴，它的长＝；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长，，的关系＝＋ (>>，>>)概念方法微思考．平面内与两定点，的距离之差的绝对值等于常数的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当＝时，动点的轨迹是两条射线；当>时，动点的轨迹不存在；当＝时，动点的轨迹是线段的中垂线．．方程＋＝表示双曲线的充要条件是什么？提示若>，<，表示焦点在轴上的双曲线；若<，>，表示焦点在轴上的双曲线．所以＋＝表示双曲线的充要条件是<.．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，，只限制>，>，二者没有大小要求，若>>，＝><<，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵＝＝，故当>>时，<<，当＝>时，＝(亦称等轴双曲线)，当<<时，>.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()平面内到点()，(，－)距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．(×)()方程－＝(>)表示焦点在轴上的双曲线．(×)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题九 解析几何第二十六讲 双曲线2019年1.(2019全国III 文10）已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．922.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3.（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．24.（2019全国1文10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒5.（2019全国II 文12）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D6.（2019北京文5）已知双曲线2221x y a-=（a >0a =（A（B ）4（C ）2 （D ）127.（2019天津文6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（A（B（C ）2（D2010-2018年一、选择题1．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．=y x3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．4．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -=5．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ∆的面积为A ．13 B ．12 C ．23 D ．326．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)7．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -= 8．（2016天津）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 9．（2015湖南）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A B ．54 C ．43D ．53 10．（2015四川）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A ．3B ．C ．6D ．11．（2015重庆）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为A ．12±B ．2±C ．1±D ．12．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m13．（2014广东）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等14．（2014天津）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 15．（2014重庆）设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A ．34 B ．35 C ．49D ．316．（2013新课标1）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C的渐近线方程为 A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±17．（2013湖北）已知04πθ<<，则双曲线 22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ． 离心率相等18．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．(2]3 B ．[,2)3 C ．()3+∞ D ．[)3+∞ 19．（2012福建）已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4 C ．32D ．4320．（2012湖南）已知双曲线C ：22x a-22y b =1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1 D ．220x -280y =1 21．（2011安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．22．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22x y +-650x +=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -= 23．（2011湖南）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．124．（2011天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1)，则双曲线的焦距为A ．B ．C ．D ．25．（2010新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 26．（2010新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为A B C D 27．（2010福建）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP u u u r u u u rg 的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8 二、填空题28．(2018北京)若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2a =_________．29．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 30．（2017新课标Ⅲ）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 31．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．32．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中 ，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．33．（2016年北京）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．34．（2016年山东）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 35．（2015新课标1）已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 ．36．（2015山东）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．37．（2015新课标1）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当APF ∆ 周长最小时，该三角形的面积为 ．38．（2014山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．39．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．40．（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．41．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．42．（2013辽宁）已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为 ．43．（2012辽宁）已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为 ．44．（2012天津）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b = ．45．（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 ．46．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．47．(2011北京)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = ．三、解答题48．（2014江西）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）． （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a xx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值．49．（2011广东）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程； （2）已知点M 3545(5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．专题九解析几何第二十六讲双曲线答案部分2019年1.解析如图所示，不妨设F为双曲线22:145x yC-=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a=，25b=，则223c a b+=，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y+=．联立22229145x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y=±．则1553232OPFS=⨯⨯=△．故选B．2.解析因为双曲线2221(0)yx bb-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b=，即2b=又1a=，所以该双曲线的渐近线方程是2y x=．3.解析：根据渐进线方程为0x y±=的双曲线，可得a b=，所以2c a=，则该双曲线的离心率为2cea==C．4.由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan 50b a =︒，2222111tan 50sec 50cos50c b e a a ==+=+︒=︒=︒. 故选D ．5.解析：解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则1222OP a OF ===，2c e a ==故选A ．6.解析 由题意知，1b =，215ca e a+===，解得12a =.故选D. 7.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（为原点），所以2b a =，1=，所以24ba=，即2b a =，所以c =，所以双曲线的离心率为ce a==故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ． 5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=， 得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ． 6．C【解析】由题意e a ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩o ，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a bc +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意， 有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1ba =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±．12．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =A ． 13．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．14．A 【解析】 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．15．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．16．C【解析】由题知，c a =54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．17．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 18．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤． 19．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 20．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又Q C 的渐近线为b y x a =±，点P (2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=g ，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．21．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 22．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 23．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．24．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =， 又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =25．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 26．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由e ==27．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+u u u r ，00(,)OP x y =u u u r，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r =00(1)OP FP x x ⋅=++u u u r u u u r 203(1)4x -=20034x x ++， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r 取得最大值222364++=，选C ． 28．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 29．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 30．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．31．22y x=±【解析】设11(,)A x y，22(,)B x y，由抛物线的定义有1212||||22p pAF BF y y y y p+=+++=++，而||2pOF=，所以1242py y p++=⨯，即12y y p+=，由2222212x ya bx py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b-+=，所以21222pby ya+=，所以222pbpa=，即2a b=，所以渐近性方程为22y x=±．32．23【解析】由题意，右准线的方程为232axc==，渐近线的方程为3y x=±，设33(,)2P，则33(,)2Q-，1(2,0)F-，2(2,0)F，所以四边形12F PF Q的面积为1211||||432322F F PQ=⨯⨯=．33．1,2a b==【解析】依题意有52cba⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b=+，解得1,2a b==．34．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a===-=-==故离心率221ca==35．2214xy-=【解析】因为双曲线的渐近线方程为xy21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4xyλλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以224(3)4λ-=，所以1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=． 36．2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c +=，ce a=，解得2e =+2e =． 37．C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯⨯⨯=38．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =， 即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．39．2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =， 可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以2e =．40．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．411【解析】由已知可得，12cos30PF c ==o，22sin30PF c c ==o ，由双2c a -=，则1c e a ===． 42．44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，所以PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=． 43．121,22,a c PF PF a ==-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=Q44．1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a ．45．2【解析】由题意得m ＞0,∴a =m ,b =,4,422++=∴+m m c m由e =5=ac得542=++m m m ，解得m =2． 46．22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =又因双曲线的离心率为4c a =，所以2a =，故23b =，所以双曲线的方程为22143x y -=． 47．2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．48．【解析】（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以c =直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c cB a -又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a -=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=（2）由（1）知a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y- 则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =49．【解析】（1）设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知||4,-=化简得L 的方程为22 1.4x y -=xT 2T 1O FPM（2）过M ，F 的直线l 方程为2(y x =--，将其代入L 的方程得 215840.x -+=解得1212x x l L T T ==故与交点为因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<= 故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2．。