(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
一元二次方程的根与系数的关系(练习)
一元二次方程的根与系数的关系同步练习1.设x1,x2是方程3x2−2x−4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①1x1+1x2；②x2x1+x1x2；③(x1−x2)2.2. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x2−3x−2=0的两根的平方.3. 已知一元二次方程3x2+mx+n=0的两根分别是m,n，求m,n的值.4．已知方程4x2−12x+c=0的两根之比为3:2，求c的值.5. 已知关于x的方程2x2−(4m−3)x+m2−2=0，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1.6.已知x1,x2是关于x方程x2+2x+m2=0的两个实根，且x12−x22=2，求m的值.k(k+4)=0的两个实7. 已知x1,x2是关于x的方程x2−kx+14.根，k取什么值时，(x1−2)(x2−2)=9148. 当k为何值时，一元二次方程2(k−3)x2+4kx+3k+6=0的两实根的绝对值相等，求出与k值相应的实数根.9. 已知关于x的方程x2−kx+k−2=0有两个正实根，求k的取值范围.10．若矩形的长和宽是方程5x2−12x+30=0的两根，求矩形的周长和面积.11．若方程2x2+ax−8=0的两根的绝对值相等，求a的值及这个方程的根.12．已知方程x2−2ax+a=4（1）求证方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？参考答案1.①−12；②−73；③5292. 36x2−33x+4=03.m=0,n=0或m=13,n=−494．c=21655. ①34；②±2；③±√2；④1或3.6. ±√327. －38. k=6时，x1=x2=−2，k=−3时，x1=1,x2=−19. k>2（提示：需∆≥0，两根和大于0，两根积也大于0）.10．周长245，面积6.11．x1=x2=−12;a=012．（1）∆=4(a−12)2+15>0（2）a>4（3）a<0,x=±2（4）a=4。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题:1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ) (A)有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 (C ）没有实数根 (D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） (A ）15 （B ）12 （C ）6 (D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2，5 x(C)错误!x 2－错误!x+2=0（D ）3x 2－2错误!x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D)y 2－5y －6=05．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ,那么21x x •等于（ ) （A ）2 (B ）－2 （C ） 1 （D)－1 二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根,那么k ＝ .2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 。
3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝ ，21x x ＝ ，221)(x x -＝4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝ 。
5、当m = 时，方程042=++mx x 有两个相等的实数根;6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ,若有一个根为0,则m = ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－错误!，则m = ，这时方程的 两个根为 .7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m = ；8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m = ;9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m = ; 10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ,且2023=+n m ,则k 值为 ; 11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是 12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p= ,q= 13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ；14、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式n m = . 16、已知方程0132=+-x x 的两个根为α，β，则α+β= , αβ= ；17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为 ； 18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为2错误!，则k= 19、若方程03)2(22=--+x a x 的两根是1和－3，则a=20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数,则a= 。
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______． 答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______． 答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______． 答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______． 答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6． 故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______． 答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值． 答案：（1）k ≤3． （2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0， 解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1， 由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4， 代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4， 解得：k 1=-3，k 2=5（舍去）， 经检验，k =-3是原方程的根， 故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值． 答案：（1）证明见解答． （2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1， 解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）k ≤-1． （2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2， 又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值． 答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。
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4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。
○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。
解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。
中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)
中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。
A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。
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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。