鬼谷子问题

鬼谷子问题

孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞。

庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

问这两个数字是什么？

个人思路：

1、庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

这句话就是说，我庞涓根据这两个数的和，我就知道，你孙膑不能确定这两个数

首先，我们得了解一下，“孙膑不能确定”这话是什么意思。

孙膑知道的是积，这个积由两个整数相乘所得，假如这个数是12，那么相乘可以得到12的两个数可以是3与4，也可以是2与6，这时，孙膑不能确定；假如这个数是15，那么相乘的两个数只能是3与5，这个时候孙膑能确定。所以“孙膑不能确定”这个意思就是，孙膑的所知道的积，可以由两组以上数字相乘所得，用一个数学上的语言描述就是，这个积E=a*b，a与b至少有一个是非素数。

好了，知道“孙膑不能确定”是什么意思后就剩下这个问题了。在什么样的情况下庞涓才能确定地说，“孙膑你不能确定”？换句话就是说，庞涓在什么情况下才能确定地说，这两个数，至少有一个是非素数？

庞涓知道的是这两个数的和，根据这个和，他可以知道这两个数的所有可能组成。那么只有当所有的可能组成都至少有一个非素数时，庞涓才能确定，这两数，至少有一个非素数，否则不能。（根据此求到集合：{d}，集合{d}的意义请往下看）

例如：这个和为10，10的值可以是2+8,3+7,4+6，那么这两个数可能是2和8，可能是3和7，也可能是4和6。这个时候，庞涓是不能确定这两个数至少有一个为非素数，因为3和7都是素数；又例如这个数的和为11,11的值可以是2+9,3+8,4+7,5+6，这个时候，无论这两个数是当中的哪一组，庞涓都能确定，至少有一个为非素数。

所以根据庞涓这个判断，我们可以判断出，庞涓所知道的和d，要满足这样的条件：（2，d-2）、（3，d-3）、（4，d-4）、、、、（n，d-n）这些数中，每一组，至少有一个为非素数。换句话说，庞涓的话给出了和d的值的一个集合。设这个集合为：{d}

2、孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

根据庞涓所说的，孙膑能够确认这两数。就是说，根据庞涓所给的信息，孙膑能够确定这两个数。那么庞涓给出什么信息？庞涓告诉了孙膑，这两个数的和，在集合{d}里面。

那么这个时候，只有当孙膑所知道的积E，在写成a*b的形式时，只有一种情况，a+b 的值在集合{d}内，孙膑才能确定这两个数，否则不能。（“孙膑条件”，我们姑且这样表达）

如：E=18，那么E可以写成：3*6，也可以写成2*9，那么这个情况，就只有2+9的和在集合{d}内，这时就能确定这两个数分别为2和9。但假如3和6的和也在这个集合{d}内，那么就不能知道这两个数是2与9还是3与6。（注：这只是假设个例子，3+6=9，9并不在集合{d}内）

3、庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

庞涓说，既然你能确定了，那我也能确定了。那么孙膑提供了什么信息给庞涓呢？孙膑告诉他，我的这个积E，在写成a*b的形式时，只有一种情况，a+b的值才在集合{d}内。

庞涓知道两数和d，那么只有当2*（d-2）、3*（d-3）、4*（d-4）、、、、、、这些乘值（设这些乘值组成一个集合{c}），有且只有一个值满足“孙膑条件”时，庞涓才能确定这两个数是什么。就是说，集合{c}中的数，有且只有一个数满足这个条件（这条件是：在这个数写成所有a*b的形式时，只有一种情况的a和b的和在集合{d}内），庞涓才能确定这两个数是什么。

说起来有点拗口，举个例子。例如，这两个数的和为17（这个数是在{d}内的），那么2*15=30,3*14=42,4*13=52,5*12=60,6*11=66,7*10=70,8*9=72,这些乘值组成一个集合：{c}={30,42,52,60,66,70,72}，这集合中的元素，如30，其可以表示成2*15，也可以是3*10还也可以是5*6。但是由于2+15=17在{d}内，5+6=11在{d}内，所以30不满足“孙膑条件”。如：42，其可以表示成2*21,3*14,6*7，由于23和17都在{d}内，所以也不满足“孙膑条件”。依这个可以判断，只有42满足“孙膑条件”。也就是所，当这两和为17时，庞涓可以肯定知道这两数是什么。（4*13，这两个数一个为4，一个为13）。

在假如这两个数之和为11（11在{d}内），那么{c}={18,24,28,30}，这些乘值中，没有一个能够让庞涓根据孙膑所给信息，判断出这两个数值。

解决这个问题的步骤：第一，首先要得出集合{d}；

第二，根据集合{d}中的一个d值，求出集合{c}；

第三，判断{c}中每一个元素c，其是否满足“孙膑条件”；

第四，{c}中若有且只有一个满足“孙膑条件”的话，那么就可以得出

这两数的和为d，积为满足“孙膑条件”的c，从而就可以得出这两

数的值；否则，这个d值不可能是庞涓所知道的和；

第五，改变d，从发2~4步。

求得集合{d}的前几个数据：11,17,23,27,29,35,37,41,47

经过判断，d=17是满足条件的，此时两数积为52，即一个数为4一个为13.