根与系数关系
根与系数的关系公式8个
根与系数的关系公式8个1、一次方程的根：如果ax+b=0，则一次方程的根为x=-b/a；2、二次方程的根：如果ax²+bx+c=0，则二次方程的根为x=(-b±√(b²-4ac))/2a；3、三次方程的根：如果ax³+bx²+cx+d=0，则三次方程的根为x=[-b±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d)]/6a；4、四次方程的根：如果ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则四次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)]/12a；5、五次方程的根：如果ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则五次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+½a(3b²-8ac)fa³]/20a；6、六次方程的根：如果ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则六次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²]/30a；7、七次方程的根：如果ax⁷+bx⁶+cx⁵+dx⁴+ex³+fx²+gx+h=0，则七次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h]/42a；8、八次方程的根：如果ax⁸+bx⁷+cx⁶+dx⁵+ex⁴+fx³+gx²+hx+i=0，则八次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h+⁴a(b⁴-3bc²a²+6b²d-8acd)i]/56a。
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式：ax²+bx+c=(a≠0)，当判别式＝b²-4ac>=0时。
设两根为x₁，x₂，则根与系数的关系（韦达定理）：x₁＋x₂＝－b/a；x₁x₂＝c/a。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0。
（2）将方程左边分解为两个一次式的积。
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程的根与系数关系
知识创造未来一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是数学中经常接触的基础知识，它的形式为ax²+bx+c=0，a、b、c代表三个系数，x代表未知数。
其中a不为0，因为当a为0时，方程就变成了一元一次方程。
对于一元二次方程，我们可以通过求解它的根来得出x的值。
那么，一元二次方程的根与系数关系是什么呢？首先，我们可以利用求根公式得出一元二次方程的两个根：x1=(-b+√(b²-4ac))/2a和x2=(-b-√(b²-4ac))/2a。
在这个公式中，我们可以看到a、b、c三个系数的重要性。
其次，我们来探讨一下一元二次方程的根与系数的关系。
当a>0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。
而当a<0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。
最后，我们来总结一下一元二次方程的根与系数的关系。
在一元二次方程中，若a>0，则与b²-4ac的大小有关，若b²-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，则方程无实根，有两个共轭虚根。
而当a<0时，情况与a>0时类似，只是有些细节上的差异。
掌握这些规律，可以更好地求解一元二次方程，提高数学学习的效率。
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一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
多项式的根与系数之间的关系
多项式的根与系数之间的关系多项式在数学领域中有着广泛的应用，从简单的代数运算到微积分、差分方程等复杂的数学问题都需要用到多项式。
其中，多项式的根与系数之间的关系是一个重要而又复杂的问题。
一、多项式根的定义一个n次多项式f(x)的根是指满足f(x)=0的x值。
例如，二次多项式f(x)=3x^2-2x+1的根可以通过求解方程3x^2-2x+1=0得到，其解为x=1/3和x=1。
二、多项式根与系数之间的关系在一定的条件下，多项式的根与系数之间有确定的关系。
这个关系被称为Vieta定理。
设f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0是一个n次多项式，其根为x_1,x_2,...,x_n，则有以下公式成立：1. 一个多项式的常数项a_0等于其根的乘积的相反数，即a_0=(-1)^n a_n x_1 x_2 ... x_n。
2. 一个多项式的一次项系数a_1等于其根的和的相反数，即a_1=(-1)^{n-1} a_n (x_1+x_2+...+x_n)。
3. 对于一个偶次多项式（即n为偶数），其二次项系数a_2等于其根的两两乘积的和的相反数，即a_2=(-1)^n-2 a_n(x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)。
4. 对于一个奇次多项式（即n为奇数），它的二次项系数为0。
例如，对于一个三次多项式f(x)=x^3-3x^2+2x+4，根可以通过解方程x^3-3x^2+2x+4=0得到。
通过Vieta定理，可以得出a_0=4、a_1=2和a_2=-3。
Vieta定理为研究多项式根的性质和多项式系数的关系提供了一个有力的工具。
三、多项式根的性质多项式根的性质在代数学中有着重要的地位。
以下是一些常见的多项式根的性质：1. 多项式的根具有互异性。
也就是说，一个多项式的根必须是不同的。
如果存在重复的根，则这些根都必须是代数上不同的。
2. 多项式的根必须在复数域上。
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了多项式方程根与系数之间的关系。
韦达定理在代数学和数学分析中有着广泛的应用，对于理解多项式方程的根的性质和特征具有重要意义。
韦达定理的正式表述如下：对于一个n次多项式方程，其一般形式为：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$是多项式的系数，$n$是方程的次数，$x$是未知数。
韦达定理指出，如果多项式方程有一个根为$x=k$，那么可以将方程表示为以下形式：$(x-k)(a_nx^{n-1} + b_{n-1}x^{n-2} + ... + b_1x + b_0) = 0$其中$a_n, b_{n-1}, ..., b_1, b_0$是新的系数，$x-k$是一次因式。
通过展开上述等式，我们可以得到：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$这说明多项式方程的一个根$k$对应着方程的一个一次因式$x-k$。
这意味着，如果我们能够找到多项式方程的所有根，那么我们就能够将方程完全分解成一次因式的乘积，从而得到多项式的因式分解式。
韦达定理还告诉我们，根与系数之间存在着一种重要的关系。
设多项式方程的根为$x_1, x_2, ..., x_n$，那么我们可以得到以下关系：$x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$...$x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$这些关系告诉我们，多项式方程的根的各种组合方式与系数之间有着密切的联系。
通过这些关系，我们可以在已知多项式方程的系数的情况下，计算出方程的根的和、乘积以及根的各种组合之和。
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一元二次方程根与系数
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么
则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分
析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴解得；
∵方程（2）没有实数根，∴
解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
1
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得当时，原方程均可化为：，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
2
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和
能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
3
假设、同号，则有两种可能：
（1）（2）
若，则有：；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。
这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，根据根的意义，
4
5
有
两式相减，得
当时， ，方程的判别式
方程无实数解
当时， 有实数解
代入原方程，得
， 所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认
的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：
；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的
的值必须满足这两个不等式才有意义。
一、填空题： 1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程
两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知
是方程的两个根，那么： ；
；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则
；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根
是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程
为：。
二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
答案与提示：
一、填空题：
1、提示：，，，∴，
∴，解得：
2、提示：，由韦达定理得：，，∴，
解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
6
7
4、提示：由韦达定理得：，，
；
；由，
可判定方程的两根异号。
有两种情况：①设
＞0，
＜0，则
；②设＜0，＞0，
则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，
∴
，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：
，，∴，
解得：
，
，即。
7、提示：设，由韦达定理得：
，
，∴，
∴
，∴
8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，
∴，即
；
；∴设所求的一元二次
方程为：
二、求值题：
1、提示：由韦达定理得：，，∴
2、提示：由韦达定理得：，，∴
8
3、提示：由韦达定理得：，，
∴
4、提示：设这两个数为
，于是有
，
，因此
可看作方程
的两根，即，
，所以可得方程：，解得：
，
，所以所求的两个数分别是
，。
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，
∴，∴
，化简得：；解得：
，
；以下分两种情况：
①当时，，，组成方程组： ；解这个方
程组得：；
②当时，，，组成方程组：；
解这个方程组得：
6、提示：设
和相同的根为，于是可得方程组：
；①②得：，解这个方程得：；
以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。
所以
和
相同的根为
，
的值分别为
，。