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傅里叶级数
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性
1．三角级数
简谐振动： y=Asin(ωt+ ) T 2 , A为振幅，ω为角频， 为初相。
f(t)A 0 A nsin n t(n) (1) n1 其中A0 ,An, n为常数。
由三角公式，我们有
Ansin(nωt+ n )=Ansin n cosnωt+A ncos n sinnωt
令 a0 2
A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a 2 0n 1(anco ns x bnsin n )x (2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 ,cx o ,ssix ,n c2 o x ,s si2 x n , cn o,ss xin n , x
(1) 当 x是 f(x)的 连 续 点 时 ,级 数 收 敛 于 f(x);
(2 )当 x 是 f(x )的 间 断 点 时 , 收 敛 于 f(x 0 )f(x 0 ); 2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
题目类型：
(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
在 [ ， ]上 正 交 ：
任 意 两 个 不 同 函 数 的 乘 积 在 [ ,] 上 的 积 分 等 于 零 .
cons xdx0,
sinnxdx0,
(n1,2,3, )
0, mn
sim nsxin nx d x,
, mn
0, mn
com scxonsx d x,
, mn
sim n cxonsxd0x.
方法： (i)先求傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
(iii)根据收敛定理把上式写成等式
f(x)a 2 0n 1(anco n sx bnsx in n 连)续 x点 集 合
0
xdx,
1
an f(x)cons xdx
10
1
(x)consx dx 0xconsxdx
2 (cons1) n2
2 [(1)n
n2
1]
(2k41)2, n2k1,k1,2,
0,
n2k,k1,2,
1
bnf(x)s in nxdx
10
1
(x)sin nx dx 0xsi(n n n x1,d 2,03 ,x , )
(iii)限制在[-， ] 再用收敛定理得到f(x)的傅立 叶级数展开式。
例2
将 函 数 f(x) xx ,,
x0展 开 为 傅 立
0x
叶 级 数 .
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在 [,]
y
收敛于f (x) .
2 0 2 x
1
a0
f(x)dx
1
0(x)dx1
1
bnu(t)s in ntdt
10
1
( E m )sin nt d t0E m sin ntdt
2Em(1cons) 2Em[1(1)n]
n
n
(2k4E m 1), n2k1,k1,2,
0,
n2k,k1,2,
所给函数满足狄利克雷充分条件.
所求函数的傅氏展开式为
u(t)n 1(2n 4E m 1)si2 n n (1)t
2
[ak co kss xin nxb d k x sikn sxin nx ]dx
k 1
bn ,
bn1 f(x)sin nxdx (n1,2,3, )
傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
问题:
f(x)条?件 a 2 0n 1(anco n sx b nsin n )x
9.5.1(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 设f(x)是以2为周期的周期函数.如果它满
足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间
断点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶
级数收敛,并且
(1) 求a0 .
f(x )d x a 2 0d x [k 1 (a kck o x b s ksk i) n ] d xx
a 2 0d x k 1akco kd s x x k 1b ksiknxdx
a0 2 ,
2
1
a0 f(x)dx
(2) 求an.
(其 m ,n 中 1 ,2 , )
9.5.2 将函数展开成傅里叶级数
设f (x)是周期T = 2π的周期函数，且能展开成
三角级数：f(x)a 2 0k 1(akco ks xbksikn)x
问题: 1.若能展开, ai ,bi 是什么?
2.展开的条件是什么? 傅里叶系数
若f(有 x)a 2 0k 1(akco k s x b ksikn )x
f(x)consx dax0
consxdx
2
[ak co kc s xo nsxb d k x sikn cxo nsx ] dx
k 1
f(x)consx
d
x(n1,2,3, )
(3) 求bn.
f(x)sin nx dax0
sin nxdx
例1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t) EEmm,,
0t t 0
Em
u
将其展开为傅立叶级数.
o
t
Em
解
a0
1
u(t)d
t1
0
1
(Em)d t 0 Emd
t
0
1
anu(t)constdt
0 1 0 (( n E m 1 ),c 2 , o n )st d 1t0 E mco nstdt
( t ; t 0 , , 2 , )
在 t 点 k (k 0 , 1 , 2 , )处不 . 连
收敛于 EmEm 0, 2
(2) 将定义在[-， ] 上的 函数f(x) 展开成傅立 叶级数。
方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在 (，)上的周期函数F(x).
(ii) F(x)的傅立叶级数与 f(x)的傅立叶级数相同.