根与系数的关系

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时)导学探究1．一元二次方程的一般形式是_______________.2. 一元二次方程的求根公式是______________________.3. 判别式与一元二次方程根的情况：4. 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结：已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围.【例2】（2015•丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2﹣2（m+1）x+m 2﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结：1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下：24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ∆-，则（1）当0∆＞时，__________________________________； （2）当=0∆时，___________________________________ （3）当0∆＜时，原方程____________________________.【例1】已知关于x 的方程2120,3x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有1212,b cx x x x a a+=-⋅=．这是著名的韦达定理.（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．练2（2015•广水市模拟）已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x+m+1=0的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）如果x 1、x 2满足不等式7+4x 1x 2＞x 12+x 22，且m 为负整数，求出m 的值，并解出方程的根．3．根据一元二次方程求含两根的代数式的值总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：2. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）两实数根x 1，x 2又有如下关系：1212,b cx x x x a a+=-⋅=，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数. 3. 注意使用1212,b cx x x x a a+=-⋅=的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0. 【例3】（2015•大庆）已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求+的值． 注意1212,b cx x x x a a+=-⋅=中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混.练3（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x 的方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；夯实基础 一、选择题1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 －2B. 2C. 5D. 6A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2A ．5B ．－5C ．1D ．－1 二、填空题4．（2015•泸州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值为________． 5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab（1）222121212(x x )2x x x x +=+- （2）22121212()(x x )4x x x x -=+- （3）12121211x x x x x x ++= （4）22221121212121212(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+== （5）1(x 1)+21212（x +1）=x x +(x +x )+1 （6）2212121212(x x )(x x )4x x x x -=-=+-（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.2. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是3.（2013四川泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）的值是 ．6.（2015•日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=___________． 三、解答题7．（2015•梅州）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．9．（2015•南充）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）10．（2015•华师一附中自主招生）已知m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根11．（2015•孝感校级模拟）已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a ，使﹣x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由．12．（2014•广东模拟）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（3）求（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的最小值．8. 已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．（2）求证：x 1+x 2=2（k ﹣1），；13.（2010•黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m 的取值范围．求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积．典例探究答案：所以k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根. 综上，k 的取值范围是 k>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.练1．【解析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，变形后代入即可得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ， ∵x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立，∴x 1•x 2﹣（x 12+x 22）≥0，即x 1•x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2]≥0， ∴k 2+2k ﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0，14.（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC 的三边a 、b 、c 满足，m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0．【例1】分析：先考虑判别式>0，根据题意得2803k ∆=+>，这说明k 取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，代入12122()x x x x +>即可求得k 的取值范围.解：根据题意，得22184(2)033k k ∆=-⨯⨯-=+>， ∵x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，且12122()x x x x +>， ∴236k ⨯>-，解得k>-1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k 的不等式．【例2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3，代入（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，计算即可求解．解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0， 解得m ≥﹣2；（2）当m ≥﹣2时，x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3．则（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣5x 1x 2=[2（m+1）]2﹣5（m 2﹣3）=26， 即m 2﹣8m+7=0，解得m 1=1＞﹣2，m 2=7＞﹣2， 所以m 1=1，m 2=7．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 练2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0，然后解不等式；解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0， ∵7+4x 1x 2＞x 12+x 22， ∴7+6x 1•x 2＞（x 1+x 2）2， ∴k ≤﹣或k ≥1. （2）先根据根与系数的关系得x 1+x 2=1，x 1•x 2=，把7+4x 1x 2＞x 12+x 22变形得7+6x 1•x 2＞（x 1+x 2）2，所以7+6×＞1，解得m ＞﹣3，于是得到m 的取值范围﹣3＜m ≤﹣，由于m 为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m 的值分别代入原方程，再解方程． 解得m ≤﹣；（2）根据题意得x 1+x 2=1，x 1•x 2=，∴7+6×＞1，解得m ＞﹣3，∴﹣3＜m ≤﹣，∵m为负整数，∴m=﹣2或m=﹣1，当m=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；当m=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．练3．【解析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 夯实基础答案： 一、选择题 1. B 2. B3.【解析】由已知得x 1+x 2＝－3，x 1×x 2＝－3，则 故选B ．点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法． 二、填空题4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根， ∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27， 故答案为：27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．5. 【解析】将x=1代入到x 2+ax+b=0中求得a+b 的值，然后求代数式的值即可． 解：∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根， ∴12+a+b=0， ∴a+b=﹣1，∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1． 故答案为：1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到∴=，原式＝21212212)(x x x x x x -+＝3)3(2)3(2--⨯--＝－5．待定系数的方程即可求得代数式的值．6.【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．三、解答题7．【解析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac ＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根.点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值.9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可； （2）要是方程有整数解，那么x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解；（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有整数解，，解得：，解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . ∵1x 、2x 是方程的两个根，∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m ≥21-. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, 由△=0,即8m+4=0,得m=21-. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为21-.∴x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．10．【解析】（1）首先求出m 和n 的值，进而判断出m 和n 均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；解：（1）∵m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根，∴m ＜n ＜0， ∵m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根，∴m 2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m ＜0，n ＜0，∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的（2）根据m 和n 小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．∴m=，n=， 原式=•﹣ =﹣=﹣6﹣2m ﹣ = ∴+=﹣m ﹣n =+=（），关键是能求出m 和n 的判断出m 和n 均小于0，此题难度一般．解：存在．∵x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴a ＞0，∵﹣x 1+x 1x 2=4+x 2，∴x 1x 2=4+x 2+x 1，解得：a=24． 12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k ﹣1）]2﹣4×1×k 2≥0，然后解不等式即可；（3）利用（2）中的结论得到（x 1﹣1）•（x 2﹣1）=x 1•x 2﹣（x 1+x 2）+1=k 2﹣2（k ﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．（1）解：依题意得△=[﹣2（k ﹣1）]2﹣4×1×k 2≥0，（2）证明：∵△=4﹣8k ，11．【解析】由x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，可得x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，△=（2a ）2﹣4a （a ﹣6）=24a ＞0，又由﹣x 1+x 1x 2=4+x 2，即可求得a 的值． ∴x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，△=（2a ）2﹣4a （a ﹣6）=24a ＞0， 即=4﹣， 点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=． （2）利用求根公式得到x 1=k ﹣1+，x 2=k ﹣1﹣，然后分别计算x 1+x 2，x 1x 2的值即可；解得k ≤； ∴x=， ∴x 1=k ﹣1+，x 2=k ﹣1﹣ ∴x 1+x 2=k ﹣1++k ﹣1﹣=2（k ﹣1）； x 1•x 2=（k ﹣1+）（k ﹣1﹣）=（k ﹣1）2﹣（）2=k 2；（3）解：（x 1﹣1）•（x 2﹣1）=x 1•x 2﹣（x 1+x 2）+1=k 2﹣2（k ﹣1）+1=（k ﹣1）2+2， ∵（k ﹣1）2≥0，∴（k ﹣1）2+2≥2，∴（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的最小值为2．13.【解析】由于方程x 2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m 的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x 1|+|x 2|≤3就又可以得到m 的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m 的取值范围．解：根据题意可得△=b 2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，解得m ≤﹣1，而x 1+x 2=2，x 1x 2=m+2，①当m ≤﹣2时，x 1、x 2异号，设x 1为正，x 2为负时，x 1x 2=m+2≤0，②当﹣2＜m ≤﹣1时，x 1、x 2同号，而x 1+x 2=2，∴x 1、x 2都为正，那么|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=2＜3，符合题意，m 的取值范围为﹣2＜m ≤﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．14.【解析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=．也考查了根的判别式．|x 1|+|x 2|=x 1﹣x 2==≤3， ∴m ≥﹣，而m ≤﹣2， ∴﹣≤m ≤﹣2；故m 的取值范围为：﹣≤m ≤﹣1．（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积． 解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）． ∵a=m 2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b 2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．∴x 1•x 2==， ∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，当a=b 时，①a ≠b ，时，由于a 2+b 2=（a+b ）2﹣2ab=16﹣4=12=c 2故△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC =．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形． S △ABC =×（2）×= 综上，△ABC 的面积为1或．。