根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1) 14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
根与系数关系经典习题
一.填空题X2—7X+ 2 = 0的两个根,那么Xi+X2=1.如果%、%是方程2 2 22 .一元二次方程x2-3x-5 = 0的两根分别为x i、X2,那么X i +X2的值是o3 .假设方程X2 -2X+k =0的两根的倒数和是8,那么卜二.3二.选择题1 .以下方程中,两实数根之和等于2的方程是〔〕I / _ ----- .A. x2+2x-3=0B.x2-2x + 3 = 0C. 2x2-2x-3=0D. 3x2-6X+1=02 .如果一元二次方程X2 +3x-2 =0的两个根为Xp x2,那么X1+x2与X1X2的值分别为〔〕A. 3, 2B. -3, -2C. 3, -2D. -3, 23 .如果方程2x2 -6x+3=0的两个实数根分别为X、",那么X1X2的值是〔〕A. 3B. -3C. - 3D. 3—2 24.如果X、X2是方程X2-3X+1 = 0的两个根,那么二十1的值等于〔〕X1 X2A. - 3B. 3C. 1D. - 13 325 .关于x的方程x -〔k+2〕x+6-k-0有两个相等的正实数根,那么k的值是〔〕■■, I ;A. 2B. - 10C. 2 或-10D. 2 V?\ \ '1\ V'"一二一：6 .假设方程x2 -8x+m = 0两实数根的平方差为16,那么m的值等于〔〕I i y「'J I1A. 3B. 5C. 15D. - 157 .如果％、X2是两个不相等的实数,且满足X12 - 2x1 = 1 , x22 -2x2=1,那么X1X2等于〔〕A. 2B. -2C. 1D. - 18 .对于任意实数m,关于x的方程〔m2+1〕x2-2mx + 〔m2+4〕 = 0一定〔〕A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解做题1 .关于x的方程x2-〔k-1〕x + k+1 =0的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值.2 .一元二次方程x2-2x+m-1=0〔1〕当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2 = 1 ,求m的值.2 1 23 .关于x的万程x -(k+1)x+ —k +1=04(1) k取什么值时,方程有两个实数根？(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x"= x2 ,求k的值.4 .关于x的一元二次方程ax2+ x - a = 0(a 0 0)(1)求证：对于任意非零实数a,该方程包有两个异号的实数根；(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,假设|x1| + |x2|=4,求a的值. I / ---------- .一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值.精典例题：2【例1】关于x的万程2x +kx — 4 =10的一个根是一2,那么方程的另一根是；k =.分析：设另一根为x1,由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组,解之即得.一5答案：一,—12【例2】x1、x2是方程2x2—3x—5=0的两个根,不解方程,求以下代数式的值：,八 2 , 2 | 2 」-2 -(1)x1 +x2(2) |x1 -x2(3) x1 +3x2-3x2a 1 I ,1 J2 2 . . 2 1略解：(1) x1 +x2 =(x1+x2) —2x1x2=7 一4-i 匚Z~~T2 I c 1(2) x1 -x2= 4(x1 +x2) -4x1x2= 3一2,2 2 2 1 _ _ 1(3)原式=(x〔+x2)+(2x2 -3x2) = 7 — + 5 = 12 —4 4【例3】关于x的方程x2 +2(m +2)x +m2 -5 =0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.2 2分析：有实数根,那么0,且x1 +x2 = x1x2 +16 ,联立解得m的值.略解：依题意有：.__ __ _ ______ 9由①②③解得：m = —1或m = -15 ,又由④可知m >4m = 一15 舍去,故m = -1探索与创新：【问题一】x1、x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m—1)x+m2 = 0的两个非零实数根,问：*1与*2能否同号？欢送阅读假设能同号请求出相应的 m 的取值范围；假设不能同号,请说明理由.1 ,12略解：由△ = -32m +16)0得 mW —.x 1+x 2= -m +1, x 1 x 2= — m >02 4X 1与x 2可能同号,分两种情况讨论:X1 + X 2 > 0 - 一,解得m < 1且m ,0 x 1x 2 > 0±4,又 k <0:存在整数k 的值为一2、一3、- 5A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根2,假设方程kX 2—6X + 1 = 0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是1 1 3 .设X 1、X 2是万程3X 2+ 4X —5=0的两根, X 1 X 2⑵假设 X1 <0, X 2 < 0, X + X 2 < 0 那么1 X 1X 2 0 … - 1,一 ,解得m > 1与m 0 —相矛盾 2 综上所述：当 m < 1且m ,0时,方程的两根同号. 2 2 一 . 【问题一】X 1、X 2是一元二次方程4kX —4kX +k +1 = 0的两个实数根. (1) . ... .. ..................................................... 3 是否存在头数k ,使〔2X 1 -X 2〕〔X 1 —2X 2〕=——成立？假设存在,求出k 的值；假设不存在,请说明理由. 2 (2) 求使 '+至_ 2的值为整数的实数 k 的整数值. X 2 X 1 略解: (1)由 k ,0和0= k <0 d k 1 X 1 +X 2 =1, X 1X 2 = -------------------- 4k 2 人 • • (2x 1 - X 2)(X 1 -2x 2)= 2(X 1 X 2) - 9X 1X 2 ..9 .一 k =—,而 k <0 5 :不存在： ⑵X1 X 2 十红 _2=(X 1 +X 2)2 .4 4 … 4 —,要使— --------- 的值为整数,而k 为整数,k+1只能取土 1、±2、 X 1 X 1X 2 C .只有一个实数根D.没有实数根 (1)假设 X1 >0, X 2 >0, 那么〕 次方程X 2 -2x -1 =0的根的情况为〔4 .关于 x 的方程 2x 2 + (n2 —9)x+m+ 1=0,当 m=时,两根互为倒数；当m=时,两根互为相反数. 5 .假设X i =$3-2是二次方程x 2+ ax+1 = 0的一个根,那么a=,该方程的另一个根X 2 =. 6 .设 x i, x 2是方程 2x 2+ 4x —3=0 的两个根,那么(x i+1)(x 2+1)=, x ； + x 22=, 1 1 、2一 十 — —? (x 1 — x 2) _.x 1 x 27 .当c= ___________ 时,关于x 的方程2x 2+8x+c = 0有实数根.(填一个符合要求的数即可)I / --------- -- .8 .关于x 的方程x 2—(a + 2)x+a - 2b = 0的判另1J 式等于0,且x=g ■是方程的根,那么a + b 的值 为.9 .a, b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1) =0的两个实数根,那么a 2+b 2的最小值是10 .a , P 是关于x 的一元二次方程x 2 +(2m+3)x + m 2 =0的两个不相等的实数根,且满足11 .................. 一 = -1,那么m 的值是() a P D . -3 或 1X, & ,那么 x ；x 2 +x 1x 22 的值是( D . —1 312.(泸州)假设关于x 的一元二次方程x 2.-2x+m=0没有实数根,那么实数 m 的取值范围是(A . m<l跟踪练习：一、填空题：2 — 11 1、设x 1、x 2是方程x — 4x +2=0的两根,那么① + = x 1 x2 一、一一 22、以方程2x 2 -x -4 = 0的两根的倒数为根的一元二次方程是23、万程x -mx +45 =0的两实根差的平万为144,那么m =.4、方程x 2 —3x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m 的值是2 26、x 1、x 2是方程x 2 -3x +1 =0的两根,那么4x 1 +12x 2 +11的值为.A . 3 或—1B . 3C . 1 11. 一元二次方程x 2 -3x+1=0的两个根分别是1A. 3 B . -3 C .— 3 [② x 1 -x 2 [③国 +1)(x 2+1)=欢送阅读二、选择题:21、如果万程x十mx =1的两个实根互为相反数,那么m的值为〔〕A、0B、一1C、1D、± 12 「b f -小小…、2、ab,0,方程ax +bx +c = 0的系数满足一i =ac,那么万程的两根之比为〔〕<2；A、0 ： 1B、1 ： 1C、1 ： 2D、2 ： 32 24、菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的万程：x +〔2m — 1〕x + m +3 = 0的根, 那么m的值为〔〕A、- 3B、5C、5 或—3D、—5或3三、解做题：、一21、证实：方程x2—1997x+1997 =0无整数根. 2 22、关于x的方程x +3x+a =0的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程〔k —1〕x +3x —2a = 0有实根,且k为k -1正整数,求代数式--------- 的值.k -22 23、关于x的万程x -〔1 -2a〕x +a -3 = 0 ……①有两个不相等的实数根,且关于x的万程2x2——2x+2a —1=0……②没有实数根,问：a取什么整数时,方程①有整数解？. . … 2 一. 八 2 一一4、关于x的万程x — 2〔m+1〕x+m —3=0〔D当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？2 〔2〕设x「x2是万程的两根,且〔x1 +x2〕-〔x1 + x2〕-12 = 0 ,求m的值.i 产J F 1 I , I\ \ xI . F ；、一. 2 ........... 一.. .、一.. .、2 _ ____ __ 5、关于x的方程kx +〔2k —1〕x+k —1 =0只有整数根,且关于y的一元二次方程〔k—1〕y — 3y + m = 0的两个实\ \ . । \ 卜二二一二’ 数根为y1、y2.〔1〕当k为整数时,确定k的值.I I 2 2〔2〕在〔1〕的条件下,假设m = 2,求y1 +y2的值. 2 26、X I、x2是关于x的一元二次方程4x +4〔m-1〕x + m =0的两个非零实根,问：x1、x2能否同号？假设能同号,请求出相应m的取值范围；假设不能同号,请说明理由.7 .设关于x的方程kx2—〔2卜+1伙+卜=0的两实数根为X I、X2,,假设上+也=17,求k的值. x2x1 48 .关于x的一元二次方程x2m -1 〕x+m+2 = 0 .〔1〕假设方程有两个相等的实数根,求m的值；(2)假设方程的两实数根之积等于m2—9m+2,求“希百的值.-J/-。
根与系数的关系练习题
根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
初三数学根与系数的关系练习题
初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。
问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
因此，已证明了问题一中的两个关系式。
问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。
一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0） （1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值． 解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ． （1）求p 的取值范围； （2）若p=0，求1221x x x x +的值； （3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3． 故选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可． 【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0， 所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0， 所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0， 方程的两个根为x 1，x 2， 根据根与系数的关系，得12c x x a•=， 即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15． 【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-； （2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1． 【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值． 【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0， 解得m ≤14． 把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0， 解得m 1＝0，m 2＝﹣2， 即m 的值为0或﹣2； （3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6， 即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0， 解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2， 由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1， 整理得：m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m ＝﹣3或1． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣． 【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】 解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-； （2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-； （3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立； 解②，得72a <-； 综上：72a <-． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4． 【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值． 【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0， 即m=0，或m=-4． 答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->， 解得m<1； （2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去， 即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可； （2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得． 【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验． 【详解】 （1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0， 即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2． 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2， 解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案． 【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可． 【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根， 此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452． 【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32； 当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32） ＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去， 则m ＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题（1）一、 填空：1、 如果一元二次方程c b x a x ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += . 11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则（1）1x 2+2x 2= _； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x _ _； （4）)1)(1(21++x x = . 二、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 三、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值。
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
根与系数关系专题练习
根与系数关系专题1．已知关于x的一元二次方程20+-=（k为常数）总有实数根．x k（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．2．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．4．关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k 的取值范围；（2）若方程两根x 1，x 2，满足x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，求k 的值．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5； （2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=．（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（1）求m 的取值范围；（2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值．22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．28．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.29．已知关于x 的一元二次方程2x 5x 2m 0-+=有实数根．()1求m 的取值范围；()2当5m 2=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．30．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．31．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.32．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．33．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．34．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．35．（7分）已知关于x 的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．36．已知关于x的方程x2−kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(2x1+x2)−8(2x1+x2)+15=0.（1）求证：n<0;（2）试用k的代数式表示x1;（3）当n=−3时,求k的值.37．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，227x3x04+-=，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．38．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．39．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．40．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0 ．（1）如果方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）如果()()122,,3,y y 是直线(3y m x =+上两点，比较1y 与2y 的大小．根与系数关系专题一、解答题1．已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．【答案】（1）7k -；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值，将k 的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．【详解】解：（1）∵方程总有实数根，240k ∴∆=+≥，解得：7k -；（2）∵方程有两个相等的实数根，240k ∴∆=+=，解得：7k =-，代入方程得：270x ++=，解得：12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”． 2．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．【答案】（1）m ≥23且m ≠1，（2）k ＝3 【分析】 （1）根据判别式即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）化为一般式：（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ﹣2＝0，∴()()21044120m m m m -≠⎧⎨=---≥⎩， 解得：m ≥23且m ≠1 （2）由（1）可知：m 是最小整数，∴m ＝2，∴（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2化为x 2﹣4x ＝0，解得：x ＝0或x ＝4，∵（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，∴当x ＝0时，此时k ﹣3＝0，k ＝3，当x ＝4时，16（k +1）+4+k -3＝0，∴k ＝﹣1，∵k +1≠0，∴k ＝﹣1舍去，综上所述，k ＝3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）m ＜43且m ≠0；（2）x 1=1，x 2=3 【分析】取值范围．（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【详解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜4 3又m≠0，∴m＜43且m≠0，（2）∵m为正整数∴m=1，∴原方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．4．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k的取值范围；（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1【分析】（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．【详解】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，∴k≥﹣3且k≠1．②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，∴k＝1，综上，k≥﹣3时方程有实根；（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -， ∵x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，∴（x 1＋x 2）2﹣6x 1x 2＝1，∴（41k -）2＋61k -＝1， ∴()()2161160k k ----=，∴()()18120k k ---+=，∴90,10k k -=+=，解得：k ＝9或k ＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2；（2）m =0或m =83-．【分析】（1）根据k -2≠0且240b ac -＞求解即可；（2）k =3，求得240x x k -+=的两个根为121,3x x ==，分别代入210x mx +-=计算即可．【详解】（1）∵一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴k -2≠0且240b ac -＞，∴k -2≠0且2(4)4(2)20k --⨯-⨯＞，∴k ＜4且k ≠2；（2）∵k ＜4且k ≠2，且k 是最大整数，∴240x x k -+=变形为2430x x -+=，∴(1)(3)0x x --=∴121,3x x ==，当x =1是相同的实数根时，则21110m +⨯-=，解得m =0；当x =3是相同的实数根时，则23310m +⨯-=，解得m = 83-；综上所述，m =0或m =83-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，不等式的整数解，熟练将根的判别式具体化，灵活解方程是解题的关键．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）∵方程x 2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∴△=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∴m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∴(x 1+x 2)2＝16+3x 1x 2，∴4（m -1）2=16+3（m 2-1），解得：m 1=-1，m 2=9，∵m ＜1，∴m 2=9舍去，即m =-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m 的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）m ≤2；（2）m =1；另一个根为5【分析】（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；（2）把x =1代入()26410x x m -++=求出m 的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）由题意，得36-4(4m +1) ≥0，解得m ≤2；（2）把x =1代入()26410x x m -++=，得 ()16410m -++=，解得m =1；设另一根为x 2，则1+ x 2=6，解得x 2=5，∴方程的另一个根为5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m <；（2）m=-1或m=0 【分析】 （1）根据根的判别式，可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用m 表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围，再求其值即可．【详解】解：（1）由题可得，2(4)4(23)48m m ∆=--+=-方程有两个不相等的实数根，0∴∆>即480m ->．解得12m < （2）由根与系数的关系可得124x x +=，1223x x m =+．22121213x x x x +-≤)21212(313x x x x ∴+-≤即243(23)13m -+≤，解得1m ≥-由（1）可得112m -≤<又m 为整数， 1m ∴=-或0m =【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．【答案】（1）4；（2）32【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k 的值；（2）把已知等式两边平分可得到（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，则x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，继而可得：k +1＝0或△＝0，再分别求出k ，然后根据（1）中k 的取值范围即可求得k 的值【详解】解：（1）根据题意得△＝（k +1）2﹣4（14k 2+1）≥0，解得k ≥32， x 1+x 2＝k +1，x 1x 2＝14k 2+1， ∵x 1x 2＝5， ∴14k 2+1＝5，解得k ＝±4， ∵k ≥32， ∴k 的值为4；（2）∵|x 1|＝x 2，∴x 12＝x 22，∴（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，∴x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，∴k +1＝0或△＝0，∴k ＝﹣1或k ＝32， ∴k 的值为32． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的有关知识点．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．【答案】（1）4m ≤；（2）3＜4m ≤．【分析】（1）由一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，得到△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，解不等式即可；（2）先利用根与系数关系定理，得1x +2x =6，1x 2x =2m +1，代入1212220x x x x ++>，求得m 的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．【详解】（1）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，∴△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，∴9-2m -1≥0，解得：4m ≤（2）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=的两个实数根为1x 、2x ，∴1x +2x =6，1x 2x =2m +1，∵1212220x x x x ++>，∴6+2（2m +1）＞20，解得m ＞3，∵4m ≤，∴m 的取值范围是3＜4m ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）k ＝1或k ＝3；（3）k 的值为﹣3或0【分析】（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑：当k +1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k +1≠0时，根的判别式△=（k -3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k ≠-1，利用求根公式求出x 1、x 2的值，由x 1=-1和x 2为整数以及k 为正整数，即可求出k 的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，△=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0， ∴方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∴()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∴k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∴|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭， 解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．【答案】（1）3m 4≥-；（2）m 3= 【分析】（1）利用判别式得到()222340m m =+-≥，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥， 解得：3m 4≥-， ∴m 的取值范围是3m 4≥-； （2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，∵()()111αβ++=，∴ 0αβαβ++=， 即()2230m m -+=， 解得：1231m m ==-，(舍去)，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=． 13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．【答案】（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．【答案】（1）1k >-；（2）12x =-，20x =【分析】（1）根据方程根的情况可得24440b ac k ∆=-=+>，求解即可；（2）将k 的值代入，求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，24440b ac k ∴∆=-=+>，解得1k >-．k ∴的取值范围为1k >-；（2）k 为（1）中的最小整数0k ∴=∴方程为220x x +=解得：12x =-，20x =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24b ac ∆=-与一元二次方程根的情况是解题的关键．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【答案】（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得：()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴22x ±=，解得1211x x ==【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键． 16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=． （1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出()1221x x m +=-，2123x x m m =-，再由122x x -=得到122x x -==，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．【详解】解：（1）∵方程222(1)30x m x m m --+-=有实数根，∴()224(1)4130m m m =--⨯⨯-≥△，解得：m≥-1；（2）∵12,x x 是方程的两个实数根，∴()1221x x m +=-，2123x x m m =-， ∵122x x -==， ∴()()2242143m m m --⎦-=⎡⎤⎣， 解得：m=0；（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=的一个解，把x=10代入方程得210020(1)30m m m --+-=，解得m 1=8，m 2=15，当m=8时，x 1+x 2=2（m-1）=14，解得x 2=4，则三角形周长为4+10+10=24； 当m=15时，x 1+x 2=2（m-1）=28，解得x 2=18，则三角形周长为10+10+18=38； 当10为等腰三角形的底边时，则x 1=x 2，所以m=-1，方程化为2440x x ++=，解得x 1=x 2=-2，故舍去；综上所述，这个三角形的周长为24或38．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k 的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．【答案】（1）m ＜54；（2）-1． 【分析】 （1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1， 利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根； （2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，3=.解得，m =﹣1（m ＜54） 故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值． 【答案】（1）见解析；（2）6b =-，8c =或12b =-，32c =．【分析】（1）求出该方程的两个根，判断两个根的关系即可．（2）根据20x bx c ++=是倍根方程，可知另一根为2或8．即可分类讨论求出该一元二次方程，即可求出b 、c ．【详解】（1）∵29180x x ++=， ()()360x x ++=，13x =-，26x =-．∵6-是3-的2倍，∴29180x x ++=是倍根方程；（2）∵20x bx c ++=是倍根方程，且有一个根为4，则另一根为2或8． ①当两根为4和2时，()()242680x x x x --=-+=，∴6b =-，8c =．②当两根为4和8时，()()24812320x x x x --=-+=，∴12b =-，32c =，综上所述：6b =-，8c =或12b =-，32c =． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据题干理解倍根方程的定义是解答本题的关键．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．【答案】（1）14m ≥-；（2）14m =-.【分析】（1）根据判别式△=24b ac -≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． ∴△=22(21)4m m +-≥0, ∴14m ≥-; (2) ∵22120x x -=∴1212()()0x x x x -+=, ∴120x x -=或120x x +=, ∴△=0或2m+1=0, 解得14m =-或12m =-(舍去),∴14m =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键.21．关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值． 【答案】（1）34m <；（2）3- 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得()222340m m ∆=-->， 解得：34m <； （2）根据题意，得：()122332x x m m +=--=-，212x x m =∵12111x x +=，即12121·x xx x += ∴2321mm -= 解得：1m =或3m =- ∵34m <∴1m =舍去当3m =-时，20m ≠ ∴m 的值是3-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解． 22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值． 【答案】（1）112m ≥-（2）2m =【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-； （2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值． 【答案】（1）k>-1；（2）1 【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】 解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k ， ∴111a ab -++ =()()()()1111a b a a b +-+++=11ab ab a b -+++=121k k ----+=1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 24．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值． 【答案】(1) 2k ≥；(2) =3k 【分析】(1)根据0∆≥建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为2121212()224⎡⎤+-=⎣⎦x x x x x x ，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，2(4)41(28)0∆=--⨯⨯-+≥k ，整理得：16+8320-≥k ， 解得：2k ≥，∴k 的取值范围是：2k ≥． 故答案为：2k ≥．(2)由题意得：3321212121212()224⎡⎤+=+-=⎣⎦x x x x x x x x x x ， 由韦达定理可知：12+=4x x ，1228=-+x x k ， 故有：2(28)42(28)24⎡⎤-+--+=⎣⎦k k ， 整理得：2430k k -+=， 解得：12=3,1=k k ， 又由(1)中可知2k ≥， ∴k 的值为=3k ． 故答案为：=3k ． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程没有实数根．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 【答案】（1）k≤3；（2）3k =-． 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0， 解得：k≤3，故k 的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去）， 经检验，3k =-是原方程的根， 故3k =-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴2(2)4(2)0k ∆=--+ 解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-， ∴1212222x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=，解得k = 又由（1）知：1k ≤-，∴k = 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值． 【答案】(1)1k ≤；(2)k =. 【分析】(1)根据一元二次方程22210x x k -+-=有两个不相等的实数根得到()()224210k ∆=---≥，求出k 的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴240b ac -≥，∴()()224210k ---≥， ∴1k ≤.(2)∵1x ，2x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122x x +=，1221x x k ⋅=-，又∵211212x x x x x x +=⋅， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴()()221212122x x x x x x +-=⋅， ∴()()22222121k k --=-，解之，得：12k =，22k =-． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵1k ≤，∴k =． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．。
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一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师[准备知识回顾]： 1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。
（2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。
（3） 当0<∆时，方程没有实数根。
反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=•21x x 。
我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。
3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。
5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。
解：变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
（4）两个根都小于2。
2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2）a 取何值时，方程有两个正根。
（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）a 取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2，判别式的值为1，则b a 与是多少？例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，求m 的值。
基础训练：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1， 那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定7.设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）38．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝ 9．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值围是10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝ .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－x=5 (2)9x2－6 2 +2=0 (3)x2－x+2=02、当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是；若两根之和为－35，则m= ，这时方程的两个根为 .4、已知3－ 2 是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。
5、求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。
6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 。
7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2x1+x1x2（3）x12+ x1x2+2 x18、如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;9、方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根，则最小的整数m= ;10、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m= ;11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ;12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1－x2（3）21xx （4）x1x22＋12x113、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ 的值。
14、已知a 是实数，且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x 2+2ax+1－12 (a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？15、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积。
16、实数K 在什么围取值时，方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根？训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;2、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值围是 ;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p= ,q= ;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m= ;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;6、m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式m n= 。
7、已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+1β和β+1α;9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值围。
训练（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;2、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为 ;3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;5、方程4x2－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;7、已知p<0,q<0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时，方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。
12．是否存在实数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ，满足21x x ＝32，如果存在，试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。
一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。