根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时)
导学探究
1．一元二次方程的一般形式是_______________.
2. 一元二次方程的求根公式是______________________.
3. 判别式与一元二次方程根的情况：
4. 一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究
1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结：
已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.
练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2
﹣（2k+1）x+k 2
+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1?x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围.
【例2】（2015?丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2
﹣2（m+1）x+m 2
﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？
（2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2
﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结：
1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下：
24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ?-，则
（1）当0?＞时，__________________________________； （2）当=0?时，___________________________________ （3）当0?＜时，原方程____________________________.
【例1】已知关于x 的方程2
120,3
x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有
1212,b c
x x x x a a
+=-?=．这是著名的韦达定理.
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．
练2（2015?广水市模拟）已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2
﹣2x+m+1=0的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围；
（2）如果x 1、x 2满足不等式7+4x 1x 2＞x 12
+x 22
，且m 为负整数，求出m 的值，并解出方程的根．
3．根据一元二次方程求含两根的代数式的值
总结：
在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：
2. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）两实数根x 1，x 2又有如下关系：
1212,b c
x x x x a a
+=-?=，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数. 3. 注意使用1212,b c
x x x x a a
+=-
?=的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0. 【例3】（2015?大庆）已知实数a ，b 是方程x 2
﹣x ﹣1=0的两根，求+的值． 注意1212,b c
x x x x a a
+=-?=
中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混.
练3（2015?合肥校级自主招生）已知：关于x 的方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
夯实基础 一、选择题
1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 －2
B. 2
C. 5
D. 6
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ． 2
A ．5
B ．－5
C ．1
D ．－1 二、填空题
4．（2015?泸州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值为________． 5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab
（1）222
121212(x x )2x x x x +=+- （2）2
2
121212()(x x )4x x x x -=+- （3）
12
1212
11x x x x x x ++= （4）22221121212
121212
(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+== （5）1(x 1)
+21212（x +1）=x x +(x +x )+1 （6）2212121212(x x )(x x )4x x x x -=
-=+-
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求
的值.
2. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是
3.（2013四川泸州）设12,x x 是方程2
330x x +-=的两个实数根，则21
12
x x x x +的值为（ ）
的值是 ．
6.（2015?日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=___________． 三、解答题
7．（2015?梅州）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．
9．（2015?南充）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
10．（2015?华师一附中自主招生）已知m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根
11．（2015?孝感校级模拟）已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a ，使﹣x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由．
12．（2014?广东模拟）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；
（3）求（x 1﹣1）?（x 2﹣1）的最小值．
8. 已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数
m 的值.
（1）求（m+5﹣
）
﹣的值
（2）求+的值．
（2）求证：x 1+x 2=2（k ﹣1），；
13.（2010?黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m 的取值范围．
求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积．
典例探究答案：
所以k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根. 综上，k 的取值范围是 k>-1.
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.
练1．【解析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2k+1，x 1?x 2=k 2+2k ，变形后代入即可得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．
解：∵关于x 的一元二次方程x 2
﹣（2k+1）x+k 2
+2k=0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1+x 2=2k+1，x 1?x 2=k 2
+2k ， ∵x 1?x 2﹣x 12
﹣x 22
≥0成立，
∴x 1?x 2﹣（x 12+x 22）≥0，即x 1?x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1?x 2]≥0， ∴k 2+2k ﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0，
14.（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC 的三边a 、b 、c 满足，m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0．
【例1】分析：先考虑判别式>0，根据题意得2
8
03
k ?=+
>，这说明k 取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，代入
12122()x x x x +>即可求得k 的取值范围.
解：根据题意，得2
2
18
4(2)03
3
k k ?=-??-=+
>， ∵x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，且12122()x x x x +>， ∴236k ?>-，解得k>-1.
点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k 的不等式．
【例2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2
﹣4（m 2
﹣3）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3，代入（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，计算即可求解．
解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0， 解得m ≥﹣2；
（2）当m ≥﹣2时，x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2
﹣3．
则（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣5x 1x 2=[2（m+1）]2﹣5（m 2﹣3）=26， 即m 2﹣8m+7=0，
解得m 1=1＞﹣2，m 2=7＞﹣2， 所以m 1=1，m 2=7．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 练2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0，然后解不等式；
解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0， ∵7+4x 1x 2＞x 12
+x 22
， ∴7+6x 1?x 2＞（x 1+x 2）2
， ∴k ≤﹣或k ≥1. （2）先根据根与系数的关系得x 1+x 2=1，x 1?x 2=，把7+4x 1x 2＞x 12+x 22变形得7+6x 1?x 2＞
（x 1+x 2）2，所以7+6×
＞1，解得m ＞﹣3，于是得到m 的取值范围﹣3＜m ≤﹣，由于
m 为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m 的值分别代入原方程，再解方程． 解得m ≤﹣；
（2）根据题意得x 1+x 2=1，x 1?x 2=，
∴7+6×
＞1，解得m ＞﹣3，
∴﹣3＜m ≤﹣，
∵m 为负整数， ∴m=﹣2或m=﹣1，
当m=﹣1时，方程变形为x 2﹣x=0，解得x 1=1，x 2=0．
点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根， ∴a+b=1，ab=﹣1， 练3．【解析】（1）由方程x 2
+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围； 解：（1）△=4+4k ， ∵方程有两个不等实根， ∴△＞0，即4+4k ＞0 ∴k ＞﹣1
（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2， αβ=﹣k ，
当m=﹣2时，方程变形为2x 2﹣2x ﹣1=0，解得x 1=
，x 2=
；
【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1
，再利用完全平方公式变形得到+
=
=
，然后利用整体代入的方法进行计算．
∴+=
=
=﹣3．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值
计算即可．
点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 夯实基础答案： 一、选择题 1. B 2. B
3.【解析】由已知得x 1+x 2＝－3，x 1×x 2＝－3，则 故选B ．
点评：本题着重考查一元二次方程根
与系数关系的应
用，同时也考查了
代数式变形、求值的方法． 二、填空题
4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．
解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2
﹣5x ﹣1=0的两实数根， ∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，
∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27， 故答案为：27．
点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
5. 【解析】将x=1代入到x 2+ax+b=0中求得a+b 的值，然后求代数式的值即可． 解：∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根， ∴12
+a+b=0， ∴a+b=﹣1，
∴a 2
+b 2
+2ab=（a+b ）2
=（﹣1）2
=1． 故答案为：1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到
∴=，
原式＝21212212)(x x x x x x -+＝3)3(2)3(2--?--＝－5．
待定系数的方程即可求得代数式的值．
6.【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．
解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
故答案为：2026．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
三、解答题
7．【解析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac ＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
则a 的值是﹣1，该方程的
另一根为﹣3． 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△
的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．
8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根.
点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值.
9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可； （2）要是方程有整数解，那么x 1?x 2=4﹣p 2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．
解；（1）原方程可化为x 2
﹣5x+4﹣p 2
=0， ∵△=（﹣5）2
﹣4×（4﹣p 2
）=4p 2
+9＞0，
∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有整数解，
，解得：
，
解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . ∵1x 、2x 是方程的两个根，
∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m ≥2
1-
. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, 由△=0,即8m+4=0,得m=2
1-
. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为2
1
-
.
∴x 1?x 2=4﹣p 2为整数即可， ∴当p=0，±1时，方程有整数解．
点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
10．【解析】（1）首先求出m 和n 的值，进而判断出m 和n 均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值； 解：（1）∵m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根， ∴m ＜n ＜0，
∵m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根， ∴m 2+3m+1=0， ∴原式=0；
（2）∵m ＜0，n ＜0，
∵m+n=﹣3，mn=1， ∴原式=9﹣2=7．
点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的
（2）根据m 和n 小于0化简+
为
（
），然后根据m+n=﹣3，
mn=1整体代值计算．
∴m=
，n=
，
原式=?﹣
=﹣
=﹣6﹣2m ﹣
=
∴
+
=﹣m
﹣n
=
+
=
（
），
关键是能求出m 和n 的判断出m 和n 均小于0，此题难度一般．
解：存在．
∵x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，
∴a ＞0，
∵﹣x 1+x 1x 2=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1， 解得：a=24．
12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k ﹣1）]2﹣4×1×k 2≥0，然后解不等式即可；
（3）利用（2）中的结论得到（x 1﹣1）?（x 2﹣1）=x 1?x 2﹣（x 1+x 2）+1=k 2﹣2（k ﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．
（1）解：依题意得△=[﹣2（k ﹣1）]2
﹣4×1×k 2
≥0， （2）证明：∵△=4﹣8k ， 11．【解析】由x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2
+2ax+a=0的两个实数根，可得x 1+x 2=﹣，
x 1?x 2=
，△=（2a ）2﹣4a （a ﹣6）=24a ＞0，又由﹣x 1+x 1x 2=4+x 2，即可求得a 的值．
∴x 1+x 2=﹣
，x 1?x 2=
，△=（2a ）2﹣4a （a ﹣6）=24a ＞0，
即
=4﹣
，
点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=
，x 1x 2=．
（2）利用求根公式得到x 1=k ﹣1+，x 2=k ﹣1﹣，然后分别计算x 1+x 2，x 1x 2
的值即可；
解得k ≤；
∴x=，
∴x 1=k ﹣1+，x 2=k ﹣1﹣
∴x 1+x 2=k ﹣1++k ﹣1﹣=2（k ﹣1）；
x 1?x 2=（k ﹣1+
）（k ﹣1﹣
）=（k ﹣1）2﹣（
）2=k 2；
（3）解：（x 1﹣1）?（x 2﹣1）=x 1?x 2﹣（x 1+x 2）+1=k 2﹣2（k ﹣1）+1=（k ﹣1）2+2， ∵（k ﹣1）2≥0， ∴（k ﹣1）2
+2≥2，
∴（x 1﹣1）?（x 2﹣1）的最小值为2．
13.【解析】由于方程x 2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m 的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x 1|+|x 2|≤3就又可以得到m 的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m 的取值范围． 解：根据题意可得
△=b 2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0， 解得m ≤﹣1， 而x 1+x 2=2，x 1x 2=m+2， ①当m ≤﹣2时，x 1、x 2异号， 设x 1为正，x 2为负时，x 1x 2=m+2≤0， ②当﹣2＜m ≤﹣1时，x 1、x 2同号，而x 1+x 2=2， ∴x 1、x 2都为正，那么|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=2＜3， 符合题意，m 的取值范围为﹣2＜m ≤﹣1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数
的关系与代数式变形相结
合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．
14.【解析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=
，x 1x 2=．也考查了根的判别式．
|x 1|+|x 2|=x 1﹣x 2==
≤3，
∴m ≥﹣，而m ≤﹣2，
∴﹣
≤m ≤﹣2；
故m 的取值范围为：﹣≤m ≤﹣1．
（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积． 解：（1）∵关于x 的方程（m 2
﹣1）x 2
﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）． ∵a=m 2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，
∴b 2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0， 设x 1，x 2是此方程的两个根， 又m 为正整数， ∴m=2；
（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0 当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得
a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．
∴x 1?x 2==
，
∴也是正整数，即m 2
﹣1=1或2或3或6或9或18，
当a=b 时， ①a ≠b ，
时，由于a 2
+b 2
=（a+b ）2
﹣2ab=16﹣4=12=c 2
故△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC =．
②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a=b=2+
，c=2
时，因
＞，故能构成三角形．
S △ABC =×（2）×
=
综上，△ABC 的面积为1或．
一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)
一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
一元二次方程根与系数的关系典型例题
一元二次方程根与系数的关系 【同步教育信息】 一. 本周教学容： 一元二次方程的根与系数的关系 ［学习目标］ 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。 3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。 5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。 二. 重点、难点： 1. 教学重点： 一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。 2. 教学难点： 正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。 【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则
点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3） 分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
根与系数的关系的应用
一元二次方程的根与系数的关系的应用 教学目标： 知识技能目标 1.能说出根与系数的关系； 2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 过程性目标 在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦. 情感态度目标 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯； 2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点： 重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程： 一、创设情境 1．请说出解一元二次方程的四种解法. 2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ (1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0. 证明. 3 两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1?x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. （此探索过程让学生分组进行交流、协作完成） 探索过程
q q p p q p p x x p q p p q p p x x q p p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---?-+ -= ?-=---+-+-=+---= -+ -= -±-= -±-=≥-=-====++2 42424242 4242 4240 44102221222122212 2222，，， 结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一 致的. 三、实践应用 例 1 已知关于x 的方程x 2 －px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值. 解法一：因为关于x 的方程x 2 －px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有 ． q p q p q p q p 030 30)3()3(00022=-=?? ?=-=?????=+-?--=+?-，所以解这个方程组得 解法二：由q x x p x x =?-=+2121，， 方程x 2 －px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得 ． q p q p 03 )3(0)3(0=-==-?，即得 ＝－－＋ 例2 写出下列方程的两根和与两根积： 05)4(032)3(0 2114)2(0 17)1(2 2 22=-+-=-+=-+=+-n nx x x x x x x x 5 )4(2 321)3(21 14)2(1 7)1(2121212121212121-=?=+=?-=+=?-=+=?=+n x x n x x x x x x x x x x x x x x ，－ ，－，，解 课堂练习 1.写出下列方程的两根和与两根积： 3)4(0 532)3(04411)2(025)1(2 2 22=-+-=-+=-+=+-m mx x x x x x x x
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一元二次方程的根与系数的关系 一、目标认知 学习目标 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系； 2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值； 3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根； 4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程． 重点 对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用． 难点 一元二次方程的根与系数的关系的运用． 二、知识要点梳理 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 三、规律方法指导 一元二次方程根与系数的关系的用法： ①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根； ②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数； ③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值； ④已知方程的两根，求这个一元二次方程； ⑤已知两个数的和与积，求这两数； ⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值； ⑦讨论方程根的性质 四、经典例题透析 1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值. 1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值. 思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得 22-6×2+m2-2m+5=0 即m2-2m-3=0 解得m1=3，m2=-1 当m1=3，m2=-1时，原方程都化为 x2-6x+8=0 ∴x1=2，x2=4 ∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1. 法二：设方程的另一个根为x.
专题一、根与系数的关系
1 专题一 根的判别式及根与系数的关系 2019年下期九年级培优 唐国栋 知识提炼 1、一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式：ac b 42-=?，用来判断一元二次方程的实根的个数。当0>?时，方程有 的实数根；当?=0时，方程有 的实数根；当0++?x x x x ，那么实数m 的取值范围是 。 例4（全国联赛)已知t 是实数，若b a ,是关于一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是 。 例5(北京市) 已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围； （2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.
根与系数之间关系应用一
2013根与系数关系应用 一．填空题（共30小题） 1．（2012?泸州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_________．2．（2012?鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a= _________． 3．（2011?苏州）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于_________． 4．（2011?德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=_________． 5．（2010?雅安）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是 _________． 6．（2010?芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________． 7．（2010?成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________． 8．（2009?天津）若分式的值为0，则x的值等于_________． 9．（2008?鄂州）已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=_________． 10．（2007?芜湖）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_________．11．（2007?宿迁）设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则|x1﹣x2|=_________．12．（2006?株洲）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_________．13．（2006?日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．14．（2006?南充）如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是_________． 15．（2001?甘肃）如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_________． 16．（2001?东城区）若2x2﹣5x+﹣5=0，则2x2﹣5x﹣1的值为_________． 17．（2000?辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________． 18．（1999?温州）若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_________．
最新根与系数的关系练习题87793资料
一元二次方程的根与系数的关系 姓名____________________ 号__________________ 01基fli训练 知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值 1. 若X I、X2是一元二次方程X2+10X+16的两个根，则X1+X2的值是（） A.-10 B.10 C.-16 D.16 2. 已知X1，X2是一元二次方程X2-4X+仁0的两个实数根，则X1X2等于（） A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.若X1,X2是一兀二次方程2X .-7X+4=0的两根，则X什X2与X1 ? X2的值分别是 （） 7 c r 7 c77 c A.--,-2 B.-, 2C— ., 2 D. —, -2 2222 4.已知一?兀二次方程的两根分别是2和-3,则这个?兀二次方程是（） 2 2 2 2 A.x -6x+8=0 B.x +2x?3=0 C.x -x-6=0 D.x +x-6=0 5. 已知X1、X2是方程X2-3X-2=0的两个实根，则（X1-2）（X2-2）= ___ 2 1 1 6. 若一元二次方程X -X-1=0的两根分别为X1、X2，贝V = 知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 7. 若关于X的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为X1=-2 , X2=4 ,则b+c的值是（） A.-10 B.10 C.-6 D.-1 8. 已知关于X的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是（） A.-2 B.0 C.1 D.2 2 ______________ 9. 已知关于X的方程X +X+n=0有两个实数根-2, m.求m, n的值. 10. 不解方程，求下列方程的两根和与两根积： 2 2 2
初中数学一元二次方程的根与系数的关系讲义
初中数学一元二次方程的根与系数的关系讲义 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 一、情境导入 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根
公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两 实数根，则1m ＋1 n 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－1 2 D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程 2x 2－x －2＝0 的两实数根，所以m ＋n ＝1 2 ，mn ＝－ 1，1 m ＋1 n ＝ n ＋m mn ＝ 1 2 －1＝－1 2 .故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.
【类型二】根据方程的根确定一元二次方程 已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D. 方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项． 【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解
根与系数关系
一元二次方程根与系数 对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么 则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分 析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴解得； ∵方程（2）没有实数根，∴ 解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 1
二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根． 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得当时，原方程均可化为：，解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得： ， 2
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时) 导学探究 1．一元二次方程的一般形式是_______________. 2. 一元二次方程的求根公式是______________________. 3. 判别式与一元二次方程根的情况： 4. 一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究 1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结： 已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件. 练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2 ﹣（2k+1）x+k 2 +2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1?x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围. 【例2】（2015?丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2 ﹣2（m+1）x+m 2 ﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2 ﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结： 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下： 24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ?-，则 （1）当0?＞时，__________________________________； （2）当=0?时，___________________________________ （3）当0?＜时，原方程____________________________. 【例1】已知关于x 的方程2 120,3 x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有 1212,b c x x x x a a +=-?=．这是著名的韦达定理.
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 专题 根与系数的关系 例1. 15 2 s ≥- 且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设22 3,A βα = +22 3,B αβ= + 31004A B += ① A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得 1 (4038 A =- 例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1 1,,st t s ≠∴Q 是一元二次方 程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11 99,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-= 故 41994519st s s s t s ++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程 22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤, 由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥ 解得a ≥故正实数a 的最小值为 (3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11, 6x y xy +=??=? 或 6,()xy 11. x y +=?? =?舍原式=()()2 22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2， 且x 1<0 《一元二次方程根与系数的关系》教案 教学目标： 1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。 2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。 3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。 教学重点： 一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。 教学难点： 一元二次方程的根与系数的关系的推导。 数学思考与问题解决： 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。 一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查） 【师生活动】： 教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。 学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。 【设计意图】： 本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。 【学案内容】： 1、方程：X 2+3X –4=0 （1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。 （2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。 （3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数 一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数 常数项= 一元二次方程的根与系数的关系 教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点 重点：韦达定理的推导和初步运用． 难点：定理的应用． 教学过程 一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ 二、新课讲解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么 例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 讲解例1 例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数． 四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程； 五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， Equation Chapter 1 Section 1 Array《多元统计分析》 Multivariate Statistical Analysis ； ^ ) 主讲：统计学院许启发（） 统计学院应用统计学教研室 School of Statistics 2004年9月 第三章 主成分分析 【教学目的】 1．让学生了解主成分分析的背景、基本思想； 2．掌握主成分分析的基本原理与方法； 3．掌握主成分分析的操作步骤和基本过程； 4．] 5．学会应用主成分分析解决实际问题。 【教学重点】 1．主成分分析的几何意义； 2．主成分分析的基本原理。 §1 概述 一、什么是主成分分析 1．研究背景 在实际问题的研究中，为了全面分析问题，往往涉及众多有关的变量。但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般说来，虽然每个变量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同。实际上，在很多情况下，众多变量间有一定的相关关系，人们希望利用这种相关性对这些变量加以“改造”，用为数较少的新变量来反映原变量所提供的大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。主成分分析及典型相关分析便是在这种降维的思维下产生的处理高维数据的统计方法。本章主要介绍主成分分析。 主成分分析的基本方法是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们含有尽可能多的原变量带有的信息，从而使得用这几个新变量代替原变量分析问题和解决问题成为可能。当研究的问题确定之后，变量中所含“信息”的大小通常用该变量的方差或样本方差来度量。 > 概括地说，主成分分析（principal component analysis ）就是一种通过降维技术把多个指标约化为少数几个综合指标的综合统计分析方法，而这些综合指标能够反映原始指标的绝大部分信息，它们通常表现为原始几个指标的线性组合。主成分概念最早是由Karl Parson 于1901年引进的，1933年Hotelling 把这个概念推广到随机向量。在实践中，主成分分析既可以单独使用，也可和其它方法结合使用，如主成分回归可克服多重共线性。 2．基本思想及意义 哲学理念：抓住问题的主要矛盾。 主成分分析将具有一定相关性的众多指标重新组合成新的无相互关系的综合指标来代替。通常数学上的处理就是将这p 个指标进行线性组合作为新的综合指标。问题是：这样的线性组合会很多，如何选择 如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为1F ，希望它能尽可能多地反映原来指标的信息，即1()Var F 越大，1F 所包含的原指标信息①就越多，1F 的方差应该最大，称1F 为第一主成分。 如果第一主成分1F 不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取2F 即选择第二个线性组合。为了有效地反映原来的信息，1F 中已包含的信息，无须出现在2F 中，即12(,)0Cov F F ，称2F 为第二主成分。 仿此可以得到p 个主成分。 ① 度量信息最经典的方差是方差。 系数公式一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程及应用求根公式求出方程即根的判别式的两个根存在的三种情况，以，进而分解因式，。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）根，且关于的方程（2）方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数没有实数根，问取什么整数时，∴解得； ∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定既要求出判别式的值，又要确定或或的正负情况。因此解答此题的关键是：的正负情况。解：∵，∴△＝--4×2×(--7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中若＞0，仍需考虑＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，的一个根为2，求另一个根及的先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当，解得：时，原方程均可化为：∴方程的另一个根为4，的值为3或--1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：， ∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或--1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程和比两根的积大21，求的值。有两个实数根，且两个根的平方分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得则，≤0 设方程两根为∵∴∴整理得：解得：又∵，∴ 说明：当求出意的。后，还需注意隐含条件，应舍去不合题四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方中考数学专题 根与系数的关系_答案
《一元二次方程根与系数的关系》教案
根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练
多元统计分析讲义(第四章)
根与系数的关系资料 系数公式