根与系数的关系 课件
《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件
-.
1
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能
力．
2
解下面的一元二次方程：
①x2 3x 2 0,
②x2 5x 6 0,
③3x2 x 2 0， ④2x2 4x 1 0.
11
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一
个
16
3
16
根3.是设x1,x2是方程，2mx2的+4值x-是3=0的两个根.，利用根与
系数的关系，求下列各式的值.
（1）（x1+1)(x2+1） 5 2
（2）—x1 x2
+ x—x21
14 3
12
4. 已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程 的另一根x2. 【解析】由题意得：(1)2 (1) m解 5得 0m=-4,当m=-4时， -1+x2=-(-4), x2=5 ,所以方程的另一根x2=5. 答： m=-4， x2=5.
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
（1）（3，1） （2）（ 2， ）2
33
（3）（ 3，0）
2
（4）（0，
）2
3
9
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
（2）3x2+5x-2=0（ 5 ， 2 ）
的两个实数根x1.x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b， c 的关系.
《一元二次方程根与系数的关系》ppt省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(2)(α－2)(β－2)．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c旳值为____2____．
7．(3分)已知有关x旳方程x2＋mx－6＝0旳一种根为2，则这个方 程旳另一种根是___－__3___．
A．3 B．－3 C．13 D．－13 10．(8分)有关x旳一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0旳两个实数根 分别为x1，x2. (1)求m旳取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m旳值．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是有关x旳一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0旳
则xx2＋x1x旳值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
12．(5分)解某个一元二次方程时，甲看错了方程旳常数项，因而得
出旳两根为8和2；乙看错了方程旳一次项旳系数，因而得出两根为－
9或－1，那么正确旳方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
3．(3分)下列一元二次方程两实根和为－4旳是( D )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
4．(3分)已知x1，x2是方程x2－4x－5＝0旳两个实数根，则(x1 －2)(x2－2)＝___－__9___．
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
一元二次方程根与系数的关系课件
应用四 已知关于方程两根的代数式的值， 求方程中字母的系数
已知：x1、x2是关于x的方程x2 2a 1x a2 0
Байду номын сангаас
的两个实数根且x1 2x2 2 11,求a的值.
x1、x2是方程x2 2a 1x a2 0的两个实数根，
x1 x2 1 2a, x1x2 a2.
x1 2x2 2 11, x1x2 2x1 x2 4 11.
2 (4)3x2 5x 2 0, ( 1 ,2);
3 (5)x2 8x 11 0, (4 5,4 5).
（） （） （）
（） （）
应用二 利用根与系数的关系解决已知一根求 另一根的问题
已知关于x的方程2x2 kx 4 0的一个根是- 4，
求它的另一个根及k的值.
设方程的另一个根是x2 ,则
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b2 4ac
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
那么x1
x2
b a
, x1x2
c. a
例3 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高
难度的动作，如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到 最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之 间应遵循下面的公式：
h 1 gt 2 2
其中h 的单位是 m，t 的单位是s，g=9.8 m/s2.假设跳板的
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0. 即 y2＋6y－8＝0.
4 一元二次方程根与系数的关系 课件+一等奖创新教案(共22张PPT)
4 一元二次方程根与系数的关系课件+一等奖创新教案(共22张PPT)2.4 一元二次方程根与系数的关系浙教版八年级下情境导入把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积新知讲解先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：(1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0方程两个根两根之和两根之积x1 x2 x1+x2 x1·x2x2-12x+11=0x2-9=04x2+20x+25=011112113-3-9-5新知讲解猜想：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为，则思考：你能证明这个猜想吗？新知讲解证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2新知讲解归纳总结一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.韦达定理把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积你能行吗？练一练新知讲解例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，求x12+x22和的值.解：有一元二次方程的根与系数的关系，得∴∴总结归纳【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.新知讲解例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.解设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.拓展延伸（1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的（2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。
推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p x1·x2=q推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2+（x1+x2）x+x1·x2=0课堂练习1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )A．4 B．－4 C．3 D．－3D2.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为_________ ( )A. m＝－2___B. m＝3C. m＝3或m＝－2D. m＝－3或m＝2C课堂练习3. 方程的两根和为4，积为-3，则a= ，b= .4.已知x1，x2是关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0的两个实数根，有下列结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.其中正确的是______(填序号).①②83课堂练习5.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.拓展提高6.若12＜m＜60(m为整数)，且关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0的两个根都为整数，求m的值.∵Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝8m＋4＝4(2m＋1)，∴2m＋1是完全平方数.∵12＜m＜60，∴25＜2m＋1＜121.又∵2m＋1是奇数，∴2m＋1＝49或81，解得m＝24或40.当m＝24时，方程的两个根分别为32和18；当m＝40时，方程的两个根分别为32和50.故m＝24或40.中考链接7.（中考广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1 x2=2D课堂总结2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系.1．一元二次方程根与系数的关系是什么？这节课你学到了什么？如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2=板书设计2.4 一元二次方程根与系数的关系1.如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2=作业布置课本P47 练习题谢谢（) 中小学教育资源网站有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入教师合作团队！！月薪过万不是梦！！详情请看：https:///help/help_extract.php2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计课题 2.4一元二次方程的根与系数的关系单元1 学科数学年级八学习目标1.经历一元二次方程根与系数关系的发现过程，培养学生善于观察、思考、归纳、概括的能力；2.理解一元二次方程根与系数关系及其证明过程，培养学生逻辑推理能力及严谨的学习态度；3.会应用一元二次方程根与系数关系求含两根的代数式的值；构造满足某种条件的一元二次方程，培养学生的转化、类比等知识迁移能力。
根与系数的关系_课件
x , x2 ,则:
1
例题讲解与练习
例1：不解方程，写出下列方程 的两根和与两根积：
(1) x 3 x 1 0 2 (2)2 x 3 x 50
1 2 ( 3) x 2 x 0 3
2
例题讲解与练习
2
(4) 2 x 6 x 3
(5) x 1 0
2
(6) x 2 x 2 0
2
⑤ x12 x2 +x1x22
⑥ x13 +x23
⑦ 2x12 7 x1 +x2
③ |x1 x2 |
④
x1 +1 x2 +1
⑧ x 3x2 +6x2
2 1 2
例3 设实数s、t分别满足 19s 99s 1 0 ，
2
t 99t 19 0 ，并且 st 1 ，
k 0 1 k 4 1 k 2
k 0 1 k 4 1 k 2
解:由题意得:
k 2 0 2 2 (2k 1) 4k 0 2k 1 x1 x2 2 0 k
2
例题讲解与练习
例2：不解方程，检验下列方程 的解是否正确？
(1) x 2 2 x 10
2
(2)2 x 3 x 80
1
2
( x 2 1, x 2 1)
1 2
7 73 5 73 (x ,x ) 4 4
2
例题讲解与练习
例3 例4
求一个方程，使它的两根分别是2和-3 已知两个数的和等于8，积等于9， 求这两个数
2
st 4t 1 求 的值. t
课件-一元二次方程根与系数的关系ppt.ppt
两根为
x1, x2
,则,
x1x2ba,x1x2
c a
Байду номын сангаас
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例1.不解方程，求方程3x2+2x-9=0的两根 (1)倒数和，(2)平方和，(3)平方差.
通过求解，计算，同学们有什么新的发现？
归纳：二次项系数等于1时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数. (2)两根之积等于常数项.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
一元二次方程根与系数的关系 (1).当二次项系数为 1的时候 关于x的方程 x2+px+q=0 两根为x1,x2(p,q为常数).
则：x1+x2= -p , x1x2= q
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
方程
1.
x2-2x=0
2. x2+3x-4=0
3. x2-5x+6=0
4. x2+2x-48=0
5. x2+5x-24=0
x1 x2 x1+x2 x1x2 0220 1 -4 -3 -4 2356 -8 6 -2 -48 -8 3 -5 -24
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共18张)
则
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac xx2=
2a
2b b
=
=
2a a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2
2 3
4 3
4 3
2x2－3x+1=0
1
1
3
1
2
2
2
6x2+7x-3=0
3
2
1 3
7 6
1 2
❖ 问形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的两根的和、
积分别与系数a,b,c有何关系？
x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
❖ 推理验证：
❖ （1）从因式分解法可知：方程(x-x1)(x-x2)=0
由根与系数的关系得：x1+x2＝
∴( k 1)2 4 k 3 1
k 1 2
x1x2＝
k 3 2
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
使它的两个根是：
31 3
，2
1 2
解：所求的方程是：
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即：
x2 5 x 25 0
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=
4 ac 4a 2
c = a
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
（1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
一元二次方程根与系数关系的应用
（1）已知方程一根，求另一根。 例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。 方法（一） ∵ 2是方程 的根， ∴ ∴ 原方程可化为 解得：
求它另一个根及n的值
一元二次方程根与系数关系的应用 （2）验根。
（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它 的两个根。
；
① ② ③
；
；
④
• （3）求值(或取值范围）
已知斜边为5的直角三角形的两直角边 a,b的长是关于x的一元二次方程x2(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根， 求m的 值.
能力提升：已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2. （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得x1x2-x12-x22≥0成立？ 若存在，请求出k的值； 若不存在，请说明理由。
课堂总结
一、一元二次方程根与系数的关系是 指一元二次方程两根的和，两根的积 与系数的关系。 二、在实数范围内运用韦达定理，必须 注意 ,这个前提条件,而应用判别式 的前提条件是方程必须是一元二次方程， 即二次项系数 ，
设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
b b 2 4ac 则x1= 2a b b 2 4ac X2= 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac ∴x1+x2= + 2a 2a
2b b = = 2a a 2 2 2 2 2 ( b ) ( b 4 ac ) b b 4ac b b 4ac x1•x2= = • 2 2a 4 a 2a
加深理解： 下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=-2
2
⑵ 、3X2－2X=2
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1ห้องสมุดไป่ตู้X2=－
时，
注意“－ ”不要漏写。 （3）前提是方程有实数根即Δ≥0
、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2，
1
一元二次方程的 根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。
2 5 -3
0 6 -4
2,3
X2-5x+6=0 x2+3x-4=0
1,-4
猜想
设方程ax bx c 0(a 0)的两根
2
为x1 , x2 , 试求出x1 x2 , x1 x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 x2的值与方程 的系数有何关系？
推理论证
Δ≥0
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个根是x1，x2 ，那么 b x1 x 2 a c x1 x 2 a
一元二次方程根与系数的关系
课前热身
1.设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
求 X12+X22 的值
2已知方程5x2+kx-6=0的根是2，
求它的另一根及k的值。
思考：以上两题还有没有其他办法呢？
观察猜想
方程 两个根x1，x2 两根之和 的值 x1+x2
两根之积 x 1x 2
0,2
X2-2x=0
例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。
方法（二） 设方程的一根为x =2,
1
另一根为x ，那么
2
｛
3 答：方程的另一根是－ ，k的值是 7。 5
k 2＋x ＝－ 5 解得 6 2x =5
2 2
｛
3 x ＝－ 5 k 7
2
• 练习:
2 2 x • 一元二次方程 7 x n 0 的一个根是3,