一元二次方程(概念_一般形式_公开课)
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一元二次方程的概念-PPT课件
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 用一元二次方程解决实际问题
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
《一元二次方程》PPT课件
75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
一元二次方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 因为甲队对乙队旳比赛和乙队对甲队旳比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
x2 75x 350 0
x2 x 56
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程旳区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
分析:
设切去旳正方形旳边长为xcm, 则盒底旳长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm .
根据方盒旳底面积为3600cm2,
得 (100 2x)(50 2x) 3600
3600
100㎝
xcm 50㎝
即
x2 75x 350 0
问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛旳每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天 安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
0是一元二次方程吗？
一元二次方程旳一般形式
一般地,任何一种有关x 旳一元二次方程都能够
化为ax2 bx c 0 旳形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程旳一般形式。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可觉得零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
?
学习目旳
1.了解一元二次方程旳概念， 根据一元二 次方程旳一般 式，拟定各项系数
2.灵活应用一元二次方程概念 处理有关问题
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它旳四角各切去一种正方形,然后将四突出部
一元二次方程概念
教学难点
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
《一元二次方程》PPT课件
的值为多少?
?
解 :∵ x 0是方程的解 代入得m2 4 0 m 2,且m 2 0 m 2 2m2 4m 3 2 22 4 2 3 3 代数式的值为3.
பைடு நூலகம் 例例题题讲讲解解
(2)关于x的 一方元程二次方程
(m 2)2 x2 3m2x m2 4 0
有一根为0,则2m2 4m 3
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
X2-x 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解. 是否只有x=8是方程的根呢? X= -7呢?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0
D. x2+x－42=0
练习
1)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为_X_=_
1
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为X_=_-_1
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
21.1一元二次方程(教学课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)
A．a+b+c＝1
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
）
已知一元二次方程的解，求未知数的值（易错）
变式4-1 关于x的一元二次方程（a−1）x2＋x＋a2−1＝0的一个根是0，则
a的值为（
）
A．1或-1
B．1
C．-1
D．0
【详解】
把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，
5
x
m
2m 0 的常数项为0
【解析】∵关于x的一元二次方程
m2 0
∴ 2
，解得：m=0
m
2
m
0
一元二次方程组解的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
已知一元二次方程的解，求未知数的值
例4 若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（
程可能是（
A．3x+1=0
）
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
已知二次项系数、一次项系数、常数项，求一元二次方程
变式3-1 关于x的一元二次方程
则m的值为（
A．1
m 2 x
2
5x m 2m 0 的常数项为0，
2
）
B．2
C．0，2
D．0
2
2
m
2
x
情景导入
正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是
2 = 9
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
）
已知一元二次方程的解，求未知数的值（易错）
变式4-1 关于x的一元二次方程（a−1）x2＋x＋a2−1＝0的一个根是0，则
a的值为（
）
A．1或-1
B．1
C．-1
D．0
【详解】
把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，
5
x
m
2m 0 的常数项为0
【解析】∵关于x的一元二次方程
m2 0
∴ 2
，解得：m=0
m
2
m
0
一元二次方程组解的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
已知一元二次方程的解，求未知数的值
例4 若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（
程可能是（
A．3x+1=0
）
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
已知二次项系数、一次项系数、常数项，求一元二次方程
变式3-1 关于x的一元二次方程
则m的值为（
A．1
m 2 x
2
5x m 2m 0 的常数项为0，
2
）
B．2
C．0，2
D．0
2
2
m
2
x
情景导入
正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是
2 = 9
人教版中考数学专题课件：一元二次方程
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
一元二次方程
利用因式分解法解一元二次方程时，当等号两边含有相 同的因式时，不能随便先约去这个因式，否则会出现失根的 错误，如：解方程 2(x－3)＝3x(x－3)．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
一元二次方程
变式题 [2012· 佛山] 用配方法解一元二次方程 x2－2x －3＝0 时， 方程变形正确的是 A．(x－1)2＝2 C．(x－2)2＝1 B．(x－1)2＝4 D．(x－2)2＝7 ( B )
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
一元二次方程
考点2 一元二次方程的四种解法
直接开 适合于 x2＝a 或(x＋a)2＝b(b≥0)形式的方程． 平方法 ①化二次项系数为 1；②把常数项移到方程的另一边； ③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把 配方法 方程整理成(x＋a)2＝b 的形式； ⑤运用直接开平方法解 方程． 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，且 b2－4ac≥0 时，则 x
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
一元二次方程
探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
一元二次方程
例 3 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋ 2k－4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
－（－10）± 64 x＝ ，∴x1＝1，x2＝9. 2×1
皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测
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2x2 19x 24 0 x2 2x 0.44 0
x2 x 0
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 2x 0.44 0
x2 x 0
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0) x2 4 ( x 2)2 是一元二次方程吗？
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
x2＋2x=0.44.
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯
子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
解：设梯子滑动的距离是X米。根 据题意得
(4 x)2 (3 x)2 52
整理，得 x2 x 0
根据题意，得 x(19 2x) 24
整理，得 2x2 19x 24
问题情境
（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计
到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增
长率. 析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是
万册；
明年年底的图书数是
万册.
可列得方程
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
23.1 一元二次方程
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，
m2
求它的边长？ 解：设正方形桌面的边长是 x m
根据题意得：
x2 2
问题情境
（2）矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏 的总长度是19米。如果花园的面积是24m2，求花 园的长和宽？
解：设花园的宽是 x m ,则花园
的长是(19-2x)m.
2x(x 1) 3(x 5) 4
4、关于x的一元二次方程(m 3)x2 (m 1)x m 0 ，则二次项系数是_______，一次项系数是______， 常数项是__________
5、关于x的方程，kx2 x 1 2x2是一元二次 方程，则k的取值范围是 _________
一元二次方程的一般形式
二次项系数
一次项系数
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
a x 2 又叫二次项 b x叫一次项
(aa、xb、2c+为常b 数x且+a例c≠ 0=题) 0讲二 一 常解次 次 数项 项 项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
• [例1] 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
• 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
关于x的方程，kx2 x -1 2x2一定是一元二次 方程吗？
例题讲解
• [例2] 若方程 (m例题3讲)x解m27 mx 10
是关于x的一元二次方程，求m的值。
• 解：由题意得：
3x(x 1) 5(x 2)
解：
二次项： .其系数为
.
一次项： ，其系数为
常数项为
课堂练习
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项。
(1)x2 0
二次项系数 一次项系数 常数项
(2)4x 1 x2
(3) 2x2 3x 1 (4) x(x 3) 2
做一做，看看你是否真的掌握了
1.下列是一元二次方程的是（ ）
A.x2 3x 2 C.x2 2 3x
B.x2 3x 2 x2ຫໍສະໝຸດ D.x2 x3 4 0
2.写出一个一元二次方程，使它的各项系
数之和为6，则方程可以是________.
3.将下列方程化为一般形式，并分别指出 它们的二次项系数、一次项系数和常数项
1.判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方 程 x2 - 2=x 的根.
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解(或根)
已知关于x的方程x2 ax a 0的 一个根是3，求a的值.
解：把x 3代入方程，得：
32 3a a 0 解得：a 9
• （5）一项工程甲单独做需要10天， 乙单独做需要15天，二人合作需要几 天完成？
• 解：设甲乙合作需X天完成，
•
1 1 =1
10 15 x
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
一元二次方程的概念
• 像特这点样: 的①等都号是两整式边方都程是; 整式, 只含有 一个未知②数只(含一一元个)未，知并数;且未知数的最 高次数是③2未(二知数次的)的最高方次程数叫是做2. 一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
4
知识回顾 Knowledge Review
下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？
1）3x 2 5x 3 2)4 y2 5 y
11 3) x2 x 2 0 4)x2 y 2
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
x2 2 0
k为何值时，关于x 的方程
（k 2 1)x2 2(k 1)x 3(k 1) 0是 1）一元二次方程 2）一元一次方程
已知关于x的一元二次方程
(a 1)x2 x a2 1 0的一根是0
则a =
什么是方程的根?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
x2 x 0
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 2x 0.44 0
x2 x 0
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0) x2 4 ( x 2)2 是一元二次方程吗？
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
x2＋2x=0.44.
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯
子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
解：设梯子滑动的距离是X米。根 据题意得
(4 x)2 (3 x)2 52
整理，得 x2 x 0
根据题意，得 x(19 2x) 24
整理，得 2x2 19x 24
问题情境
（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计
到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增
长率. 析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是
万册；
明年年底的图书数是
万册.
可列得方程
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
23.1 一元二次方程
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，
m2
求它的边长？ 解：设正方形桌面的边长是 x m
根据题意得：
x2 2
问题情境
（2）矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏 的总长度是19米。如果花园的面积是24m2，求花 园的长和宽？
解：设花园的宽是 x m ,则花园
的长是(19-2x)m.
2x(x 1) 3(x 5) 4
4、关于x的一元二次方程(m 3)x2 (m 1)x m 0 ，则二次项系数是_______，一次项系数是______， 常数项是__________
5、关于x的方程，kx2 x 1 2x2是一元二次 方程，则k的取值范围是 _________
一元二次方程的一般形式
二次项系数
一次项系数
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
a x 2 又叫二次项 b x叫一次项
(aa、xb、2c+为常b 数x且+a例c≠ 0=题) 0讲二 一 常解次 次 数项 项 项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
• [例1] 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
• 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
关于x的方程，kx2 x -1 2x2一定是一元二次 方程吗？
例题讲解
• [例2] 若方程 (m例题3讲)x解m27 mx 10
是关于x的一元二次方程，求m的值。
• 解：由题意得：
3x(x 1) 5(x 2)
解：
二次项： .其系数为
.
一次项： ，其系数为
常数项为
课堂练习
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项。
(1)x2 0
二次项系数 一次项系数 常数项
(2)4x 1 x2
(3) 2x2 3x 1 (4) x(x 3) 2
做一做，看看你是否真的掌握了
1.下列是一元二次方程的是（ ）
A.x2 3x 2 C.x2 2 3x
B.x2 3x 2 x2ຫໍສະໝຸດ D.x2 x3 4 0
2.写出一个一元二次方程，使它的各项系
数之和为6，则方程可以是________.
3.将下列方程化为一般形式，并分别指出 它们的二次项系数、一次项系数和常数项
1.判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方 程 x2 - 2=x 的根.
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解(或根)
已知关于x的方程x2 ax a 0的 一个根是3，求a的值.
解：把x 3代入方程，得：
32 3a a 0 解得：a 9
• （5）一项工程甲单独做需要10天， 乙单独做需要15天，二人合作需要几 天完成？
• 解：设甲乙合作需X天完成，
•
1 1 =1
10 15 x
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
一元二次方程的概念
• 像特这点样: 的①等都号是两整式边方都程是; 整式, 只含有 一个未知②数只(含一一元个)未，知并数;且未知数的最 高次数是③2未(二知数次的)的最高方次程数叫是做2. 一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
4
知识回顾 Knowledge Review
下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？
1）3x 2 5x 3 2)4 y2 5 y
11 3) x2 x 2 0 4)x2 y 2
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
x2 2 0
k为何值时，关于x 的方程
（k 2 1)x2 2(k 1)x 3(k 1) 0是 1）一元二次方程 2）一元一次方程
已知关于x的一元二次方程
(a 1)x2 x a2 1 0的一根是0
则a =
什么是方程的根?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根