历年数列高考题及答案

高考数列汇编及答案

1. (福建卷）已知等差数列{}n a 中，7941216,1,a a a a +==则的值是( )

A.15?B ．3０ C.３1 Ｄ.64

2． (湖南卷）已知数列{}n a

满足*110,)n a a n N +==∈,则20a = （ ) ?A.0 B ．3- Ｃ.3 D.23

３. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n ｝中,首项ａ1=３ ,前三项和为２1,则a ３+ a ４＋ a 5=（）

( A ） 3３ ( B ） 72 ( C ) ８4 ( D )1８9

4. (全国卷II ）如果数列{}n a 是等差数列，则( ）

(A ）1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+?(C) 1845a a a a +>+?(D) 1845a a a a =

5. (全国卷II ) 1１如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠，则( )

(Ａ) 1845a a a a >?(B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ （D) 1845a a a a =

6. （山东卷){}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列,如果n a =20０5，则序号n 等于（ )

(A)667 (Ｂ）6６8 (C ）6６9 (D ）670

7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过3９，则该塔形中正方体的个数至少是

( )

（Ａ) 4； (B ） 5； (C) 6；（D) 7。

8. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q,前n 项和为S n ,若S ｎ+1，S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 .

９. (全国卷II ) 在83和27

2之间插入三个数,使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______

10． (上海）12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记

n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =。例如:用１,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是1２,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b ,那么，在用1,2,3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ ＝_＿＿＿___。

11. (天津卷)在数列{a ｎ}中, a １＝1, a 2=2，且

)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则100S = ＿__.

12．（北京卷)设数列{a n }的首项a 1＝ａ≠41，且

11为偶数21

为奇数4n

n n a n a a n +???=??+??, 记2114n n b a -=-,n ==ｌ,2，３,…·. (I)求ａ2,a ３；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；

（I ＩI ）求123lim()n n b b b b →∞++++.

13.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S ｎ,且a １＝1,113n n a S +=

，n ＝1，2,3，……，求 (I ）a 2,a 3,a 4的值及数列{a ｎ}的通项公式;

(II)2462n a a a a ++++的值.

1４．（福建卷)已知｛n a ｝是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．

(Ⅰ）求ｑ的值;

（Ⅱ)设｛

n b }是以２为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为S n ，当ｎ≥2时，比较S ｎ与ｂn 的大小，并说明理由．

15. (福建卷）已知数列{a ｎ}满足ａ１＝a ， a ｎ+1=１+1n

a 我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列,如当a ＝1时,

得到无穷数列：35111,2,,,;,:,2322

a =---当时得到有穷数列（Ⅰ）求当a 为何值时a ４=０;

(Ⅱ)设数列{b n }满足b １＝-1, b n+1=1()1

n n N b +∈-,求证a 取数列{ｂn }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛a ｎ}； (Ⅲ)若

32(4)2

n a n <<≥，求a 的取值范围．

1６. (湖北卷)设数列}{n a 的前n 项和为Ｓn ＝2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

(Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;

(Ⅱ)设n n n

a c

b =,求数列{}n

c 的前ｎ项和T n .

17. (湖南卷）已知数列*2{log (1)})n a n N -∈为等差数列,且.9,331

==a a

(Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

(Ⅱ）证明2132

1111 1.n n a a a a a a ++++<---

18. (江苏卷）设数列{a n }的前项和为

n S ,已知a 1＝1， a 2=6, ａ3=１1,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数． (Ⅰ)求

A 与

B 的值;

(

Ⅱ）证明数列{a n ｝为等差数列;

（Ⅲ)1m n 对任何正整数、都成立.

19. (全国卷Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的首项112

a =

，前n 项和为n S ,且10103020102(21)0S S S -++=。 (Ⅰ)求{}n a 的通项；

（Ⅱ）求{}n nS 的前ｎ项和n T 。

20. （全国卷Ⅰ) 设等比数列

{}n a 的公比为q ，前ｎ项和),2,1( 0 =>n S n 。（Ⅰ)求q 的取值范围；

(Ⅱ）设2132n n n b a a ++=-

,记{}n b 的前ｎ项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。

２1. (全国卷ＩI ) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21n n b a =，1,2,3,

n =.

（Ⅰ）证明{}n b 为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列{}n b 前３项的和等于724,求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．

数列（高考题）答案

1－7 A ＢＣ B B C C

8. (湖北卷）－2 9． (全国卷II ) 21６

10． (上海)-1080 １1. (天津卷)２６00

12.（北京卷)解:（I)ａ2=a 1+41=ａ+41，a 3＝21ａ2＝21ａ＋81

；

(II)∵ a ４＝a 3+41=21a +83, 所以a 5＝21a 4＝41

a +316,

所以b 1=ａ１-41=a -41， b 2＝a 3－41=21(a -41）, b ３=a 5-41=41(a -41

猜想:{ｂn }是公比为21

的等比数列·

证明如下: 因为b ｎ+1=a 2ｎ＋１－41=21a 2ｎ-41=21(a 2n －１-41）=21

ｂn , (n ∈N ＊)

所以{b n }是首项为a －41, 公比为21

的等比数列·

(III ）

11121(1)12lim()lim 2()1141122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---. 13.（北京卷)解:（I ）由a 1=1,

113n n a S +=,n=1，2,３，……,得 211111333a S a ===,3212114()339a S a a ==+=,431231116()3327a S a a a ==++=, 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=(ｎ≥2)，得143n n a a +=(n ≥2），又a 2＝31,所以a n =214()33n -(n ≥２),

∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=??=???≥;

（II ）由（I)可知242,,,n a a a 是首项为31,公比为24()3项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a ++++=22241()1343[()1]43731()3n n -?=--

14.（福建卷)解：（Ⅰ)由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即

.012,021=--∴≠q q a .211-=∴或q

（Ⅱ)若.2312)1(2,12n n n n n S q n +=?-+==则当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时故.n n

b S >

若.49)21(2)1(2,212n n n n n S q n +-=--+=-=则当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时

故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当

１5. （福建卷）（I ）解法一:

,11,11n n a a a a +==+ .

0.1111

1.1111.1111,.

}{.11,1,1:)(.03

2.32,11.21,11.1,011,0:.03

2.12231111211,11111112

12123112111422233344342312=∴-==+=+=∴=+=+

=∴=+=+

=∴==+=∴-=

-==-=-=∴+==∴+=-=∴=+

∴==-=++=+=++=+=+=+=+

=∴+----++n n n n n n n n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当故a 取数列{ｂｎ｝中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛a n ｝

16． (湖北卷)

解:(１）:当;2,1

11===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故{ａn }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.

设｛b ｎ｝的通项公式为

.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故

.42}{,4121111---=?-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即 (II),4)12(422411---=-==

n n n n n n n b a c

]

4)12(4)32(454341[4],

4)12(45431[13212121n n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得 ].54)56[(91]54)56[(3

14)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

17． (湖南卷)

（I)解:设等差数列

)}1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d ＝1．

所以

,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a (I Ｉ)证明因为n n n n n a a a 2121111=-=-++，所以n n n a a a a a a 2121212111132112

312++++=-++-+-+ .121121121212

1<-=-?-=n n

18. (江苏卷)

解：(Ⅰ)由11a =,26a =，311a =,得11S =,22S =,318S =.

把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+,得28,248A B A B +=-??+=-?

解得,20A =-,8B =-.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--,即11582208n n n na S S n ++--=--, ①

又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-．?②

②－①得,21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-,即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-．???③

又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．? ④

④-③得,321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，

∴32120n n n a a a +++-+=,

∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=，又215a a -=,

因此，数列{}n a 是首项为1,公差为５的等差数列．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,54,()n a n n *=-∈N .考虑

55(54)2520mn a mn mn =-=-

21)11m n m n m n a a a a a a =++++2515()9m n m n =-++.

∴

251)15()291522910mn a m n -+-?-=>．

即

251)mn a >

1．因此

1．

１9. (全国卷Ⅰ)

解:（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得

,)(21020203010S S S S -=- 即

,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得

.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++? 因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列,故

.2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--=

则数列}{n nS 的前ｎ项和 ),22221()21(2n n n n T +++-+++=

).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T

前两式相减,得 122)212121()21(212

+++++-+++=n n n n n T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T

20． (全国卷Ⅰ)

解:(Ⅰ)因为

}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时

1(1)11,0,0,(1,2,)11n n

n a q q q S n q q --≠=>>=--当时即

上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =???<-<-n q q n ①

或),2,1(,01,01 =???>->-n q q n ②

解①式得ｑ>１;解②,由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<ｑ<1.

综上，ｑ的取值范围是).,0()0,1(+∞?-

(Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n

又∵n S >0且－１

当1

12q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当122q -<<且q ≠０时,0n n T S -<即n n T S < 当1

2q =-或q =2时,0n n T S -=即n n T S =

21. (全国卷II )

(I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列 ∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2

214a a a =

又设等差数列{}n a 的公差为d ，则(1a －d )2＝1a (1a －3d ) 这样21d a d =，从而d （d －1a )＝0 ∵d ≠0

∴d ＝1a ≠0 ∴122111(21)22n n n n n n

a a d d

b a d =+-==

∴{}n b 是首项为1b ＝12d ,公比为12的等比数列。

(ＩI ）解。∵1231117

(1)22424b b b d ++=++=

∴d ＝3

∴1a =d =3