2020年河南省六市高三第二次联考数学(理科)试卷及答案
理科答案一、选择题1--5CBADC 6--10ACDAB 11—12DA二、填空题13、14、2815、3416、第一空2n （2分）第二空{}2（3分）17.解：（1）由①2633()b ac c a b -+=+及余弦定理得，2223)a c b +-=-（所以362cos 222-=-+=ac b c a B ................3分②由cos 2cos C c b A a a +=及正弦定理，得cos sin cos sin 2sin cos sin sin C A A C B A A C +=，即sin(2sin cosAsinA sin A C B A+=）,0A C A π+∈ （，）sin sin 0A CB ∴+=≠（）1cos 2A ∴=0A π∈ （，），3A π∴=……………………6分因为32),,0(,2136cos ππ>∈-<-=B B B 所以且.,矛盾所以π>+B A 不能同时满足所以ABC ∆①②.............................8分（2）有（1）知，满足故ABC ∆①③④或②③④............................9分若ABC ∆满足①③④因为B ac c a b cos 2222--=024,36626822=-+⨯⨯⨯++=c c c c 即所以26-=c 解得.............................11分23sin 21-==∆∴B ac S ABC 的面积.............................12分另：若ABC ∆满足②③④.............................9分1sin ,sin 22236,sin sin ===B B B b A a 解得即2c ∴=...................................11分3sin 21==∆∴A bc S ABC 的面积.........................12分18.解：（1）过P 做AB PO ⊥与O ，连ODOC ,由题可知，3==CD AB ，222AB PB PA =+∴,3,32,2,1,2=====∴OC OD OA OB PO ，所以CD OC ⊥..........................................2分平面⊥PAB 底面ABCD ,交线为AB ，⊥∴PO 底面ABCD ，所以CD PO ⊥，又⊂=PO OC O PO OC ,, 平面POC ，故⊥CD 平面POC ，所以CD PC ⊥；.................................................6分（2）由（1）知OD AB ⊥，以O 为坐标原点，OP OB OD ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标如图所示..7分则)0,23,23(),0,0,32(),2,0,0(C D P ......................................8分所以)0,23,233(),2,0,32(-=-=CD PD 设平面平面PCD 的法向量),,(z y x m =故⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0232330232y x z x 令1=x ，可得)6,3,1(=m 平面PAB 的法向量取)0,0,1(=n ，..............10分所以1010101||||,cos ==>=<n m nm n m 故平面PCD 与PAB 夹角的余弦值为1010...............12分19.解：（1）设)(),,(1,100y x P y x M ，则),(00y x N --由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11221221220220b y a x b y a x 得0))(())((2101021010=-++-+b y y y y a x x x x 即2210101010))(())((ab x x x x y y y y -=-+-+222b a =∴，又122=-b a ，1,222==∴b a ，故椭圆C 的标准方程为：1222=+y x ...............4分（2）设直线PQ 的方程为：1+=ty x ，则直线MN 的方程为代入tyx =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ty x 得012)2(22=-++ty y t ，设)(2,2y x Q 则0)1(8)2(44222>+=++=∆t t t ，22122121,22ty y t t y y +-=+-=+.......7分所以222122)1(22||1||t t y y t PQ ++=-+=…..........................................9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222y x ty x 得22022t y +=，......................................10分=∴||MN 2220220202)1(22)1(22t t y t y x ++=+=+...............................11分故22||||2=PQ MN 为常数.得证....…......................................12分20．【解析】（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，故估计50位农民的年平均收入x 为17．40千元．…………………………………...3分（2）由题意知()17.40,6.92X N ~，①()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14．77千元．…………………………………………6分②由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈，每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773…………….……………………..….8分记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ ，其中0.9773P =……………………………..………………………………….…9分于是恰好有k 个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为()()331010C1k k k p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，得1001k p <……………………………………….…10分而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=；当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．…………………………………………………………………………….….12分21.（1）1令 x t +=由题意知()(1)f x a x ≤+等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立…………1分令()2ln h t a at t =-+，则'22()at h t a t t-=-=………………………………………………2分当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于(1)0h =，不合题意…………………3分当0a >时，'2()()a t a h t t --=，故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'()0h t >()h t 单调递增当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭'()0h t <()h t 单调递减，故max 2()(22ln 22ln h t h a a a ==-+-……………………………………………………………4分所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤即22ln 22ln 0a a -+-≤()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则'22()1a a a aϕ-=-=，所以()0,2时x ∈'()0a ϕ<，()a ϕ单调递减()2,时x ∈+∞'()0a ϕ>，()a ϕ单调递增，又因为(2)0ϕ=所以满足条件的a 只有2，即2a =………………………………………………………………6分也可以分离参数或者数形结合，同样给分（2）由（1）知，1令 x t +=(1)()()1x f x g x x a +=+-变形成22ln ()(2)2t t t t t t θ+=>-，所以/22(2ln 4)()(2)t t t t θ--=-……………………………………………………………………7分令()2ln 4s t t t =--，则/22()1t s t t t -=-=由于2t >，所以/()0s t >。
即()s t 在),2(+∞上单调递增，又因为0)8(<s ，0)9(>s ，所以00(8,9),()0t s t ∃∈=使得，…………………………9分且当02t t <<时，()0s t <；当0t t >时，()0s t >，即0()(2,)x t θ在上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增所以200000min 000022ln 2()()22t t t t t t t t t t θθ+-====--，（因为002ln 4t t =-），即0m t =………………………………………11分所以98<<m ………………………………………12分22.（1）由曲线1C 的参数方程为1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）消去参数得40x -=cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ=即cos sinsin cos 266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin(26πρθ+=…………………………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++=即2213x y +=……………5分（2）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,2C πρθ+故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416(2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++，即AOB ∆面积的最小值为34当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”……………8分法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”…………………………8分121324AOB S ρρ∆=≥此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++ 48cos 3π==故所求四边形的面积为329844-=……………………………………………………10分23.证明（1）,,0a b c > ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111(4x x c b a ≥+--+2221114a b c =++∴2221114a b c ++1=……………………………………………………3分由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c ++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ===时取“=”∴22249a b c ++≥……………………………………………………5分（2）22112,a b ab +≥ 22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”）………………………………………7分将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112(24a b c ++=即111122ab bc ac ++≤……………………………………………………10分。
2020高考模拟河南六市-理数答案
2020年河南省六市高三第二次联合教学质量监测理科答案一、选择题1--5CBADC 6--10ACDAB 11—12DA二、填空题13、14、2815、3416、第一空2n （2分）第二空{}2（3分）17.解：（1）由①2633()b ac c a b -+=+及余弦定理得，2223)a c b +-=-（所以362cos 222-=-+=ac b c a B ...............3分②由cos 2cos C c b A a a +=及正弦定理，得cos sin cos sin 2sin cos sin sin C A A C B A A C +=，即sin(2sin cosAsinA sin A C B A+=）,0A C A π+∈ （，）sin sin 0A CB ∴+=≠（）1cos 2A ∴=0A π∈ （，），3A π∴=……………………6分因为32),,0(,2136cos ππ>∈-<-=B B B 所以且.,矛盾所以π>+B A 不能同时满足所以ABC ∆①②............................8分（2）有（1）知，满足故ABC ∆①③④或②③④...........................9分若ABC ∆满足①③④因为Bac c a b cos 2222--=024,36626822=-+⨯⨯⨯++=c c c c 即所以26-=c 解得............................11分23sin 21-==∆∴B ac S ABC 的面积............................12分另：若ABC ∆满足②③④............................9分1sin ,sin 22236,sin sin ===B BB b A a 解得即c ∴=..................................11分3sin 21==∆∴A bc S ABC 的面积........................12分18.解：（1）过P 做AB PO ⊥与O ，连ODOC ,由题可知，3==CD AB ，222AB PB PA =+∴,3,32,2,1,2=====∴OC OD OA OB PO ，所以CD OC ⊥.........................................2分平面⊥PAB 底面ABCD ,交线为AB ，⊥∴PO 底面ABCD ，所以CD PO ⊥，又⊂=PO OC O PO OC ,, 平面POC ，故⊥CD 平面POC ，所以CD PC ⊥；................................................6分（2）由（1）知OD AB ⊥，以O 为坐标原点，OP OB OD ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标如图所示..7分则)0,23,23(),0,0,32(),2,0,0(C D P .....................................8分所以)0,23,233(),2,0,32(-=-=CD PD 设平面平面PCD 的法向量),,(z y x =故⎪⎩⎪⎨⎧=-=-023*******y x z x 令1=x ，可得)6,3,1(=平面PAB 的法向量取)0,0,1(=n ，.............10分所以1010101||||,cos ==>=<n m nm n m 故平面PCD 与PAB 夹角的余弦值为1010..............12分19.解：（1）设)(),,(1,100y x P y x M ，则),(00y x N --由⎪⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11221221220220b y a x b y a x 得0))(())((2101021010=-++-+b y y y y a x x x x 即2210101010))(())((ab x x x x y y y y -=-+-+222b a =∴，又122=-b a ，1,222==∴b a ，故椭圆C 的标准方程为：1222=+y x ..............4分（2）设直线PQ 的方程为：1+=ty x ，则直线MN 的方程为代入tyx =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ty x 得012)2(22=-++ty y t ，设)(2,2y x Q 则0)1(8)2(44222>+=++=∆t t t ，22122121,22t y y t t y y +-=+-=+......7分所以222122)1(22||1||t t y y t PQ ++=-+=….........................................9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222y x ty x 得22022t y +=，...................................10分=∴||MN 2220220202)1(22)1(22t t y t y x ++=+=+............................11分故22||||2=PQ MN 为常数.得证....…....................................12分20．【解析】（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，故估计50位农民的年平均收入x 为17．40千元．…………………………………...3分（2）由题意知()17.40,6.92X N ~，①()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14．77千元．…………………………………………6分②由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈，每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773…………….……………………..….8分记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ ，其中0.9773P =……………………………..………………………………….…9分于是恰好有k 个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为()()331010C 1k k k p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，得1001k p <……………………………………….…10分而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=；当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．…………………………………………………………………………….….12分21.（1）1令 x t +=由题意知()(1)f x a x ≤+等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立…………1分令()2ln h t a at t =-+，则'22()at h t a t t-=-=………………………………………………2分当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于(1)0h =，不合题意…………………3分当0a >时，'2()()a t a h t t --=，故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'()0h t >()h t 单调递增当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭'()0h t <()h t 单调递减，故max 2()()22ln 22ln h t h a a a ==-+-……………………………………………………………4分所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤即22ln 22ln 0a a -+-≤()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则'22()1a a a aϕ-=-=，所以()0,2时x ∈'()0a ϕ<，()a ϕ单调递减()2,时x ∈+∞'()0a ϕ>，()a ϕ单调递增，又因为(2)0ϕ=也可以分离参数或者数形结合，同样给分（2）由（1）知，1令 x t+=(1)()()1x f x g x x a +=+-变形成22ln ()(2)2t t t t t t θ+=>-，所以/22(2ln 4)()(2)t t t t θ--=-……………………………………………………………………7分令()2ln 4s t t t =--，则/22()1t s t t t -=-=由于2t >，所以/()0s t >。
2020年河南省六市高三第二次模拟考试数学(理)试题(有解析)
2020年河南省六市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．记(0,)S e =，若对任意m S ∈，存在1,x 2x S ∈且12x x ≠，使得21122ln ln (3ax x ax x m -=-=+，则满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．从装有大小材质完全相同的1个白球，2个黑球和3个红球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ）A ．15B ．415C ．25D ．133．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n ＞na n 对n ≥2恒成立”是“a 3＞a 4”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()sin 01y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．12236log 49-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）． A ．43 B ．1 C ．1- D ．346．已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则52y z x -=+的最大值为（ ）A ．45B ．49C ．23D ．1 7．设集合{}{}22|10,|log 0A x x B x x =-<=<，则A B =（ ）A ．(1,0]-B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．∅ 8．设1211i z i i -=+-+，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．-1 D ．i -9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BD 的中点，则PAC 在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（ ）A ．①④B ．①②C ．②③D ．②③10．已知O A B C ，，，为同一平面内的四个点，若，则向量OC 等于（ ）A ．2133OA OB - B ．C ．2OA OB -D ．2OA OB -+ 11．设抛物线C ：y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．5C ．6D ．712．陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（ ）A ．123π-B ．122π-C ．83π-D ．8π+二、双空题13．已知等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，其前n 项和为S n ，若满足a 1，a 2，a 5成等比数列，且S 3＝9，则d ＝_____，S n ＝_____.三、填空题14．6的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答) 15． 已知向量13,,,22a OA a b OB a b ⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________.16．已知直线MN 与双曲线2222:1x y C a b-=的左右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线C 的右准线相交于P 点，点F 为右焦点，若2FM FN =，()01NP PM λλ=<<，则实数λ的值为___________.四、解答题17．举行动物运动会其中有小兔大兔接力赛跑一项，跑道从起点A 经过点P 再到终点B ，其中10AP =米，40PB =米，规定小兔跑第一棒从A 到P ，大兔在P 处接力完成跑第二棒从P 到B ，假定接力赛跑时小兔大兔的各自速度都是均匀的，且它们的速度之和为定值10米/秒，试问小兔和大兔应以怎样的速度接力赛跑，才能使接力赛成绩最好（所需时间最短），并求其最短时间. 18．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在15~65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（I ）由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数；（II ）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；参考数据：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++ （III ）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.求抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率. 19． 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin(θ＋4π)其中t 为常数)． (Ⅰ)若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的值；(Ⅱ)当t ＝－1时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为菱形，D 为AB 的中点，底面ABC ∆为等腰直角三角形，,2ACB π∠=1123ABB BC B C π∠=⋅==（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）求二面角11A BC C --的余弦值.21．已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-（1）求函数()f x 的最小正周期;（2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 22．已知函数2()2sin 2f x x x x π=-+，曲线()f x 在函数零点处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)当0k >时，若有12()kx b f x +=成立，求证：210x x -≥.23．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>的面积为8.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点()2,1P 在直线l 的左上方.若90APB ∠=︒，且直线PA ，PB 分别与y 轴交于M ，N 点，求线段MN 的长度.参考答案1．D由已知可得()ln f x ax x =-与,y t =[3,5)t ∈在(0,)e 上有两个不同的交点，讨论()f x 的单调性，数形结合即可.当(0,)m e ∈时，令2(3[3,5)t m =-+∈，由题意()ln f x ax x =-在(0,)e 上与,y t = [3,5)t ∈有两个不同的交点，又'1()f x a x， 若0a ≤，()f x 在(0,)e 上单调递减，不可能与,y t =[3,5)t ∈有两个交点；若10a e <≤，()f x 在(0,)e 上单调递减，不可能与,y t =[3,5)t ∈有两个交点； 若1a e >，易知()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增， 要使()f x 在(0,)e 上与,y t =[3,5)t ∈有两个不同的交点，需满足1()3()5f a f e ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解得26a e e ≤<，故满足的整数a 有3,4,5,6,7共5个. 故选：D.本题考查利用导数研究函数的交点问题，考查学生逻辑思维与运算能力，是一道有一定难度的题. 2．B分析：从随机袋中摸出两个小球同色的情况有两种：同为黑球或同为红球，确定每一种结果的数量，利用概率公式求解即可．详解：随机摸出两个小球，基本事件总数2615,n C ==两个小球同色包含的基本事件个数22234m C C ，=+=∴两个小球同色的概率是415m p n ==． 故选B. 点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．C设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将n n S na >(2)n ≥等价转化为0d <，将34a a >等价转化为0d <，由此可得答案.设等差数列的公差为d ，当2n ≥时，因为n n S na >等价于1()2n n n a a na +>等价于1n a a >等价于(1)0n d -<等价于0d <，34a a >等价于430a a -<等价于0d <，所以n n S na >(2)n ≥等价于34a a >，所以“n n S na >(2)n ≥”是“34a a >”的充分必要条件.故选：C.本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 4．D由函数sin y a bx =+图象，可由sin y bx =向上平移a 各单位，由图知，1a >，根据图象可知sin y a bx =+的周期2,2T b bπ=，排除A 、B ；而()log y b x a =+，由log b y x =向上平移a 各单位，选项中只有D 符合题意，故选D.5．B ∵原式1212626log (2)7-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 16176-⎛⎫=- ⎪⎝⎭1=．∴选择B ．6．A分析：先作可行域，再求可行域内的点与（-2，5）连线斜率的取值范围，最后求范围中绝对值的最大值.详解：可行域如图,B(3,1),C(7,9)，则52y x -+表示可行域内的点与A （-2，5）连线斜率，其范围为159544[,][,][,]327259AB AC k k --==-++，因此52y x -+的最大值为45，选A.。
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
2020届河南省六市高三第二次联合调研检测数学(理)试卷Word版含答案
2020届河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ∈Z}，集合B ＝{y ｜y ＝2x ，x ∈Z}，则集合A ∩B 等于A ．{1，2}B ．（1，2）C ．{（1，2）}D ．2．若复数z 满足（3－4i ）z ＝｜3－4i ｜，则z 的虚部为A ．－4B ．45C ．4D ．－453．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学 生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1－2400编号，按编号顺序平均分成30组（1－80号，81－160号，…，2321－2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是A ．416B ．432C ．448D ．4644．若等差数列{n a }的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最 小值时n 的值等于A ．7B ．6C ．5D ．45．设P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、 平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点PA ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在6．已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的的中点，｜AB u u u r ｜＝AC uuu r ｜＝6，AE u u u r ＝12ED u u u r ， 则AE u u u r ·EB u u u r 等于A ．－14B ．－9C ．9D ．147．设变量x，y满足不等式组1x yx yx⎧⎪⎨⎪⎩＋－4≤－3＋3≤，≥则z＝｜x－y－4｜的最大值为A．5 3B．72C．133D．68．函数22xx xf x－2－3（）＝的大致图象为9．设实数a，b，c分别满足a＝125－，b1nb＝1，3c3＋c＝1，则a，b，c的大小关系为A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c10．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b＋＝（a＞b＞0）的左焦点，A、B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M 是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．22B．12C．13D．1411．已知数列{na}中，1a＝1，且对任意的m，n∈N*，都有m na＋＝ma＋na＋mn，则201911i ia∑＝＝A．20192020B．20182019C．20181010D．2019101012．已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx－2y－kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1－x2）tan（x2－2x3）＝A．－2 B．－12C．0 D．1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan（x＋4π）＝2，x是第三象限角，则cosx＝_________．14．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率）_________．15．抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，25）作直线l的垂线，垂足为H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是__________．16．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。
河南省洛阳市2020届高三数学第二次统一考试试题理含解析
某某省某某市2020届高三数学第二次统一考试试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A. 50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C. 1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D. (0,)A B =+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合AB 和A B ，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A. iB. i -C. 1i +D. 1i - 【答案】A 【解析】 【分析】先化简求出z ，即可求得答案. 【详解】因为(1)2z i -=，所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-= 故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）．A. 1225-B. 2425-C. 165D. 85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.4.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A. 中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B. 折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C. 第30届与第29届奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降【答案】B【解析】 【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误； B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确； C.30届与第29届奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误； D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A. 7?S ≥B. 21?S ≥C. 28?S ≥D. 36?S ≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8.故选：C【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.7.下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A. ()ln f x x x =B. ()x x f x e e -=-C. ()sin 2f x x =D. 3()f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可. 【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x xf x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x xx x f x f x e ee e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0xxf x e e-=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=，满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A. 3- B. 6- C. 4D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=- 则DC则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A.5 C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，得出11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP和MNP∠的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，则11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角可知11522MN AB==，11222NP BC==.作BC中点Q，则PQM为直角三角形；11,2PQ MQ AC==ABC中，由余弦定理得22212cos4122172AC AB BC AB BC ABC⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭AC ∴=2MQ =在MQP △中，2MP ==在PMN 中，由余弦定理得222222cos 25MN NP PM MNP MH NP +-+-∠====-⋅⋅所以sin MNP ∠===故选：C【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A.【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故32442242121b cy b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则3c ==所以双曲线离心率3c e a ==故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A. {|31}x x -<<- B. 1{|1}3x x -<<- C. {|3x x <-或1}x >- D. {|1x x <-或1}3x >- 【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =， 则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的X 围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的X围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若O为ABC的外心，则2===OA OB OC PO⊥平面ABC,可得PO OC⊥,即222PC PO OC+=，①正确; ABC若为等边三角形，⊥AP BC，又AP PB⊥可得AP⊥平面PBC，即AP PC⊥,由PO OC⊥可得222622PC PO OC AC+=+==，矛盾，②错误; 若90ACB ∠=︒，设PC与平面PAB所成角为θ可得2,2OC OA OB PC====，设C到平面PAB的距离为d 由C PAB P ABC V V--=可得11112223232d AC BC⋅⋅⋅=⋅即有222242AC BC AC BC d+⋅==，当且仅当2AC BC==取等号. 可得d22sin22dθ=即θ的X围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）230x dx n =⎰，则12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式2x 的系数为__________． 【答案】8- 【解析】 【分析】先根据定积分求出n 的值，再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为2234400112444x dx x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭⎰所以4n =4(1)x +的通项公式为41441r r r r rr T C x C x -+=⨯⋅= 当2r时，422234416r r r T C x C x x -=⨯⋅== 当3r =时，333444T C x x == 故12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为4(2)68+-⨯=- 故答案为：8-【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 【答案】23 【解析】 【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为45C =5， 综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23， 故答案为23．【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．()244f x x x =--.若()1f x <在区间()1,2m m --m 的取值X 围是__________．【答案】10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 首先解不等式()1f x <，再由()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，即()()1,21,5m m --⊆-得到不等组，解得即可.【详解】解：()244f x x x =--且()1f x <，即2441x x --<解得15x -<<，即()1,5x ∈-因为()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，()()1,21,5m m ∴--⊆-111225m m m m -≤-⎧⎪∴-<-⎨⎪-≤⎩解得103x ≤<即10,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由角平分线定理得AB BDAC CD=,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC 面积的最大值.【详解】画出图形：因为3BD =，2CD =，由角平分线定理得32AB BD AC CD ==,设2,2,0,2AC x BAC παα⎛⎫=∠=∈ ⎪⎝⎭，则3AB x = 由余弦定理得：22249232cos 25x x x x α=+-⋅⋅⋅ 即2132512cos 2x α=-2175sin 232sin 23sin 221312cos 2ABC S x x x αααα∆=⋅⋅⋅=⋅=-()222222tan 75752sin cos 1tan 1tan 1312cos sin 13121tan αααααααα⋅⨯+==--⨯--⋅+ 2150tan 151125tan 125tan 2tan 150αααα⋅===++当且仅当125tan tan αα=，即1tan 5α=时取等号所以ABC 面积的最大值为15 故答案为：15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212nn n ++-【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1）， 数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．18.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ；（2）若直线AB 与直线MN 所成角为4π，求二面角A PC B --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）7【解析】 【分析】(1)根据中位线证明平面MNQ 平面PAB ，即可证明MH ∥平面ABP ；（2）以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接QM ，∵M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点， ∴QMAB ，又∵QM ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴QM平面PAB ，同理，QN ∥平面PAB ，∵QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QM QN Q =，∴平面MNQ 平面PAB ， ∵MH ⊂平面MNQ ， ∴MH ∥平面ABP ．（2）连接PQ ，在ABC 和ACD 中，由余弦定理可得，2222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABCAC AD CD AD CD ADC⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩，由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得AC = 于是222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，QM AC ⊥，∵QM AB，直线AB与直线MN所成角为4π，∴4QMNπ∠=，又1QM QN==，∴2MQNπ∠=，即QM QN⊥，∴QM⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面APC，∵Q为AC中点，PQ AC⊥，∴PQ⊥平面ABC，如图所示，分别以QM，QC，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(2,3,0)B-，(0,3,0)C，(0,0,1)P ，(2,3,1)PB =--，(0,3,1)PC=-．设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=，∴n PBn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即23030x zy z⎧-=⎪-=．令1y=，则3x=3z=PBC的一个法向量为(3,1,3)n=．又平面APC的一个法向量为(1,0,0)m=，∴21cos,||||7m nm nm n⋅<>==⋅，∴二面角A PC B--21．【点睛】此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计频数 2 18 48 14 16 2 100（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22 列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计合格品考试附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．【解析】【分析】(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出2K的观测值即可判断.【详解】（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：0.03250.08050.03250.03650.9⨯+⨯+⨯+⨯=．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A，事件A发生的概率为p，则由样本可估计0.9p=．那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A 恰好发生2次，其概率为：2235(1)0.0081C p p -=． （2）22⨯列联表：2K 的观测值2200(9049610) 2.76518614100100k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵2.765 2.706>，()2 2.7060.100P K >=， ∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由（1）知甲生产线的合格率为0.9，乙生产线的合格率为184814160.96100+++=， ∵0.960.9>，∴保留乙生产线较好．【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.()()ln x f x a x e bx c x =-+-.（1）若3a =，0c 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值X 围；（2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-．【答案】（1）(,]e -∞-（2）见解析【解析】【分析】(1) ()f x 在(0,)+∞上单调递减等价于()f x 0'≤在(0,)+∞恒成立，分离参数即可解决.(2)先对()f x 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.【详解】（1）3a =，0c 时，()(3)x f x x e bx =-+，()(3)(2)x x x f x e x e b x e b '=-+-+=-+，∵()f x 在(0,)+∞上单调递减．∴(2)0x x e b -+≤，(2)xb x e ≤-． 令()(2)xg x x e =-， ()(2)(1)x x x g x e x e x e '=+-=-，01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，∴()g x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．∴min ()(1)e g x g ==-，∴b e ≤-．∴b 的取值X 围为(,]e -∞-．（2）若2a =，4b =，4c =时，()(2)44ln x f x x e x x =-+-，44()(2)4(1)x x x f x e x e x e x x ⎛⎫'=-+-+-=-- ⎪⎝⎭， 令4()x h x e x=-，显然()h x 在(1,)+∞上为增函数． 又(1)40h e =-<，2(2)20h e =->，∴()h x 有唯一零点0x ．且0(1,2)x ∈，01x x <<时，()0h x <，()0f x '>；0x x >时，()0h x ≥，()0f x '<，∴()f x 在()01,x 上为增函数，在()0,x +∞上为减函数．∴()()0max 0000()244ln xf x f x x e x x ==-+-． 又()00040x h x e x =-=，∴004x e x =，004x x e =，00ln ln4x x +=． ∴()()000000082444ln 444ln 4x f x e x x x x x =-+-=-+-- 001844ln 4x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭． 18244ln 4168ln 22⎛⎫<+--=- ⎪⎝⎭，()012x <<． ∴当1x >时，()168ln 2f x <-．【点睛】此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22||||EP EQ +的取值X 围．【答案】（1）2214x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ ，得到EP EQ ⊥，所以222||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解.【详解】（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22009x y +=，设(,)M x y ，由2BM MA =得()00003222(0)3x x x x x y y y y y ⎧⎧==-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎩⎩． 又由于223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得M 的轨迹C 的方程为2214x y +=． （2）设直线PQ 的方程为35y kx =-， 与C 的方程联立，消去y 得()222464140525k x kx +--=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则12224520k x x k +=+，1226425100x x k -⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-，()22,1EQ x y =-，则()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212128641525k x x k x x =+-++ ()2226482464125100552025k k k k k -=+⨯-⨯+++ 222264641926425625100k k k k---++=+ 0=，故直线EP EQ ⊥．()()222221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦()()()()22222222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦()()242264429252514k k k ++=+，令214k t +=，则22222116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦== 24133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 由于2141t k =+≥，101t<≤， 22564||25PQ ≤<． 所以，22||||EP EQ +的取值X 围为2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3πθρ=>，直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积．【答案】（1）22cos 20ρρθ--=．60x -=（2）32【解析】【分析】(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标ρ的几何意义求解||AB ，再求点P 到直线AB 的距离即可算出三角形面积.【详解】解：（1）曲线221:(1)3C x y -+=，即22220x y x +--=． ∴22cos 20ρρθ--=．曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=．直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 6θρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为60x -=． （2）设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B B ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin 336A ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得3A ρ=． 又22cos 203B B πρρ--=，∴2B ρ=（1B ρ=-舍去）．∴||321AB =-=．点P 到直线AB 的距离为6sin 336ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭， ∴PAB △的面积为131322⨯⨯=． 【点睛】此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.[选修4-5：不等式选讲]()|3||1|f x x x =-+-．（1）若不等式()f x x m ≤+有解，某某数m 的取值X 围；（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥．【答案】（1）[1,)-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)分离m 得到()()31g x f x x x x x =-=-+--，求()g x 的最小值即可求得m 的取值X 围；（2）先求出n ，得到2a b c ++=，利用乘"1"变化即可证明不等式.【详解】解：（1）设34,1()()312,134,3x x g x f x x x x x x x x x -+≤⎧⎪=-=-+--=-+<<⎨⎪-≥⎩， ∴()g x 在(,3]-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增．故min ()(3)1g x g ==-．∵()m g x ≤有解，∴1m ≥-．即m 的取值X 围为[1,)-+∞．（2）()|3||1||(3)(1)|2f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立． ∴2n =，即2a b c ++=． ∵11444()114a a b b c c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++=++++++++ ⎪⎝⎭ 44616a b a c b c b a c a c b=++++++≥． 当且仅当12a =，12b =，1c =时等号成立． ∴1148a b c++≥，即48ab bc ac abc ++≥成立． 【点睛】此题考查不等式证明，注意定值乘"1"变化的灵活应用，属于较易题目.。
河南省六市2020届高三数学第二次联考试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合
，集合
，则集合
等于（）
A.B.
C.
D.
【答案】Dபைடு நூலகம்
【解析】
【分析】
由题可得：集合是点集，集合是数集，由交集概念即可得解。【详解】由题可得：集合是点集，集合是数集，
所以
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题。
2.若复数满足A.-4
【答案】B
【解析】
【分析】
整理
【详解】因为所以
得：
，则的虚部为（）
B.C.4D.
，问题得解。
，
所以的虚部为：
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 (含答案)
２．N0狕１
9
N
O
P
Q
RS
<
T
U（２，３），狕２＝
－２＋犻（犻U
V
0
W
X
），M
N
0狕１ 狕２
<VYU
Ａ．８５
Ｂ．－
８ ５
Ｃ．８ ５犻
Ｄ．－ ８ ５犻
３．9△犃犅犆 @犃犅→＝犮，犃→犆＝犫，ZT 犇 [\犅犇→＝１ ２犇→犆，M犃→犇＝
Ａ．１３犫＋ ２３犮
Ｂ．２ ３犫＋ １ ３犮
Ｃ．４ ３犫－ １ ３犮
２０２０!"#$%&'()*+,-
. / 0 1
!"#$： １．!"#$%Ⅰ # （& ' (）) % Ⅱ # （* & ' (）+ , $，- $ １５０ $．. " /
0 １２０ $ 1 ． ２．2(3，.456/０．５789:; < = > ? @ A B C、D . E F、. " G H
IJKLMANOP． ３．%Ⅰ#QR(&S2TU，/２Ｂ V=W 2 ( X P Y Z ( H A 2 T [ F \ 9，
%Ⅰ& '()（*６０+）
,、'()：234１２563，763５8，4６０8．9763 : ; < = 5 > ? @，A B C ?
DEF3GHI<．
１．JKL犝＝犚，LF 犃＝｛狓｜（狓－４）（狓＋１）０｝，M瓓ＵＡ＝ Ａ．（－１，４］ Ｂ．［－１，４） Ｃ．（－１，４） Ｄ．［－１，４］
．
烆狓－３狔＋３≥０
１５．J ) 0 犳（狓）＝犲２狓 －犲－２狓 －４狓，M w G 犳（狓２）＋犳（－５狓－６）＜０ < H L D
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 参考答案
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题参考答案一、选择题 1-5 CBADC 6--10 ACDAB 11—12 DA二、填空题 13、28 15、3416、第一空 2n （2分） 第二空 {}2（3分） 17.解：（1）()()C c a A B R sin sin sin 222+=-Θ()()C c a R A B R R sin 2sin sin 2222+=-⋅∴,由正弦定理得()c c a a b +=-22即ac c a b ++=222，.......................................................3 分212cos 222-=-+=∴ac b c a B ，.......................................................5 分32,0ππ=∴<<B B Θ........................................................6 分 （2）27==c b ，Θ,由正弦定理CcB b sin sin =得721sin =C ，.....................8 分 由c b >，故C 为锐角，772cos =C ， .....................9 分()1421721217722332sin sin sin =⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴C C B A π......................12 分18.解：（1）过P 做AB PO ⊥于O ，连OD OC , 由题可知，3==CD AB ，222AB PB PA =+∴,2,1,2===∴OA OB PO ，又求得3,32==OC OD ，222CD OC OD +=，所以CD OC ⊥ ..........................................3分平面⊥PAB 底面ABCD ,交线为AB ，⊥∴PO 底面ABCD ，所以CD PO ⊥， 又O PO OC =I ，故⊥CD 平面POC ，所以CD PC ⊥； . ................................................6分（2）由（1）知OD AB ⊥，以O 为坐标原点OP OB OD ,,为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.7分则)0,23,23(),0,0,32(),2,0,0(C D P . ........ .............................8分所以)0,23,233(),2,0,32(-=-=CD PD 设平面平面PCD 的法向量),,(z y x m =故⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0232330232y x z x 令1=x ，可得)6,3,1(=m 平面PAB 的法向量取)0,0,1(=n ， ..............10分所以1010101||||,cos ==>=<n m n m n m 故平面PCD 与PAB 夹角的余弦值为1010. ..............12分 19.解：（1）设)(),,(1,100y x P y x M ，则),(00y x N --由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1122122122220b y ax b y a x 得0))(())((2101021010=-++-+b y y y y a x x x x 即212210101010))(())((k k ab x x x x y y y y ⋅=-=-+-+ 222b a =∴，又122=-b a ，1,222==∴b a ，故椭圆C 的标准方程为：1222=+y x . ..............4分 （2）设直线PQ 的方程为：1+=ty x ，则直线MN 的方程为ty x =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ty x 得012)2(22=-++ty y t ，0)1(8)2(44222>+=++=∆t t t 设)(2,2y x Q ，则22122121,22t y y t t y y +-=+-=+.............7分 所以222122)1(22||1||t t y y t PQ ++=-+= ..........................................9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222y x tyx 得22022t y +=， ......................................10分=∴||MN 2220220202)1(22)1(22tt y t y x ++=+=+ ...............................11分 故22||||2=PQ MN 为常数.得证 ..........................................12分 20．解：（1）千元，故估计50位农民的年平均收入为17．40千元．…………………………………3分 （2）由题意知， ①， 所以时，满足题意，即最低年收入大约为14．77千元．…………………………………………6分 ②由， 每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773……………………………………8分 记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为，则，其中…………………………………………………………………9分 于是恰好有k 个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为，从而由，得…………………………………………10分而，所以，当时，； 当时，，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．………………………………………………………………………………12分21.解：（1）1令 x t +=由题意知()(1)f x a x ≤+等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立………1分令()2ln h t a at t =-+，则'22()ath t a t t-=-=………………………………………………2分 当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于(1)0h =，不合题意…………………3分120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ()17.40,6.92X N ~()10.68270.841422P x μσ>-=+≈17.40 2.6314.77μσ-=-=()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈ξ()1000,B P ξ:0.9773P =()()331010C 1kk k p P k p ξ-=-=()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-1001k p <1001978.2773p =0978k ≤≤()()1P k P k ξξ=-<=9791000k ≤≤()()1P k P k ξξ=->=当0a >时，'2()()a t a h t t --=，故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时'()0h t > ，()h t 单调递增 当2,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时'()0h t <，()h t 单调递减， 故max 2()()22ln22ln h t h a a a==-+-……………………………………………………………4分 所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤即22ln22ln 0a a -+-≤()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则'22()1a a a aϕ-=-=， 所以()0,2时a ∈'()0a ϕ<，()a ϕ单调递减()2,时a ∈+∞'()0a ϕ>，()a ϕ单调递增，又因为(2)0ϕ=所以满足条件的a 只有2，即2a =………………………………………………………………6分 也可以分离参数或者数形结合，同样给分 （2）由（1）知，1令 x t += (1)()()1x f x g x x a +=+-变形成22ln ()(2)2t t tt t t θ+=>-，所以/22(2ln 4)()(2)t t t t θ--=-……………………………………………………………………7分 令()2ln 4s t t t =--，则/22()1t s t t t-=-=由于2t >，所以/()0s t >。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 参考答案
18.解：（1）过 P 做 PO ⊥ AB 于 O ，连 OC, OD
由题可知， AB = CD = 3 ，∴ PA2 + PB2 = AB2 ,
∴ PO = 2,OB = 1,OA = 2 ，
又求得 OD = 2 3,OC = 3 ， OD2 = OC 2 + CD2 ，
（2）由（1）知 AB ⊥ OD ，以 O 为坐标原点 OD, OB, OP 为 x, y, z 轴建立如图所示空间直角坐标系.7 分
则
P(0,0, 2), D(2 3,0,0),C( 3 , 3 ,0) . ........ .............................8 分 22
所以 PD = (2 3,0,− 2),CD = (3 3 ,− 3 ,0) 22
，
......................................10 分
∴| MN |= 2
x02 + y02 = 2
(t 2 +1) y02 = 2
2(t 2 +1) 2+t2
...............................11 分
| MN
故
|2
=
2
2 为常数.得证 ..........................................12 分
所以 OC ⊥ CD
..........................................3 分
平面 PAB ⊥ 底面 ABCD ,交线为 AB，∴ PO ⊥ 底面 ABCD ，所以 PO ⊥ CD ，
又 OC PO = O ，故 CD ⊥ 平面 POC ，