一元二次方程 获奖 公开课教案

2．1认识一元二次方程第1课时一元二次方程

1．了解一元二次方程的概念；(重点)

2．掌握一元二次方程的一般形式ax2

＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清

二次项、一次项与常数项以及二次项系数、

一次项系数等，会把一元二次方程化成一般

形式；(重点)

3．能根据具体问题的数量关系，建立

方程的模型．(难点)

一、情景导入

一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长

比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.

根据题意，得x(x＋2)＝120.

所列方程是否为一元一次方程？

(这个方程便是即将学习的一元二次方

程．)

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】判定一元二次方程

下列方程中，是一元二次方程的

是________(填入序号即可)．

①

y2

4－y＝0；②2x

2－x－3＝0；③1

x2＝3；

④x2＝2＋3x；⑤x3－x

＋4＝0；⑥t2＝2；

⑦x2＋3x－

3

x＝0；⑧x

2－x＝2.

解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦

⑧不是，答案为①②④⑥.

方法总结：判断一个方程是不是一元二

次方程，先看它是不是整式方程，若是，再

对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝

0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方

程就是一元二次方程．

【类型二】根据一元二次方程的概念

求字母的值

a为何值时，下列方程为一元二次

方程？

(1)ax2－x＝2x2－ax－3；

(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.

解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a

－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，所以当a－2≠0，

即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由

|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，

原方程是一元二次方程．

解：(1)当a≠2时，方程ax2－x＝2x2－

ax－3为一元二次方程；

(2)因为|a|＋1＝2，所以a＝±1.当a＝1

时，a－1＝0，不合题意，舍去．所以当a

＝－1时，原方程为一元二次方程．

方法总结：用一元二次方程的定义求字

母的值的方法：根据未知数的最高次数等于

2，列出关于某个字母的方程，再排除使二

次项系数等于0的字母的值．

【类型三】一元二次方程的一般形式

把下列方程转化成一元二次方程

的一般形式，并指出二次项系数、一次项系

数和常数项：

(1)x(x－2)＝4x2－3x；

(2)

x2

3－

x＋1

2＝

－x－1

2；

(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q

－p(m＋n≠0)．

解析：首先对上述三个方程进行整理，

通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”

等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二

次项系数、一次项系数和常数项．

解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移

项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数

为3，一次项系数为－1，常数项为0；

(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－

1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；

(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m －n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.

方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；

(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；

(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.

探究点二：建立一元二次方程模型

如图，现有一张长为19cm，宽

15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪

去边长是多少的小正方形，才能将其做成底

面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题

意列出方程．

解析：小正方形的边长即为纸盒的高，

中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，

利用长方形面积公式可列出方程．

解：设需要剪去的小正方形边长为

x cm，则纸盒底面的长方形的长为(19－

2x)cm，宽为(15－2x)cm.

根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整

理，得x2－17x＋51＝0(x＜

15

2)．

方法总结：列方程最重要的是审题，只

有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确

地找出已知量和未知量之间的等量关系，正

确地列出方程．在列出方程后，还应根据实

际需求，注明自变量的取值范围．

三、板书设计

一元二次方程

??

?

?

?

??

概念：只含有一个未知数x的整式方

程，并且都可以化成ax2＋bx＋c

＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式

一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常

数，a≠0），其中ax2，bx，c

分别称为二次项、一次项和

常数项，a，b分别称为二次

项系数和一次项系数

本课通过丰富的实例，让学生观察、

归纳出一元二次方程的有关概念，并

从中体会方程的模型思想．通过本节

课的学习，应该让学生进一步体会一

元二次方程也是刻画现实世界的一个

有效数学模型，初步培养学生的数学

来源于实践又反过来作用于实践的辩

证唯物主义观点，激发学生学习数学

的兴趣.

六、词语点将（据意写词）。

1．看望；访问。（）

2．互相商量解决彼此间相关的问题。（）

3．竭力保持庄重。（）

4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。（）

5．弯弯曲曲地延伸的样子。（）

七、对号入座（选词填空）。

冷静寂静幽静恬静安静

１．蒙娜丽莎脸上流露出（）的微笑。

2．贝多芬在一条（）的小路上散步。

3．同学们（）地坐在教室里。

4．四周一片（），听不到一点声响。

5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。

八、句子工厂。

1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）____________________________________ ____________________________________ ___

2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子）

____________________________________ ____________________________________ ___

3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话）

____________________________________ ____________________________________ ___

____________________________________ ____________________________________ _____

4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。

“把”字句：

____________________________________ _____________________________

“被”字句：

____________________________________ _____________________________

九、要点梳理（课文回放）。

作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和

__________，以及她__________、

__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。

综合能力日日新

十、理解感悟。

（一）

蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。