专题3空间几何体、三视图、表面积与体积-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件
的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(D )
A．2π
B．4π
C．16π
D．不存在
(2)(2020·江苏省宿迁市重点中学一模)已知一圆锥的体积为
3 3
π，母
线与底面所成角为π3，则该圆锥的表面积为___3_π_.
【解析】 (1)由题意可知几何体是圆锥，设底面半径为r，r∈ (0,2)，高为h，则2r＋2 r2＋h2＝8，即r＋ r2＋h2＝4，
●
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于
x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
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●
1 ． ( 2 0 2 0 ·浙 江 模 拟 ) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 表 面 两 两 垂 直 的 平 面 共 有
()
● A．3对
C
● B．4对
● C．5对
● D．6对
●
【解析】 根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：平面
与平面的位置关系：平面ABCD⊥平面PBC、平面ABCD⊥平面PCD、平面PBC⊥平面PCD、平
面 PA B ⊥ 平 面 P B C 、 平 面 PA D ⊥ 平 面 P C D . 故 选 C ．
● 1．三视图问题的常见类型及解题策略： ● (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部 分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． ● (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直 观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代 入，再看看给出的部分三视图是否符合．
●
2．将三视图还原为直观图常用的方法有两种：
● (1)直接拼凑法，多用于主、侧视图底边与水平线平行的三视图．
● (2)截图法，多用于主或侧视图与水平线不平行的三视图．
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专题3空间几何体、三视图、表面积与 体积-2 021届 高三高 考数学 二轮复 习PPT全 文课件
C．36＋18 3
D．36＋24 3
【解析】 (1)设正四棱锥P－ABCD的顶点P在底面的投影为O， 则V正四棱锥＝13S底·PO＝31×( 2)2×PO＝32PO， 由题意可得23PO＝43，所以PO＝2， 由题意可得所求的圆柱的底面直径2R＝BD＝ 2× 2， 所以R＝1，高h＝P2O＝1， 所以S圆柱表面积＝2S底＋S侧＝2πR2＋2πR·h＝2π×12＋2π×1×1＝4π， 故选C．
●
3．空间几何体的直观图
● 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：
● (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应 的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．
●
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．
年份 2019 2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
12
垂直、外接球、体积
5
空间几何体的结构特征、直观图、数学
18 文化
12
8、16
空间两直线的位置关系的判定，简单几 何体的组合体、长方体和棱锥的体积
10
7
三视图，几何体表面的最短距离
5
16
圆锥的性质及侧面积的计算
5
数学文化与三视图的识别、球与多面体、
第二部分
专题篇•素养提升()
专题三 立体几何与空间向量(理科) 专题三 立体几何(文科)
第1讲 空间几何体、三视图、表面积与体积(文理)
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
● 1．简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有 时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问． ● 2．空间几何体的侧面展开图、截面及简单的组合体问题． ● 3．在一些基础题目中，经常与传统文化结合考查． ● 4．经常在客观题的后几题中考查与球有关的切、接问题．
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【解析】 (1)根据几何体的三视图转换为直 观图为：该几何体为柱体．当选A时，正视图的 中间的竖线为虚线．选项BCD都有可能．
(2)如图所示，在棱长为2的正方体中，点C为 所在棱的中点，则题中的三视图所对应的几何体 为四棱锥P－ABCD，正方体的棱长为2，易知其 棱长分别为：PA＝2，PB＝2 2 ，PD＝2 2 ，PC ＝ 22＋22＋12＝3，则最长的棱长为3．
● (2)空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．
● (3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线 的画法．
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● (4)注意画直观图时长度的变化．
● (5)求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简 单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个 简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．
(2)V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台＝
1 3
(S＋
SS′ ＋S′)h(S，S′分别为上、下底面面积，h为
高)(不要求记忆)．
3．球的表面积和体积公式 (1)S球表＝4πR2(R为球的半径)； (2)V球＝43πR3(R为球的半径)．
考向1 空间几何体的表面积
典例2 (1)(2020·河西区二模)已知正四棱锥P－ABCD的底面
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● (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的 形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
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●
典例1
的俯视图不可能是
( 1 ) ( 2 0 2 0 ·成 都 模 拟 ) 如 图 是 某 几 何 体 的 正 视 图 和 侧 视 图 ， 则 该 几 何 体
()
A
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● (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为 原来的一半．
● (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些 柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．
● (3)由几何体的三视图求其表面积：①关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关 系及度量大小；②还原几何体的直观图，套用相应的面积公式．
3．(1)(2020·梅州二模)某几何体的三视图如图所示，已知其主视图
2．(2020·房山区二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的
最长侧棱的长为
(C )
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
【解析】 根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个 三棱锥体和一个四棱锥体的组合体．如图所示：根据三视图中的长度： AB＝AE＝2 2，AB′＝2 2，AD＝2 3，所以最长的侧棱长为2 3.故选 C．
3、10 体积的最值、面面垂直
10
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● (文科)
年份 卷别 Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 3、12 11、 20(2)
9
考查角度
分值
与棱锥有关的计算；求球的表面积 10
在求点到面的距离时涉及球的表面积；
考点二 空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
(2)S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S台侧＝
1 2
(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜
高)．
2．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
是边长为
2
的正方形，其体积为
4 3
，若圆柱的一个底面的圆周经过正方
形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表
面积为
( C)
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
(2)(2020·黄山二模)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱
的三视图如图所示，则这个棱柱的表面积为
( B)
A．36
B．36＋8 3
圆锥的体积计算 数学文化与三视图，与外接球有关的 空间几何体体积的最值问题
分值 5 5 5 5 5
高中数学《空间几何体的三视图、表面积和体积》课件
A.158 C.182
B.162 D.324
27
(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该 圆柱的体积为________. 解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱 的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个 上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高 为3.
6
所以 PA⊥PC，即 PA，PB，PC 两两垂直，以 PA，PB，PC 为从同一顶点出发的三条棱 补成正方体.因为 AB＝2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6， 故三棱锥 P－ABC 的外接球的半径 R＝ 26，所以球 O 的体积 V＝43πR3＝43π 263＝ 6π， 故选 D.
答案
(1)40
1 (2)3
34
热点三 多面体与球的切、接问题
【例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，
BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π
B.92π
C.6π
D.323π
(2)(多填题)(2019·湖南师大附中调研)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与
(2)因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故 该几何体为三棱锥.故选A. 答案 (1)C (2)A
2021版高考数学(文)(全国通用版)课件：空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积
5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面 上，则球O的表面积为__1_4_π____.
解析 依题意得，长方体的体对角线长为 32＋22＋12＝ 14，记长方体的外接球
的半径为 R，则有 2R＝ 14，R＝ 214，因此球 O 的表面积等于 4πR2＝14π.
(1) 原 图 形 中 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 两 两 垂 直 ， 直 观 图 中 ， x′ 轴 、 y′ 轴 的 夹 角 为 ___4_5_°__或__1_3_5_°_____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______垂__直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别___平__行__于__坐__标__轴_____； 平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__不__变____； 平行于y轴的线段在直观图中长度为____原__来__的__一__半________.
ABC
(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.求球的半径关键是 找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．
(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题． (4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
【例 4】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，
【例 3】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所
示，则该几何体的体积为 ( C )
A．13＋23π
B．13＋ 32π
C．13＋
2 6π
D．1＋ 62π
(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体的表面积为( B )
2021年高考理数第二轮第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
3
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
归纳总结 思维升华
@《创新设计》
真题感悟
1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸 出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是 榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
8
真题感悟 考点整合
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解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，其对角线长分别为 6 cm 和 4 cm， 故 V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3). 又 V 长方体＝6×6×4＝144(cm3)， 所以模型的体积为 V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)， 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g). 答案 118.8
4
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解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以 是虚线，结合榫头的位置知选A. 答案 A
5
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2.(2019·全 国 Ⅰ 卷 ) 已 知 三 棱 锥 P － ABC 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上 ， PA ＝ PB ＝ PC ， △ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的 体积为( )
归纳总结 思维升华
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2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积 S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积 S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积 S＝4πR2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR3.
高考数学总复习 第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积课件 理 新人教A版
2.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： 正视图 、 侧视图 、 俯视图 ． (2)三视图的画法 ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成 虚线 ． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几何体的正投影图．
3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二侧 画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′ 轴的夹角为 45°或 135，° z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面 垂直 ． (2) 原 图 形 中 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 ， 直 观 图 中 仍 分 别 平行于坐标轴 ；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原 长度 不变 ；平行于 y 轴的线段在直观图中长度为 原来的一半．
考纲要求：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特 征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会 用斜二测法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三 视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 公共顶点 的 三角形
棱锥被平行于 底面 的平面所截，截面和底面之间的部 棱台
分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角腰所在的直线或等腰梯 直角梯形或等腰梯形
形上下底中点连线
球
半圆或圆
2021年高考数学二轮复习 空间几何体的三视图、表面积与体积
2021年高考数学二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积1．(xx·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )【解析】由三视图的知识得B正确．【答案】B2．(xx·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3【解析】由题中三视图知，该几何体由一个长方体与一个三棱柱组成，体积V＝3×4×6＋12×3×4×3＝90(cm3)，故选B.【答案】 B3．(xx·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A．4π B．3π C．2π D．π【解析】∵圆柱侧面展开图为矩形，底面圆半径为1，S侧＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故选C.【答案】 C4．(xx·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72【解析】 S 表＝S 底＋S 上＋S 左＋S 前＋前＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5 ＝60.【答案】 B5．(xx·全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C．9π D.27π4【解析】易知SO ′＝4O ′D ＝1222＋22＝ 2 设球的半径为R ，则(4－R )2＋22＝R 2∴R ＝94，∴S 球＝4πR 2＝81π4. 【答案】 A从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．空间几何体的三视图及确定应用①此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合，主要考查学生的空间想象能力，是每年的必考内容之一．②试题多以选择题的形式出现，属基础题．2．计算空间几何体的表面积与体积①该考向主要以三视图为载体，通常是给出某几何体面积或体积，作为新课标教材的新增内容，日益成为了高考中新的增加点和亮点．主要考查学生的计算能力和空间想象能力及识图能力．②试题多以选择题、填空题为主，多属于中档题．3．多面体与球的切、接问题①该考向命题背景宽，以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接的形式出现，也是高考中的一大热点．主要考查学生的空间想象能力和计算能力．②试题多以选择题、填空题的形式出现，属于中档题.空间几何体的三视图及应用【例1】 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱(2)(xx·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【解析】(1)直观图为：(2)在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.【答案】(1)B (2)D【规律方法】识与画三视图的关键点：(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正视图对正，画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方，高度要与正视图平齐．(2)要熟悉各种基本几何体的三视图．[创新预测]1．(1)(xx·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)(xx·昆明调研)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系0xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为( )A．(1,1,1) B．(1,1，2)C．(1,1，3) D．(2,2，3)【解析】(1)由已知得选项A、B、C与俯视图不符，故选D.(2)因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为4－1＝3，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z＝±3，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，3)．【答案】(1)D (2)C空间几何体的表面积与体积【例2】(1)(xx·山东高考)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)(xx·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(3)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18【解析】 (1)设棱锥的高为h ，∵V ＝23，∴V ＝13×S 底·h ＝13×6×34×22×h ＝2 3. ∴h ＝1，由勾股定理知：侧棱长为22＋1＝ 5. ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为52－12＝2，∴S 侧＝12×2×2×6＝12. (2)由几何体的三视图知，该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为 1 m ，高为 4 m 的圆柱，另一部分是底面半径为2 m ，高为2 m 的圆锥．∴V ＝V 柱＋V 锥＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3(m 3)． (3)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．由几何体的三视图如题图可知，则几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A. 【答案】 (1)12 (2)20π3(3)A 【规律方法】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧：(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤：(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[创新预测]2．(1)(xx·全国新课标Ⅰ高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4(2)(xx·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π 【解析】(1)还原为直观图放在正方体中如图所示三棱锥D －ABC .AB ＝BC ＝4，AC ＝42， DB ＝DC ＝25，DA ＝422＋4＝6.故最长的棱长为6.故选C. (2)该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V ＝23－12×2π＝8－π，故选C.【答案】 (1)C (2)C多面体与球的切、接问题【例3】 (1)(xx·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3(2)(xx·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ． 2C ．3D ．4【解析】 (1)连接AC ，BD 相交于O 1，连接A 1C 1，B 1D 1，相交于O 2并连接O 1O 2，则线段O 1O 2的中点为球心．∴半径R ＝|OB |＝|OO 1|2＋|O 1B |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，∴V 球＝43πR 3＝43π，故选D. (2)由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R .∴2R ＝(6＋8)－10＝4，∴R ＝2.【答案】 (1)D (2)B【规律方法】 多面体与球接、切问题的求解策略：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[创新预测]3．(1)(xx·辽宁高考)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310 (2)(xx·全国课标Ⅱ高考)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．【解析】 (1)根据球的内接三棱柱的性质求解．因为直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，即R ＝132. (2)本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V 四棱锥O ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322， ∴OA 2＝h 2＋(AC 2)2＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π.【答案】 (1)C (2)24π[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点1．(1)台体的构成：台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．(2)三视图的不唯一性：空间几何体的不同放置位置对三视图会有影响．(3)三视图轮廓线的虚实：正确确定三视图的轮廓线，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．(4)元素与位置的变与不变：几何体的展开与折叠问题，准确确定前后两个图形间的联系及元素与位置之间的变化与稳定．2．(1)球的外切四棱锥与内接四棱锥是不一样的，两者不能混淆．(2)球的体积公式与锥体的体积公式的系数不一样，两者不能混淆．答题指导1．(1)看到三视图，想到几何体的直观图．(2)看到三棱锥的体积，想到定底定高．(3)看到求几何体的表面积、体积，想到几何体的表面积、体积公式．2．(1)看到球的表面积、体积问题，想到球的表面积、体积公式．(2)看到球的组合体问题，想到寻找一个合适的轴截面．(3)看到球的截面，想到球的截面性质．方法规律1．(1)画三视图的规则：长对正，高平齐，宽相等．(2)转化思想的应用：将空间问题转化为平面问题．(3)几何体体积：注意割补法(将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解)．(4)几何体表面上最短距离问题：常常利用几何体的表面展开图解决．2．(1)球的直径：球的直径等于它的内接正方体的对角线长，等于它的外切正方体的棱长．(2)与球有关的接切问题：要注意球心的位置以及球心与其他点形成的直角三角形．有关球的组合体的图形与数据处理所谓空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象概括的能力，空间想象能力在立体几何中主要体现在能对空间几何体的各个元素在空间中的位置进行准确判断，能画出空间几何体的直观图，并在直观图中把各种位置关系表达出来．球是基本的空间几何体之一，单一的球的直观图容易画出，但是当球与其他空间几何体组成组合体时，其直观图就很难作出，因此与球有关的组合体的图形处理成为空间想象能力考查的重要问题．【典例】若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.83π B.433πC.43π D.163π【解析】如图所示，由SA＝SB＝SC可知点S在底面上的射影为△ABC的外心．由于底面是直角三角形，故其外心为斜边的中点O′，设该三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则OO′＝3－R，在△OO′A中，R2＝(3－R)2＋12，即R＝23，所以球的表面积为4πR2＝16π3.【答案】 D【规律感悟】多面体的外接球的球心是到多面体的各个顶点距离相等的点，在确定多面体外接球的球心时要抓住这个特点．> egJ24089 5E19 帙727299 6AA3 檣39547 9A7B 驻21772 550C 唌29000 7148 煈 25066 61EA 懪h27745 6C61 污。
2021年高考数学复习精选课件 第二节 空间几何体的表面积和体积
在Rt△AOO'中,∵AO2 =AO'2 +OO'2,
2
∴R2 =( 9 )2 +(4 -R)2,
4
解得R = ,
9 2 81 4 4
∴该球的外表积为4πR2 =4π× = . (面2)积设S正1=四4×面43体·a内2=切3a球2,其的内半切径球为的r,正半四径面为体正的四棱面长体为高a的,那么14,正即四r=面14 体×3的6 表a=
名称 几何体
表面积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
台体 (棱台和圆台) 球
S表面积=S侧+S上+S下 S=⑥ 4πR2
栏目索引
体积
V=④ Sh
V=⑤
1 3
Sh
V= 13 (S上+S下+ S上S)下h
V=⑦
4 3
πR3
栏目索引
判断以下结论的正误(正确的打 "√〞,错误的打 "×〞) (1)多面体的外表积等于各个面的面积之和. (√) (2)锥体的体积等于底面积与高之积. (×) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (√) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(√) (5)正方体既有外接球又有内切球. (√) (6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧 面积是2πS. (×)
1
3 83
8
4
×4π×22+3× ×π×
22=17π.选A.
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1 -2 (2021课标全国Ⅱ,7,5分)以下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图,那么该几何体的外表积为 ( )
2021年新课标版文数高考复习练习讲义：§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
专题八立体几何【真题探秘】§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间几何体的结构及其三视图和直观图①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;②能画出简单空间图形的三视图,能识别三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图;③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式2018课标全国Ⅰ,9,5分空间几何体的三视图空间几何体的结构特征及空间几何体表面最短路径问题★★★2018课标全国Ⅲ,3,5分空间几何体的三视图数学文化2019课标全国Ⅱ,16,5分空间几何体的结构特征数学文化空间几何体的表面积通过对柱、锥、台、球的研究,掌握柱、锥、台、球的表面积的求法2018课标全国Ⅰ,5,5分圆柱的表面积圆柱的轴截面★★★2017课标全国Ⅰ,16,5分三棱锥外接球的表面积面面垂直的性质定理及三棱锥的体积2016课标全国Ⅰ,7,5分球的表面积空间几何体的三视图2015课标Ⅰ,11,5分组合体的表面积空间几何体的三视图空间几何体的体积①理解柱、锥、台体的体积概念;②能运用公式求解柱、锥、台、球的体积,并且熟悉台体、柱体与锥体之间的转换关系2018课标全国Ⅰ,10,5分长方体的体积直线与平面所成角★★★2017课标全国Ⅱ,6,5分不规则几何体的体积空间几何体的三视图2019课标全国Ⅲ,16,5分不规则几何体的体积数学的实际应用,几何体的质量分析解读1.理解柱、锥、台、球的概念,牢记它们的几何特征及形成过程.正确把握轴截面、中截面的含义及空间问题转化为平面问题的方法.2.理解三视图的概念及掌握三视图与直观图的画法.3.理解柱、锥、台、球的表面积和体积的概念,掌握其表面积和体积公式.4.高考对本节内容的考查主要以几何体的三视图为背景考查几何体的表面积和体积,分值约为5分,属于中档题.破考点练考向【考点集训】考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2020届贵州贵阳8月摸底考试,7)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()答案D2.(2015北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.√2C.√3D.2答案C3.(2019河南非凡联盟4月联考,9)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示,它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形,其中四边形O'A'B'C'为平行四边形,D'为C'B'的中点,则图(2)中平行四边形O'A'B'C'的面积为()A.12B.3√2C.6√2D.6答案B考点二空间几何体的表面积答案A2.(2019河南郑州一模,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.(4+4√5)π+4√2B.(4+4√5)π+4+4√2C.12π+12D.12π+4+4√2答案A3.(2020届吉林梅河口五中9月月考,16)已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=6,BC=2√5,则棱锥O-ABCD的侧面积为.答案44考点三空间几何体的体积1.(2019江西上饶二模,7)已知下图为某几何体的三视图,则其体积为()A.π+23B.π+13C.π+43D.π+34答案C2.(2018吉林长春质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为()A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈答案B3.(2019天津,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π4炼技法提能力【方法集训】方法1 空间几何体表面积的求解方法1.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案 C2.(2020届湖北部分重点中学9月摸底考试,9)某三棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为( )A.32+√2+√52B.12+2√2+√5C.12+√2+√5 D.32+√2+√5答案 A3.(2019河南安阳诊断卷,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.16+2πB.20+2πC.14+πD.20+π答案 D4.(2019广东韶关一调,15)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球的表面积之比为 . 答案 √5∶2方法2 空间几何体体积的求解方法1.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10答案D2.(2019河南顶尖计划联考,9)如图,网格纸中小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.8B.10C.20D.32答案C3.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案134.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43方法3 与球有关的切、接问题的求解方法1.(2019宁夏银川质量检测,11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和√3,此三棱柱的高为2√3,则该三棱柱的外接球的体积为()A.32π3 B.16π3C.8π3D.64π3答案A2.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6π D.32π3答案B3.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案92π4.(2020届湖南顶级名校9月联考,16)正三棱锥P-ABC(底面△ABC为正三角形,顶点P在底面的射影为底面△ABC的中心)中,PA⊥PB,其体积为92,则该三棱锥的外接球的表面积为.答案27π【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2√17B.2√5C.3D.2答案B2.(2019课标全国Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-1考点二空间几何体的表面积1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π答案B2.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81答案B3.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π4.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考点三空间几何体的体积1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6√2C.8√2D.8√3答案C2.(2017课标全国Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π答案B3.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4 C.π2D.π4答案B4.(2019课标全国Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O-EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA 1=4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.答案 118.85.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB 互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8,则该圆锥的体积为 . 答案 8π6.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线BC ∥平面PAD;(2)若△PCD 的面积为2√7,求四棱锥P-ABCD 的体积.答案 (1)证明:在平面ABCD 内, 因为∠BAD=∠ABC=90°, 所以BC ∥AD.又BC ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD,故BC ∥平面PAD. (2)取AD 的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD 及BC ∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形,则CM ⊥AD.因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PM ⊥AD,PM ⊥底面ABCD. 因为CM ⊂底面ABCD, 所以PM ⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC=PD=2x. 取CD 的中点N,连接PN, 则PN ⊥CD,所以PN=√142x.因为△PCD 的面积为2√7, 所以12×√2x×√142x=2√7,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2√3. 所以四棱锥P-ABCD 的体积V=13×2×(2+4)2×2√3=4√3. 7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置. (1)证明:AC ⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE 的体积.答案 (1)证明:由已知得AC ⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF 得AE AD =CF CD,故AC ∥EF.(2分)由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD',所以AC ⊥HD'.(4分) (2)由EF ∥AC 得OH DO =AE AD =14.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB 2-AO 2=4. 所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH 2=(2√2)2+12=9=D'H 2,故OD'⊥OH.由(1)知AC ⊥HD',又AC ⊥BD,BD ∩HD'=H,所以AC ⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC ⊥OD'. 又由OD'⊥OH,AC ∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分) 又由EF AC =DHDO得EF=92.五边形ABCFE 的面积S=12×6×8-12×92×3=694.(10分) 所以五棱锥D'-ABCFE 的体积V=13×694×2√2=23√22.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324答案B2.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C考点二空间几何体的表面积1.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.8+2√2B.11+2√2C.14+2√2D.15答案B2.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案 80;40考点三 空间几何体的体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.2B.4C.6D.8答案 C2.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13+23π B.13+√23π C.13+√26π D.1+√26π答案 C3.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是 .答案 10C 组 教师专用题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案B2.(2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案B考点二空间几何体的表面积1.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B2.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D3.(2015安徽,9,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+√3B.1+2√2C.2+√3D.2√2答案C4.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.81π4B.16π C.9π D.27π4答案A5.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C6.(2013课标Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案9π27.(2013课标Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为3√22,底面边长为√3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π考点三空间几何体的体积1.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案 B2.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D3.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3D.403cm 3答案 C4.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2√2π3B.4√2π3C.2√2πD.4√2π答案 B5.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+2π B.13π6C.7π3D.5π2答案B6.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89π B.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π答案A7.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727 B.59C.1027D.13答案C8.(2013课标Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A9.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18答案B10.(2012课标全国,8,5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为()A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π答案B11.(2010全国Ⅰ,12,5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为()A.2√33 B.4√33C.2√3D.8√33答案B12.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.答案2+π213.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案√3314.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.答案3215.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案83π 16.(2011课标,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 答案13 17.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 答案 (1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EB 1=12,EM=AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2-EM 2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).18.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P-ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上存在点M,使得AC ⊥BM,并求PMMC的值.答案 (1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 可得S △ABC =12·AB ·AC ·sin 60°=√32.由PA ⊥平面ABC,可知PA 是三棱锥P-ABC 的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC 的体积 V=13·S △ABC ·PA=√36.(2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC,垂足为N.在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M,连接BM.由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC,所以MN ⊥AC.由于BN ∩MN=N,故AC ⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN,所以AC ⊥BM. 在直角△BAN 中,AN=AB ·cos ∠BAC=12,从而NC=AC-AN=32.由MN ∥PA,得PM MC =AN NC =13.19.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥BC,A 1B ⊥BB 1. (1)求证:A 1C ⊥CC 1;(2)若AB=2,AC=√3,BC=√7,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1B 1C 1体积最大?并求此最大值.答案 (1)证明:由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC, 又BB 1⊥A 1B,故BB 1⊥平面BCA 1,则BB 1⊥A 1C, 又BB 1∥CC 1, 所以A 1C ⊥CC 1. (2)解法一:设AA 1=x,在Rt △A 1BB 1中,A 1B=√A 1B 12-BB 12=√4-x 2. 同理,A 1C=√A 1C 12-CC 12=√3-x 2.在△A 1BC 中,cos ∠BA 1C=A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C=-x 2√(4-x )(3-x ),所以sin ∠BA 1C=√12-7x 2(4-x 2)(3-x 2),所以S △A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C=√12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △A 1BC ·AA 1=x √12-7x 22. 因为x √12-7x 2=√12x 2-7x 4=√-7(x 2-67)2+367,故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77. 解法二:过A 1作BC 的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA 1⊥BC,A 1D ⊥BC, 故BC ⊥平面AA 1D,BC ⊥AD. 又∠BAC=90°,所以S △ABC =12AD ·BC=12AB ·AC,得AD=2√217. 设AA 1=x,在Rt △AA 1D 中,A 1D=√AD 2-AA 12=√127-x 2, S △A 1BC =12A 1D ·BC=√12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △A 1BC ·AA 1=x √12-7x 22. 因为x √12-7x 2=√12x 2-7x 4=√-7(x 2-67)2+367, 故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77. 20.(2013课标Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (1)证明:BC 1∥平面A 1CD;(2)设AA 1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.答案 (1)证明:连接AC 1交A 1C 于点F, 则F 为AC 1中点.由D 是AB 中点,连接DF,则BC 1∥DF. 因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD, 所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AA 1⊥CD.由已知AC=CB,D 为AB 的中点, 所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB=A,于是CD ⊥平面ABB 1A 1. 由AA 1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A 1D=√6,DE=√3,A 1E=3, 故A 1D 2+DE 2=A 1E 2,即DE ⊥A 1D.所以V C -A 1DE =13×12×√6×√3×√2=1.【三年模拟】时间:50分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2018广东佛山一模,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.212 B.15 C.332D.18答案C2.(2020届河南顶级名校摸底考试,6)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,若某个鳖臑的三视图均是直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则该鳖臑表面中最大面的面积为()A.√22B.1C.√2D.1+√2答案A3.(2019全国大联考,8)已知半球O的半径r=2,正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半球O,其中底面ABC在半球O的大圆面内,点A1,B1,C1在半球O的球面上.若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6√3,则其侧棱的长是()A.√6B.2C.√3D.√2答案D4.(2020届安徽A10联盟摸底考试,10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.23 B.43C.2D.4答案B5.(2019安徽黄山模拟,9)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的表面积为()A.(12-8√2)πB.(12-6√2)πC.(10-6√2)πD.(8-4√2)π答案A6.(2019江西九江一模,8)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.43 B.83C.4D.163答案D7.(2020届百师联盟开学摸底考试,12)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,异面直线AC与PD所成的角的余弦值为√105,则四棱锥外接球的表面积为()A.48πB.12πC.36πD.9π答案D8.(2020届西北工大附中9月月考,9)在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是斜边AB=2√3的直角三角形,PA=PB=√7,则三棱锥外接球的表面积为()A.16πB.65π4C.65π16D.49π4答案D9.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为2√33,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于()A.5πB.20πC.8πD.16π答案B二、填空题(每小题5分,共15分)10.(2018陕西部分重点中学摸底检测,14)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为.答案14,则三棱锥A-BCD的体积的最11.(2020届广西桂林十八中9月月考,16)已知球的直径DC=4,A,B是球面上的两点,∠ADC=∠BDC=π6大值是.答案 212.(2020届广西柳州重点中学摸底考试,15)菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD翻折,使得二面角C-BD-A的大小为120°,已知A、B、C、D四点在同一球面上,则球的表面积等于.答案84π。
高考数学二轮专题复习 专题四 第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积课件 新人教版
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用“思想”——尝试用“函数与方程思想”解题 如图 1 所示的△ABC 中，设 BD＝x(0<x<3)，则 CD＝3 －x. 由 AD⊥BC，∠ACB＝45°知△ADC 为等腰直角三角形， 所以 AD＝CD＝3－x. 由折起前 AD⊥BC 知，折起后(如图 2)，AD⊥DC，AD ⊥BD，且 BD∩DC＝D，所以 AD⊥平面 BDC. 又因为∠BDC＝90°，所以 S△BCD＝21BD·CD＝12x(3－x)．
专题(zhuāntí)四 立 体几何
第一 (dìyī) 讲
空间(kōngjiān)几何体 的三视图、表面积及体 积
第一页，共35页。
空间(kōngjiān)几何体的三视图
一、基础知识要记牢 一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面， 长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面， 高度与正(主)视图的高度一样，宽度(kuāndù)与俯视图的宽度 (kuāndù)一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
∴V 球＝34π×53＝5300π(cm3)．
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(2)由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个 小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边 长分别为 3 和 4，三棱柱的高为 5，故其体积 V1＝21×3×4×5 ＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为 3， 故其体积 V2＝31×12×3×4×3＝6(cm3)，所以所求几何体的体 积为 30－6＝24(cm3)．
B. 2
2－1 C. 2
2＋1 D. 2
高三复习资料 2021新高考版数学教师用书(课件) §8.1 空间几何体的三视图、表面积与体积
考点三 空间几何体的表面积
1.多面体的表面积等于其各个面的面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积公式:
名称
表面积
侧面积
圆柱
S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
S侧=2πrl
圆锥
S=πr2+πrl=πr(r+l)
S侧=πrl
圆台
S=π(r'2+r2+r'l+rl)
S侧=π(r+r')l
球
S=4πR2
8-
4π 3
-(24-6π)=32+
22π 3
.
答案 32+ 22 π
3
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例3 底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥. 如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的侧面积为4 3 ,求该半 球的体积.
解题导引 要求半球的体积,需求其半径,因为是正四棱锥内接于半球,所
(2)每相邻两个四边形的公共边都 顶点的三角形
截面之间的部分
互相平行
侧棱
① 平行且相等
相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 ② 平行四边形
③ 三角形
④ 梯形
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
图形
圆台
栏目索引 球
母线
平行、相等且垂直于底面 相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 大圆
以球心为正四棱锥底面的中心O,因此OC=SO即为半径,设出半径r,可求出
SA=AB;再由已知的侧面积建立等量关系求得r,从而求出半球体积.1 解析 连接AC,BD交于点O,连接SO,设球的半径为r,由题意可知,SO=AO=OC=
高考数学二轮复习(文)专题三第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积课件(57张)
图1
图2
考点一
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3.(2019课标全国Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表
之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信
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的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多
考点二 空间几何体的表面积与体积
命题角度一 空间几何体的表面积
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1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
(B ) A.12 2 π B.12π C.8 2 π D.10π
考点二
考点一
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A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 答案 B 由于P为BD1的中点,结合正投影的性质知B正确.
考点一
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2.(2019湖南模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是三棱锥P-
ABC的三视图,PA是其最长的棱,则直线PA与平面ABC所成角的正切值为
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(C )
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的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求出内切球 的半径.
考点三 栏目索引
1.(2019运城联考)一块木料的三视图如图所示,将它经过切削、打磨成半径
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最大的球,则该木料最多加工出球的个数是 ( B )
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A. 3 + 2+ 5
2
2
C. 1 + 2 + 5
2
B. 1 +2 2 + 5