根与系数关系知识讲解及练习

0b0a，如果方程有两个实数韦达定理：对于一元二次方，10?? 1）定理成立的条件说明：（b??x?x的负号与b）注意公式重的符号的区别（221a根系关系的几大用处

①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；?

例如：已知方程2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ x）

-3 D. 3, 2， 3，-2 B. -2, 3 C. -2 A．②求代数式的值：在不解方

程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数式21的值，如；?

③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.?

④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

（后三种为主）

（1）计算代数式的值

2x,x?2x?x2007?0的两个根，试求下列各式的值：是方程若例

211122?(x?5)(x?5)|x?x|xx?．(4) ； (2)

； (1) ； (3) 212112xx21x?x??2,xx??2007解：由题意，根据根与系数的关系得：21122222?2(?2007)?4018xx?(x??x)?(x?x2)?2 (1) 212112x?x11?2221????(2)

xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25??2007?5(?2)?25??1972 (3) 212211

222?4(?2007)2)(??22008x)??(xx)x?4x????|xx|(x (4) 21122211说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x?x112222212???4xx?xx?)?(xx2)?x??xx(x?xx)(，，，

212121212211xxxx2121．222，4?|x?x|)x(x??xx?xxxx22121112221112333等等．韦达定理体现了整体思想．)x?x)?3xxx?x(?(x?x21121212（2）构造新方程

为根的一元二次方程是。理论：以两个数

x+y=5

解方程组例??????????? xy=6???

是方程z-5z+6＝0 ，解：显然，xy=3 =2,z由方程①解得 z21=3 =2,y∴原方程组的2的两根①

解为 x11=2 =3,y???????????????? x22显然，此法比代入法要简单得多。）定性判断字母系数的取值范围（3一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。例

为的两根，则c=2

a、bb解：设此三角形的三边长分别为a、、c，且由题意知2-4

k≤0，k≥4或×△＝k-4×22≥为所求。∴

【典型例题】122x，根据下列条件，分别求出的值．例1 已知关于的方程

0?1?(?k?1)x?kx k4|x|?xx,x．满足；(1) 方程两实根的积为5 (2) 方程的两实根2121x?x?0?x?x，所，二是(2) (1) 分析：由韦达定理即可求之；有两种可能，一是2121以要分类讨论．

5

∵方程两实根的积为(1) 解：

1?22??[?(k?1)]?4(k?1)?0?3?44??k?,k?∴?12?2?1?k5xx?12??4所以，当时，方程两实根的积为5．4k?(2) 由得知：x?|x|213；，所以方程有两相等实数根，故①当时，xxx?0???k??02112，由于②当时，1??k???x?x?0k?1?0x?0?x?x211213不合题意，舍去．，故??k??01?k?23|x|?xx,x．综上可得，时，方程的两实根满足?k21212说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实

根的条件，即所求的字母应满足．0??

2x,x的两个实数根．2 已知是一元二次方程例01?kx?k4kx??4213成立？若存在，求出的值；若不存(1) 是否存在实数，使??x)x2?x)(x?2(kk21122在，请您说明理由．

xx21??2的值为整数的实数 (2) 求使的整数值．k xx123解：(1) 假设存在实数，使成立．?)2x?x?x)(x?(2k212122的两个实数根∵一元二次方程

0?1??4kx?k4kx4k?0??k?0，∴?2??(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0?2xx,?4kx?k?14kx?0的两个实数根又是一元二次方程21x?x?1?21?∴?1?kxx??

214k?222?9x)2(x?xx?x2(xx?(2xx)(?2)?x?x)?5x∴222121112112k?939，

但．?????k?0?k52k4．

3∴不存在实数，使成立．???x2x)(2x?x)(k21212222)?xx(xxxx?4k4211221 (2) ∵?2??4????2?4??xxxxxxk?1k?1211122∴

要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，4?2,?k?1??1,01?kk?xx21??2的值为整数的实数的整数值为．要使5?2,?3,?k xx12说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明

存在，否则即不存在．

4为整数的分析方法．(2) 本题综合性较强，要学会对k?1

一元

二次方程根与系数的关系练习题

组A

2?2x?1k)x?0(1?有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ．一元二次方程1) k A． B． C． D．1且2,k?1?且kk?2,k?22?kk?112?xx,0?6x?x23?的值为是方程( 2．若的两个根，则) 21xx2119 D A． B． C．．2?222x的方程OB的长分别是关于O点，且OA、3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于22?3??m0?(2m?1)xx的根，则等于( )

m5或?3?5或3． A． B． C．D 5?3220)?0 (a?bx?cax??4bac??和完全平方式是一元二次方程的根，则判别式4．若t2)bat?M?(2的关系是(

)