根与系数关系ppt2
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《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程教材课件PPT
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾
1.写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
1. 1 1 x1 x2 ; x1 x2 x1x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1
x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
使用条件
1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0.
重要结论
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
新知探究
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积
等于常数项与二次项系数的比．
一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾
1.写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
1. 1 1 x1 x2 ; x1 x2 x1x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1
x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
使用条件
1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0.
重要结论
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
新知探究
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积
等于常数项与二次项系数的比．
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT教学课件
x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=
1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=
1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.
华师大版根与系数的关系PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
12
• 则x1+x2=-p，x1 x2=q
• ∴p=-(x1+x2) q= x1 x2 • ∴以x1和 x2为根的一元二次方程是
x2- (x1+x2) x+ x1 x2 =0
2020年10月2日
11
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2020年10月2日
8
当堂训练（二）
• 3.已知方程2x2 ＋ 4x － 3 ＝ 0的的两个根 是 x1, x2 ，请完成下列问题：
（1）. x1 x2 ？（2）. x1 •x2 ？
（3）.
1 x1
1 x2
？
（4）.
x12 x22 ？
（5）. x1x22 ？（6）. x12 x22 ？
2020年10月2日
的两个根是 题：
x1, x2
，请完成下列问
x1 x2 ？ x1 •x2 ？
2020年10月2日
5
教师点评
• 若一个关于 x的一元二次方程
a2x b xc0(a0) 的两个根是 x1, x2 ，则有：
b x1 x2 a
x1 • x2
c a
2020年10月2日
6
当堂训练（一）——自学检测
•1.求下列方程的“两根之和”与“两 根之积”
12
• 则x1+x2=-p，x1 x2=q
• ∴p=-(x1+x2) q= x1 x2 • ∴以x1和 x2为根的一元二次方程是
x2- (x1+x2) x+ x1 x2 =0
2020年10月2日
11
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2020年10月2日
8
当堂训练（二）
• 3.已知方程2x2 ＋ 4x － 3 ＝ 0的的两个根 是 x1, x2 ，请完成下列问题：
（1）. x1 x2 ？（2）. x1 •x2 ？
（3）.
1 x1
1 x2
？
（4）.
x12 x22 ？
（5）. x1x22 ？（6）. x12 x22 ？
2020年10月2日
的两个根是 题：
x1, x2
，请完成下列问
x1 x2 ？ x1 •x2 ？
2020年10月2日
5
教师点评
• 若一个关于 x的一元二次方程
a2x b xc0(a0) 的两个根是 x1, x2 ，则有：
b x1 x2 a
x1 • x2
c a
2020年10月2日
6
当堂训练（一）——自学检测
•1.求下列方程的“两根之和”与“两 根之积”
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》PPT
x1 x2 x1x2
22
练习4、求一元二次方程，使它的两个根是
3
1 3
,
2
1 2
解：所求方程是
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即
x2 5 x 25 0
63
或 6x2 5x 50 0
小结
本节通过探索得出一元二次方程的解与系数
存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些
5
答：方程的另一个根是
3 5
，k的值是
7 。
想一想，还有其他方法吗？
（把 x 2 代入方程的两边，求出k）
练习2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2 2 2x10
(
x 1
21, x2
21)
(2)2x2 3x80
( x1 7 73 , x2 5 73 )
4
4
练习3、不解方程，求一元二次方程两个
引入问题
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发 现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0
（1）x2－2x＝0
0
2
2
0
（2）x2＋3x－4＝0
1
-4
-3
-4
（3）x2－5x＋6＝0
2
3
5
6
观察上面的表格，你发现了什么？
c a
例1、不解方程，求方程两根的和 两根的积：
① x2 3x 1 0 ② 2x2 4x 1 0
解：①
x1 x2 3 x1 x2 1
②
x1 x2 2
x1
1一元二次方程的根与系数的关系第2课时课件初中数学沪科版八年级下册
常见求值：
(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
(3) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1x2
x2 x1 (x1 x2 )2 2x1x2
x1 x2
x1x2
三、典型例题
总结： 1.求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之 和,两根之积的情势,再整体代入. 2.进行方程根倒数计算时，要注意根是否为0.
=2.5+0.5+1=4
三、典型例题
例1.已知x1、x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根，求下列各式的值：
(4)x12+x22
(5)1 1
x1 x2
(4)x12+x22=x12+2x1x2+x22-2x1x2
=(x1+x2)2-2x1x2
=2.52-2×0.5=5.25
(5) 1 1 x2 x1 x2 x1
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2
(3) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1x2
x2 x1 (x1 x2 )2 2x1x2
x1 x2
x1x2
【当堂检测】
6.已知互不相等的实数m、n，且满足m23m50,n23n50,则m3-2n2+mn-
8m的值. 解：根据根的定义可知：m、n是方程x2+3x-5=0的两个根
∴m+n=-3，mn=-5
《一元二次方程的根与系数的关系》课件(共16张PPT)
2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册
新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》PPT
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
=
-b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
X1x2= b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
2
,
x1 ·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
一元二次方程根与系数的关系： (1)当二次项系数为1的时候关于x的方程
x2 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则：x1+x2=-p, x1x2=q
(2)关于x的方程 ax2 bx c 0a 0
x2 2
4x1x2
4 9
12
12
Hale Waihona Puke 4 9例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法一：设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
两根为
x1, x2
,则,
x1
x2
b a , x1x2
c a
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根