生活中的优化问题举例 课件
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生活中的优化问题举例
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
' 当x∈(0,16)时， S x > 0; 当x∈(16,+∞) 时， S' x < 0; .因此，x=16是函数S(x)的 极小值点，也是最小值点.所以，当版心 高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白 面积最小.
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的 制造成本是 0.8πr 2 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半 径.已知每售出1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制 造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.那么瓶子半径多 大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y =f
r = 0.2
4 πr 3 - 0.8πr 2 3
r3 2 = 0.8π - r , 0 < r ≤ 6. 3
令
f'
r
= 0.8π r 2 - 2r = 0
r 0.当r 0,2时, 当r 2,6时, f ' r 0.
0 < x < 2.5
令 V ' = 12x 2 - 52x + 40 = 0
4 x - 1 3x - 10 = 0 10 得： x1 = 1, x 2 = （舍去） 3 '
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-4《生活中的优化问题举例》
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数
关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解析] (1)由意可知次品率 p＝日产次品数/日产量，
每天生产 x 件，次品数为 xp，正品数为 x(1－p)． 3x 因为次品率 p＝ ，当每天 x 件时， 4x＋32
3x 3x 有 x· 件次品，有 x1－4x＋32 件正品． 4x＋32
a 时， y ′≤ 0 ； v ∈ b
a 时，y′≥0.所以 ， c b
ab 当 v＝ b 时，全程运输成本 y 最小．
ab ②若 >c，v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0，c] b 上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小． ab ab ab 当 b ≤c 时，行驶速度 v＝ b ；当 b >c 时，行 驶速度 v＝c.
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内 只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物 线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的 长和宽． [解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入
成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，
本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投 入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出 厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知 年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售
生活中的优化问题举例
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高为R.
h
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
则h
V
R 2
.
R
S
(R)
2R
V
R 2
2R2
2V R
2R2.
当r (2,6) 时, f '(r) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为： y
4r 3
f (r) 0.2
0.8r 2
(0 r 6)
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
3.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm,则宽为 128 dm
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为：y f (r) 0.2 4r 3
令
3
f '(r) 0.8 (r 2
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高为R.
h
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
则h
V
R 2
.
R
S
(R)
2R
V
R 2
2R2
2V R
2R2.
当r (2,6) 时, f '(r) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为： y
4r 3
f (r) 0.2
0.8r 2
(0 r 6)
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
3.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm,则宽为 128 dm
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为：y f (r) 0.2 4r 3
令
3
f '(r) 0.8 (r 2
生活中的优化问题举例图文
安排休息时间
总结词
合理安排休息时间是优化健康管理的重要环节，有助于 恢复身体机能和缓解压力。
详细描述
保证充足的睡眠时间，合理安排工作和休息时间，采用 适当的放松方式，如冥想、瑜伽等，有助于恢复身体机 能和缓解压力。
总结词
创造良好的睡眠环境，保持规律的睡眠习惯，有助于提 高睡眠质量。
详细描述
保持安静、黑暗、舒适的睡眠环境，避免睡前过度兴奋 或刺激，保持规律的睡眠习惯，有助于提高睡眠质量。
自身能力范围。
制定工作计划
01
分解任务
将工作目标分解为具体的任务， 明确任务的责任人、完成时间和 所需资源。
安排时间
02
Байду номын сангаас
03
调整计划
根据任务的紧急性和重要性，合 理安排工作时间，确保任务按时 完成。
在执行过程中，根据实际情况及 时调整工作计划，以适应变化和 应对突发情况。
安排工作时间
避免过度劳累
总结词
结合日常生活和工作，灵活安排运动时间和场地，有助于 提高运动计划的可行性和持久性。
详细描述
根据个人生活和工作情况，灵活安排运动时间和场地，将 运动融入日常生活和工作中，有助于提高运动计划的可行 性和持久性。
总结词
注意运动安全，遵循正确的运动姿势和技巧，预防运动损 伤。
详细描述
在运动前进行适当的热身活动，遵循正确的运动姿势和技 巧，避免过度运动和损伤，注意运动安全。
总结词
学会放松自己，缓解压力和焦虑情绪。
详细描述
通过冥想、瑜伽、深呼吸等放松技巧来缓解压力和焦虑 情绪，学会放松自己。
THANKS
感谢观看
生活中的优化问题举例
contents
生活中的优化举例
05
工作办公优化
任务管理优化
总结词
高效、条理、计划
详细描述
通过制定明确的任务目标和计划，将工作任务分解为可执行的小任务，并按 优先级进行排序，可以帮助我们更高效地完成任务，同时避免任务遗漏或任 务完成不及时。
时间
详细描述
合理规划时间，将时间分配到不同的任务和活动中，可以最大限度地减少时间浪 费和提高工作效率。同时，学会合理调整工作节奏和时间安排，能够更好地适应 高强度的工作压力。
01
运用大数据技术，智能调度共享单车，提高单车可用性和效率
。
共享汽车服务
02
提供便捷的共享汽车服务，满足短途出行需求，减少汽车使用
频率。
电动汽车推广
03
鼓励使用电动汽车等环保出行方式，降低排放，改善空气质量
。
02
日常生活优化
购物优化
计划性购物：列出需要购买的物 品清单，尽量避免在无计划的情 况下进行购物，减少不必要
比较购物：在购买之前，通过线 上或线下的方式比较不同商家的 价格和质量，以便选择最合适
批量购买：一次性购买大量的日 用品，可以降低单位价格，同时 减少购物次数，提高购物效率。
的支出。
的商品。
饮食优化
均衡饮食：合理搭配 蛋白质、碳水化合物 、脂肪、维生素、矿 物质等营养素，以满 足身体
的基本需求。
简单化烹饪：减少烹 饪的复杂程度，使用 简单的烹饪技巧和食 材，可以降低食物中 脂肪和糖
游戏娱乐优化
流畅体验
通过优化游戏算法、降低游戏内延迟等技术手段，提高游戏的流畅度和稳定 性。
个性化设置
为玩家提供多种个性化设置，如自定义角色、场景等，让玩家更具自由度和 沉浸感。
生活中的优化举例
线上购物的优势
可以节省时间和交通费用，方便快捷地购买商品，还可以享受 送货上门的服务。
线上购物的注意事项
需要注意商品的质量和真实性，以及商家的信誉度和售后服务 ，避免遇到假货或欺诈行为。
03
健康优化
饮食优化
平衡饮食
保持饮食平衡，摄入足够的蔬菜、水果、全谷类和蛋白质来源 ，减少过度摄入高热量、高脂肪和高糖分的食物。
主动思考
不仅仅被动地接受知识，而是要主动思考和解决 问题，培养批判性思维。
复习与巩固
定期回顾和复习所学内容，加强记忆和理解，形 成长期记忆。
学习资源选择优化
精选资源
选择高质量、权威的学习资源，如教材、参考书、在线课程等。
适应资源
根据个人学习风格和需求，选择适合自己的学习资源，如视觉型 、听觉型、动手实践型学习者分别选择图表、讲解或实践操作等 资源。
3
适度强度
在运动过程中保持适度的强度和节奏，避免过 度疲劳和受伤。
睡眠优化
规律作息
保持规律的作息习惯，每天尽量在同一时间入睡和起床，以维持 正常的生物钟。
创造良好的睡眠环境
创造安静、黑暗和舒适的睡眠环境，避免使用电子设备如手机和 电视等在睡前一小时内。
控制睡眠时间
合理控制睡眠时间，成年人每晚通常需要7-9小时的睡眠，以保持精 力充沛和高效工作。
拓展资源
寻找与学习主题相关的其他资源，如相关论文、研究报告、案例工作流程优化
确定工作优先级
将任务按照优先级排序 ，先完成重要且紧急的 任务，再处理次要的任 务。
避免任务拖延
及时开始并完成每一项 任务，避免任务积压和 拖延。
建立工作流程图
制定详细的工作流程图 ，以便更好地了解任务 之间的依赖关系和执行 顺序。
可以节省时间和交通费用，方便快捷地购买商品，还可以享受 送货上门的服务。
线上购物的注意事项
需要注意商品的质量和真实性，以及商家的信誉度和售后服务 ，避免遇到假货或欺诈行为。
03
健康优化
饮食优化
平衡饮食
保持饮食平衡，摄入足够的蔬菜、水果、全谷类和蛋白质来源 ，减少过度摄入高热量、高脂肪和高糖分的食物。
主动思考
不仅仅被动地接受知识，而是要主动思考和解决 问题，培养批判性思维。
复习与巩固
定期回顾和复习所学内容，加强记忆和理解，形 成长期记忆。
学习资源选择优化
精选资源
选择高质量、权威的学习资源，如教材、参考书、在线课程等。
适应资源
根据个人学习风格和需求，选择适合自己的学习资源，如视觉型 、听觉型、动手实践型学习者分别选择图表、讲解或实践操作等 资源。
3
适度强度
在运动过程中保持适度的强度和节奏，避免过 度疲劳和受伤。
睡眠优化
规律作息
保持规律的作息习惯，每天尽量在同一时间入睡和起床，以维持 正常的生物钟。
创造良好的睡眠环境
创造安静、黑暗和舒适的睡眠环境，避免使用电子设备如手机和 电视等在睡前一小时内。
控制睡眠时间
合理控制睡眠时间，成年人每晚通常需要7-9小时的睡眠，以保持精 力充沛和高效工作。
拓展资源
寻找与学习主题相关的其他资源，如相关论文、研究报告、案例工作流程优化
确定工作优先级
将任务按照优先级排序 ，先完成重要且紧急的 任务，再处理次要的任 务。
避免任务拖延
及时开始并完成每一项 任务，避免任务积压和 拖延。
建立工作流程图
制定详细的工作流程图 ，以便更好地了解任务 之间的依赖关系和执行 顺序。
生活中的优化问题举例课件
Page 12
实例探究二：利润最大问题
换一个角度: 如果我们不用导数工具,直接
从函数的图象(图1.4-2)上观察,你 有什么发现?
f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
y
从图象上容易看出, 1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是 3cm时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等; 2.当r>3时,利润才为正值.
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
Page 17
作业:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
n
f (r) R r • 2r 2 r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量 越大。
Page 23
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
Page 13
2
0
3r
(图1.4-2)
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
实例探究二：利润最大问题
换一个角度: 如果我们不用导数工具,直接
从函数的图象(图1.4-2)上观察,你 有什么发现?
f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
y
从图象上容易看出, 1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是 3cm时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等; 2.当r>3时,利润才为正值.
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
Page 17
作业:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
n
f (r) R r • 2r 2 r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量 越大。
Page 23
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
Page 13
2
0
3r
(图1.4-2)
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
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2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
v∈(0,c],
①若 ba≤c,则当 v=
a b
时,全程运输成本
y
最小;
②若
a b
>
c,
此时y'<0,即
y
在(0,c]上为减函数.
所以当 v=c 时,y 最小.
综上可知,为使全程运输成本 y 最小,
当
ba≤c 时,行驶速度为
a b
km/h;
当
a b
>
c
时,行驶速度为
c
km/h.
3-
1 3
a
3
(
万元).
【变式训练3】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)
与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系为p=24
200-
1 5
x2,且生产x吨
该产品的成本为(50 000+200x)元.则每月生产
吨产品才
能使利润达到最大,最大利润是
元.(利润=收入-成本)
答案200 315万
解得
x1=1,x2=−
4 15
(舍去).
在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点.
因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为
3.2-2×1=1.2(m).
分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中 函数关系式的导函数,再利用导数求最值.
解:(1)分公司一年的利润 L 与售价 x 的函数关系式为
L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].
(2)L'=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)·(18+2a-3x).
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·3x4+05
=
6x
+
800 3x+5
(0≤x≤10).
(2)f'(x)=6−
2 400 (3x+5)2
,
令f'(x)=0,即
2 400 (3x+5)2
=
6,
解得x1=5,x2=−
25 3
(
舍去).
当 0≤x<5 时,f'(x)<0,
时,
ymax=f
2at 2t+1
= (322t+a31t)23.
综上所述,当
1≤t≤2
时,投入
2a 3
万元,y
的最大值为
32 27
a3;
当
0<t<1
时,投入
2at 2t+1
万元,y
的最大值为
(322t+a31t)23.
易错辨析 易错点:忽略实际问题中的定义域而致错
【例4】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度 不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分 和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例 系数为b;固定部分为a元.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
1.如何认识和理解解应用题的解题思路和方法? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问 题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建 立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得 到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去,其思路如下:
解:(1)设 y=f(x)=k(a-x)x2,
当
x=
a 2
时,y=a3,即
a3=k·2a
·a42
,
∴
k
=
8.
∴f(x)=8(a-x)x2.
∵0< 2(ax-x)≤t,∴0<x≤22t+at1.
∴函数的定义域是
x
0
<
x
≤
2at 2t+1
.
(2)f'(x)=-24x2+16ax,令 f'(x)=0,则 x=0(舍去)或 x= 23a.
面积、容积最值问题
【例 1】 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果
所制容器的底面的一条边比另一条边长 0.5 m,那么高为多少时,容
器的容积最大?并求它的最大容积.
分析:设底面一条边长为 x m,用 x 表示另一条边长和高,从而表
示出容积,利用对容积函数求导来求最值.
解:设容器底面一条边长为 x m,
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解:(1)当
x=40
时,汽车从甲地到乙地行驶了
100 40
=
2.5(h),
要耗油
1 128 000
×
403-
3 80
×
40
+
8
× 2.5 = 17.5(L).
所以,当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油
17.5 L.
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数 关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求 出L的最大值Q(a).
令 h'(x)=0,得 x=80,
当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数, 所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25 L.
正解:(1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为
s v
,
全程运输成本为y=a·vs + bv2 ·vs = s
a v
+
bv
.
故所求函数为 y=s
a v
+
bv
, 定义域为(0,c].
(2)由题意知 s,a,b,v 均为正数,
由 y'=s
b-
a v2
= 0, 得v=
a b
或v=−
a b
(舍去).但
令
L'=0,得
x=6+
2 3
a
或x=12(不合题意,舍去).
∵3≤a≤5,∴8≤6+
2 3
a
≤
238.
在
x=6+
2 3
a
两侧L'的值由正变负.
∴①当
8≤6+
2 3
a
<
9,
即3≤a<
9 2
时,Lmax=(9-3-a)·(12-9)2=9(6-a).
②当
9≤6+
2 3
a
≤
28 3
,
即
92≤a≤5
时,Lmax=
当
0<x<
2a 3
时,f'(x)>0,∴f(x)在
0,
2a 3
内是增函数;
当
x>
2a 3
时,f'(x)<0,∴f(x)在
2a 3
,
+
∞
内是减函数.
∴x=
2a 3
为f(x)的极大值点.
当
2at 2t+1
≥
2a 3
,
即1≤t≤2
时,ymax=f
2a 3
=
32 27
a3;
当
2at 2t+1
<
2a 3
,
即0<t<1
键.
【变式训练 2】 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶的过程
中,每小时耗油量 y(单位:L)关于行驶速度 x(单位:km/h)的函数解析
式可以表示为
y=
1 128 000
x3
−
3 80
x
+
8(0
<
x≤120).已知甲、乙两地
相距 100 km.
(1)当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 多少升?
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
v∈(0,c],
①若 ba≤c,则当 v=
a b
时,全程运输成本
y
最小;
②若
a b
>
c,
此时y'<0,即
y
在(0,c]上为减函数.
所以当 v=c 时,y 最小.
综上可知,为使全程运输成本 y 最小,
当
ba≤c 时,行驶速度为
a b
km/h;
当
a b
>
c
时,行驶速度为
c
km/h.
3-
1 3
a
3
(
万元).
【变式训练3】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)
与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系为p=24
200-
1 5
x2,且生产x吨
该产品的成本为(50 000+200x)元.则每月生产
吨产品才
能使利润达到最大,最大利润是
元.(利润=收入-成本)
答案200 315万
解得
x1=1,x2=−
4 15
(舍去).
在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点.
因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为
3.2-2×1=1.2(m).
分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中 函数关系式的导函数,再利用导数求最值.
解:(1)分公司一年的利润 L 与售价 x 的函数关系式为
L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].
(2)L'=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)·(18+2a-3x).
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·3x4+05
=
6x
+
800 3x+5
(0≤x≤10).
(2)f'(x)=6−
2 400 (3x+5)2
,
令f'(x)=0,即
2 400 (3x+5)2
=
6,
解得x1=5,x2=−
25 3
(
舍去).
当 0≤x<5 时,f'(x)<0,
时,
ymax=f
2at 2t+1
= (322t+a31t)23.
综上所述,当
1≤t≤2
时,投入
2a 3
万元,y
的最大值为
32 27
a3;
当
0<t<1
时,投入
2at 2t+1
万元,y
的最大值为
(322t+a31t)23.
易错辨析 易错点:忽略实际问题中的定义域而致错
【例4】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度 不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分 和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例 系数为b;固定部分为a元.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
1.如何认识和理解解应用题的解题思路和方法? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问 题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建 立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得 到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去,其思路如下:
解:(1)设 y=f(x)=k(a-x)x2,
当
x=
a 2
时,y=a3,即
a3=k·2a
·a42
,
∴
k
=
8.
∴f(x)=8(a-x)x2.
∵0< 2(ax-x)≤t,∴0<x≤22t+at1.
∴函数的定义域是
x
0
<
x
≤
2at 2t+1
.
(2)f'(x)=-24x2+16ax,令 f'(x)=0,则 x=0(舍去)或 x= 23a.
面积、容积最值问题
【例 1】 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果
所制容器的底面的一条边比另一条边长 0.5 m,那么高为多少时,容
器的容积最大?并求它的最大容积.
分析:设底面一条边长为 x m,用 x 表示另一条边长和高,从而表
示出容积,利用对容积函数求导来求最值.
解:设容器底面一条边长为 x m,
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解:(1)当
x=40
时,汽车从甲地到乙地行驶了
100 40
=
2.5(h),
要耗油
1 128 000
×
403-
3 80
×
40
+
8
× 2.5 = 17.5(L).
所以,当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油
17.5 L.
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数 关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求 出L的最大值Q(a).
令 h'(x)=0,得 x=80,
当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数, 所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25 L.
正解:(1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为
s v
,
全程运输成本为y=a·vs + bv2 ·vs = s
a v
+
bv
.
故所求函数为 y=s
a v
+
bv
, 定义域为(0,c].
(2)由题意知 s,a,b,v 均为正数,
由 y'=s
b-
a v2
= 0, 得v=
a b
或v=−
a b
(舍去).但
令
L'=0,得
x=6+
2 3
a
或x=12(不合题意,舍去).
∵3≤a≤5,∴8≤6+
2 3
a
≤
238.
在
x=6+
2 3
a
两侧L'的值由正变负.
∴①当
8≤6+
2 3
a
<
9,
即3≤a<
9 2
时,Lmax=(9-3-a)·(12-9)2=9(6-a).
②当
9≤6+
2 3
a
≤
28 3
,
即
92≤a≤5
时,Lmax=
当
0<x<
2a 3
时,f'(x)>0,∴f(x)在
0,
2a 3
内是增函数;
当
x>
2a 3
时,f'(x)<0,∴f(x)在
2a 3
,
+
∞
内是减函数.
∴x=
2a 3
为f(x)的极大值点.
当
2at 2t+1
≥
2a 3
,
即1≤t≤2
时,ymax=f
2a 3
=
32 27
a3;
当
2at 2t+1
<
2a 3
,
即0<t<1
键.
【变式训练 2】 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶的过程
中,每小时耗油量 y(单位:L)关于行驶速度 x(单位:km/h)的函数解析
式可以表示为
y=
1 128 000
x3
−
3 80
x
+
8(0
<
x≤120).已知甲、乙两地
相距 100 km.
(1)当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 多少升?
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.