复数范围内实系数一元二次方程答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）
1
、若实系数一元二次方程的一个根是133
+，则这个方程可以是 228039
x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=
112()()44
x x +-
- 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ⨯ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．
由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z
12
i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
若z R ∈，则2
5602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±
若z为虚数，设(,,0)
z a bi a b R b
=+∈≠
，则2
()60
a bi
+-=
22
222
60
260
20
a b
a b abi
ab
⎧⎪--=
-+-=⇒⎨
=
⎪⎩
22
2
2
60
605601 0
a b
b b b b
a
⎧⎪--=
⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨
=
⎪⎩
所以，方程的解为2,2,3,3,,i i
---。

8、解方程210
x ix i
-+-=
（1）x R
∈（2）x C
∈
解：（1）1
x=（2）11
x orx i
==-
9、已知复数Z满足84
Z Z i
+=-，且Z是关于x的实系数一元二次方
程2250
x mx
++=的一个根，求m的值。

34
Z i
=+6
m=-
10、如果虚数z满足38
z=，那么3222
z z z
+++的值是_____．分析：若设i(0)
z a b b
=+≠，代入求值，过程复杂，不易求解，但
运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．
解：∵32
8(2)(24)0
z z z z
=∴-++=
，．
∵z是虚数，∴z≠2．
∴2240
z z
++=，即2222
z z
++=-．
故3222826
z z z
+++=-=．
说明：该题也可通过设z=x+yi(x、y∈R)求解，但过程繁复.
可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，
11、已知关于x的方程2(4)30()
x i x pi p
++++=∈R有实根，则p的值是．p=1或3
12、已知关于x的方程2(4)30()
x i x pi p
++++=∈R有纯虚根，则p的值是
．2±
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围； (,1)(1,3)(3,)-∞+∞U U
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+=
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 2± ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是
1742
or ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，
则k 的值是 ．1-
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
【解】
如果α∈R ，则0∆≥,∴(,8][0,)a ∈-∞-+∞U ，又∵∈R ，∴α=1或-1 当α=1时，代入得：a 2+2a+2=0不可能.
当α= -1时，代入得：a 2-4a+2=0∴2a =如果α是虚数，则0∆<，∴(8,0)a ∈-，并且|α|=1， 则α也是此方程的根，于是：αα=2
2a a - 但是αα=|α|2=1，∴22a a -=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1
所以，所求的2a =，或者-1
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。

解法一：设m a bi(a,b R )=+∈，设方程的实根为t ，代入方程得：
222
3034034040
t at t (a bi )t i t at (bt )i bt ⎧++=++++=⇒++++=⇒⎨+=⎩ 22222125061644
a (t )t t m a
b t m t b t ⎧=-+⎪⎪≠∴⇒=+=++≥∴≥⎨⎪=-⎪⎩Q
当且仅当t =时，取等号。

即4min m =
解法二：设方程的实根为t ，代入方程得：
2343400t tm i t ,m t i t t
+++=≠∴=---Q 2222223425616164m (t )()t ,m m t t t
⇒=--+=++≥∴≥∴≥
当且仅当t =时，取等号。

即4min m =
点评：本例将m 转化为关于t 的函数，利用函数的性质从而求出m 的模 的最小值。

复数范围内实系数一元二次方程（19题）
1、若实系数一元二次方程的一个根是
133
+，则这个方程可以是 ．
2、复数集内分解221x x ++=
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ ）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
6、适合方程20z z i --=的复数z ；
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。

10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____．
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围；
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+= ；
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，则k 的值是 ．
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。