一元二次方程△和根与系数关系
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程根与系数关系课件
学习目标
掌握一元二次方程根 与系数之间的关系。
培养逻辑推理和数学 思维能力。
学会利用根与系数的 关系解决实际问题。
02
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
定义
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的 0$，$x^2 - 3x + 4 = 0$等。
一元二次方程根与系数的 关系
根的和与系数的关系
总结词
一元二次方程的根的和等于二次项系数除以一次项系数所得商的相反数。
详细描述
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其两个根x1和x2的和为 -b/a。这个性质在 解决一些数学问题时非常有用，例如在寻找两个数的和等于某个特定值的问题中。
数学中的一元二次方程问题
几何问题
例如，在直角三角形中，斜边长为c， 两直角边长分别为a和b，根据勾股定 理，我们可以得到一元二次方程 c^2=a^2+b^2。
代数问题
例如，在解一元二次方程时，我们常 常需要使用一元二次方程的根与系数 的关系来求解。
其他领域的一元二次方程问题
物理学中的问题
例如，在物理学中，当一个物体从静止开始下落时，其下落距离与时间的关系可以用一 元二次方程来表示。
自主学习
在学习的过程中，我积极 思考、自主探究，提高了 自主学习和解决问题的能 力。
对未来学习的展望和计划
深入学习
我计划深入学习一元二次 方程的更多性质和应用， 进一步拓展数学知识体系。
实践应用
我将尝试将所学知识应用 于更广泛的领域，提高解 决实际问题的能力。
自主学习
我将继续保持自主学习的 习惯，不断探索数学知识 的奥秘，提高数学素养。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-，x 1.x 2=.证明：ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,一元二次方程根与系数的关系的应用： （一）已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含x 1,x 2的代数式的值例1：设方程x 2+3x+1=0的两根为x 1,x 2,求下列各式的值：（1）x 12+x 22（2）11x +21x （3）（x 1-3）（x 2-3）（4）（x 1-x 2）2（5）｜x 1-x 2｜2、已知含x 1,x 2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2：（1）已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。
解：依题意：△≥0，x 12+x 22=3x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1.x 2-k 2-2k=3k 2+2k-3=0(k-1)(k+3)=0 k 1=1 k 2=-3△= k2-4k ，当k 1=1时，△＜0，应舍去，当k 2=-3时，△＞0，所以k=-3当k=-3时，两根的平方和为3。
归纳小结：△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。
（2）若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +21x =2，求m 的值。
（3）已知方程x 2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k 的值。
3、一元二次方程的特殊根及根的分布 （1）一元二次方程的特殊根 ①若方程两根相等，则△＝0； ②若方程两根互为倒数，则x 1.x 2=1且△＞0；③若方程两根互为相反数，则x 1+x 2=0，即b=0且△＞0；④若方程两根绝对值相等，则△＝0或b=0且△＞0； ⑤若方程有一根为0，则c=0； ⑥若方程有一根为1，则a+b+c=0； ⑦若方程有一根为-1，则a-b+c=0；练习题：（1）已知关于x 的一元二次方程x 2+(m 2-9)x+m-1=0，当两根互为相反数时，m= ,若方程两根互为倒数，m= 。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
一元二次方程根与系数的关系公式有哪些
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。
公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。
掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。
二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。
2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。
根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。
三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。
难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。
2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。
在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。
四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。
五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
一元二次方程根与系数的关系
黔西县第四中学 张榆
1）关于x的一元二次方程 （a≠0）根的判别式为： △＞0 方程有两个不相等的实数根 x △=0 方程有两个相等的实数根 △ ＜0 方程没有实数根 △ ≥0 方程有实数根
2
a x bx c 0
2
2）关于x的一元二次方程 则有：
a x bx c 0
1： 若关于x的方程 有实数根，求k的取值范围。
2： 已知方程 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2
x 2 kx k 2 的两个实数根 0
解得：k=4 或k=－2
∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0
{ x y 1
x y 2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: a 2 a 2 0 求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
1：若关于的x一元二次方程
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
2：若关于x的方程 有两个实数根，求k的取值范围。
试一试
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
2： 已知两个数的和是1，积是-2，则 2和-1 。 这两个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: ｘ＝－1 解得: x=2 {y=－1 { y=2 或
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
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（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
知识点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 的值；③计算 的值；④根据 的符号判定方程根的情况.
2.一元二次方程根的判别式的逆用
在方程 中，
（1）方程有两个不相等的实数根 ﹥0；
3．已知：关于x的方程 ①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程 ②有实数根且k为正整数，则代数式 的值为.
【堂上练习一】
1.下列方程，有实数根的是( )
A．2x2+x+1＝0 B．x2+3x+21＝0 C．x2-0.1x-1＝0 D．
2．一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程 的两根，那么AB边上的中线长是.
5．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根等于 ，求m的值．
（2）方程有两个相等的实数根 =0；
（3）方程没有实数根 ﹤0.
【例题讲解】
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)
例2、不解方程，判别方程根的情况：
例3、若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． B． 且 C． D． 且
例2、已知方程 的一个根是3，求它的另一根及 的值．
例3、求作一个一元二次方程，使它的两根分别是 ， ．
例4、求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 各根的负倒数．
【堂上练习二】
1．关于方程 的两根 的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
2．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）．
【知识讲解】
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 的两个实数根是 ，
那么 ， .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
【例题讲解】
例1、已知方程 的一个根是2，求另一个根及k的值．
1．关于方程 的两根 的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
2．已知4x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______， _______，
x12+x22=_______，x1-x2=________．
3．设一元二次方程 的两根分别为 、 ，以 、 为根的一元二次方程是________．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【教学目标】
目标一：一元二次方程的判别式
目标二：一元二次方程根与系数的关系
【课程教授】
目标一：一元二次方程的判别式
【知识讲解】
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
A． B． C． D．
6．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．
7．关于x的一元二次方程 无实数根，则m的取值范围是_____．
8．求以 和 为根的一元二次方程是．
9.设x1、x2是方程 的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ．
【当堂检测】
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．若 、 是一元二次方程 的两根，则 的值为（ ）．
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．设a，b是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）．
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．若ab≠1，且有 ，及 ，则 的值是（ ）．
4．已知关于x的方程x2-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．
5．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0 的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．
6.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
目标二：一元二次方程根与系数的关系
A．3 B．6 C．18 D．24
3．已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______， _______，
x12+x22=_______，x1-x2=________．
4．若方程 的两根是x1、x2，则代数式 的值是。
5．设一元二次方程 的两根分别为 、 ，以 、 为根的一元二次方程是________．
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．
请你判断△ABC的形状．
【提高训练】
1.关于x的方程 无实数根，则m的取值范围为( )．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程 有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）
7．已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【课后作业】
1．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）．
A．3 B．6 C．18 D．24
2．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0，（1）当k为时，两根互为相反数；（2）当k为时，有一根为零，另一根不为零.