根与系数的关系

根与系数的关系
一元二次方程根与系数
对于一元二次方程，当判别式△＝
，时，其求根公式为：；若两根为
，根与时，则两根的关系为：；当△≥0它的逆定理也是成立系数的这种关系又称为韦达定理；
则是，时，那么的，即当
的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用还常常要求同学们熟记韦达定理解答一些变式题目外，存在的根的判别式一元二次方程
三种情况，以及应用求根公式求出方程的
即下面两个根进而分解因式，，。

希望就对应用韦达定理可能出现的问题举
例做些分析，能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

有两个不（1）的方程：例1已知关于
没有实）2相等的实数根，且关于的方程
（
1数根，问取什么整数时，方程（）有整数解？
的取12），（）条件的分析：在同时满足方程（
的整数值。

值范围中筛选符合条件的
2．
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴
解得；
）没有实数2 ∵方程（
∴根，
于是，；解得
的取值范围是）条件的1同时满足方程（），（2
或其中，的整数值有
，无整数时，方程（当1）为
根；
，有整数1当）为时，方程
（
根。

解得：
的整数）有整数根的所以，使方程（1 值是。

熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此说明：
的取值范围，并依靠熟练的解不题的基础，正确确定
，等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出
这也正是解答本题的基本技巧。

3
二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

来说，往往二次项系数，分析：对于
一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式
若判定根的正负，△，但△只能用于判定根的存在与否，的正负情况。

因此解答此题的关或则需要确定
键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正
负情况。

＞，∴△＝—4×解：∵657)(—＝2×
∴方程有两个不相等的实数根。

0 ∵，设方程的两个根为＜
∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与
，则方(1)系数的关系”结合起来进行确定，若
，则方程程有一正一负根；(2)若，
，则方程有两个(3)有两个正根；若，负根． 4．
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程的一个根为2，求另
的值。

一个根及
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定
的值，再通过解方程办义，把代入原方程，
先求出
二是利用一元二次方程的根与系数的法求出另一个根；关系求出另一个根及的值。

代入原方程，得：解法一：把
即
时，原方程均可化解得当
为：，解得：
3，4 ∴方程的值为的另一个根为。

或—1，根据题意，利用解法二：设方程的另一个根为
韦达定理得：
，
，∴把代入∵，可得：
5
，∴把代入，可得：
解得即
3∴方程的值为的另一个根为4，。

或—1
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

有两个实数根，且3 例：已知方程
的值。

两个根的平方和比两根的积大21，求
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的方程，即可的平方和比两根的积
大21”转化为关于
求得的值。

∴△解：∵方程有两个实数根，
设方程两根为解这个不等式，得≤0
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
6．
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，
应舍去不合题意的。

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

的一元二次方程是关于例5：已知、
能否同号？的两个非零实数根，问和
的取值范围；若不能同号，若能同号，请求出相应的
请说明理由，有两解：因为关于的一元
二次方程
个非零实数根，∴则有
∴
是方程、的两个实数根，所以又∵
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
）（ 1 （2）
；则有：若，
7
即有：解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若则有：，
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了
一元说明：是分析研究有关一元二次方程中根与系数的内在联系，也是计算有关一元二次二次方程根的问题的重要工具，知识的运用方法灵活多方程根的计算问题的重要工具。

样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与应是同学们重点练习的此有联系的试题出现频率很高，内容。

既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊
的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。

8．
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。

这类
问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创
造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。

七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。

例8：已知两方程和至少
有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

根据根的意义，当设两方程的相同根为时，分析：
得解后再由根与系数可以构成关于和的二元方程组，
的关系求值。

，解：设两方程的相同根为根据根的意义，
有
两式相减，
得
当时，，方程的判别式
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方程无实数解
有实数解时，当
，代入原方程，得
所以
于是，两方程至少有一个相同
4个实数根的相乘积为的实数根，
的讨论和判1）本题的易错点为忽略对说明：（
的错误，甚至还别式的作用，常常除了犯有默认
会得出并不存在的解：
，两方程相同，方程的另一根也相当时，
个根的相乘积为：； 4 同，所以）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就（2 应首先确定方程有实根的条件：
0 1．
且
的值必须满足这两个不等另外还应注意：求得的
式才有意义。

一、填空题：
，那么2、如果关于1的方程的两根之差为。

两根互的一元二次方程2、已知关于。

为倒数，则
，且、已知关于的方程的两根为3
，则。

是方程4、已知的两个根，那么：
；
；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和
；，且，则。

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的一个根是的一元二次方程6、如果关于
，的值，那么另一个根是
为。

的一根，则另一根7、已知是
为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这
个一元二次方程为：。

二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数
的关系，求的值。

利用根与系数的两个根，2、已知是方程
的值。

的关系，求
利用根与系数的两个根，是方程3、已知
的值。

的关系，求
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系
，求的值及方程的两个根。

式
6、已知方程和有一个相同的根，
求的值及这个相同的根。

答案与提示：
2 1．
一、填空题：
，，，∴，1、提示：
∴，解得：
由韦达定理得：，，2、提示：，
，∴
有意义，解得：，代入检验，∴。

、提示：由于韦达定理得：， 3，
，∵
，∴，解得：。

∴
，、提示：由韦达定理得：4，
31
；由；
可判定方程的两根异号。

有两种情况：，
，则＜①设＞0，0
＜②设；
0，＞，则。

0
由韦达定理得：提示：，，∵， 5、
，∴。

，∴∴，
由韦达定理得：，，提示：， 6、设
，。

∴，解得：，即
由韦达定理得：设 7，、，提示：，
∴，
∴，∴
、提示：设所求的一元二次方程为8 ，那
，，么
；∴设；∴，即
所求的一元二次方程为：
二、求值题：
4 1．
，，∴ 1、提示：由韦达定理得：
，，∴2、提示：由韦达定理得：
，3、提示：由韦达定理得：，
∴
，设这两个数为、 4提示：于是有，，
，的两根，即可看作方程因此
，解得：所以可得方程：，，，
所以所求的两个数分别是，。

，由韦达定理得提示：、 5，，∵
，∴
，化简得：∴，∴；解得：
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，；以下分两种情况：
，组成方程组：时，，①当
；解这个方程组得：；
，，组成方程组：时，②当
；
解这个方程组得：
，和相同的根为6、提示：设
于是可得方程组：
，解这个方程②得：；①
；得：
时，代入①得；以下分两种情况：（ 1）当
2（）当时，代入①得。

相同的根为和，所以
，。

的值分别为
6 1．。