一元二次方程根与系数的关系(公开课)讲解
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《一元二次方程根与系数的关系》ppt省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
5．(6分)已知α，β是一元二次方程2x2－3x－1＝0旳两个实数 根，求下列代数式旳值：
(2)(α－2)(β－2)．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c旳值为____2____．
7．(3分)已知有关x旳方程x2＋mx－6＝0旳一种根为2，则这个方 程旳另一种根是___－__3___．
A．3 B．－3 C．13 D．－13 10．(8分)有关x旳一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0旳两个实数根 分别为x1，x2. (1)求m旳取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m旳值．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是有关x旳一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0旳
则xx2＋x1x旳值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
12．(5分)解某个一元二次方程时，甲看错了方程旳常数项，因而得
出旳两根为8和2；乙看错了方程旳一次项旳系数，因而得出两根为－
9或－1，那么正确旳方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
3．(3分)下列一元二次方程两实根和为－4旳是( D )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
4．(3分)已知x1，x2是方程x2－4x－5＝0旳两个实数根，则(x1 －2)(x2－2)＝___－__9___．
(2)(α－2)(β－2)．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c旳值为____2____．
7．(3分)已知有关x旳方程x2＋mx－6＝0旳一种根为2，则这个方 程旳另一种根是___－__3___．
A．3 B．－3 C．13 D．－13 10．(8分)有关x旳一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0旳两个实数根 分别为x1，x2. (1)求m旳取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m旳值．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是有关x旳一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0旳
则xx2＋x1x旳值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
12．(5分)解某个一元二次方程时，甲看错了方程旳常数项，因而得
出旳两根为8和2；乙看错了方程旳一次项旳系数，因而得出两根为－
9或－1，那么正确旳方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
3．(3分)下列一元二次方程两实根和为－4旳是( D )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
4．(3分)已知x1，x2是方程x2－4x－5＝0旳两个实数根，则(x1 －2)(x2－2)＝___－__9___．
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
一元二次方程根与系数关系课件
学习目标
掌握一元二次方程根 与系数之间的关系。
培养逻辑推理和数学 思维能力。
学会利用根与系数的 关系解决实际问题。
02
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
定义
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的 0$，$x^2 - 3x + 4 = 0$等。
一元二次方程根与系数的 关系
根的和与系数的关系
总结词
一元二次方程的根的和等于二次项系数除以一次项系数所得商的相反数。
详细描述
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其两个根x1和x2的和为 -b/a。这个性质在 解决一些数学问题时非常有用，例如在寻找两个数的和等于某个特定值的问题中。
数学中的一元二次方程问题
几何问题
例如，在直角三角形中，斜边长为c， 两直角边长分别为a和b，根据勾股定 理，我们可以得到一元二次方程 c^2=a^2+b^2。
代数问题
例如，在解一元二次方程时，我们常 常需要使用一元二次方程的根与系数 的关系来求解。
其他领域的一元二次方程问题
物理学中的问题
例如，在物理学中，当一个物体从静止开始下落时，其下落距离与时间的关系可以用一 元二次方程来表示。
自主学习
在学习的过程中，我积极 思考、自主探究，提高了 自主学习和解决问题的能 力。
对未来学习的展望和计划
深入学习
我计划深入学习一元二次 方程的更多性质和应用， 进一步拓展数学知识体系。
实践应用
我将尝试将所学知识应用 于更广泛的领域，提高解 决实际问题的能力。
自主学习
我将继续保持自主学习的 习惯，不断探索数学知识 的奥秘，提高数学素养。
《一元二次方程的根与系数的关系》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2 ,那么
b x1 x2 a
c x1 x2 a
x 1 2x2 2(x 1x2)2 2 x 1 x2
应用
(x 1 x 2)2 (x 1 x 2)2 4 x 1 x 2
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2
课后作业
见<>本课时练习
第|一章 有理数
2.一般地 ,a和 -a互为相反数.
代数意义
练一练
判断题：
〔1〕－5是5的相反数;〔 √〕
〔2〕－5是相反数;〔
×〕
〔3〕 2 1 与 互1 为相反数;〔 〔4〕－52 和5互为2相反数；〔
〕
×
〕
√
〔5〕 相反数等于它本身的数只有0； ﹙√ ﹚ 〔6〕 符号不同的两个数互为相反数.﹙ ×﹚
结合数轴考虑：
x1
x2
b a
c x1 x2 a
证一证：
x1x2 b2 b a 24ac b2 b a 24ac
b b24acb b24ac 2a
2b 2a
b . a
x1x2b2 b a 24acb2 b a 24ac
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
c. a
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系 〔韦达定理〕
第二十一章 一元二次方程
解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.〔难点〕 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决 问题.〔重点〕
导入新课
复习引入
一元二次方程的根与系数的关系PPT免费课件下载
1
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT教学课件
x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=
1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=
1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.
一元二次方程根与系数的关系 公开课课件
（来自《教材》）
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2
和系数a，b，c的关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及
未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根
的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
（来自《点拨》）
知1－练
1 一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则
x1·x2的值是( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
2 已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根， 那么下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－1 C．x1＋x2＝1
B．x1＋x2＝－3 D．x1＋x2＝3
（来自《典中点》）
知1－练
3 判别下列方程根的情况. 若有两个实数根，求出 两个根的和与积. (1) x2－4x＋1 ＝0； (2) x2－2x＋1 ＝0； (3) －x2＋3x －2＝0； (4)x2－4x＝0.
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2
和系数a，b，c的关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及
未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根
的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
（来自《点拨》）
知1－练
1 一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则
x1·x2的值是( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
2 已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根， 那么下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－1 C．x1＋x2＝1
B．x1＋x2＝－3 D．x1＋x2＝3
（来自《典中点》）
知1－练
3 判别下列方程根的情况. 若有两个实数根，求出 两个根的和与积. (1) x2－4x＋1 ＝0； (2) x2－2x＋1 ＝0； (3) －x2＋3x －2＝0； (4)x2－4x＝0.
一元二次方程的根与系数的关系说课讲稿doc
一元二次方程的根与系数的关系说课讲稿.doc一、教材分析本节课是高中数学一元二次方程的根与系数的关系的内容。
根据教材《高中数学》第二册，这一内容属于高中数学二次函数的章节。
在高中数学的课程中，二次函数是一个重要的内容，也是学生较难掌握的知识点之一。
本节课主要通过一元二次方程的根与系数的关系来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的性质和特点。
二、教学目标1. 知识与能力目标：(1) 理解一元二次方程根与系数的关系；(2) 掌握求一元二次方程的根的方法；(3) 理解二次函数的顶点、对称轴等概念。
2. 过程与方法目标：(1) 通过示例引入，激发学生的学习兴趣；(2) 通过引导让学生独立思考，培养学生的解决问题的能力；(3) 通过讲解和实例演练，帮助学生掌握解一元二次方程的方法。
3. 情感态度与价值观目标：(1) 培养学生对数学的兴趣和自信心；(2) 培养学生解决问题的积极态度。
三、教学重点1. 理解一元二次方程根与系数的关系；2. 掌握求一元二次方程的根的方法。
四、教学难点1. 理解二次函数的顶点、对称轴等概念；2. 运用根与系数的关系解决问题。
五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题引入，如：小明想给自己的房间铺地板，他的房间是一个长方形，长是x+3米，宽是x米，地板的面积是（2x+5）平方米，如果地板上面积的长宽相等，求小明房间的长和宽各是多少米？让学生思考并给出答案。
2. 学习新课引入一元二次方程的概念，让学生回顾已学内容，并复习解一元二次方程的方法。
解释一元二次方程的根与系数的关系，介绍根与系数之间的关系式。
讲解二次函数的顶点、对称轴等概念，并通过实例演示如何求解。
3. 巩固练习让学生通过练习题独立解题，巩固所学内容。
4. 拓展延伸引导学生思考一元二次方程的根与系数的关系在实际问题中的应用，如物理问题、几何问题等。
六、板书设计一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的解法根与系数之间的关系式二次函数的顶点、对称轴七、教学反思通过本节课的教学，学生可以更好地理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系。
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2
数学·
例4、方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两 根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数. ②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0, 1 m ∴两根之积 2m10 且0, 1 2 ∴ m 2 时,方程有一根为零.
2
3x 7 x 0
2
2x 5
2
数学·
例1、已知方程 5x 2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
数学·
知识点回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
2 x 3x 1 0
2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3 1 x1 x2 , x1 x2 2 2 2 1∵ x1 x2 x12 2 x1 x2 x22 3 1 13 2 2 2 4 1 1 x1 x2 3 1 2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
b 4ac
2
数学·
方程
2
1 1
猜想：
数学·
证明：
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
ห้องสมุดไป่ตู้
c x1 x2 a
数学·
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
2 2
b b 4ac b b 4ac 2a
2 2
2b 2a
b a
数学·
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
2 2
b b 4ac 4a 2 4ac 2 4a
2 2
c a
数学·
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
+X2 )2 - 4X1X2 = ___ ( X1-X2)2 = ( X1___ 12 以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
。
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____ 2和-1
数学·
5、已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1 , x2， 不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
数学·
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另 3 一个根是___ -3 。 2 ，m =____ 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ___ 4
,X1X2 =
___ 1 _，
X12+X22 = ( X1+X2)2 -2X___ 1X2
3、判断正误：
= ___ 14
2
的两个根分别是
x1
、 x2 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
数学·
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积
数学·
数学·
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1.
2.
3. 4. 5.
x 2 x 15 0 2 x 6x 4 0
2
2 x 3x 5 0
（ 3）
（2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
数学·
6、若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它 的另一个根及n的值。
7、若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它 的另一个根及k的值。
数学·
数学·
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
数学·
1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 2 中代数里，当且仅当 b 4ac 时，才 0 能应用根与系数的关系.
2
数学·
例2、方程 x 3kx 2k 1 0 的两根互
2
为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ， x1 x2 2k 1 则： 而方程的两根互为倒数 即： x1 x2 1 所以： 2k 1 1 得： k 1
数学·
例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程
数学·
例4、方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两 根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数. ②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0, 1 m ∴两根之积 2m10 且0, 1 2 ∴ m 2 时,方程有一根为零.
2
3x 7 x 0
2
2x 5
2
数学·
例1、已知方程 5x 2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
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知识点回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
2 x 3x 1 0
2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3 1 x1 x2 , x1 x2 2 2 2 1∵ x1 x2 x12 2 x1 x2 x22 3 1 13 2 2 2 4 1 1 x1 x2 3 1 2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
b 4ac
2
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方程
2
1 1
猜想：
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证明：
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
ห้องสมุดไป่ตู้
c x1 x2 a
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b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
2 2
b b 4ac b b 4ac 2a
2 2
2b 2a
b a
数学·
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
2 2
b b 4ac 4a 2 4ac 2 4a
2 2
c a
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如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
+X2 )2 - 4X1X2 = ___ ( X1-X2)2 = ( X1___ 12 以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
。
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____ 2和-1
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5、已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1 , x2， 不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
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1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另 3 一个根是___ -3 。 2 ，m =____ 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ___ 4
,X1X2 =
___ 1 _，
X12+X22 = ( X1+X2)2 -2X___ 1X2
3、判断正误：
= ___ 14
2
的两个根分别是
x1
、 x2 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
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利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积
数学·
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• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1.
2.
3. 4. 5.
x 2 x 15 0 2 x 6x 4 0
2
2 x 3x 5 0
（ 3）
（2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
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6、若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它 的另一个根及n的值。
7、若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它 的另一个根及k的值。
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引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
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1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 2 中代数里，当且仅当 b 4ac 时，才 0 能应用根与系数的关系.
2
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例2、方程 x 3kx 2k 1 0 的两根互
2
为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ， x1 x2 2k 1 则： 而方程的两根互为倒数 即： x1 x2 1 所以： 2k 1 1 得： k 1
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例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程