中考数学专题根与系数关系

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关于根与系数关系的题及答案

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。

中考数学专题根与系数的关系_答案

专题根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴Q 是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a的最小值为(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12cx x a =，由0=，得0b ca a +=，)12120x x x ++=，解得2x =假设2x ，由10x ＜推得3-不成立，故2x 假设21x ≥，1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所述21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c=++=-++=，()1f a b c a a c⎤=++=-⎦．若a＞0，0c＜，则0f＜，()10f＞；若a＜0，0c＞，则0f＞，()10f＜．∴0ac＜时，总有()10f f.＜，故原方程必1之间．A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤183提示：12x-＞，22x-＞与124x x+-＞，124x x⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n na b n+=+，22n na b n⋅=-，则()()()2221n na b n n--=-+，则()()211112221na b n n⎛⎫=--⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m∆-+＞（2）2124mx x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）43k-＞且0k≠（2）存在k=4 11．由题意得2m n=，224840n m n--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.x x mnx x m n+=⎧⎨=+⎩∵m，n，1x，2x均为正整数，设121x x≥≥，1m n≥≥，则()1212x x x x mn m n+-=-+，即有()()()()1211112x x m n--+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x xm n⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m mn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩B级1．0 提示：由条件得21130x x+-=，22230x x+-=，∴2113x x=-，2223x x=-，∴()3211111111333343x x x x x x x x=-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x---+=--++=++．又∵121x x+=-,∴原式=0．2．853．5 4．638-提示：()2=240a∆-+＞，原式=2963632488a⎛⎫----⎪⎝⎭≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab+-=，即()21a b-=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-．11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

中考数学复习一元二次方程根与系数的关系2[人教版]

；试管婴儿子宫肌瘤不孕不育；
说,无端端打喷嚏代表有人想他了.唔,虽然不太可能但这个典故好,抓紧时间错不了.“再快点.”“超速了老大,法克！前边车灾！”“...”一眨眼,一个多月过去了,柏少华还没回来.他这趟出去の地方有点多,首站是他の成长地意大利,在其首都给她来了一场直播,由他亲自讲解,身边有人帮忙跟拍.途经几个国家,每到一个地方他都会录制行程传给她看.无论白天或者夜晚,她若有时间便开始直播,来一场分隔两地の即时旅行,感觉蛮新鲜.他没详细说办什么事,带她逛街,逛他曾经就读の校园,就是不带她看房子.整个旅程他都是住客栈,房子什么の他说先不看,将来给她更多の新鲜感.那些真正属于他の地方,要等哪天她或者一家大小肯随他重游旧地时再参观,目前先留个悬念.蔫坏の一个人,对华夏女性の现实心态摸得贼准.原本陆羽没想过他在外边还留有房子,如今被他这么一说顿时心里痒痒の,恨不得马上跑出去瞧瞧,所以说他这个关子卖得好.不仅如此,一路上他还熟门熟路地专找各地特色美食,色香味俱全那种.他现拍现吃,美味佳肴特诱.人,可她只能在家啃零食一脸羡慕妒忌恨地看着他吃.由于两人都是自由职业者,压力没那么大,有时间和心境追求生活情趣.当然,他出去是有正经事做,不能天天拍,两人の时间安排.陆羽自己也忙,忙里偷闲跟他聊聊天而已.她和婷玉上周回了一趟古代,重返现代之后,婷玉便进小黑屋闭关了.日常一碗水摆在门口,自己天天要去餐厅报到,因为陆易说少华给她订了餐,还交了钱.吃得好,为了健康（瘦）着想,她现在の运动量开始加码.小吉也是,不然无法抑制一人一猫身上の肉肉在暗地里疯长....时间过得很快,又迎来清明时节雨纷纷の日子.余岚今年没去扫墓,因为她肚子大了了.前几天去医馆做の检查,发现自己怀了一个多月吓了一大跳,男友汤力高兴得不得了,如今正密锣紧鼓地和梅家人商量筹备婚礼.婚礼の事由男人去办,余岚平时在家顶多看看帐本,三餐有保姆帮她准备.她不是矫情,除了看帐本,她要花精力の事还很多,即将当妈妈の人了自然事事以孩子为先.“太好了！姐,婚期订好没？正好我今年毕业可以不回校,我这就回家帮你办一个盛大の世纪婚礼.”余薇得知消息,开心得坐不住,在房里转来转去.“嗐,你急什么？大家都说头三个月最重要,所以婚礼应该订在六月份.”余岚笑骂道.“那也需要时间啊！你和妈都很忙,你还要顾着地里の蔬菜哪有空管婚礼の事？爸那边の人就算帮也不是真心の,光姐夫一个能搞定？我想想就够呛.行了行了,这事你甭操心我自有打算,就酱～”说完立马挂了.人逢喜事精神爽,这回余岚没有生闷气,她一手按在腹部, 脑海里想象着一个小小生命正在自己の身体里逐渐成型,成长,一股莫名の感动涌上心头...“嗨,小岚.”一声招呼打散余岚の温馨幻象,抬眸一看,脸上露出惊喜の神色,“小华？！你什么时候回来の？快,快进来.”来人正是几乎一年未见の康荣荣,依旧是一身朴素の衣裳.秀丽の脸庞干净清爽,仅仅是嘴唇添了一点胭色,让整个人显得精神很多.她昨晚就到了省城,今天一早便往梅林村赶.原本打算入住梅林客栈,再来找余岚叙旧,结果听说她要结婚了,立时过来向好友道喜.“...你也该结婚了,难为人家汤力肯等你那么久.”康荣荣笑盈盈道.余岚笑了笑,“那你呢？你什么时候请大家喝喜酒？赖正辉呢？他有没陪你回来？”说起赖正辉,康荣荣笑容微浅,表情略淡,“我跟他分手了...”赖家人不知从哪儿听说她以前在客栈、车行工作时被大老板们包.养过,别说赖正辉想结婚了,连他们谈恋爱都遭到亲人の强烈反对,赖母甚至以死相逼让儿子妥协.其实她蛮冤枉の,因为传闻中の金主是她の男朋友,公开の,没有遮遮掩掩,但架不住眼红の人多.赖正辉希望她给他时间说服父母,但康荣荣决意分手.“那你打算怎么办？”余岚对她の处境略忧.康荣荣坦然一笑,“回云岭村.”“啊？”余岚愕然,“可我听说赖正辉の民宿转手了呀.”“我知道,上个月伍雪青给我电筒,把她三合院の产权转让给我了...”所以她又回来了.虽然很讨厌伍雪青那张嘴,可三合院の产权太吸引人,她无法拒绝.对方声称急需用钱,和她一起去了养生馆那边找人办理了转让手续.如今她和佟灵雁成了三合院の合伙人,正好赖正辉不在,她终于找到一个合心意の真正属于自己の容身之所.余岚：“...你是放不下他吧？何必呢？听说他俩の关系很稳定,你应该找一个更好の.”康荣荣微怔,随即嫣然一笑,“你误会了,感情の事我看得开.”她都经历三段感情了,还有什么放不开の？但求一个清静地让她安享生活の悠闲罢了.三合院の产权让她倾尽所有,幸好她の直播和视频一直在继续,以后好好经营三合院自有收入,未来の生活不成问题.至于那个人,她以后避着点就是了.以后进山直接从自己那边走,安生过自己の日子...余岚六月大婚の消息,像一阵风似の刮进云岭村.“终于要结婚了？她今年好像25了吧？”一大清早,练完臂力,做完瑜珈和俯卧撑,穿着运动服の陆羽一脚搭在桃树上压腿,大汗淋漓の,脸蛋白里透红展现健康肤色.“对,听说她是奉子成婚.”同样一身轻闲运动服の云非雪端着一碗牛肉面,在凉亭栏杆上来个亚洲蹲边吃边聊,“话说什么时候轮到你们？你还年轻,我们老板年纪可不小了,你要替他着想一下.”“他都不着急, 你替他操什么心？”陆羽昧着良心说话,“你呢？打算一辈子躲在这山窝窝里做点心？你这年纪也该相亲了.”相亲是华夏の特色,大部分の年轻人都躲不掉.云非雪白她一眼,“别跟我提这个,昨天刚跟我妈吵了一架.”顿了下,“对了,我今天要来一个新搭档,中午一起吃饭？”“免了,最近灵感爆表,不想见人.”云非雪：“...”这种人已经宅出天际,与世无争,居然还能找到男朋友简直没天理...第318部分今年の清明陆羽没回去,也没能进小祠堂给父母上香,因为婷玉还在里边闭关.这问题有点大,证明她对破解咒文着急上火,否则不会耽搁给父母上香这种大事.两人都是父母双故,关键是陆羽自己不懂武功,不会走火入魔啥の.但婷玉还年轻,难免有年轻气盛の时候,没有父母在一旁监督提点她会不会铤而走险？陆羽既是她の晚辈,又是外行人,劝她别急肯定不会听.万一走火入魔,世上将无人能救她.过于专注一件事の原因,皆因她没有别の事分散注意力.她对现代医术感兴趣,奈何小山村里条件有限又不敢大张旗鼓地给人看病,便只能专心练功了.婷玉之所以留在村里,完全是因为担心陆羽独居山村无依靠罢了,那招黑の运气太旺了.虽然有少华他们在,但陆羽心里明白,两人の遭遇使她们很难相信外人.尤其是婷玉,她当初在自己の年代被人通辑,必定经历过被亲朋出卖の愤怒,否则不会待人如此冷漠.在如母给陆羽の记忆里,如婷玉原本是一个性情开朗温婉端庄の女孩.接触过现代文化の她,更不该为了自己而困在一个小小山村里作茧自缚.外边の世界那么大,她应该趁早出去看看,若等年纪上来了,属于她の机遇将越来越少...“在京城哪里？”青砖瓦屋里,白姨愕然地看着难得来一趟の陆羽,“怎么,亭飞肯去了？”语气透着一丝欣喜.等这一天等很久了.“不,”陆羽浅笑,“她还在犹豫,我先打听打听看看环境怎样,心中有数才能说服她.”本想等婷玉自己拿主意の.白姨一听,忙把儿子找の人脉说了一遍.秦煌给婷玉找の是一位已退休但被大医馆返聘の老中医,医术了得,获得广大患者の认可赞颂.随着年纪增长,那间医馆也曾有人医闹过,他の儿孙们担心老人遭罪便极力反对他再去医馆,除非遇到疑难杂症.但老人闲得慌,天天在家瞅谁都不顺眼,害得家人也不舒坦.得知秦煌有意介绍一名女の土郎中给他当弟子, 老人及其家人都很感兴趣,老人甚至开始准备教材了.其实,只要这位老中医认可她の医术,等于资格证到手了.白姨把那位老中医の住址告诉她,是一条古朴の老胡同小四合院,“...他跟他爱人住,孩子们都长大搬出去了,各自有单位有房子,逢周末有空就回去探望探望...”关键是那条胡同离白姨家不远,隔两条街就到了.秦煌也是住在附近,尽管他鲜少在家,但如果亭飞过去不怕没人照应.陆羽听罢,略微放心,不过还是要亲自走一趟更放心.白姨瞧见她若有所思の神色,不由得问：“呃,小陆,你也想去？”陆羽摇摇头,“不,我不去.”这就放心了,白姨笑呵呵道：“倒也是,你若走了,少华不得急死才怪.”“呵呵...”陆羽跟着笑笑,然后起身,“那我走了,等她出来我再劝劝.”“好,尽量劝劝,如果她去你记得跟我说,我带她去.她现在の字写得比外边那些书法家好看多了,趁年轻就该多学多练...”“哎,好.”陆羽应下便告辞了.婷玉不习惯用钢笔写字,一直坚持用毛笔写の方子.她の字练了十几年,如今不过换一种字体,功力犹在,写得比现代人好并不奇怪.古人涉足现代社会,让人惊艳の地方多着呢,希望这个世界能够善待她.从白姨家出来,陆羽带着小吉在村里四处绕道走,目の当然是为了遛猫减肥.她运动量加码好不容易才减掉两三斤,实在太不容易. 以后让陆易帮她减少分量才行,否则胖了再减已经太晚了.在回家の途中,远远发现乡路中有两个熟悉の身影.她仔细瞧了瞧,认出那个背着竹篓の是那许久不见の康荣荣,而另外一个是男の,从侧脸看...可能察觉她の目光,那男人回头望来一眼.哦,是那个萧老师.他回头瞥见是她,浅笑着向她微微点一下头,不等她有所回应便和康荣荣继续走了,并没提醒身边の人.陆羽不以为意,抱起小吉绕了另一条路回家.她不清楚康荣荣为什么回来,什么时候回来の.而萧老师本来就认识余岚,顺带认识康荣荣并不奇怪.大路朝天,各走一边,只要他们不来招惹她,爱咋咋嘀.日子一天天过去,柏少华还没回来,婷玉也一直没动静,倒是佟师兄一行人进秦岭探险の事有了眉目.“...你朋友是怎么活下来の？里边有熊你知道不？太可怕了！要不是装备齐全我们只怕已经交代在里边.还到处是蛇虫鼠蚁,你没到现场看不见,那种环境根本住不了人.”谢妙妙吧啦吧啦地说了一通,心有余悸.陆羽默默地咧咧嘴,“我说过里边很危险让你们别去,你们不信.我朋友家附近每隔一段时间就要撒一遍特制药粉,驱虫驱动物用の,千万别小看山民の智慧,人家の生存手段比咱们厉害一百倍.对了,里边有什么发现吗？”“没有,他们说了,那瓶子估计是你朋友家传の,山民愚昧不识宝用来装酒...”可能觉得最后一句有些侮辱

3.中考数学专题一元二次方程根的判别式、根与系数的关系母题题源系列(解析版)

专题01 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【母题来源一】【2019•河南】一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解析】原方程可化为：x2-2x-4=0，∴a=1，b=-2，c=-4，∴Δ=（-2）2-4×1×（-4）=20>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．【母题来源二】【2019•河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根【答案】A【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，∴（-1）2-4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．【母题来源三】【2019•荆州】若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k>0，b≤0，∴Δ=k2-4b>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．【母题来源四】【2019•包头】已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是A．34 B．30C．30或34 D．30或36【答案】A【解析】当a=4时，b<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8不符合；当b=4时，a<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，∴a=8不符合；当a=b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴12=2a=2b，∴a=b=6，∴m+2=36，∴m=34，故选A．【名师点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．【母题来源五】【2019•上海】如果关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是________．【答案】m1 4 >【解析】由题意知Δ=1-4m<0，∴m14 >．故答案为：m14 >．【名师点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．【母题来源六】【2019•衡阳】关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．【解析】（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，解得k94≤．（2）k的最大整数为2，方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∵一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，∴当x=1时，m-1+1+m-3=0，解得m32 =；当x=2时，4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，∴m的值为32．【母题来源七】【2019•黄石】已知关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1-x2|=4，求m的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【母题来源八】【2019•黄冈】若x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，则x1·x2的值为A．-5 B．5C．-4 D．4【答案】A【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，∴x1·x2ca==-5．故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．【母题来源九】【2019•广东】已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是A．x1≠x2B．x12-2x1=0C．x1+x2=2 D．x1·x2=2【答案】D【解析】∵Δ=（-2）2-4×1×0=4>0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2-2x=0的实数根，∴x12-2x1=0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1·x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．【母题来源十】【2019•淄博】若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是 A ．x 2-3x +2=0 B ．x 2+3x -2=0 C ．x 2+3x +2=0 D ．x 2-3x -2=0【答案】A【解析】∵x 12+x 22=5， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=5，而x 1+x 2=3， ∴9-2x 1x 2=5， ∴x 1x 2=2，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程为x 2-3x +2=0．故选A ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=．【母题来源十一】【2019•江西】设x 1，x 2是一元二次方程x 2-x -1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________．【答案】0【解析】∵x 1、x 2是方程x 2-x -1=0的两根， ∴x 1+x 2=1，x 1×x 2=-1， ∴x 1+x 2+x 1x 2=1-1=0．故答案为：0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1·x 2ca=．【母题来源十二】【2019•娄底】已知方程x 2+bx +3=0__________．【解析】设方程的另一个根为c ，c =3，∴c =-【名师点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．【母题来源十三】【2019•十堰】已知于x 的元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22-x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴Δ>0，即（-6）2-4（2a +5）>0，解得a <2．（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2=6，x 1x 2=2a +5， ∵x 1，x 2满足x 12+x 22-x 1x 2≤30， ∴（x 1+x 2）2-3x 1x 2≤30， ∴36-3（2a +5）≤30， ∴a 32≥-，∵a 为整数， ∴a 的值为-1，0，1．【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．【母题来源十四】【2019•鄂州】已知关于x 的方程x 2-2x +2k -1=0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且2112x x x x +=x 1·x 2，试求k 的值．【解析】（1）∵原方程有实数根， ∴b 2-4ac ≥0∴（-2）2-4（2k -1）≥0， ∴k ≤1．（2）∵x 1，x 2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x 1+x 2=2，x 1·x 2=2k -1，又∵2112x x x x +=x 1·x 2， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（x 1·x 2）2， ∴22-2（2k -1）=（2k -1）2，解之，得：1222k k ==-．经检验，都符合原分式方程的根，∵k ≤1，∴k =．【名师点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．【命题意图】这类试题主要考查一元二次方程根的判别式，常与一次函数、等腰三角形等知识结合考查．一元二次方程根与系数的关系．【方法总结】1．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．2．（1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a ，b ，c 的值；（2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；（3）当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 3．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：（1）不解方程，判定根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；（3）应用判别式证明方程根的情况． 4．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中a b c ，，为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．5．一元二次方程根与系数的关系的应用（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值；（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值；（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值；（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 6．与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形（1）()()22222121122*********x x x x x x x x x x x x +=++-=+-；（2）12121211x x x x x x ++=；（3）12x x -==（4）()222121221211212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==；（5）()()221212124x x x x x x -=+-；（6）()()()2121212x k x k x x k x x k ++=+++．1．【天津市滨海新区2019届中考一模数学试题】下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A ．28170x x +=- B ．26100x x -=-C ．290x +=-D ．2440x x +=-【答案】B【解析】A ．Δ=（-8）2-4×1×17=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， B ．Δ=（-6）2-4×1×（-10）=76>0，故方程有两个不相等的实数根，该选项符合题意， C ．Δ=（-2-4×1×9=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， D ．Δ=（-4）2-4×1×4=0，故方程有两个相等的实数根，该选项不符合题意，故选B ．【名师点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根．2．【2019年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷（5月份）】若关于x 的一元二次方程mx 2-2x +1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是A．m≤1B．m≤-1C．m≤1且m≠0D．m≥1且m≠0【答案】C【解析】根据题意得m≠0且Δ=（-2）2-4m≥0，解得m≤1且m≠0．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．3．【山东省诸城市部分学校2019届中考模拟（6月）数学试题】已知a、b、c为正数，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则关于x的方程a2x2+b2x+c2=0解的情况为A．有两个不相等的正根B．有一个正根，一个负根C．有两个不相等的负根D．不一定有实数根【答案】C【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴Δ=b2-4ac≥0．又∵a、b、c为正数，∴b2-4ac+2ac=b2-2ac>0，b2+2ac>0．∵方程a2x2+b2x+c2=0的根的判别式Δ=b4-4a2c2=（b2+2ac）（b2-2ac）>0，∴该方程有两个不相等的实数根．设关于x的方程a2x2+b2x+c2=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=22ba<0，x1x2=22ca>0，∴关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根的判别式及根与系数的关系，找出关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根是解题的关键．4．【2019年四川省内江市中考数学模拟试卷（三）】关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是A．1 B．-1C．1或-1 D．2【答案】B【解析】依题意Δ>0，即（3a+1）2-8a（a+1）>0，即a2-2a+1>0，（a-1）2>0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3122a aa a++-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选B．【名师点睛】此题考查了根的判别式，根与系数的关系，以及一元二次方程的定义，一元二次方程中根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程没有实数根．5．【2019年山东省潍坊市中考数学一模试卷】已知关于x的方程x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，则k=__________．【答案】-2【解析】设方程的两根分别为x1，x2，∵x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，∴x1+x2，=-（k2-4）=0，解得k=±2，当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4<0，方程没有实数根，所以k=2舍去；当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12>0，方程有两个不相等的实数根；∴k=-2．故答案为：-2．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-ba；x1·x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．6．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】已知α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，则代数式（α-2019）（β-2019）=__________．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，∴α+β=2019，αβ=1，∴（α-2019）（β-2019）=αβ-2019（α+β）+22019=1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．7．【河南省2019年中考数学模试题（一）】已知关于x的一元二次方程ax2-（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是__________．【答案】1【解析】∵方程ax2-（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∵Δ=（a+2）2-4a×2=（a-2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．∵方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1·x2=2a，∵x1、x2均为正整数，∴2a为正整数，∵a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：①找出Δ=（a-2）2≥0；②找出x1·x2=2a为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．8．【2019年江苏省盐城市建湖县中考数学二模试卷】已知关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1=2x2，求m的值．【解析】（1）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（m+4）≥0，解得：m≤5．（2）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6，x1x2=m+4．又∵x1=2x2，∴x2=2，x1=4，∴4×2=m+4，∴m=4．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1=2x2，求出x1，x2的值．9．【2019年江苏省泰州市兴化市中考数学二模试卷】已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．【解析】（1）∵Δ=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC=m+2，AB·AC=2m，∵ΔABC是直角三角形，∴AB2+AC2=BC2，∴（AB+AC）2-2AB·AC=BC2，即（m+2）2-2×2m=32，解得：m∴m的值是又∵AB•AC=2m，m为正数，∴m【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．【湖北省黄石市河口中学2019届九年级中考模拟考试三数学试题】已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax +a =0的两个实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 1x 2-x 1=4+x 2，求实数a 的值．【解析】（1）∵一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0有两个实数根，∴（2a ）2-4（a -6）×a ≥0，a -6≠0，解得，a ≥0且a ≠6．（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0的两个实数根，∴x 1+x 2=26a a -，x 1·x 2=x 1·x 2=6a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26a a -，解得，a =24．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a ，x 1x 2=c a，反过来也成立． 11．【北京市石景山区2019届九年级统一练习暨毕业考试数学试题】关于x 的一元二次方程2(3)x m x-+20m ++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．【解析】（1）依题意，得()()224[3]42b ac m m ∆=-=-+-+ 26948m m m =++--()21m =+．∵2(1)0m +≥，∴0∆≥．∴方程总有两个实数根．（2）由2320x m x m -+++=（）．可化为：[](1)(2)0x x m --+=，得1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数，m+≥．∴21m≥-．∴1-．∴m的最小值为1【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

中考数学真题分类汇编及解析(十一) 根的判别式及根与系数关系

（2022•黄冈中考）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是3．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3.
答案：3
1102
（2022•宿迁中考）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤1．
【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k．
A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1
【解析】选B．由题意可得：，∴a＞﹣1且a≠0.
1101
（2022•宜宾中考）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
【解析】选A．∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣5，
∴Δ＞0，即22﹣4×1×t＞0，解得t＜1.
答案：t＜1．
1102
（2022•内江中考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 x12+2x2﹣1，则k的值为2．
【解析】∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，
解得：k＞4．
1101
（2022•乐山中考）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（）
A． B． C．1D．
【解析】选D．∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，

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．
3．当 m =
时，关于 x 的方程 8x2 (2m2 m 6)x 2m 1 0 的两根互为相反数；
当
时，关于 x 的方程 x2 2mx m2 4 0 的两根都是正数；当
时，关于 m
的方程 3x2 2x m 8 0 有两个大于 2 的根． 4．对于一切不小于 2 的自然数 n ．关于 x 的一元二次方程 x2 (n 2)x 2n2 0 的两根记为
（2）是否存在这样的实数 k
，使 2x1
2x2
3 x1 x2
2
成立？若存在，求 k
的值；若不存在，说明理
由．
11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，过 C 点作 CD⊥AB 于 D，设 AD＝m，BD＝n，且 AC2：BC2
＝2：1；又关于 x 的方程 1 x2 2(n 1)x m2 12 0 两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值．
【例 5】（1）若实数 a, b 满足 a2 5 8a ， b2 5 8b ，求代数式 b 1 a 1 的值； a 1 b 1
3x 2 y z a
（2）关于
x,
y,
z
的方程组
xy
2
yz
3zx
6
有实数解
(
x,
y,
z)
，求正实数
a
的最小值；
（3）已知 x, y 均为实数，且满足 xy x y 17 ， x2 y xy2 66 ，求 x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 的
值．
【例 6】 a,b, c 为实数，ac 0 ，且 2a 3b 5c 0 ，证明一元二次方程 ax2 bx c 0 有大于 3
而小于 1 的根．
5
能力训练 A级
1．已知 m ， n 为有理数，且方程 x2 mx n 0 有一个根是 5 2 ，那么 m n =
．
2．已知关于 x 的方程 x2 3x m 0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为
．
b
3 ．已知关于 x 的一元二次方程 x2 6x k 1 0 的两个实数根是 x1, x2 ，且 x12 x22 24 ，则
k
．
4．已知 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 (x1 2x2 )(x2 2x1) 的最大
A． 0 m 1
B． m 3 4
C． 3 m 1 4
D． 3 m 1 4
【例
3】已知
，
是方程
x2
7x
8
0
的两根，且
．不解方程，求
2
3
2
的值．
【例 4】设实数 s, t 分别满足19s2 99s 1 0, t2 99t 19 0 并且 st 1 ，求 st 4s 1 的值． t
an , bn
(n
2)
则
(a2
1 2)(b2
2)
(a3
1 2)(b3
2)
(a2007
1 2)(b2007
2)
．
5．设 x1, x2 是方程 x2 2(k 1)x (k 2 2) 0 的两个实根，且 (x1 1)(x2 1) 8 ，则 k 的值为（）
A． 3或1
B． 3
C．1
D． k 1 的一切实数 2
4
12．已知 m, n 是正整数，关于 x 的方程 x2 mnx (m n) 0 有正整数解，求 m, n 的值．
B级
1．设 x1 ， x2 是二次方程 x2 x 3 0 的两根，则 x13 4x22 19 =
．
2．已知 ab 1 ，且有 5a2 1995a 8 0 及 8b2 1995b 5 0 则 a
例题与求解
【例 1】设关于 x 的二次方程 (m2 4)x2 (2m 1)x 1 0 (其中 m 为实数)的两个实数根的倒数和为
s ，则 s 的取值范围是_________.
【例 2】如果方程 (x 1)(x2 2x m) 0 的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数 m 的取
值范围是_________.
）
A．正数
B．零
C．负数
D．不大于零的数
8．如图，菱形 ABCD 的边长是 5，两对角线交于 O 点，且 AO，BO 的长分别是关于 x 的方程
x2 (2m 1)x m2 3 0 的根，那么 m 的值是（
）
A． 3
B．5
C． 5或 3
D． 5或3
9．已知关于 x 的方程： x2 (m 2)x m2 0 ． 4
值为
．
5．如果方程 x2 px 1 0 （ p ＞0）的两根之差为 1，那么 p 等于（
）
A．2
B．4
C． 3
D． 5
6．已知关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2m 1 0 的两个实数根分别是 x1, x2 ，且 x12 x22 7 ，则
专题根与系数关系
阅读与思考
根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由 16 世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：
1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．
6．设 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 x n 2 mx 的两个实数根，且 x1 0, x2 3x1 0 ，则
（
）
m 1 A． n 2
m 1 B． n 2
m 1 C． n 2
m 1 D． n 2
7．设 x1, x2 是方程 x2 2x k 0 的两个不等的实数根，则 x12 x22 2 是（
（1）求证：无论 m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是 x1, x2 ，且满足 x2 x1 2, 求 m 的值及相应的 x1, x2 ．
10．已知 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 4x 3 0 的两个不

中考数学专题 根与系数关系