根与系数关系
21.2.4根与系数的关系
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X1x2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
的两个实数根，且x1、x2满足不等式
x1 x2 2( x1 x2 ) 0
求实数m的取值范ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2= , X1x2=
注:前提条件为 b2-4ac≥0 如果方程x2+px+q=0的两根是X1 那么X1+X2= －P X1X2= q
，X2
x1x2=-1
1 4
3、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求下列式子 的值。
1 3
1 1 x1 x2 x x2
2 1 2
2 x1 1 x2 1 4 x1
x2
2
例2、已知方程x2-(k+1)x+3=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。用两种解法
一元二次方程 根与系数的关系
用尽量多的方法解方程：
2 X －6
X ＋ 8＝0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1 那么X1+X2= －P X1X2= q
，X2
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 b b 4 ac x= 2a
一元二次方程——根与系数的关系
一元二次方程——根与系数的关系：1.根与系数的关系：已知ax 2+bx+c=0(a≠0)的解为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a —，x 1·x 2=c a1.用适当的方法解下列方程。
（x+1）2=（2x —1）2 （x —1）2—（x —1）—6=0 21x+=22（3）x 2+2x —1=0 4x 2=9 x 2—6x —16=02.关于x 的一元二次方程x 2—6x+2k=0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围3.若关于想的一元二次方程nx 2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x —n 不经过第 象限。
4.方程x 2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长是（ ）。
A.12B. 12或15C. 15D. 无法确定5.三角形两边长是3和4，第三边的长是x 2—12x+35=0的解，则这个三角形的周长为6.关于x 的一元二次方程2x 2—3x —a 2+1=0的一个根是2，则a 的值是7.一元二次方程21x x+=04—的解是 。
8.将代数式x 2+4x —1转化成（x+p ）2+q 的形式是9、一元二次方程a 2—3a —7=0的解是10.若x2—4x+y2+6y+z —3+13=0，则（xy ）z = 11.已知16（x —y ）2—40（x —y ）+25=0求x 与y 之间的关系。
12.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0，（a ≠0）有两个相等的实数根，求222ab a +b （—2）—4的值。
13..若m ，n 满足m 2+5n 2+4mn —6n+9=0，试求方程mx 2—nx+3=0的解。
14.用配方法证明—2x 2+4x —10恒小于0，并且求出它的最大值，以及此时x 的值。
15.若⊿ABC 的三边a ，b ，c 满足a2+b+|c —1—2|=10a+2b —2—22，是判断⊿ABC 的形状。
根与系数的关系：1，已知关于x 的方程（k —1）x2+（2k —3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，（1）求k 的取值范围（2）是否存在k ，使方程两根互为相反数。
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理（Vieta's theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了多项式根与系数之间的关系。
这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，他在16世纪首次提出了这个定理。
韦达定理的表述非常简洁，它指出：对于一个n次多项式，其根的乘积等于(-1)^n乘以常数项与最高次项系数的商。
换句话说，如果一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_i为多项式的系数，那么它的根r_1、r_2、...、r_n满足以下关系：r_1 * r_2 * ... * r_n = (-1)^n * a_0 / a_n这个定理的证明可以通过多项式展开和对称多项式的性质来完成，但在这篇文章中，我们将重点讨论韦达定理的应用。
我们可以利用韦达定理来求解多项式的根。
对于一个已知的多项式，我们可以通过观察常数项和最高次项系数的关系，来推测根的乘积。
然后，我们可以根据多项式的次数和已知的根之间的关系，来求解其他缺失的根。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解多项式的根。
韦达定理还可以用于多项式的因式分解。
根据韦达定理，如果我们已知一个多项式的根r_1、r_2、...、r_n，那么我们可以将这个多项式表示为以下形式的乘积：P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)这个形式的多项式就是多项式的因式分解形式。
通过将多项式因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质，并且更方便地进行计算和求解。
韦达定理还可以用于多项式系数的求解。
对于一个已知的多项式，如果我们已知其中n-1个根，以及一个系数，那么根据韦达定理，我们可以求解出剩下的一个系数。
这种方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们建立和求解多项式方程。
除了以上应用之外，韦达定理还有很多其他的应用。
根与系数的关系
判别式与根与系数的关系内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么ab x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2 5 x（C） 3 x2－ 2 x+2=0（D）3x2－2 6 x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=05．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35 ，则m= ，这时方程的两个根为 .4、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
理解根与系数之间的关系
理解根与系数之间的关系在数学中，我们经常遇到解方程的问题。
解方程的关键是理解根与系数之间的关系。
根是指方程的解，而系数则是方程中各项的系数。
这两者之间的关系是解方程的基础，也是数学中的重要概念之一。
一、一次方程与根的关系首先，我们来看一次方程与根的关系。
一次方程是指次数为1的方程，通常形式为ax + b = 0。
其中，a和b是系数，x是未知数。
解一次方程的关键是求出x的值，即根。
对于一次方程来说，只有一个根。
这是因为一次方程只有一个未知数，所以只有一个解。
根与系数之间的关系可以通过求解一次方程来理解。
假设我们有一个一次方程2x + 3 = 0，其中a = 2，b = 3。
通过求解，我们可以得到x = -3/2。
这就是该方程的根。
从这个例子可以看出，根与系数之间的关系是通过方程的解来体现的。
系数决定了方程的形式，而根则是方程的解。
在一次方程中，系数a决定了根的大小和正负，而系数b则决定了方程的常数项。
二、二次方程与根的关系接下来，我们来看二次方程与根的关系。
二次方程是指次数为2的方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b和c是系数，x是未知数。
与一次方程不同，二次方程可以有两个根。
这是因为二次方程的次数更高，所以有更多的解。
根与系数之间的关系在二次方程中更加复杂。
我们可以通过求解二次方程来理解这种关系。
假设我们有一个二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，其中a = 1，b = -4，c = 3。
通过求解，我们可以得到x = 1和x = 3。
这就是该方程的两个根。
从这个例子可以看出，二次方程的根与系数之间存在着复杂的关系。
系数a决定了方程的开口方向和形状，系数b则决定了根的位置，而系数c则决定了方程的常数项。
三、高次方程与根的关系除了一次方程和二次方程，还有许多其他类型的方程，如三次方程、四次方程等。
这些方程的根与系数之间的关系更加复杂。
在高次方程中，根的个数与方程的次数有关。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系
二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。
对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以通过求解它的根来解决方程。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到如下的根与系数之间的关系：
1. 判别式：二次方程的判别式 $D = b^2 - 4ac$ 可以用来判断方程的根的情况。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：- 当 $D > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
- 当 $D = 0$ 时，方程有两个相等的实根（也称为重根）；
- 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，而是两个共轭复数根。
2. 根的求解：根据二次方程的求根公式，我们可以得到方程的两个根为：
- 根1：$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
- 根2：$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
3. 关系总结：根据上述公式和结论，我们可以得到以下关系：
- 二次方程的判别式 $D$ 决定了方程的根的情况；
- 方程的两个根与系数 $a$、$b$、$c$ 之间的关系是通过求根公式得到的。
这就是二次方程的根与系数的关系。
通过对方程的系数进行求解，我们可以确定方程的根的情况，并进一步解决方程的问题。
在实际应用中，这一关系常常被用来解决与二次方程相关的数学和物理问题。
多项式的根与系数之间的关系
多项式的根与系数之间的关系多项式在数学领域中有着广泛的应用，从简单的代数运算到微积分、差分方程等复杂的数学问题都需要用到多项式。
其中，多项式的根与系数之间的关系是一个重要而又复杂的问题。
一、多项式根的定义一个n次多项式f(x)的根是指满足f(x)=0的x值。
例如，二次多项式f(x)=3x^2-2x+1的根可以通过求解方程3x^2-2x+1=0得到，其解为x=1/3和x=1。
二、多项式根与系数之间的关系在一定的条件下，多项式的根与系数之间有确定的关系。
这个关系被称为Vieta定理。
设f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0是一个n次多项式，其根为x_1,x_2,...,x_n，则有以下公式成立：1. 一个多项式的常数项a_0等于其根的乘积的相反数，即a_0=(-1)^n a_n x_1 x_2 ... x_n。
2. 一个多项式的一次项系数a_1等于其根的和的相反数，即a_1=(-1)^{n-1} a_n (x_1+x_2+...+x_n)。
3. 对于一个偶次多项式（即n为偶数），其二次项系数a_2等于其根的两两乘积的和的相反数，即a_2=(-1)^n-2 a_n(x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)。
4. 对于一个奇次多项式（即n为奇数），它的二次项系数为0。
例如，对于一个三次多项式f(x)=x^3-3x^2+2x+4，根可以通过解方程x^3-3x^2+2x+4=0得到。
通过Vieta定理，可以得出a_0=4、a_1=2和a_2=-3。
Vieta定理为研究多项式根的性质和多项式系数的关系提供了一个有力的工具。
三、多项式根的性质多项式根的性质在代数学中有着重要的地位。
以下是一些常见的多项式根的性质：1. 多项式的根具有互异性。
也就是说，一个多项式的根必须是不同的。
如果存在重复的根，则这些根都必须是代数上不同的。
2. 多项式的根必须在复数域上。
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则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推 特别地： 论 若方程x2 px q 0的两根为x1, x2，
则：x1 x2 p, x1 • x2 q
1
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推
以两个数x1 , x2为根的一元二次
1
3、如果 2是方程2X2+mX+3=0的一 个根，求它的另一个根及m的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0，
得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
6、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
作业：
1、课本P43第7题 2、极速P20
再见
已那和么：x1x1和x2x2=是方ba 程ax2x+1 b.xx+2c==0(aca≠0)的两个根
……
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的
基 础
方
B
程是（ ）
练
习
A、y2+3y-2=0
B、 y2－3y+2=0
C、y2+3y+2=0 此题还有其他解法吗？
D、 y2－3y-2=0
换元法：
x1 、 x2 ，并计算两个解的和与积，填人下表
9x2 2 0
2x2 3x 0 x2 3x 2 0
x1
x2
2 3
2
33
0
2
12
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
0 x1 x2
x1
x22
9
30
2
32bcaa Nhomakorabea（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的 系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.
（1）x2 6x 15 0 （2） 3x2 7x 9 0 （3）5x 1 4x2
解：（1）x1 x2 -（- 6）= 6 x1 x2 - 15
（2）x1
x2
7 3
x1
x2
9 3
3
（3）方程可化为 4x2 5x 1 0
x1
x2
5 5 44
x1 x2
1 4
2、利用根与系数的关系，求作一个 一元二次方程（二次项系数为1）， 使它的两根为2和3.
人教课标九上·§22.2.4
一元二次方程根与系数的关系
小组合作完成：
（1)x2-5x+6=0两根为x1=2,x2=3
(2)x2+7x+10=0两根为x1=-2,x2=-5
(3)2x2+3x-5=0两根为x1=1,x2=
5 2
则x1+x2= 5 ，x1.x2= 6 。
则x1+x2= -7 ，x1.x2 = 10 。
论
方程（二次项系数为1）是
2
x2 （x1 x2）x x1 • x2 0
或(2)(x-x1)(x-x2)=0
2.在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏
例1 根写。据一元二次方程的根与系数的关系，
x 求下列方程两根 x1 ， 2的和与积：
则x1+x2=
3 2
，x1.x2
=
5 2
。
(4) 方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式是
b
c
则x1+x2= a，x1.x2= a 。
x b
b2 4ac 2a
思考：方程两根和x1+x2，两根积x1.x2与方程系数a，b，c 有什么关系。
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
(1) X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_1X2= ___14
(2)( X1-X2)2 = ( ___X1+)2X-24X1X2 = ___ 12
(3) 1 1 = = x1 x2 4
x1 x2
x1 x2
11
(4)
x
2 1
x22
=
x
2 1
x
2
2
(x1x2 )2
= 14
中考链接： （2008年广东）（1）解方程求出两个解