高中数学-学生-实系数一元二次方程
第1讲一元二次方程的根与解法学生版
初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准要求学生从函数的角度来看待一元二次方程。
学生需要结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，并了解函数的零点与方程根的关系。
此外，学生还需要从函数的角度来看待一元二次不等式。
他们需要通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。
他们需要掌握利用一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。
同时，通过一元二次函数的图像，学生还需要了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系当Δ>0时，一元二次方程y=ax^2+bx+c(a>0)有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)；当Δ=0时，有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；当Δ<0时，没有实数根。
当a>0时，二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|xx2}；当ax^2+bx+c0)时，解集为{x|x10时相同。
状元随笔一元二次不等式的解法：1.图像法：当a>0时，解形如ax^2+bx+c>0(≥0)或ax^2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax^2+bx+c=0的解；②画出对应函数y=ax^2+bx+c 的图像简图；③由图像得出不等式的解集。
2.代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解。
当p0，则x>q或x<p；若(x-p)(x-q)<0，则p<x<q。
有口诀如下：“大于取两边，小于取中间”。
教材解难]教材P50思考：从函数的角度和方程的角度两个角度来看待一元二次不等式。
从函数的角度来看，一元二次不等式ax^2+bx+c>0表示二次函数y=ax^2+bx+c的函数值大于0，图像在x轴的上方；一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集即二次函数图像在x轴上方部分的自变量的取值范围。
新教材高中数学第二章等式与不等式212一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根， 所以 Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以 m＞－43 .因为 x1＋x2＝2m＋3，x1·x2 ＝m2. 又因为 x1＋x2＝m2，所以 2m＋3＝m2，解得：m＝－1 或 m＝3.因为 m＞－34 ，所以 m＝3.
＝
b a
c
；x1x2＝ a
．
思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－ 4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
思考
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
x＝－b±
b2－4ac 2a
适合用于所有的一
元二次方程吗？
提示：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即： 当根的判别式 Δ＝b2－4ac≥0 时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤 (1)算：计算出两根的和与积． (2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式． (3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0
【解析】选 A.A.因为 Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
【补偿训练】 用配方法求方程 3x2－6x＋4＝0 的解集． 【解析】移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－43 . 配方，得 x2－2x＋12＝－43 ＋12，(x－1)2＝－13 . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不 成立，即原方程的解集为∅.
《5.3 实系数一元二次方程的解法》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《实系数一元二次方程的解法》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为《实系数一元二次方程的解法》。
在中职数学教育中，实系数一元二次方程的解法是数学基础中的基础，对于学生后续学习高等数学及实际生活中的应用具有重要意义。
本课将重点掌握一元二次方程的标准形式、根的判别方法及求解过程。
二、学习目标1. 知识与技能：- 掌握一元二次方程的标准形式，并能正确识别。
- 理解判别式Δ的应用，会判断方程的根的情况。
- 学会使用配方法求解一元二次方程。
2. 过程与方法：- 通过实例分析，学会从实际问题中抽象出一元二次方程模型。
- 培养运用数学方法解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 激发学生学习数学的兴趣和自信心。
- 培养严谨的数学思维习惯和科学的探究精神。
三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、合作能力和对知识点的理解情况。
2. 作业评价：通过布置相关练习题，评价学生对一元二次方程解法掌握的熟练程度和正确性。
3. 测验评价：定期进行小测验，检验学生对一元二次方程解法的理解和应用能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过实际问题引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：- 一元二次方程的标准形式讲解，通过举例让学生熟悉形式。
- 判别式Δ的引入及计算方法，让学生理解其在一元二次方程解法中的重要性。
- 配方法的原理及步骤讲解，通过演示让学生掌握配方法求解一元二次方程的技巧。
3. 学生实践：学生动手操作，通过练习题巩固所学知识。
4. 课堂小结：总结本课重点内容，强调一元二次方程解法在实际问题中的应用。
5. 布置作业：布置相关练习题，包括一元二次方程的标准形式判断、判别式的计算及配方法的实际应用等。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对一元二次方程解法的掌握情况。
2. 作业布置：除了布置相关的练习题外，还可以布置一些实际问题的应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
高二数学实系数一元二次方程1
上海市新中高级中学 陶志诚
一、复习 1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
的求根公式 当 b2 4ac 0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方程 x2 1 0在复数范围内有没有解？
x2 ax 4 0(a R)
例2、已知一元二次方程x2 mx n 0(m、n R)，
试确定一组m、n 的值，使该方程分别有两个
不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚
数根，并解方程.
例3、在复数集中分解因式：
（1）x2 x 2； （2）2x2 4x 5
.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系：
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x 1 0？
二、新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程 ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
原方程可变形为
x2
b a
x
c a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（1）当 b2 4acBiblioteka 0时，原方程有两个不相等的实数根
实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
根与系数的关系： x1 x2
b a
，x1 x2
c a
例4、已知3i 2是关于x的方程 2x2 px q 0 的一个根，求实数p、q的值.
三、课堂练习 见课本P91练习13.6（1）； P92练习13.6（2）T1.2.3.
四、课堂小结
五、课后作业 1.书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.
5.1一元二次方程实根的分布
实系数一元二次方程实根分布1：当m 为何值时，方程03524222=--++m m mx x的两根异号？答案：(321<<-m )2：已知方程02322=-+-k kx x 的两个根都大于1，求k 的取值范围。
答案：(2≥k )3：已知集合A ＝｛045|2≤+-x x x ｝，B ＝｛022|2≤++-a ax x x ｝，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围。
答案：(7181≤<-a )4、关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负的实根，则a_____________ (1≤a )5、01032=+-k x x 有两个同号且不相等的实根,则k__________- (3250<<k )6、要使关于x 的方程0322=+-kx x 的两个实根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是__（ 5>k ）7、已知抛物线m x m x y +-+=)3(2与x 轴的正半轴交于两点，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿。
（10<<m ）8、设A ＝｛01|2=-x x ｝，B ＝｛012|22=-+-a ax x x ｝，若A ∩B ＝B ，则a 等于＿＿＿。
(0=a )9、已知A ＝｛01)2(|2=+++x p x x ，R x ∈｝，若A ∩R ＋＝φ，则p 的范围是＿＿＿＿＿。
(4->p )10、已知方程0222=++-a ax x 的两根都在区间（1,4）内， 求a 的取值范围。
(7182<≤a )11、若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在（－2,0）内，另一个根在（1,3）内，求a 的取值范围。
12、已知方程01222=+-+m mx x 的两个实根都大于2,求实数m 的取值范围。
（4316-≤<-m ）13已知A ＝｛023|2≤+-x x x ｝，B ＝｛02|2≤+-a ax x x ，R a ∈｝，且A ∩B ＝B ，求a 的取值范围。
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。
高中一元二次方程的解法
高中一元二次方程的解法如下：1. 直接开平方法：如果一元二次方程的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，且a≠0，那么x^2=b/a，那么这样的方程就可以通过直接开平方的方法解出其解。
2. 配方法：把一元二次方程配成(x+m)^2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这样可以使计算简化。
3. 因式分解法：利用乘法公式来分解因式，通过因式分解来求解一元二次方程。
首先要通过观察或分析，确定一元二次方程的最高项和一次项的分母为1时可能有几个因式在x^2±2bx+c=0；或b^2-4ac≥0时可用公式求得解。
下面我们以一些例题的形式展示这些解法：例1：（1）方程x^2-4x+3=0；（2）方程（x-1）^2-2（x-1）+2=0；解：（1）由原方程，得（x-1.5）^2-2.25=0。
直接开平方得：x-1.5=±1.5，所以x?=3，x?=0；（2）由原方程，得（x-1-1）^2=0，所以x?=x?=2。
例2：用因式分解法解方程：x^2-3x+2=0。
解：原式=（x-1）（x-2）=0，得x?=1，x?=2。
除了上述两种方法外，还有公式法等其他解法。
公式法需要用到一元二次方程的求根公式，通过使用根公式来解一元二次方程。
具体步骤包括将一元二次方程化为一般形式，确定判别式的值，根据判别式的值确定根的个数，然后使用根的公式求出方程的根。
总结：高中一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法等。
选择哪种方法取决于方程的特点和需要，有时候可能需要多种方法联合使用来解决问题。
理解和掌握这些解法对于解决一元二次方程问题非常重要。
另外需要注意的是，在实际应用中，一元二次方程往往需要通过数学模型建立、数据处理和分析等方法进行求解。
这就需要结合实际问题和数学知识进行综合应用和创新思考。
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教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
的常用结论： ； ；
思考：当 时， 取何值？
2．实系数一元二次方程 在复数集中恒有解．当判别式 时，方程有两个实数解 ；当判别式 时，方程有两个虚根，且互为共轭 ．
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程 在复数范是一元二次方程 的根，则
2.在复数范围内分解因式 ________
7.设等比数列 其中 ：
（1）求 的值；
（2）试求使 的最小自然数
（3）对于（2）中的 ，求 的值。
例4.求与自身的平方共轭的复数
例5.已知复数 是 的平方根，求 的值。
例6.设方程 的两根为 ，且 ，求实数m的值。
例7.已知 为实系数一元二次方程 的两个根， 为虚数，且 ,求 的值。
例8.若关于 的方程 至少有一个模为1的根，求实数 的值。
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
3.已知复数 满足 且 ，则 ________
4.方程 的解集是________
5.方程 的两根为__________
6.已知 是实系数方程 的根，则 ______
7.复数 的平方根是（）
8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？
（1）若 且 ，则方程 有两个实数根。
（2）若 且 是方程 的两个根，则 ；
7.已知 求
自我测试
1.在复数范围内解方程 ，解集是_______
2.已知 ，若方程 的一个根为 ，则 ______
3.已知一元二次方程 有实数根，则 _____
4.满足方程 的复数 有________个
5.已知 满足等式
（1）计算 ； ；
（2）求证：对任意复数 ，有恒等式
（3）计算：
6.若复数 是关于 的一元二次方程 的两个根，且 ，求 的最大值与最小值
（3）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（4）若 且 是方程 的根，则 也是方程的根。
精解名题
例1．关于 的方程 的两根的模的和为 ，求实数 的值。
例2．已知复数 满足 （ 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程。
例3．设非零复数 满足 ，并且 是虚数。
(1)求证：
(2)若 ，当 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数 的和
的一个根，试用例举法表示集合
2.设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，求点 的轨迹。
方法提炼
1．判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
巩固练习
1.若 是方程 的一个解，那么
2．若虚数 满足 ，则 （）。
3.在复数集内分解因式：(1) ________
（2） _____
4.计算：（1） =_____
（2） _____
5.求证：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解。
6.设 为方程 的两个根， 求（1） 的解析式；（2）证明关于 的方程 当 时，恰有两个不等的根，且两根之和为定值。