冀教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》同步测试(含答案)
冀教版数学九年级上册24.3一元二次方程根与系数的关系习题(配答案).docx
24.3 一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆Θ解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a Θ 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解：Θ 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解：Θ 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
新冀教版九年级上《24.3一元二次方程根与系数的关系》练习题含答案
24.3 一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x ∙等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
冀教版 九年级数学上册 一元二次方程根与系数的关系同步能力提升训练 (含答案)
24.3一元二次方程根与系数的关系同步能力提升训练一、选择题（共10小题）.1．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．9C．12D．142．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（）A．25B．13C．22D．173．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（）A．B．C．D．4．若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（）A．2021B．2019C．2017D．20155．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．46．若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（）A．39B．45C．﹣35D．﹣417．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+ab+2a+b的值是（）A．2020B．2021C．﹣1D．﹣28．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（）A．7B．C．3D．9．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（）A．1B．C．D．210．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定二、填空题11．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则+＝．12．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是．13．一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，+2x1x2+＝．14．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，则一元二次方程cx2+bx+a ＝0的两个实数根为x3＝，x4＝．三、解答题15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．16．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．17．先阅读，再解决问题：【阅读材料】通过解一元二次方程x2﹣3x+2＝0，可得根是x1＝1，x2＝2．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程x2﹣3x+2＝0为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，设这两个根是α和β（α＞β），则α+β＝﹣，αβ＝．∵α＞β，∴α﹣β＞0．∴α﹣β＝＝＝＝＝．显然，当α﹣β＝1时，原方程即为邻根方程．【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程．（1）x2+x＝0；（2）4x2+16x+15＝0．18．若关于x的一元二次方程（ax﹣b）（cx﹣d）＝0（ac≠0且a≠﹣1，c≠﹣1）的解x1＝＝a﹣b，x2＝＝c﹣d，则称该方程为二次“差解方程”．例如：（x﹣）（﹣3x+﹣）＝0的解x1＝，x2＝﹣，且＝1﹣，＝﹣3﹣（﹣），所以该方程（x ﹣）（﹣3x+）＝0是二次“差解方程”．根据上述材料，解决下列问题：（1）判断方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0是否是二次“差解方程”，并说明理由；（2）若关于x的方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn+n）＝0是二次“差解方程”，求关于y的一元二次方程m（y﹣1）+n（y﹣m）＝的解．参考答案1．解：不等式整理得，∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，∴﹣1≤＜0，解得2≤a＜6，∵关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣3）（a﹣6）＞0且a≠3，解得a＞2且a≠3，∴2＜a＜6且a≠3，∴整数a的值是4，5，∴所有满足条件的整数a的值之和是：4+5＝9，故选：B．2．解：，由①得x≤6，由②得x＞．∵方程组有且只有五个整数解，∴＜x≤6，即x可取6、5、4、3、2．∴1≤＜2，∴3≤a＜8．∵关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，∴Δ＝62﹣4（a﹣5）×（﹣9）≥0且a﹣5≠0，解得a≥4且a≠5，∴4≤a＜8∴a的取值为4，6，7，∴所有整数a的和为4+6+7＝17．故选：D．3．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，∴1+t＝﹣，解得，t＝﹣；故选：D．4．解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0 的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，∴2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017，故选：C．5．解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，∴m2+3m﹣1＝0，∴m2＝﹣3m+1，∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，∴m+n＝﹣3，∴m2﹣m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．故选：A．6．解：∵a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，∴a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，∴a2＝5a+1，∴2a2+3ab+8b﹣2a＝2（5a+1）+3ab+8b﹣2a＝8（a+b）+3ab+2＝40﹣3+2＝39，故选：A．7．解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，∴a2+a＝2021，∴a2+ab+2a+b＝（a2+a）+ab+（a+b）＝2021﹣2021﹣1＝﹣1．故选：C．8．解：∵方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣1）2﹣2×1（﹣3）＝7．故选：A．9．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，∵x2＝2x1，∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，∴a+b•（﹣）+c＝0，∴﹣+c＝0，∴9ac＝2b2，∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，∵﹣2＜0，∴4b﹣9ac的最大值是2，故选：D．10．解：设方程的两个是a，b，∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，∴a+b＝﹣＝0，解得：k＝±2，当k＝2时，方程为x2+1＝0，Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，∵不论x为何值，x2不能为﹣1，∴此方程无解）即k＝2舍去；当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，解得：x＝，此时符合题意，即k＝﹣2符合题意，故选：C．11．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣2，所以＝＝＝＝﹣．故答案为﹣．12．解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故答案为：x2﹣3x+2＝0．13．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+16＝20，∴+2x1x2+＝+2x1x2＝﹣16＝﹣，故答案为：﹣．14．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，∴﹣＝2+3＝5，＝2×3＝6，∴﹣＝，＝，而+＝＝﹣，＝＝，∴一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个实数根为x3＝，x4＝，故答案为，．15．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝12m+1≥0，解得：m≤．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，∵x12+x22＝8﹣3x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），∴实数m的值为﹣．16．（1）证明：∵m≠0，Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0，∴方程两根的和为﹣，∵方程两根互为相反数，∴﹣＝0，∴m﹣2＝0，∴m＝2．17．解：（1）x2+x＝0．这里a＝1，b＝1，c＝0，∵，∴x2+x＝0是邻根方程．（2）4x2+16x+15＝0．这里a＝4，b＝16，c＝15，∵，∴4x2+16x+15＝0是邻根方程．18．解：（1）方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0的解为x1＝，x2＝﹣，∵≠2﹣≠﹣4﹣（﹣），∴该方程（2x﹣）（﹣4x+）＝0不是二次“差解方程”；（2）有题意得方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn+n）＝0的解为：，，∵该方程为二次“差解方程”，∴，，整理可得：mn+m＝，mn﹣n＝，m+n＝，又∵一元二次方程m（y﹣1）+n（y﹣m）＝，即（mn﹣n）2y2﹣4（m+n）y+4（mn+m）＝0，∴代入可得，解得：，．。
冀教版-数学-九年级上册-24.3 一元二次方程根与系数的关系 练习
一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.若x1、x2是一元二次方程x2+2x ﹣3=0的二个根，则x1•x2的值是（ ）A ． 2B ．﹣2C ． 3D ．﹣32.已知一元二次方程x2﹣6x+C=0有一个根为2，则另一根为（ ）A ． 2B ． 3C ．4D ． 83.已知方程x2﹣2x ﹣1=0，则此方程（ ）A ． 无实数根B ． 两根之和为﹣2C ． 两根之积为﹣1D ． 有一根为﹣1+4.若关于x 的一元二次方程的两个根分别为1和2，则这个方程是（ ）A .0232=-+x x B.0232=++x x C. 0322=+-x x D. 022=+-x x5.已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（ ）A ． 4B ． 3C ．﹣4 D. ﹣3二填空题6、一元二次方程x2+x ﹣2=0的两根之积是 ．7、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是.8、若关于x 的一元二次方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 ．9、若x1=﹣1是关于x 的方程x2+mx ﹣5=0的一个根，则方程的另一个根x2= ．三、解答题10.关于x 的方程x2﹣（2m ﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，求m 的值.11.已知关于x 的一元二次方程x2﹣x ﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求（α+3）（β+3）的值.参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.D5.A二填空题6、﹣27、-188、﹣29、5三、解答题10解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，解得：m1=0，m2=2（不合题意，舍去）11解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3，∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9.。
2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系(含答案)
拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 基础闯关全练1．关于x 的方程2x ²+mx+n=0的两个根是-2和1，则n ᵐ的值为 ( )A ．-8B ．8C ．16D ．-162．一元二次方程2x ²-mx +2=0有一根是x=1，则另一根是 ( )A.x=1B.x= -1C.x=2D.x=4能力提升全练1．若α，β是一元二次方程3x ²+2x -9=0的两根，则的值是 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知x ₁，x ₂是方程2x ²-3x-1=0的两根，则____．3．已知关于x 的一元二次方程x ²-3x+m=0有两个不相等的实数根x ₁、x ₂．(1)求m 的取值范围；(2)当x ₁=1时，求另一个根x ₂的值．三年模拟全练一、选择题1．（2019河北石家庄新世纪外国语学校月考，4，★☆☆）若关于x 的方程x ²+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为( )A ．-3B ．2C ．4D ．-42．（2019河北唐山乐亭期中，6，★☆☆）若矩形的长和宽是方程x ²-7x+12=0的两根，则矩形对角线的长度为 ( )A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题3．（2019河北衡水武邑中学月考，13，★☆☆）已知x ₁、x ₂是关于x 的方程x ²+ax -2b=0的两个实数根，且x ₁+x ₂=-2，x ₁·x ₂=1，则的值是_________．4．（2018河北保定定州期中，22，★☆☆）已知关于x 的方程 x ²+2x+a-2=0．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．五年中考全练一、选择题1．（2018广西贵港中考，6，★☆☆）已知α，β是一元二次方程x ²+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是 ( )A ．3B ．1 C.-1 D ．-3二、填空题2．（2018江苏南京中考，12，★☆☆）设x ₁，x ₂是一元二次方程x ²-mx-6=0的两个根，且x ₁+x ₂=1，则x ₁=____，x ₂=____.三、解答题3．（2017湖北黄冈中考，17，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x ²+( 2k+1)x+k ² =0①有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x ₁，x ₂，当k=1时，求2221x x 的值4．（2014四川南充中考，20，★★☆）已知关于x 的一元二次方程x ²-x+m=0有两个不相等的实数根．(1)求实数m 的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x₁，x₂，求代数式的值.核心素养全练1．已知a为正整数，a=b-2 005，若关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是多少？（温馨提示：先设方程的两根为x₁，x₂，然后……）2．（2017湖北孝感模拟）已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．(1)求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．24.3 一元二次方程根与系数的关系基础闯关全练1.C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2，n=-4，故nᵐ=（-4）²=16，故选C．2．A设一元二次方程2x²-mx+2=0的一个根x₁=1，另一个根为x₂，则x₁x₂==1，解得x₂=1．故选A．能力提升全练1．C由一元二次方程根与系数的关系，得，∴.故选C．2．答案解析∵x₁，x₂是方程2x²-3x-1=0的两根，∴x₁+x₂=，x₁x₂=，∴，故答案为．3．解析(1) ∵原方程有两个不相等的实数根，∴（-3）²-4m＞0，解得m＜(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=3，∵x₁=1，∴x₂=2．三年模拟全练一、选择题1．D设x²+3x+a=0的另一个根为x’，由一元二次方程根与系数的关系得1+x'= -3，解得x’=-4，故选D．2．A设矩形的长和宽分别为a、b，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=7，ab =12，所以矩形对角线的长度为．故选A．二、填空题3．答案解析∵x₁，x₂是关于x的方程x²+ax-2b=0的两个实数根，∴x₁+x₂= -a= -2，x₁·x₂=-2b=1,解得a=2，b=，∴.故答案为．三、解答题4.解析(1)依题意得原方程的根的判别式△=2²-4（a-2）＞0，解得a＜3.(2)依题意得1+2+a-2=0，解得a=-1．故原方程为x²+2x-3=0．设方程的另一个根为m，则m+1=-2．∴m=-3．∴a=-1,方程的另一根为-3．五年中考全练一、选择题1.B ∵α，β是方程x²+x-2=0的两个实数根，∴α+β= -1，αβ=-2，∴α+β-αβ= - 1+2=1，故选B．二、填空题2．答案-2;3解析∵x₁、x₂是一元二次方程x²-mx-6=0的两个根，且x₁+x₂=1，∴m=1．∴原方程为x²-x-6=0，即(x+2)（x-3）=0，解得x₁= -2，x₂=3．故答案为-2;3．三、解答题3．解析(1)∵方程①有两个不相等的实数根，∴△=(2k+1)²-4k²=4k+1＞0,解得k＞．∴k的取值范围是k＞．(2)当k=1时，方程①为x²+3x+1=0．由根与系数的关系可得，∴.4．解析(1)由题意，得b²-4ac＞0，即，解得m＜2，∴m的最大整数值为1．(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x²-x+m=0得x²-x+1=0．根据根与系数的关系得，∴.核心素养全练1．解析设方程的两根分别为x₁，x₂，则，∵x₁，x₂中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x₁≤x₂，则由上式，得x₁·x₂-(x₁+x₂)= b-a=2 005，∴（x₁-1）（x₂-1）=2 006= 2×17×59，∴x₁-1=2，x₂-1=17×59；x₁-1=2×17，x₂-1= 59；x₁-1= 17，x₂-1= 2×59，∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1= 95，即a的最小值是95．2．解析(1)∵一元二次方程（a-6）x²+2ax +a=0有两个实数根，∴( 2a) ²-4（a-6）a≥0且a-6≠0，解得a≥0且a≠6．故a的取值范围为a≥0且a≠6．(2)存在,∵x₁、x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．∴由根与系数的关系得，由-x₁+x₁x₂= 4+x₂，得x₁x₂ =4+x₁+x₂，∴，解得a=24．经检验，a= 24是原方程的解，且当a= 24时，原方程中△＞0.∴存在实数a，使-x₁+x₁x₂= 4+x₂成立，此时a= 24．。
冀教版九年级数学上册《24.1 一元二次方程》同步练习题(附答案)
冀教版九年级数学上册《24.1 一元二次方程》同步练习题(附答案）一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是( )A.1x2－1x=0 B.xy＋x2=9 C.7x＋6=x2 D.(x－3)(x－5)=x2－4x2.已知关于的方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)x2﹣4x=8+x2；(3)1+(x﹣1)(x+1)=0；(4)(k2+1)x2 + kx + 1= 0. 一元二次方程的个数为( )个A.1B.2C.3D.43.一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.2，1，3B.2，1，﹣3C.2，﹣1，3D.2，﹣1，﹣34.将方程3x2﹣x＝﹣2(x＋1)2化成一般形式后，一次项系数为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.35.下列一元二次方程中，常数项为0的是( )A.x2＋x=1B.2x2－x－12=0C.2(x2－1)=3(x－1)D.2(x2＋1)=x＋26.已知0和﹣1都是某个方程的解，此方程是( )A.x2﹣1＝0B.x(x＋1)＝0C.x2﹣x＝0D.x2＝x＋17.已知x＝2是一元二次方程(m﹣2)x2＋4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为( )A.2B.0或2C.0或4D.08.若x2＋4x﹣4＝0，则3(x﹣2)2﹣6(x＋1)(x﹣1)的值为( )A.﹣6B.6C.18D.309.已知x＝﹣1是关于x的方程2x2＋ax﹣a2＝0的一个根，则a为( )A.1B.﹣2C.1或﹣2D.210.关于x的方程ax2＋bx＋c＝3的解与(x﹣1)(x﹣4)＝0的解相同，则a＋b＋c的值为( )A.2B.3C.1D.4二、填空题11.一元二次方程4x2＋3x﹣1＝0的二次项系数是.12.关于x的方程(m﹣1)x2＋(m＋1)x＋3m﹣1＝0，当m________ 时，是一元一次方程；当m ________时，是一元二次方程.13.若(m+1)x m(m+2)﹣1+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则x的值是________.14.把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .15.若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋3x＋m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为＝.16.若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m＋2021的值为.三、解答题17.若(m+1)x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值.18.把方程(3x+2)(x﹣3)=2x﹣6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.19.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式.(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了15场比赛，求参赛的篮球队支数x.20.根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了870张，求九(四)班有多少名同学.21.已知x＝1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根.求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式.22.若x2a＋b－2x a－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．答案1.C.2.B3.D4.D5.D6.B.7.C.8.B9.C.10.B.11.答案为：4.12.答案为：＝1，≠1.13.答案为：﹣3或114.答案为：x 2+2x ﹣1=0，1，2，﹣115.答案为：2.16.答案为：2024.17.解：因为是关于x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项 则(m+1)x |m|+1一定是此二次项. 所以得到，解得m=1.18.解：(3x+2)(x ﹣3)=2x ﹣6,3x 2﹣9x+2x ﹣6=2x ﹣6,3x 2﹣9x=0,所以它的二次项系数是3,一次项系数是﹣9,常数项是0.19.解：(1)6x 2=36.一般形式为6x 2－36=0.(2)12x(x －1)=15.一般形式为12x 2－12x －15=0或x 2－x －30=0. 20.解：设九(四)班有x 名同学，根据题意，得x(x －1)=870.将方程化成一般形式为x 2－x －870=0.21.解：∵x＝1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根∴m+1﹣m2﹣2m﹣1＝0∴m2+m＝0，解得m＝0或﹣1∵m+1≠0∴m≠﹣1∴m＝0∴此时的一元二次方程的一般形式是：x2﹣1＝0.22.解：分五种情况讨论：不合题意，舍去．不合题意，舍去．不合题意，舍去．∴整数a，b的值为。
冀教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》同步测试(含答案)
24.3一元二次方程根与系数的关系班级： 姓名： 成绩：一、单选题1．一元二次方程两根之和为6，两根之差为8，那么这个方程为（ ）A ．2670x x --=B ．2670x x -+=C ．2670x x +-=D ．2670x x ++= 2．已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ） A ．﹣3 B ．1 C ．3 D ．﹣13．已知a,b 是一元二次方程2320x x -+=的两根，则a 2b +ab 2的值是（ ）A ．-1B ．-6C ．5D ．64．最新x 的一元二次方程ax 2﹣2x+1=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣25．最新x 的一元二次方程kx 2+4x ﹣2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥﹣2B ．k ＞﹣2且k≠0C ．k≥﹣2且k≠0D ．k≤﹣26．已知一元二次方程x 2+bx+c=0的两根分别为2和3，则b,c 的值分别为（ ）A ．5，6B ．-5，-6C ．5，-6D ．-5，67．下列k 的值中,使方程x 2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根9．最新x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（ ）A ．﹣1B ．±2C ．2D ．﹣210．己知实数m ，n 满足23670m m +-=，23670n n +-=，且m n ≠，则=+nm 11（ ） A ．67 B ．-3C ．3D ．7 11．已知1x 、2x 是最新x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或112．若1x ，2x 是方程2220120x x --=的两个实根，则代数式2112122x x x x +⋅-的值为（ ）A ．0B ．-2021C ．2021D ．402413．已知一元二次方程x 2﹣2021x+10092=0的两个根为α，β，则求得α2β+αβ2=（ ）A ．10093B ．2×10093 C ．﹣2×10093 D ．3×10093 14．设20x px q -+=的两实根为α，β，而以2α，2β为根的一元二次方程仍是20x px q -+=，则数对(),p q 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．015．最新x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，最新y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤，其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题16．若方程230x x a --=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是________．17．最新x 的方程()2210mx m x m -++=有两个实根，则实数m 的取值范围是________． 18．设m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则23m m n ++=________． 19．已知α、β是最新x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=的两个不相等的实数根，且满足1αββα+=-，则m 的值是________． 20．方程2310x x ++=的两个根为α、βαββα________． 21．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若最新x 的方程()1**4x a x =-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是________．22．若最新x 的一元二次方程2kx 4x 30--=有两个不相等的实数根，则非正整数k 的值是______．三、解答题23．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，由求根公式x 1，224b b c a -±-可推出x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程x 2﹣5x+3=0的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：（1）α+β=，α•β=；（2）11αβ+；（3）2α2﹣3αβ+10β．24．已知最新x 的一元二次方程x 2﹣4x+2k ﹣1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1﹣x 2=2，求k 的值．25．已知最新x 的方程222(3)410.x k x k k --+--=（1）若这个方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足2212127x x x x +=+,求实数k 的值.26．如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知最新x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b +的值；（3）已知a 、b 、c 均为实数，且0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．27．已知：最新x 的方程()22245x m x m m ++++=0没有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若最新x 的一元二次方程()2230mx n x m +-+-=有实数根，求证：该方程两根的符号相同； （3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若:1:2αβ=，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案1-5.ADDAC6-10.DAADA11-15.ABBBD 16.94a >-17.m≥-14且m≠0 18.319.无实数值20.321.0a >或1a <-22.-123.（1）5；3；（2）53；（3）35． 24.（1）k<52;(2)2 25.（1）k≤5；（2）4.26.（1） ()2100nx mx n ++=≠； ()2 15；（3）正数c 的最小值为4． 27.解:（1）∵最新x 的方程()22245x m x m m ++++没有实数根， ∴()22(24)4150m m m =+-⨯⨯+<，∴4m >，∴m 的取值范围是4m >；（2）由于方程()2230mx n x m +-+-=有两个实数根可知0m ≠， 当4m >时，30m m->，即方程的两根之积为正， 故方程的两根符号相同．（3）由已知得：0m ≠，2n m αβ-+=-，3m m αβ-⋅=． ∵:1:2αβ=， ∴23n m α-=-，232m a m-=． 22(2)392n m m m--=，即()29(2)32n m m -=-． ∵4m >，且n 为整数， ∴m 为整数； 当6m =时，29(2)63812n -=⨯⨯=． ∴m 的最小值为6．。
冀教版数学九年级上《解一元二次方程》同步测试(含答案)
冀教版数学九年级上《解一元二次方程》同步测试（含答案）时间：100分钟总分:1001.一元二次方程3x2−4x+1=0的根的状况为()A. 没有实数根B. 只要一个实数根C. 两个相等的实数根D. 两个不相等的实数根2.假设关于x的方程(m+1)x2+2x−1=0有实数根，那么m的取值范围是()A. m≤−2B. m≥−2且m≠−1C. m≤−2且m≠−1D. m≥−23.给出一种运算：关于函数y=x n，规则y′=nx n−1.例如：假定函数y=x4，那么有y′=4x3.函数y=x3，那么方程y′=12的解是()A. x1=4，x2=−4B. x1=2，x2=−2C. x1=x2=0D. x1=2√3，x2=−2√34.把一元二次方程x2−4x+1=0，配成(x+p)2=q的方式，那么p、q的值是()A. p=−2，q=5B. p=−2，q=3C. p=2，q=5D. p=2，q=35.以下方程中，没有实数根的是()A. x2−2x=0B. x2−2x−1=0C. x2−2x+1=0D. x2−2x+2=06.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A. k>−1B. k>1C. k≠0D. k>−1且k≠07.假定关于x的方程x2+bx+1=0有两个不相等的实数根，那么b的值可以是()A. 0B. 1C. 2D. 38.关于x的一元二次方程x2+ax−1=0的根的状况是()A. 没有实数根B. 只要一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9.a、b、c为常数，点P(a,c)在第二象限，那么关于x的方程ax2+bx+c=0根的状况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判别10.假定m、n(m<n)是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a<b，那么a、b、m、n的大小关系是()A. m<a<b<nB. a<m<n<bC. a<m<b<nD. m<a<n<b二、填空题〔本大题共10小题，共30.0分〕11.假定关于x的一元二次方程(k−1)x2−4x−5=0没有实数根，那么k的取值范围是______．12.关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是______．13.x2+6x=−1可以配成(x+p)2=q的方式，那么q=______．14.假定a为方程(x−√17)2=100的一根，b为方程(y−4)2=17的一根，且a、b都是正数，那么a−b=______ ．15.关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2=0有实根，那么m的最大整数解是______．16.某三角形的边长都满足方程x2−5x+6=0，那么此三角形的周长是______ ．17.在△ABC中BC=2，AB=2√3，AC=b，且关于x的方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，那么AC边上的中线长为______．18.假设关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为______ ．19.假定关于x的一元二次方程kx2−4x−3=0有两个不相等的实数根，那么非正整数k的值是______．20.关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有实数根，那么k的取值范围是______．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕21.关于x的一元二次方程：(m−1)x2+2mx+m+3=0有实数根，求m的取值范围．22.假定a2+2a+b2−6b+10=0，求a2−b2的值．23.关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)假设方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．24.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围；写出一个满足条件的m的值，并求此方程的根．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕25.：关于x的一元二次方程kx2−(k−1)x−1=0(1)求证：方程有两个实数根；(2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；(3)我们定义：假定一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1、x2(x1>x2)，<3，那么称这个一元二次方程有两个〝梦想根〞.假设关于x的一元二满足2<x1x2次方程kx2−(k−1)x−1=0有两个〝梦想根〞，求k的范围．26.关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2+2=0．(1)假定方程有实数根，务实数m的取值范围；(2)假定方程的两个根区分为x1、x2，且满足x12+x22=31+x1x2，务实数m的值．答案和解析【答案】 1. D 2. D 3. B4. B5. D6. D7. D8. D 9. B10. A11. k <1512. k ≤5且k ≠1 13. 8 14. 615. m =416. 6或7或8或9 17. 218. −1或2 19. −1 20. k ≥−421. 解：依据题意得m −1≠0且△=4m 2−4(m −1)⋅(m +3)≥0，解得m ≤32且m ≠1．22. 解：∵a 2+2a +b 2−6b +10=0，∴(a 2+2a +1)+(b 2−6b +9)=0， 即(a +1)2+(b −3)2=0， ∴a =−1，b =3．∴a 2−b 2=(−1)2−32=−8．23. 解：(1)由题意可知：△=(2m −2)2−4(m 2−2m) =4>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x 1+x 2=2m −2，x 1x 2=m 2−2m ， ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=10， ∴(2m −2)2−2(m 2−2m)=10， ∴m 2−2m −3=0， ∴m =−1或m =324. 解：△=(2m +1)2−4(m 2−1)>0， 解得m >−54，事先m =1，方程为x2+3x =0， 解得x 1=0，x 2=−3．25. 解：(1)关于x 的一元二次方程kx 2−(k −1)x −1=0， a =k ，b =−(k −1)，c =−1，△=b 2−4ac =[−(k −1)]2−4k(−1)=k 2+2k +1=(k +1)2≥0， 关于x 的一元二次方程kx 2−(k −1)x −1=0有两个实数根； (2)关于x 的一元二次方程kx 2−(k −1)x −1=0， x 1=k−1+|k+1|2k，x 2=k−1−|k+1|2k，方程的两个实数根互为相反数，得 x 1+x 2=k−1+|k+1|2k+k−1−|k+1|2k=0，即2(k−1)2k=0，解得k=1，事先k=1，此方程的两个实数根互为相反数；(3)事先k>0，x1=1，x2=−1k<0，不契合题意；事先−1≤k<0，x1=−1k ，x2=1，2<x1x2<3，得{−1k>2−1k<3，解得−12<k<−13；事先k<−1，x1=−1k ，x2=1，由2<x1x2<3，得2<−k<3，解得−3<k<−2不契合题意舍去，综上所述：于x的一元二次方程kx2−(k−1)x−1=0有两个〝梦想根〞，k的范围是：−12<k<−13或−3<k<−2．26. 解：(1)∵方程x2−(2m+3)x+m2+2=0有实数根，∴△=[−(2m+3)]2−4(m2+2)=12m+1≥0，解得：m≥−112．(2)∵方程x2−(2m+3)x+m2+2=0的两个根区分为x1、x2，∴x1+x2=2m+3，x1⋅x2=m2+2，∵x12+x22=31+x1x2，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=31+x1x2，即m2+12m−28=0，解得：m1=2，m2=−14(舍去)，∴实数m的值为2．【解析】1. 解：∵△=(−4)2−4×3×1=4>0∴方程有两个不相等的实数根．应选：D．先计算判别式的意义，然后依据判别式的意义判别根的状况．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．2. 解：当m+1=0，即m=−1时，2x−1=0，解得：x=12，∴m=−1契合题意；当m+1≠0，即m≠−1，∵关于x的方程(m+1)x2+2x−1=0有实数根，∴△=22−4×(m+1)×(−1)=4m+8≥0，解得：m≥−2且m≠−1．综上所述：m的取值范围是m≥−2．应选D．分m+1=0和m+1≠0两种状况思索，事先m+1=0，可求出x的值；事先m+1≠0，由方程有解结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围.综上即可得出结论．此题考察了根的判别式，分方程为一元一次方程及一元二次方程思索是解题的关键．3. 解：由函数y=x3得n=3，那么y′=3x2，∴3x2=12，x2=4，x=±2，x1=2，x2=−2，应选B．首先依据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．此题考察了应用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的方式考察了先生的阅读了解才干；留意：①二次项系数要化为1，②依据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．4. 解：∵x2−4x=−1，∴x2−4x+4=−1+4，即(x−2)2=3，那么p=−2，q=3，应选：B．移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．此题主要考察解一元二次方程的才干，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择适宜、简便的方法是解题的关键．5. 解：A、△=(−2)2−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=(−2)2−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、△=(−2)2−4×1×2=−4<0，方程没有实数根，所以D选项正确．应选：D．区分计算各方程的根的判别式的值，然后依据判别式的意义判定方程根的状况即可．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．6. 解：由题意知k≠0，△=4+4k>0解得k>−1且k≠0．应选D．方程有两个不相等的实数根，那么△>0，由此树立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．总结：1、一元二次方程根的状况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．7. 【剖析】此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的两个实数根；事先△=0，方程有两个相等的两个实数根；事先△<0，方程无实数根.依据判别式的意义失掉b2>4，然后对各选项停止判别．【解答】解：依据题意得b 2−4×1>0，那么b 2>4， 所以b 可以取3，不能取0、1、2． 应选D ．8. 解：∵△=a 2+4>0，∴，方程有两个不相等的两个实数根． 应选：D ．先计算判别式的值，然后非正数的性质和判别式的意义判别方程根的状况．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的两个实数根；事先△=0，方程有两个相等的两个实数根；事先△<0，方程无实数根． 9. 解：∵点P(a,c)在第二象限， ∴a <0，c >0， ∴ac <0，∴△=b 2−4ac >0，∴方程有两个不相等的实数根． 应选：B ．先应用第二象限点的坐标特征失掉ac <0，那么判别△>0，然后依据判别式的意义判别方程根的状况．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．10. 解：方程可以化简为x 2−(a +b)x +ab −1=0， 依据求根公式失掉：x =(a+b)±√(a−b)2+42，又因m =(a+b)−√(a−b)2+42<a ，n =(a+b)+√(a−b)2+42>b ，∵a =(a+b)−√(a−b)22，b =(a+b)+√(a−b)22∵a <b ， ∴a <a+b 2<b ，又∵(a+b)−√(a−b)2+42<(a+b)−√(a−b)22<a+b 2<(a+b)+√(a−b)22<(a+b)+√(a−b)2+42，∴m <a <b <n ． 故此题选A ．11. 解：∵关于x 的一元二次方程(k −1)x 2−4x −5=0没有实数根， ∴{△=(−4)2−4×(−5)(k −1)<0k−1≠0， 解得：k <15． 故答案为：k <15．依据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．此题考察了一元二次方程的定义以及根的判别式，依据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．12. 解：由题意知，k≠1，△=b2−4ac=16−4(k−1)=20−4k≥0，解得：k≤5，那么k的取值范围是k≤5且k≠1；故答案为：k≤5且k≠1．依据方程有两个实数根，得出△≥0且k−1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．此题考察了根的判别式，(1)一元二次方程根的状况与判别式△的关系：①△>0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△<0⇔方程没有实数根.(2)一元二次方程的二次项系数不为0．13. 解：x2+6x+9=8，(x+3)2=8．所以q=8．故答案为8．把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的方式，从而失掉q的值．此题考察了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的方式，再应用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．14. 解：∵a为方程(x−√17)2=100的一根，b为方程(y−4)2=17的一根，∴(a−√17)2=100，(b−4)2=17，∴a=±10+√17，b=±√17+4，∵a>0，b>0，∴a=10+√17，b=√17+4，∴a−b=10+√17−√17−4=6，故答案为6．先依据题意，应用直接开平方法和a、b都是正数，求出a，b的值，代入计算即可．此题考察了一元二次方程的解法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2= a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0)．15. 解：∵关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2=0有实根，∴△=4−8(m−5)>0，且m−5≠0，解得m<5.5，且m≠5，那么m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．假定一元二次方程有实根，那么根的判别式△=b2−4ac≥0，树立关于m的不等式，求出m的取值范围.还要留意二次项系数不为0．考察了根的判别式，总结：一元二次方程根的状况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．16. 解：∵x2−5x+6=0，∴x1=2，x2=3，∵三角形的边长都满足方程x2−5x+6=0，∴三角形的三边长可以为①2、2、3，∴周长为2+2+3=7；②2、3、3，∴周长为2+3+3=8；③2、2、2，∴周长为2+2+2=6；④3、3、3，∴周长为3+3+3=9．此三角形的周长是6或7或8或9．首先解方程x2−5x+6=0求出方程的解，然后结合三角形三边的关系就可以求出三角形的周长．此题首先解一元二次方程，然后依据求出的方程的解结合三角形的三边关系求出三角形的周长．17. 解：∵关于x的方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16−4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=2√3，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，AC=2；∴AC边上的中线长=12故答案为：2．由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．此题考察了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC 是直角三角形是处置效果的关键．18. 解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2−4(a+2)=0，解得a=−1或2．故答案为：−1或2．依据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．此题考察的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键．19. 解：依据题意知△=(−4)2−4×k×(−3)>0，且k≠0，且k≠0，解得：k>−43那么非正整数k的值是−1，故答案为：−1．依据判别式的意义及一元二次方程的定义失掉△=(−4)2−4×k×(−3)>0，且k≠0，然后解不等式即可求得k的范围，从而得出答案．此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．20. 解：∵关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有实数根，∴△=42−4×1×(−k)=16+4k≥0，解得：k≥−4．故答案为：k≥−4．依据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．此题考察了根的判别式，牢记〝事先△≥0，方程有实数根〞是解题的关键．21. 此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.也考察了一元二次方程的定义.依据一元二次方程的定义和判别式的意义失掉m−1≠0且△=4m2−4(m−1)⋅(m+3)≥0，然后求出两个不等式的公共局部即可．22. 应用完全平方公式和非正数的性质求得a、b的值，然后代入求值．考察了完全平方公式的运用和非正数的性质．23. 依据根与系数的关系即可求出答案．此题考察根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，此题属于中等题型．24. 依据判别式的意义失掉(2m+1)2−4(m2−1)>0，然后解不等式失掉m的范围，然后取一个满足条件的m的值代入方程，再解方程即可．此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：事先△>0，方程有两个不相等的实数根；事先△=0，方程有两个相等的实数根；事先△<0，方程无实数根．25. (1)依据方程的判别式，可得答案；(2)依据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，依据解方程，可得答案；(3)依据方程的梦想根，可得不等式组，依据解不等式组，可得答案．此题考察了根的判别式，应用了根的判别式，一元二次方程根的公式，解不等式组．26. (1)依据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；(2)应用根与系数的关系可得出x1+x2=2m+3、x1⋅x2=m2+2，结合x12+x22=31+ x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．此题考察了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．。
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24.3 一元二次方程根与系数的关系
班级： 姓名： 成绩：
一、单选题
1．一元二次方程两根之和为6，两根之差为8，那么这个方程为（ ）
A ．2670x x --=
B ．2670x x -+=
C ．2670x x +-=
D ．2670x x ++=
2．已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ）
A ．﹣3
B ．1
C ．3
D ．﹣1
3．已知a,b 是一元二次方程2320x x -+=的两根，则a 2b +ab 2的值是（ ）
A ．-1
B ．-6
C ．5
D ．6
4．关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+1=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
5．关于x 的一元二次方程kx 2+4x ﹣2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k≥﹣2
B ．k ＞﹣2且k≠0
C ．k≥﹣2且k≠0
D ．k≤﹣2
6．已知一元二次方程x 2+bx+c=0的两根分别为2和3，则b,c 的值分别为（ ）
A ．5，6
B ．-5，-6
C ．5，-6
D ．-5，6
7．下列k 的值中,使方程x 2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．两个根都是自然数
D ．无实数根
9．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（ ）
A ．﹣1
B ．±2
C ．2
D ．﹣2
10．己知实数m ，n 满足23670m m +-=，23670n n +-=，且m n ≠，则=+n
m 11（ ） A ．6
7 B ．-3
C ．3
D ．7 11．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足
12
111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1
12．若1x ，2x 是方程2220120x x --=的两个实根，则代数式2112122x x x x +⋅-的值为（ ）
A ．0
B ．-2012
C ．2012
D ．4024
13．已知一元二次方程x 2﹣2018x+10092=0的两个根为α，β，则求得α2β+αβ2=（ ）
A ．10093
B ．2×
10093 C ．﹣2×10093 D ．3×10093 14．设20x px q -+=的两实根为α，β，而以2α，2β为根的一元二次方程仍是20x px q -+=，则数对(),p q 的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．0
15．关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤，其中正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
16．若方程230x x a --=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是________．
17．关于x 的方程()2210mx m x m -++=有两个实根，则实数m 的取值范围是________． 18．设m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则23m m n ++=________．
19．已知α、β是关于x 的一元二次方程()22
230x m x m +-+=的两个不相等的实数根，且满足1αββα
+=-，则m 的值是________． 20．方程2310x x ++=的两个根为α、β
________． 21．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若关于x 的方程()1**4x a x =-
有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是________．
22．若关于x 的一元二次方程2kx 4x 30--=有两个不相等的实数根，则非正整数k 的值是______．
三、解答题
23．设一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，由求根公式x 1，2可推出x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a
，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程x 2﹣5x+3=0的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）α+β= ，α•β= ；
（2）1
1
αβ+；
（3）2α2﹣3αβ+10β．
24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+2k ﹣1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1﹣x 2=2，求k 的值．
25．已知关于x 的方程222(3)410.x k x k k --+--=
（1）若这个方程有实数根，求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足2212127x x x x +=+,求实数k 的值.
26．如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程()2
00x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b +的值；
（3）已知a 、b 、c 均为实数，且0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．
27．已知：关于x 的方程()22
245x m x m m ++++=0没有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若关于x 的一元二次方程()2
230mx n x m +-+-=有实数根，求证：该方程两根的符号相同； （3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若:1:2αβ=，且n 为整数，求m 的最小整数值．
参考答案
1-5.ADDAC
6-10.DAADA
11-15.ABBBD 16.9
4a >-
17.m≥-1
4且m≠0
18.3
19.无实数值
20.3
21.0a >或1a <-
22.-1
23.（1）5；3；（2）5
3；（3）35．
24.（1）k<5
2 ;(2)2
25.（1）k≤5；（2）4.
26.（1） ()2100nx mx n ++=≠； ()2 15；（3）正数c 的最小值为4．
27.解:（1）∵关于x 的方程()22245x m x m m ++++没有实数根， ∴()22(24)4150m m m =+-⨯⨯+<，
∴4m >，
∴m 的取值范围是4m >；
（2）由于方程()2230mx n x m +-+-=有两个实数根可知0m ≠， 当4m >时，3
0m m ->，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
（3）由已知得：0m ≠，2n m αβ-+=-，3m m αβ-⋅=．
∵:1:2αβ=， ∴23n m α-=-，23
2m a m -=．
22(2)392n m m m --=，即()29
(2)32n m m -=-．
∵4m >，且n 为整数， ∴m 为整数；
当6m =时，29
(2)63812n -=⨯⨯=．
∴m 的最小值为6．。