省级优质课一元二次方程的公开课教案 (精)
《一元二次方程(第2课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
一元二次方程教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成以下问题．问题1．前面有关“执竿进屋〞的问题中,我们列得方程x 2-8x+20=0 列表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …x 2-8x+20…问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 列表：老师点评〔略〕 二、探索新知 提问：〔1〕问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？ 〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：〔1〕问题1中x=2与x=10是x 2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x 2+7x-44=0的解.〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解． 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x 2+10x+12=0的两根．例2.假设x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,那么求a 的值x 1 2 3 4 5 6 …x 2+7x…点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出以下方程的根吗？〔1〕x2-64=0 〔2〕3x2-6=0 〔3〕x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、稳固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，那么宽为〔x-5〕cm列方程x〔x-5〕=150，即x2-5x-150=0请根据列方程答复以下问题：〔1〕x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．〔2〕完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150〔3〕你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼〞方法求出该方程的根．解：〔1〕x不可能小于5．理由：如果x<5，那么宽〔x-5〕<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，那么面积x2-5x-150=-100，也不可能．〔2〕x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……〔3〕铁片长x=15cm五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕本节课应掌握：〔1〕一元二次方程根的概念；〔2〕要会判断一个数是否是一元二次方程的根；〔3〕要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼〞方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材P34复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x〔x-1〕=2的两根为〔〕．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax〔x-b〕+〔b-x〕=0的根是〔〕．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．x=-1是方程ax2+bx+c=0的根〔b≠0〕，那么a cb b+=〔〕．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，那么m的值为________．3．方程〔x+1〕2+2x〔x+1〕=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求〔a-b〕2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在〔21 xx-〕2-2x21xx-+1=0，•令21xx-=y，那么有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想〔换元法〕，解决小明给出的问题：在〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0中，求出〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0的根．课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
一元二次方程公开课教学设计
一元二次方程公开课教学设计第一篇：一元二次方程公开课教学设计一元二次方程教学设计教学目标知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
过程与方法：在探索问题的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
情感态度与价值观：通过一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
重点难点【教学重点】一元二次方程的定义，各项系数的辨别，根的作用。
【难点】根的作用的理解。
3学情分析九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。
这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。
由于他们有强烈的求知欲，当遇到新的问题时，会自然的产生进一步探究的欲望。
4教学过程导入新课一.复习1.什么叫方程？我们学过哪些方程？2.什么叫一元一次方程？讲授新课一、情境引入问题1（多媒体课件）有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？学生通过分析设出合适的未知数，列出方程。
问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积再减去四个长方形的面积，同样设正方形的边长是xcm则有方程100×50-4x2-2x（50-2x）-2x（100-2x）=3600 通过整理得到方程x2-75x+350=0．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型问题2（出示排球邀请赛图片）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 1/2x(x-1)场，于是得到方程1/2x(x-1)＝28程，经过整理得到方程x2-x-56=0．教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知观察下列得到的方程：（1）x2-75x+350=0．；（2）x2-x-56=0；（3）1/2x(x-1)＝28 学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？结论：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0）．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．思考：为什么规定a≠0强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、新知应用例：将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得 3x2-3x=5x+10，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．例猜测方程x²-x-56=0的根？学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解比如可以用尝试的方法取x=1、2、3、4、5等发现x=8时等号成立，于是x=8是方程的一个解如此等等。
高效课堂《一元二次方程教案 (省一等奖)
21.1 一元二次方程一、内容和内容解析1．内容一元二次方程的概念及一般形式．2．内容解析以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一．这些概念是全章后续内容的根底．本课的教学重点是：对一元二次方程及其有关概念的认识．二、目标和目标解析1．目标(1)理解一元二次方程的概念．(2)掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．2．目标解析达成目标(1)的标志是：能够通过实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出的这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，得出一元二次方程的定义．达成目标(2)的标志是：会将一元二次方程整理成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项；能在具体例子中识别各项系数的取值．能注意到二次项系数不为0．三、教学问题诊断分析列方程的内容贯穿本节课的始终，这是本课的教学难点.教学时应注意控制问题背景的难度，要有利于学生经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，进而认识一元二次方程及其相关概念．四、教学过程设计1．归纳概念问题1 根据实际背景，列出方程：(1)要设计一座高2 m的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？(2)有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出局部折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？(3)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？师生活动：通过多媒体播放图片，引入问题．通过教师引导，学生独立思考列出方程，解决问题．设计意图：通过实际问题引入一元二次方程的概念，提高学生建立方程模型解决实际问题的能力．问题2 观察上面三个方程，它们与一元一次方程有什么共同点?有什么不同点？师生活动：学生观察，并归纳出共同特征：①整式；②一元；③2次．给知名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．设计意图：让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而到达真正理解定义的目的．2．辨析稳固概念问题3 区分以下各式是否为一元二次方程．(1)4x2＝81；(2)2(x2－1)＝3y；(3)3x(x－1)＝5(x＋2)；(4)2x2＋3x－1；(5)关于x的方程mx2－3x＋2＝0(m≠0)．师生活动：学生独立思考后答复．教师引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．设计意图：稳固对一元二次方程定义中3个特征的理解．此环节采取抢答的形式，提高学生的兴趣和积极性．在练习后，通过类比一元一次方程的一般形式，得出一元二次方程的一般形式和项、系数的概念．问题4 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．师生活动：学生尝试完成，教师引导学生得出化为一元二次方程一般形式的一般步骤．设计意图：加深学生对一般形式的理解．3．练习、稳固概念教科书第4页练习1，练习2．师生活动：学生独立完成后再全班交流．设计意图：稳固一元二次方程的一般形式，掌握化为一般形式的方法．4．小结问题5 答复以下问题：(1)本节课学了哪些主要内容？(2)一元二次方程的概念是什么？(3)如何转化为一般形式，包括哪些项？师生活动：学生独立思考后答复、相互补充，教师归纳总结．设计意图：梳理本课所学内容，形成对一元二次方程的概念、一般形式等的完整认识，特别要强调二次项系数不为0的重要性．5．布置作业教科书第4页习题21.1第1题，第2题，第3题．五、目标检测设计1．根据以下问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．(1)一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm2，矩形的长和宽各是多少？(2)参加一个聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设计意图：稳固对一元二次方程的一般形式的认识，为后面讨论一元二次方程的解法做准备．2．以下哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4设计意图：稳固一元二次方程的根的概念．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
一元二次方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案小班
一元二次方程教案小班一、教学目标：1. 学生能够理解一元二次方程的基本概念及解题方法；2. 学生能够独立解决简单的一元二次方程问题；3. 培养学生的逻辑思维、问题解决和数学计算能力。
二、教学重点：1. 一元二次方程的定义和基本概念；2. 一元二次方程的解题思路和方法。
三、教学难点：1. 解一元二次方程时的变形和运算规则；2. 将实际问题转化为一元二次方程的问题。
四、教学准备：黑板、粉笔、课件、练习册。
五、教学过程：Step 1 引入1. 教师介绍一元二次方程的概念：一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的数，且a ≠ 0。
2. 引导学生回顾一元一次方程的解法，了解方程的解是满足方程等式的未知数的值。
3. 教师提问：你们对一元二次方程有什么了解？Step 2 学习一元二次方程的解法1. 教师通过示例讲解一元二次方程的解法：先整理方程，再用因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
2. 教师通过例题指导学生理解解题思路和方法。
Step 3 训练练习1. 学生独立或小组合作完成练习册上的一元二次方程练习题。
2. 教师适时地抽查学生解题过程和答案，并及时给予指导和反馈。
Step 4 应用拓展1. 教师提供一些简单的实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程的问题，并解决它们。
2. 学生独立或小组合作完成实际问题的解答，并与同学们分享思路和答案。
Step 5 总结归纳1. 教师与学生共同总结一元二次方程的解题方法和技巧。
2. 教师梳理学生在解题过程中容易出错的地方，并进行重点讲解和强化练习。
六、教学延伸：1. 学生可以自主查找更多一元二次方程的相关例题和解题方法进行练习；2. 可以引导学生探索一元二次方程的图像和解的性质。
七、教学评价：1. 以练习册中的题目为准，评价学生对一元二次方程基本概念和解题方法的掌握情况；2. 可以进行小组合作或个别补充练习，进一步考察学生的解题能力。
全国初中数学优秀课一等奖教师教案：一元二次方程--教案
全国初中数学优秀课一等奖教师教案：一元二次方程–教案一. 教材分析本节课的主题是一元二次方程，它是初中数学中的重要内容，也是后续学习更高阶数学的基础。
一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如财务计算、物理运动等，因此，掌握一元二次方程的解法对于学生的数学素养和实际应用能力的提高具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了代数基础知识，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但一元二次方程较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。
此外，学生需要掌握一元二次方程的解法，才能更好地应用于实际问题中。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的概念和性质。
2.使学生掌握一元二次方程的解法。
3.培养学生将一元二次方程应用于实际问题的能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，提供典型案例让学生分析，小组合作促进学生交流。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.教学案例。
3.小组合作学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引发学生对一元二次方程的思考。
例如：“某个物品的价格是10元，如果卖家将价格降低5元，那么售价与成本价相等。
求这件物品的成本价。
”2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义、性质和解法。
通过PPT展示，让学生对一元二次方程有一个整体的认识。
3.操练（10分钟）让学生通过解答典型案例来掌握一元二次方程的解法。
教师引导学生进行分析，提示解题思路，学生独立完成解题过程。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生互相交流解题心得，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5.拓展（10分钟）让学生运用一元二次方程解决实际问题。
例如：“一个长方形的长比宽多2，且长方形的面积为36平方厘米，求长方形的长和宽。
解一元二次方程优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
5．课后反思，布置作业
教科书习题 21.2 第 7 题．
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课件说明
• 本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式基 础上，对一元二次方程根与系数之间关系进行再 探究，经过本课学习，使学生深入了解一元二次 方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间 关系．
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课件说明
• 学习目标： 1．了解一元二次方程根与系数关系，能进行简单 应用． 2．在一元二次方程根与系数关系探究过程中，感 受由特殊到普通认识方法．
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2．小组合作，类比探究
归纳： 一元二次方程两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如 下关系：
x1
x2
b a
x1x2
c a
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3．利用性质，巩固练习
例 依据一元二次方程根与系数关系，求以下方程
两个根 x1，x2 和与积： （1） x2 - 6x - 15 = 0 （2）3x2 + 7x - 9 = 0 （3）5x - 1 = 4x2
x1 + x2 = 6
7 x1 + x2 = 3
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
5 x1 + x2 = 4
1 x1 x2 = 4
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3．利用性质，巩固练习
练习 不解方程，求以下方程两个根和与积：
（1） x2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x2 + 2 = 1- 4x （3） 5x2 - 1 = 4x2 + x
• 学习重点： 一元二次方程根与系数关系探究及简单应用．
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1．复习知识，回顾方法
问题1 一元二次方程根与方程中系数之间有 怎样关系？
省级优质课一元二次方程的公开课教案（精）
省级优质课一元二次方程的公开课教案（精）第一篇：省级优质课一元二次方程的公开课教案 (精)教学目标知识技能目标：22．1 一元二次方程第一课时1、理解一元二次方程的概念；2、会把一个一元二次方程化为一般形式，会正确地判断一元二次方程的项与系数；3、通过本节课的学习，培养学生观察、比较、分析、探究和归纳的能力。
过程方法目标：1、让学生通过分析实际问题，建立数学模型列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，类比出一元二次方程的概念；2、从实际问题引入新课，类比给出概念，通过巩固训练、合作探究到课外作业布置，完成本节课的教学并激发学生学习的热情和课后预习解方程的热情。
情感态度目标：通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学生学数学的热情和用数学的意识；重点难点1、重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2、难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程：一、新课引入数学来源于生活，服务于生活。
日常生活更是离不开数学知识，例如建筑，雕塑等。
下面我们来看相关图片。
（出示图片）它们都给人非常匀称的感觉，且充满了美感。
这些都与数学的一个重要知识黄金分割有关。
我们现在将上面的实际问题抽象为数学模型，问题如下（出示PPT）通过分析,化简，则所列方程为： x2+2x-4=0这就是我们今天要学习的一元二次方程。
通过这章的学习同学们就能解决这个问题，今天我们学习第一节，认识一元二次方程。
二、出示目标知识技能目标：1、理解一元二次方程的概念；2、会正确地判断一元二次方程的项与系数；过程方法目标：1、通过分析实际问题，建立数学模型，•类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2、解决一些概念性的题目．情感态度目标：通过本节课的学习认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学数学热情、用数学的意识；三、预习导学阅读教材第1至4页，并思考完成下列问题．(3分钟)1、什么是一元二次方程？2、一元一次方程与一元二次方程的的异同？3、一元二次方程的一般形式及各部分的名称是什么？4、一元二次方程的一般形式中为什么a ≠ 0？要求：学生在课本上画出来，并在关键词下做上记号。
优质课 精品教案 (省一等奖)《一元二次方程》公开课教案
21.1 一元二次方程教学过程设计[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。
教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。
通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。
24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．O BAC1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：OBACD半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c C =2R ，即sinA=2aR，sinB=2b R ，sinC=2c R，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 [教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
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22．1 一元二次方程
第一课时
教学目标
知识技能目标： 1、理解一元二次方程的概念；
2、会把一个一元二次方程化为一般形式，会正确地判断一元二次方程的项
与系数；
3、通过本节课的学习，培养学生观察、比较、分析、探究和归纳的能力。
过程方法目标： 1、让学生通过分析实际问题，建立数学模型列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，类比出一元二次方程的概念； 2、从实际问题引入新课，类比给出概念，通过巩固训练、合作探究到课外作业布置，完成本节课的教学并激发学生学习的热情和课后预习解方程的热情。
情感态度目标：
通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学生学数学的热情和用数学的意识；
重点难点
1、重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2、难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程：
一、新课引入
数学来源于生活，服务于生活。
日常生活更是离不开数学知识，例如建筑，雕塑等。
下面我们来看相关图片。
（出示图片）它们都给人非常匀称的感觉，且充满了美感。
这些都与数学的一个重要知识黄金分割有关。
我们现在将上面的实际问题抽象为数学模型，问题如下（出示PPT ）
通过分析,化简，则所列方程为： 这就是我们今天要学习的一元二次方程。
通过这章的学习同学们就能解决这个问题，今天我们学习第一节，认识一元二次方程。
二、出示目标
知识技能目标： 1、理解一元二次方程的概念；2、会正确地判断一元二次方程的项与系数； 过程方法目标： 1、通过分析实际问题，建立数学模型，•类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2、解决一些概念性的题目．
情感态度目标：通过本节课的学习认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学数学热情、用数学的意识；
三、预习导学
阅读教材第1至4页，并思考完成下列问题．(3分钟)
422=-+x x
1、什么是一元二次方程？
2、一元一次方程与一元二次方程的的异同？
3、一元二次方程的一般形式及各部分的名称是什么？
4、一元二次方程的一般形式中为什么a ≠ 0？
要求：学生在课本上画出来，并在关键词下做上记号 。
四、自学反馈，讲授新课
自学反馈：
1、一元二次方程的概念． 等号的两边都是________，只含有______未知数(一元)，并且未知数的最高次数是___(二次)的整式方程．
学生归纳：一元二次方程的三个特征，一元一次方程和一元二次方程的异同点。
2、一元二次方程的一般形式：__________________________.
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是________，_____是二次项系数；bx 是________，_______是一次项系数；______是常数项．
学生思考回答：为什么要限制a ≠0，b,c 可以为零吗？
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0
是一个重要条件，不能漏掉．
讲授新课：
例1.下列方程中哪些是一元二次方程？(若不是请说明理由)
052)1(2=+-x x 0134)2(2=--y x 0)3(2=++c bx ax 02)1()4(=-+x x 01)5(2=+a a 22)2(4)6(+=-x x
学生归纳，再次巩固概念。
：注意1.a ≠ 0 ; 2.必须是整式方程; 3.方程需先化为一般形式
例2.将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
解：去括号，得 3822332-=--+x x x x
移项，合并同类项得 01732=+-x x
其中二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1.
3名学生演板，其他人独立完成后，同桌互批，然后对照课本例题规范步骤。
学生思考：在写一元二次方程的项和系数时要注意什么 ?
：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项、都是包括符号的.
例3.关于x 的方程01)3()9(22=+++-x m x m 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
422=-+x x
解：当3
±
≠
m时是一元二次方程；当3
=
m时是一元一次方程。
尝试探究后，小组合作展示：
：对于a x2+bx+c=0，当a ≠ 0时表示一元二次方程，当a=0且b ≠ 0时表示一元一次方程.
五、课堂小结
1.一元二次方程的概念
2.一元二次方程的一般形式及相关概念
六、当堂训练
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-1）（x+2）=x2-1 ④3x2-5
x
=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
七、作业布置
书面作业：课本第4页习题第1.2题
课外作业：你知道妈妈的身高吗？她穿多高的高跟鞋会更美丽？预习新课并求出答案。
用今天所学的知识解决实际问题，用数学的知识创造美。
让我们从生活中走进数学，让数学回归生活。
谢谢合作！。