命题逻辑第一课命题公式与等值演算
定义 设P,Q为任意两个命题 ,复合命题“ P且Q”(或“P与Q”) 称为P与Q的合取式，记作 P∧Q。其中符号∧表示“且”， 称作合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P与Q均为真。
注意：合取式描述方式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题
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例 将下列命题符号化 . (1) 王晓既用功又聪明 . (2) 王晓不仅聪明，而且用功 . (3) 王晓虽然聪明，但不用功 . (4) 张辉与王丽都是三好生 . (5) 张辉与王丽是同学 .
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“ ? ”
定义 设 P,Q为任意两个命题，复合命题 “若P, 则Q” 称作 P与Q的蕴涵式 ，记作 P? Q，并称 P是 蕴涵式的 前件或前提 ，q为蕴涵式的 后件或结论 .
符号? 表示“若，则”（形式推论关系），称作
蕴涵联结词 。 根据形式推论的涵义， P? Q为假 当且仅当 P为真且 Q为假。
解 令 p：王晓用功， q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) q ∧? p.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生， s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学， t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性 . (5) 中“与”联结的是两个名词（而不是两个
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例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服 . (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服 . (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷 . (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服 . (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服 . (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷 . (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服 . (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候 .
例如，令 p： 2 是有理数，则 p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 1
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复合命题及其符号化：联结词
1.否定式复合命题与否定联结词“ ? ”
定义 设P为任意命题，复合命题 “非P”或( “p的否定”)称 为P的否定式，记作? P。其中符号? 表示“非”，称作 否定联
结词。? P 为真当且仅当P? q p? q q? p q? p p? q q? p q? p
注意： p? q 与 ? q?? p 等值（真值相同）
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联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“ ? ” 定义 设P，Q为任意两个命题，复合命题 “P当且
仅当 Q”称作 P与Q的等价式 ，记作 P? Q. ? 称作 等价联结词 .P? Q为真当且仅当 P与Q真值相同 . 说明: (1) P? Q 的逻辑关系 : P与Q互为充分必要条件 (2) P? Q为真当且仅当 P与Q同真或同假
命题），整个句子是一个简单命题 .
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
定义 设 P,Q为任意两个命题，复合命题“ P或Q” 称作 P与Q 的析取式 ，记作 P∨Q。其中符合∨， 表示“相容或”，称作 析取联结词。 P∨Q为假当 且仅当 p与q均为假 .
例 将下列命题符号化
(1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨 . (5) 王晓红生于 1995年或1996年.
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联结词与复合命题(续)
P? Q 的逻辑关系： P 为 Q 的充分条件
，Q 为 P 的必要条件
“若 P，则 Q ”的不同表述法很多： 若 P，就 Q 只要 P，就 Q P 仅当 Q 只有 Q 才 P 除非 Q, 才 P 或 除非 Q, 否则非 P.
当 P 为假时，P? Q 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句 祈使句 悖论
(3)~(7) 都不是命题
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命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题与联结词按一定规则复合 而成的命题
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简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示 简单命题 真值的符号化：用“ 1”表示真，用“ 0”表示假
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解 令 p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数, 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为 : p∨r , p∨q, r∨s, 它们的真值分别为 1, 1, 0.
(4), (5) 为排斥或. 令 t :小元元拿一个苹果， u:小元元拿一个梨， 则 (4) 符号化为 (t∧? u) ∨(? t∧u). 令v :王晓红生于 1995年,w:王晓红生于 1996年, 则 (5) 可符号化为 (v∧? w)∨(? v∧w)。注：在 不强调只能生于一个年份时，也可符号化为 v∨w .
连续.
0
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注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
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例 下列句子中那些是命题？ (1) 2 是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话 .
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例
例 求下列复合命题的真值
(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
1
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
0
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起 . 1
(4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲 .
0
(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
第1章 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类 1.3 等值演算 1.4 范式 1.5 联结词完备集 1.6 推理理论
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1.1 命题符号化及联结词
? 命题与真值 ? 原子命题 ? 复合命题 ? 命题常元 ? 命题变元 ? 联结词
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命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值 : 判断的结果，非真即假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
离散数学,命题逻辑等值演算
任何命题公式都存在与之等值的主 析取范式和主合取范式，并且是唯 一的。
证明： （1）存在性：等值演算 （2）唯一性：反证法
例题与练习
【例2.8】求主析取范式与主合取范式： (p→q)↔r
合取范式 （p∨r) ∧ (¬q∨r) ∧ (¬p∨q∨¬r)
析取范式 （p∧¬q∧¬r）∨（ ¬p∧r ）∨（ q∧r ）
p(qr）
1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
(p∧q)r
1 1 1 1 1 1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A¬¬A
• 2.幂等律 A∧A A，A∨A A
• 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A
• 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
2.3 联结词的完备集
定义2.6
n元真值函数F：{0,1}n →{0,1}
定理
• 每个真值函数，都一一对应一个真值表。每个真 值函数，都存在许多与之等值的命题公式。反之， 每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。
定义2.7
• 设S是联结词集合，如果任何n元真值函数 都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词完备集。
p∧q∧r
成真赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
极大项
极大项
p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
成假赋值 名称
000
M0
001
01命题逻辑
命题逻辑主要就是研究复合命题。
5、命题的符号化： 用符号来表示命题。
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三、联结词
先看一个例子：
例2：判断下列命题是否为复合命题，说出其联结词。
(1) 3不是偶数。
(3) 林芳学过英语或日语。
例2(3)中，设 p 表示“林芳学过英语”， q 表示 “林芳学过日语”，则 p q 表示“林芳学过英语或日 语”。 注意：“或”的二义性。如命题：派小王或小李中 的一人去开会，应符号化为( p q ) ( p q ), 这类“或”表达的是排斥或。
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二、命题公式的解释或赋值（续）
( 1) ( p) q 真值分析如下： p q ( p) q ( p) q 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0
表1.2
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二、命题公式的解释或赋值（续）
2、命题常项(或命题常元)：
由于简单命题的真值确定，故又称之为命题常项
或命题常元。 如例1中的陈述句(1) (2) (3) (4) (5)。
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二、与命题相关的几个概念（续）
3、命题变项(或命题变元)： 真值可以变化的简单陈述句，但它不是命题,也
可以用p,q,r等表示。
关系。用真值表可以验证公式等值。
等值演算：按一定方法寻找某个复合命题公式的等 值式的过程。
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离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
命题逻辑
第1章命题逻辑1．1命题与连接词1．1．1命题的概念1．命题：具有真假意义的陈述句。
（只有能够确定或能够分辨其真假的陈述句）。
2．真值：命题总是具有一个“值”。
3．命题：原子命题：一种是不能够分解为更简单的陈述句的命题。
复合命题：是由原子命题和连接词复合而成的命题。
例：判断下列句子哪些是命题。
（1）地球外的星球上边也有生物。
（2）101+010=111。
（3）邓书记的头发有一万根。
（4）我正在说假话。
（5）离散数学真有趣啊！（6）雪是黑色的。
解：（1）、（3）、（6）是命题。
（2）、（4）、（5）不是命题。
（3）虽然不能马上知道其语句的真假，但只要仔细数一数，还是可以确定真假的。
（1）目前虽然无法确定真假，但从事物的本质而论，该语句具有真假意义。
（2）因为需要根据上下文确定其真假，该命题在十进制中为假，但在二进制中为真。
（4）这个句子是逻辑学中的悖论，因而不是命题。
当它为假时，它变为真；当它为真时，它变为假。
（5）是感叹句，不是命题。
4．命题常项（命题常元）：一个命题标识符（如果表示确定真值的命题）（如上面的p、q）5．命题变项（命题变元）：对于一个没有赋予任何意义的命题，因命题变项的真值不确定，故命题变项不是命题。
6．条件连接词（蕴涵连接词）：设p和q是两个命题，由连接词“→”将p、q 连接成复合命题，记做p→q，读作“如果p，那么q”或“若p则q”或“p蕴涵q”。
在p→q中，p为前件，q为后件。
也就是说p是q的充分条件，或者q 是p的必要条件。
当且仅当p的真值为1，q的真值为0时，p→q的真值为0，否则p→q的真值为1。
例：设p表示“猫是哺乳动物”；q表示“猫必胎生”。
复合命题“如果猫是哺乳动物，则猫必胎生”可以表示为p→q，由于p、q均为真，所以p→q的真值为1。
注：在自然语言中，“如果…，则…。
”常常表示一种因果关系，否则无意义。
但对于数理逻辑中的条件命题p→q来说，只要p、q能够分别确定真值，p→q即成为命题。
1.1命题逻辑基本概念
(4) ┐p→┐q
例1.5 将下列命题符号化，并指出其真值
以下命题中出现的a是一个给定的正整数： (5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。 (6) a能被4整除，仅当a能被2整除。 (7) 除非a能被2整除， a才能被4整除。 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 (9) 只有a能被2整除， a才能被4整除。 (10)只有a能被4整除， a才能被2整除。
例1.3 将下列命题符号化
(1)吴颖既用功又聪明。 (2)吴颖不仅用功而且聪明。 (3)吴颖虽然聪明，但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。
(5)张辉与王丽是同学。
p: q: r: s: t:
吴颖用功。 吴颖聪明。 张辉是三好学生。 王丽是三好学生。 张辉与王丽是同学。
解题要点： 正确理解命题含义。 找出原子命题并符号化。 选择恰当的联结词。
例1.2
将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它 们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p： 2 是有理数 q：2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数
0 1 1 1 0
非p； q并且(与)r； q或t； 如果q，则s； q当且仅当s。
1.1 命题符号化与联结词
称能判断真假的陈述句为命题 （proposition）。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个：真与假。
真值为真的命题称为真命题。
真值为假的命题称为假命题。
说 明
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。
关于真值（逻辑）联结词的说明
1.2命题逻辑等值演算
B1=A1=┐p∧q B2=(┐p∧┐q)∨(p∧q) B3=p∧┐q C1=A2=p∧┐q C2=(p∧q)∨(┐p∧┐q) C3=┐p∧q D1=A3=┐q∧┐r D2=(q∧┐r)∨(┐q∧r) D3=q∧r
由王教授所说 E =(B1∧C2∧D3)∨(B1∧C3∧D2)∨(B2∧C1∧D3) ∨(B2∧C3∧D1)∨(B3∨C1∧D2)∨(B3∧C2∧D1) 为真命题。 经过等值演算后,可得 E (┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r) 由题设，王教授不能既是上海人，又是杭州人，因而p,r中必 有一个假命题，即p∧┐q∧r0，于是 E ┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题，即王教授是 上海人。甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了。
定理 都是联结词完备集
p
pq ( p q ) (p q ) p q ( p p) (q q)
证：已知 , , 为联结词完备集，因而只需证明其 中的每个联结词都可以由 定义即可
( p p) p p
也可以从右边开始演算 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 通常不用等值演算直接证明两个公式不等值
例题
例2.3 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r (p→r)∧(q→r)
解答 (p→r)∧(q→r) (┐p∨r)∧(┐q∨r) (┐p∧┐q)∨r ┐(p∨q)∨r (p∨q)→r (蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
解答
设命题 p：王教授是苏州人。 q：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通 过逻辑演算将真命题找出来。 设 甲的判断为A1= ┐p∧q 乙的判断为A2= p∧┐q 丙的判断为A3= ┐q∧┐r
命题逻辑第一课-命题公式与等值演算省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
9
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
定义 设 P,Q为任意两个命题，复合命题“P或Q” 称作P与Q 旳析取式，记作P∨Q。其中符合∨， 表达“相容或”，称作析取联结词。P∨Q为假当且 仅当p与q均为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一种苹果或一种梨. (5) 王晓红生于1995年或1996年.
是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB),
(AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成旳符号串才是
合式公式 阐明: 外层括号能够省去
19
合式公式旳层次
定义 (1) 若公式A是单个命题常/变元, 则称A为0层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
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联结词与复合命题(续)
PQ 旳逻辑关系： P 为 Q 旳充分条件
，Q 为 P 旳必要条件
“若 P，则 Q ” 旳不同表述法诸多： 若 P，就 Q 只要 P，就 Q P 仅当 Q 只有 Q 才 P 除非 Q, 才 P 或 除非 Q, 不然非 P.
当 P 为假时，PQ 为真 常出现旳错误：不分充分与必要条件
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例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，不然天不冷. (7) 假如天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当日冷旳时候.
2-1 命题逻辑的等值和推理演算
用等值演算法判断下列公式的类型
(2) ((P∧Q)∨(P∧¬ ∧R) ∧¬Q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解: ((P∧Q)∨(P∧¬ ∧R) ∧ ∨ ∧¬Q))∧ ∧¬ = (P∧(Q∨¬ ∧R ∨¬Q))∧ 分配律） ∧ ∨¬ （分配律） = P∧T∧R ∧ ∧ （排中律） 排中律） = P∧R 同一律） ∧ （同一律）
等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反、对称、传递 等值关系的性质：自反、对称、 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
三个重要的等值式
P →Q = ¬P ∨ Q P ↔ Q = (P ∧ Q) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q )
P↔Q = (P→Q)∧(Q→P) ↔ → ∧ →
等值演算举例1
A,B代表任意 代表任意 的命题公式
T→A = A， T ↔ A = A， → ， ， A∨¬ = T， A∧¬ = F， ∨¬A ∧¬A ∨¬ ， ∧¬ ，
等值公式
2. 常用等值公式
A→B = ¬A∨B （由联结词的真值表得） → ∨ A→(B→C) = (A∧B) →C → → A↔B = (A∧B)∧(¬A∧¬B) （由联结词的真值表得） ↔ ∧ A↔B = (A∨¬B)∧(¬A∨B) ↔ ¬ ∧¬ A↔B = (A→B)∧(B→A) (由联结词的定义得) ↔ → ∧ → A→(B→C) = B→(A→C) （前提条件可交换次序） → → → → (A→C)∧(B→C) = (A∨B) →C → ∧ → ∨
可见，能用等值演算证明公式的类型， 可见，能用等值演算证明公式的类型，此例说明它为重言式
用等值演算法判断下列公式的类型
(1) Q∧¬ →Q) ∧¬(P→ ∧¬ ∧¬(P→ 解 Q∧¬ →Q) ∧¬ = Q∧¬ ¬P∨Q) （蕴涵等值式） ∧¬(¬ ∨ 蕴涵等值式） ∧¬ = Q∧(P∧¬ ∧¬Q) 德摩根律） ∧ ∧¬ （德摩根律） = P∧(Q∧¬ ∧¬Q) 交换律，结合律） ∧ ∧¬ （交换律，结合律） = P∧F 矛盾律） ∧ （矛盾律） =F 零律） （零律） 矛盾式. 由最后一步可知，该式为矛盾式 由最后一步可知，该式为矛盾式
命题逻辑等值演算
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用