一元二次方程 获奖 公开课教案
1 一元二次方程一等奖创新教案_1
1 一元二次方程一等奖创新教案《17.1 一元二次方程》教案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力．2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念．难点：由实际问题列出一元二次方程．准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项．教学过程：走进一元二次方程问题:某小组同学元旦互赠贺年卡一张,全组共增贺年卡90张,求这个小组的同学数.列方程：___整理得：你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知问题1、把195张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少2.问学生有多少人问题2.一块面积是125cm2长方形铁片，它的长是宽的5倍，则铁片的长是多少？问题1可列方程___ 整理得___①问题2可列方程___ 整理得___②1、2、观察①②两个方程以及上述两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义．定义:只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.一般形式: (ɑ0)其中是二次项，bx是一次项，c是常数项，二次项系数，b一次项系数．展示反馈【挑战自我】1、判断下列方程是否是一元二次方程；（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；___（2）7x－3=2x2；（3）（2x－1）－3x（x－2）=0 （4）2x（x－1）=3（x＋5）－4．3、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；（1）±1 ±2；（2）±2，±4学会新知：1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式：_________ ，其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数．自主探究：完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数．（（1）（2）归纳小结：1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？。
1 一元二次方程一等奖创新教案
1 一元二次方程一等奖创新教案第二十四章一元二次方程24.1 一元二次方程教学目标1.理解一元二次方程、一元二次方程根的概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项，会将一元二次方程化为一般形式；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题，培养学生用数学的意识. 教学重难点重点：一元二次方程的概念. 难点：运用一元二次方程的概念解决有关问题. 教学过程导入新课【问题情境1】如图1，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2 .求这个长方形存车处的长和宽. 师生活动：教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答. 设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x m，则它的宽为（90- 2x）m. 根据题意，可得方程_________ 整理，得___【问题情境2】如图2，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面B的距离为8 m．如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m至点D，那么梯子的底端滑动的距离是多少米？图2 【问题情境3】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛师生活动：教师同时出示情境2，3问题，引导学生思考、交流后,学生代表回答，教师出示答案，探究新知合作探究思考x2-90x+1 400＝0，x2-45x+350＝0，x2+12x-15＝0，x2-x-56＝0. 观察四个方程有什么共同特点？类比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，汇报.引导学生得出方程共同特点，并进行板书. 【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; （2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2. 教师追问1：类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？师生活动：学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项. 【归纳总结】一元二次方程的概念：等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是,其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．教师追问2：为什么要求二次项系数？和能不能是？师生活动：学生独立思考并回答，教师进行强调. 新知应用例1 判断下列方程，哪些是一元二次方程？师生活动：引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答. 【解】（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程．教师追问：要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？师生活动：根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准. 【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程的等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是. 例2 为何值时，下列方程为一元二次方程？（1）；（2）. 师生活动：学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法. 【解】(1)将方程化为一般形式，得, 所以当，即时，原方程是一元二次方程. (2)由，且知，当时，原方程是一元二次方程. 【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．例3 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 师生活动：教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项时首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答. 【解】去括号，得. 移项、合并同类项，得. 其中二次项是3,系数是3；一次项是-8,系数是-8；常数项是-10. 教师追问：解决此类问题需要注意什么？师生活动：学生独立思考总结，并回答. 【归纳总结】1.一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；2.系数和项均包含前面的符号. 例4 已知是方程的一个实数根,求的值. 师生活动：先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考. 教师追问1：什么是一元一次方程的解？类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解？教师追问2：下面哪些数是方程的解___ -2,0,1,2,3,4. 师生活动：学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结. 【解】由题意得a2+2a -2＝0，即a2+2a＝2，3a2+6a+2 019 ＝3(a2+2a)+2 019 ＝3×2+2 019 ＝2 025. 【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．课堂练习1.判断下列方程是否为一元二次方程？ 2.方程, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少. . 4.已知关于的一元二次方程的一个根是3，求的值. 5.若关于的一元二次方程有一个根为0，求的值. 6.(只列方程）三个连续正整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？参考答案1.（1）是（2）否（3）否（4）否（5）是2.解：若是一元二次方程，则二次项系数不为零，∴，解得，即当时，是一元二次方程；若是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，∴且，解得, 即当时，是一元一次方程. 3.解：（1）化为一般形式为，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1. (2)化为一般形式为-, ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4. 4.解：把代入方程，得, 即，∴. 5.解：将代入方程得，解得. ∵，∴.综上所述，. 6.解：设第一个数为，则另两个数分别为, ，依题意得方程. 整理得，解得x＝8或x＝-10（舍去）. 所以这三个数分别是8，9，10. 课堂小结先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括. 布置作业教材第36页习题A组，B组. 板书设计24.1 一元二次方程一、一元二次方程的概念1.是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数是2. 二、一般形式，其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．三、一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 教学反思____________ 教学反思___ _________ 教学反思___ _________ 教学反思___ _________教学反思。
1 一元二次方程 一等奖创新教案
1 一元二次方程一等奖创新教案17.1一元二次方程教学目标：知识与技能：1、了解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式及有关概念。
3、了解一元二次方程的根的概念，判断一个数是否是一元二次方程的根。
过程与方法: 经历对生活中一元二次方程实例的认识过程，培养学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力和概括、类比的能力。
情感、态度与价值观：培养学生关注生活，热爱数学的情感，增进学生对数学的理解和应用数学的信心。
教学重点与难点教学重点：掌握一元二次方程的概念及其一般形式，并用这些概念解决问题。
教学难点：探求实际问题中的等量关系，建立方程模型二、教学过程（一）复习引入师：同学们在生活和学习中都有好朋友吧？好朋友可以帮助我们共同成长、共同进步，在数学这一学科的学习中，我们也结交了许多好朋友，今天我们就来会会这些“好朋友”、“老朋友”。
请同学们看屏幕（幻灯片展示）师：什么叫做方程？生：含有未知数的等式叫做方程；师：什么叫做一元一次方程？生含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程。
师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。
探究新知师：今天这节课我们就请一元一次方程这个好朋友帮帮我们来学习新知识，请同学们阅读问题1（幻灯片展示）绿苑小区欲设计开辟一块面积为900㎡的长方形绿地,并且长比宽多10m,求绿地的宽为多少米解：设长方形绿地的宽为x m,则长方形绿地的长为(x+10)m.根据题意得x(x+10)=900整理可得+10x-900=0问题2 （幻灯片展示）某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t),要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（教师分析并板书）解: 设2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x.根据题意得整理可得师：我们得到的方程是一元一次方程吗？生：不是；师：很好，请问（1）方程中含有几个未知数？（2）未知数的最高次数是几次？（3）方程两边是整式吗？生：举手回答。
一元二次方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案小班
一元二次方程教案小班一、教学目标：1. 学生能够理解一元二次方程的基本概念及解题方法；2. 学生能够独立解决简单的一元二次方程问题；3. 培养学生的逻辑思维、问题解决和数学计算能力。
二、教学重点：1. 一元二次方程的定义和基本概念；2. 一元二次方程的解题思路和方法。
三、教学难点：1. 解一元二次方程时的变形和运算规则；2. 将实际问题转化为一元二次方程的问题。
四、教学准备：黑板、粉笔、课件、练习册。
五、教学过程：Step 1 引入1. 教师介绍一元二次方程的概念：一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的数，且a ≠ 0。
2. 引导学生回顾一元一次方程的解法，了解方程的解是满足方程等式的未知数的值。
3. 教师提问：你们对一元二次方程有什么了解？Step 2 学习一元二次方程的解法1. 教师通过示例讲解一元二次方程的解法：先整理方程，再用因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
2. 教师通过例题指导学生理解解题思路和方法。
Step 3 训练练习1. 学生独立或小组合作完成练习册上的一元二次方程练习题。
2. 教师适时地抽查学生解题过程和答案，并及时给予指导和反馈。
Step 4 应用拓展1. 教师提供一些简单的实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程的问题，并解决它们。
2. 学生独立或小组合作完成实际问题的解答，并与同学们分享思路和答案。
Step 5 总结归纳1. 教师与学生共同总结一元二次方程的解题方法和技巧。
2. 教师梳理学生在解题过程中容易出错的地方，并进行重点讲解和强化练习。
六、教学延伸：1. 学生可以自主查找更多一元二次方程的相关例题和解题方法进行练习；2. 可以引导学生探索一元二次方程的图像和解的性质。
七、教学评价：1. 以练习册中的题目为准，评价学生对一元二次方程基本概念和解题方法的掌握情况；2. 可以进行小组合作或个别补充练习，进一步考察学生的解题能力。
《第1章 一元二次方程》word教案 (公开课获奖)2022苏教版 (3)
一元二次方程的解法合作交流课堂小结0，则 m的值是（） A、 2 B、—2 C、2或者—2 D、12 12、要使代数式22231x xx---的值等于0，则x等于（）A、1B、-1C、3D、3或-113、解方程：（1） 2x2+5x-3=0。
（2）（3—x）2+x2 = 9。
14、x为何值时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等？15、已知1—3是方程x2—2x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c 的值。
16、三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。
本节课主要学习了什么知识？你有什么收获，与同学交流。
教学反思领导查阅意见9.1 单项式乘单项式力．教学重点：理解单项式相乘的法则，会进行单项式的乘法运算．教学难点：能运用单项式乘以单项式的法则解决实际问题． 【情景创设】用6个边长为a 的小正方体拼成一个长方体，并用不同的方法表示你所拼出来的长方体的体积，从不同的表示方法中，你能发现些什么？ （1）体积的表示方法；（2）面对你的侧面积的表示方法． 探索新知让学生在交流的基础上思考下列问题：（1）体积的表示方法：①3a ·2a ·a ＝________________＝6a 3，②3a ·2a ·b ＝________________＝6a 2b ．侧面积的表示方法：3a ·2a ＝________________＝6a 2． （2）从不同的表示中你发现了什么？ （3）通过下面两个计算我们来进一步的探讨：（2a 2b ）（3ab 2）＝［2 ×3］•（a 2•a ）（b •b 2）＝6a 3b3系数相乘 相同字母 相同字母（4ab 2）（5b ）＝［4×5］•（b 2• b ）•a ＝20ab 3系数相乘 相同字母 只在一个单项式中出现的字母你能告诉大家你算出的结果吗？你是怎样来思考的呢？ 通过探索得到单项式乘单项式的计算法则： （1）将它们的系数相乘； （2）相同字母的幂相乘；（3）只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．【展示交流】例 1 计算：① －13a 2·(－6ab )； ② 6x 2·(－2x 2y )．注：教师强调格式规范，板书过程．（通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时，一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母．） 练习1：判断正误：（1）3x 3·(－2x 2)＝5x 3； （2）3a 2·4a 2＝12a 2； （3）3b 3·8b 3＝24b 9； （4）－3x ·2xy ＝6x 2y ； （5）3ab ＋3ab ＝9a 2b 2． 练习2：课本练一练 第1、2题．例 2 计算：（1）(2x )3·(－3xy 2)； （2）(－2a 2b )·(－a 2)·14bc ．注：遇到乘方形式先用积的乘方公式展开，然后转化为单项式乘以单项式的形式，再根据今天所学内容计算． 练习3：计算：（1）(a 2)2·(－2ab )； （2）－8a 2b ·(－a 3b 2) ·14b 2 ；（3）(－5an ＋1b ) ·(－2a )2；（4）[－2(x －y )2]2·(y －x )3．【盘点收获】【课后作业】 补充习题和同步练习。
全国初中数学优秀课一等奖教师教案：一元二次方程--教案
全国初中数学优秀课一等奖教师教案：一元二次方程–教案一. 教材分析本节课的主题是一元二次方程，它是初中数学中的重要内容，也是后续学习更高阶数学的基础。
一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如财务计算、物理运动等，因此，掌握一元二次方程的解法对于学生的数学素养和实际应用能力的提高具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了代数基础知识，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但一元二次方程较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。
此外，学生需要掌握一元二次方程的解法，才能更好地应用于实际问题中。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的概念和性质。
2.使学生掌握一元二次方程的解法。
3.培养学生将一元二次方程应用于实际问题的能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，提供典型案例让学生分析，小组合作促进学生交流。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.教学案例。
3.小组合作学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引发学生对一元二次方程的思考。
例如：“某个物品的价格是10元，如果卖家将价格降低5元，那么售价与成本价相等。
求这件物品的成本价。
”2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义、性质和解法。
通过PPT展示，让学生对一元二次方程有一个整体的认识。
3.操练（10分钟）让学生通过解答典型案例来掌握一元二次方程的解法。
教师引导学生进行分析，提示解题思路，学生独立完成解题过程。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生互相交流解题心得，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5.拓展（10分钟）让学生运用一元二次方程解决实际问题。
例如：“一个长方形的长比宽多2，且长方形的面积为36平方厘米，求长方形的长和宽。
省级优质课一元二次方程的公开课教案（精）
省级优质课一元二次方程的公开课教案（精）第一篇：省级优质课一元二次方程的公开课教案 (精)教学目标知识技能目标：22．1 一元二次方程第一课时1、理解一元二次方程的概念；2、会把一个一元二次方程化为一般形式，会正确地判断一元二次方程的项与系数；3、通过本节课的学习，培养学生观察、比较、分析、探究和归纳的能力。
过程方法目标：1、让学生通过分析实际问题，建立数学模型列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，类比出一元二次方程的概念；2、从实际问题引入新课，类比给出概念，通过巩固训练、合作探究到课外作业布置，完成本节课的教学并激发学生学习的热情和课后预习解方程的热情。
情感态度目标：通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学生学数学的热情和用数学的意识；重点难点1、重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2、难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程：一、新课引入数学来源于生活，服务于生活。
日常生活更是离不开数学知识，例如建筑，雕塑等。
下面我们来看相关图片。
（出示图片）它们都给人非常匀称的感觉，且充满了美感。
这些都与数学的一个重要知识黄金分割有关。
我们现在将上面的实际问题抽象为数学模型，问题如下（出示PPT）通过分析,化简，则所列方程为： x2+2x-4=0这就是我们今天要学习的一元二次方程。
通过这章的学习同学们就能解决这个问题，今天我们学习第一节，认识一元二次方程。
二、出示目标知识技能目标：1、理解一元二次方程的概念；2、会正确地判断一元二次方程的项与系数；过程方法目标：1、通过分析实际问题，建立数学模型，•类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2、解决一些概念性的题目．情感态度目标：通过本节课的学习认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学数学热情、用数学的意识；三、预习导学阅读教材第1至4页，并思考完成下列问题．(3分钟)1、什么是一元二次方程？2、一元一次方程与一元二次方程的的异同？3、一元二次方程的一般形式及各部分的名称是什么？4、一元二次方程的一般形式中为什么a ≠ 0？要求：学生在课本上画出来，并在关键词下做上记号。
优质课 精品教案 (省一等奖)《一元二次方程》公开课教案
21.1 一元二次方程教学过程设计[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。
教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。
通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。
24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．O BAC1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：OBACD半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c C =2R ，即sinA=2aR，sinB=2b R ，sinC=2c R，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 [教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
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2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程
1．了解一元二次方程的概念；(重点)
2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、
一次项系数等，会把一元二次方程化成一般
形式；(重点)
3．能根据具体问题的数量关系，建立
方程的模型．(难点)
一、情景导入
一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长
比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m.
根据题意，得x (x ＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】 判定一元二次方程
下列方程中，是一元二次方程的
是________(填入序号即可)．
①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x
2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2
＝2；
⑦x 2＋3x －3
x
＝0；⑧x 2－x ＝2. 解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二
次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．
【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a 为何值时，下列方程为一元二次
方程？
(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；
(2)(a －1)x |a |＋
1＋2x －7＝0.
解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a
－2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，
即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由
|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，
原方程是一元二次方程．
解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－
ax －3为一元二次方程；
(2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±
1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a
＝－1时，原方程为一元二次方程．
方法总结：用一元二次方程的定义求字
母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
【类型三】 一元二次方程的一般形式
把下列方程转化成一元二次方程
的一般形式，并指出二次项系数、一次项系
数和常数项：
(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；
(2)x 23－x ＋12＝－x －12
； (3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q
－p (m ＋n ≠0)．
解析：首先对上述三个方程进行整理，
通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”
等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二
次项系数、一次项系数和常数项．
解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；
(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －
1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；
(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m －n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.
探究点二：建立一元二次方程模型
如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．
解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．
解：设需要剪去的小正方形边长为x cm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整
理，得x2－17x＋51＝0(x＜15 2)．
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．
三、板书设计
一元二次方程⎩⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎧
概念：只含有一个未知数x的整式方
程，并且都可以化成ax2＋bx＋c
＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式
一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2，bx，c
分别称为二次项、一次项和
常数项，a，b分别称为二次
项系数和一次项系数
本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.
1 2
3 4 5
2
3 4
5 1
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3 4。