一元二次方程根与系数的关系课件

b x1 + x2 = − a
c x1x2 = a
一元二次方程 根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
ax + bx + c = 0( a ≠ 0)
2
方程的判别式
当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公 式写出它的根 求根公式
∆ = b − 4ac
2
2
−b ± b − 4ac x= 2a
x + 5x + 6 = 0
2
x1 + x2
x1 x2
2 x + 5x − 3 = 0
x1 + x 2 = ― ─
x1 x2
=─
这种关系是这几个方程所特有的还是对 于任意的一元二次方程都适合的呢？
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)中
2
−b + b − 4ac −b − b − 4ac Q x1 = , x2 = 2a 2a
2 2
∴ x1 + x 2 =
=
−b +
−b +
b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac + 2a 2a
6 2x = − 5
，得到
3 x=− 5
3 k Q2 − = − 5 5
∴
3 k = −5(2 − ) = −7 5
例2
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两 =0的两 不解方程，求方程2
个根的（ 个根的（1）平方和
（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1
x2那么 3 1 x1+x2 =-— x1.x2 =-—. 2 2
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 ∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 3 1 13 2-2（-—）=— =（-—） 2 4
3 x1+x2 1 1 2 （2）—+— = ———— = ——— =3 1
2
x1 x2
x1.x2
2
小结
一元二次方程根与系数的关系 两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商.
2 2
对任意的一元二次方程，它的两 根之和与两根之积与方程的系数都有这 样的关系存在，就是
b x1 + x2 = − a
c x1x2 = a
此定理是法国数学家 韦达首先发现的，也 称为韦达定理
例：已知方程５x²+kx-6=0的一个根是２，求它 的另一根及 k的值． 解：设另一根为x,根据跟与系数的关系 可 知
b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac 2a
b −2b =− = a 2a
∴ x1 x2
−b + b − 4ac −b − b − 4ac = • 2a 2a
2 2
(−b) − ( b − 4ac ) = 2 4a
2 2

c b − (b − 4ac) 4ac = 2 = = 2 4a a 4a
2
6x + x − 2 = 0
2
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现 x1 + x2, x1 x2 与方程的系数有什么关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商. 请根据以上的观察发现进一步猜想:方 b c 程 a ax²+bx+c=0(a≠0)的 x1 + x2, x1 x与 2 系数a,b,c的关系 .