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初三数学上册根与系数关系练习题
初三数学上册一元二次方程根与系数的关系练习题1、 知方程01242=+-m x x 的根之比是3:2，求m 的值2、 知关于x 的一元二次方程012=-+kx x（1） 求证：方程有两个不相等的实数根 （2） 设方程的两个212121,x x x x x x =+且满足，求k 的值<3、 关于x 的一元二次的方程212,01)1(2x x k x k kx有两个不相等的实数根=-++-(1)、求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k,使11121=+x x 成立若存在求出k 的值，若不存在说明理由4、 关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx有两个相等的实数根 。
（1）、求k 的取值范围（2）、是否存在k ，使两根之和等于0若存在求k 的值，若不存在说明理由5、已知关于x 的一元二次方程)0(02)12(2>=-+--m m x m mx（1）、证明：此方程方程有两个不相等的实数根. （2）、的值求）且（是这个方程的两个实数根m m x x x x ,5)3(3,,2121=--~6、关于x 的一元二次的方程的两个根互为相反数，04)183(322=+---a x a a x 求a 的值，方程的两个解7、关于x 的一元二次的方程032222=+++k kx x的两个实数根为21,x x 问是否存在实数k ，使其521=+x x 成立若存在求k 的值，若不存在说明理由8、关于x 的方程04)2(222=++++m x m x 有两个实数根，且这两个根的平方和比两个实数根的积大40，求m 的值}9、关于x 的一元二次的方程0252=+-x ax 有两个同号实数根，试判断这两个同号实根是两个负根，还是两个正根，说明理由10、若21,x x 关于x 的一元二次的方程0)1(4422=+-+m x m x的两个非零实根，问这两个根是否能同号若能同号，请写出相应的m 的取值范围，并指出两根的正负；若不能同号，说明理由<11、关于x 的方程01)12()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根（1）、求k 的值（2）、是否存在k,使方程的两个实根满足22121+=+x x x x ，若存在说明理由，若不存在，请说明理由。
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
根与系数的关系练习题
根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
根与系数的关系练习.doc
根与系数的关系练习2 一、填空题： 1、以12,12-+为两根的一元二次方程是 。
2、已知关于x 的方程x 2+m 2x+m=0的两个实数根是x 1、x 2，y 1、y 2是方程y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1-y 1=2，x 2-y 2=2，则m=_______．3.已知关于x 的方程x 2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k=______．4.分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______．5、 已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，则(a －1)(b －1)= ______．6、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)二、解答下列各题：（每小题6分，共36分）1、设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）（x 1+1）（x 2+1）；（2）x 12x 2+x 1x 22；（4）（x 1-x 2）2；2、已知关于x 的方程x 2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根．3、已知x1 ，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．4、已知关于x的方程x2＋2（m-2）x＋m4＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程．5、已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-（2m-1）x＋4（m-1）＝0的两个根，求m的值．6、已知关于x的方程3 x2– 10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k的值：（1）有两个实数根（2）有两个正数根（3）有一个正数根和一个负数根.。
一元二次方程根与系数地关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于 x 的方程ax22x 1 0 中，如果 a 0 ，那么根的情况是（ B ）（ A）有两个相等的实数根（ B）有两个不相等的实数根（ C）没有实数根（ D）不能确定解：( 2)24a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根。
4 4a 4 4a 0a 0 即02．设 x1, x2是方程2x2 6 x30 的两根，则 x12x22的值是（ C ）（A）15 （ B）12 （C）6 （D）3解：方程两根为 x1，x2x1 2 x2 2 ( x1x2 )22x1 x2 x1x23， x1x23 32 2 3 6 2 23．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（ A）2y2+5=6y（ B） x2+5=25 x（ C）3 x 2－ 2 x+2=0 （ D） 3x2－ 2 6x+1=0(本题为找出“0”的方程即可 )4．以方程 x2＋ 2x－ 3＝ 0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A） y2+5y－ 6=0 （ B） y2+5y＋6=0 （ C）y2－ 5y＋6=0 （ D） y2－ 5y－ 6=0解：设方程两根为 x1，x2，则：y 2[( 2) ( 3)] y ( 2)( 3)x1 x22，x1 x23 即： y 25y 6 0以2和 3为根的一元二次方程为：5．如果 x1， x2是两个不相等实数，且满足x1 2 2x11， x222x2 1 ，那么 x1x2等于（ D ）（A）2 （B）－ 2（C） 1 （D）－1解： x1 2 2x11，x222x2 1 的两根x1， x2可看作是方程 x22x 1 x1 x2 1二、填空题：1、如果一元二次方程x24x k 20 有两个相等的实数根，那么k＝ 2 。
解：方程 x 24x k 20 16 4k 20 有两个相等的实数根k 212、如果关于 x 的方程 2 x 2 ( 4 1) x 2 2 1 0 kk 9k k 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 。
初三数学根与系数的关系练习题
初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。
问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
因此，已证明了问题一中的两个关系式。
问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。
初三数学同步练习：《根与系数的关系》-最新学习文档
初三数学同步练习：《根与系数的关系》
一、填空题：
1、以为两根的一元二次方程是。
2、已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2，
x2-y2=2，则m=_______.
3.已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k=______.
4.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______.
5、已知a2=1-a，b2=1-b，且ab，则(a-1)(b-1)= ______.
6、若、为实数且|+-3|+(2-)2=0，则以、为根的一元二次方程为。
(其中二次项系数为1)
二、解答下列各题：(每小题6分，共36分)
1、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
(1)(x1+1)(x2+1);(2)x12x2+x1x22; (4)(x1-x2)2;
2、已知关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根.
3、已知x1 ，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，
求m值.
4、已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m4+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程.
5、已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根，求m的值.
6、已知关于x的方程 3 x2 10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k的值：
(1)有两个实数根 (2)有两个正数根 (3)有一个正数根和一个负数根.。
根与系数关系专题练习
根与系数关系专题1．已知关于x的一元二次方程20+-=（k为常数）总有实数根．x k（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．2．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．4．关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k 的取值范围；（2）若方程两根x 1，x 2，满足x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，求k 的值．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5； （2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=．（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（1）求m 的取值范围；（2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值．22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．28．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.29．已知关于x 的一元二次方程2x 5x 2m 0-+=有实数根．()1求m 的取值范围；()2当5m 2=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．30．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．31．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.32．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．33．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．34．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．35．（7分）已知关于x 的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．36．已知关于x的方程x2−kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(2x1+x2)−8(2x1+x2)+15=0.（1）求证：n<0;（2）试用k的代数式表示x1;（3）当n=−3时,求k的值.37．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，227x3x04+-=，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．38．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．39．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．40．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0 ．（1）如果方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）如果()()122,,3,y y 是直线(3y m x =+上两点，比较1y 与2y 的大小．根与系数关系专题一、解答题1．已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．【答案】（1）7k -；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值，将k 的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．【详解】解：（1）∵方程总有实数根，240k ∴∆=+≥，解得：7k -；（2）∵方程有两个相等的实数根，240k ∴∆=+=，解得：7k =-，代入方程得：270x ++=，解得：12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”． 2．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．【答案】（1）m ≥23且m ≠1，（2）k ＝3 【分析】 （1）根据判别式即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）化为一般式：（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ﹣2＝0，∴()()21044120m m m m -≠⎧⎨=---≥⎩， 解得：m ≥23且m ≠1 （2）由（1）可知：m 是最小整数，∴m ＝2，∴（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2化为x 2﹣4x ＝0，解得：x ＝0或x ＝4，∵（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，∴当x ＝0时，此时k ﹣3＝0，k ＝3，当x ＝4时，16（k +1）+4+k -3＝0，∴k ＝﹣1，∵k +1≠0，∴k ＝﹣1舍去，综上所述，k ＝3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）m ＜43且m ≠0；（2）x 1=1，x 2=3 【分析】取值范围．（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【详解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜4 3又m≠0，∴m＜43且m≠0，（2）∵m为正整数∴m=1，∴原方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．4．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k的取值范围；（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1【分析】（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．【详解】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，∴k≥﹣3且k≠1．②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，∴k＝1，综上，k≥﹣3时方程有实根；（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -， ∵x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，∴（x 1＋x 2）2﹣6x 1x 2＝1，∴（41k -）2＋61k -＝1， ∴()()2161160k k ----=，∴()()18120k k ---+=，∴90,10k k -=+=，解得：k ＝9或k ＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2；（2）m =0或m =83-．【分析】（1）根据k -2≠0且240b ac -＞求解即可；（2）k =3，求得240x x k -+=的两个根为121,3x x ==，分别代入210x mx +-=计算即可．【详解】（1）∵一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴k -2≠0且240b ac -＞，∴k -2≠0且2(4)4(2)20k --⨯-⨯＞，∴k ＜4且k ≠2；（2）∵k ＜4且k ≠2，且k 是最大整数，∴240x x k -+=变形为2430x x -+=，∴(1)(3)0x x --=∴121,3x x ==，当x =1是相同的实数根时，则21110m +⨯-=，解得m =0；当x =3是相同的实数根时，则23310m +⨯-=，解得m = 83-；综上所述，m =0或m =83-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，不等式的整数解，熟练将根的判别式具体化，灵活解方程是解题的关键．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）∵方程x 2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∴△=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∴m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∴(x 1+x 2)2＝16+3x 1x 2，∴4（m -1）2=16+3（m 2-1），解得：m 1=-1，m 2=9，∵m ＜1，∴m 2=9舍去，即m =-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m 的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）m ≤2；（2）m =1；另一个根为5【分析】（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；（2）把x =1代入()26410x x m -++=求出m 的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）由题意，得36-4(4m +1) ≥0，解得m ≤2；（2）把x =1代入()26410x x m -++=，得 ()16410m -++=，解得m =1；设另一根为x 2，则1+ x 2=6，解得x 2=5，∴方程的另一个根为5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m <；（2）m=-1或m=0 【分析】 （1）根据根的判别式，可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用m 表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围，再求其值即可．【详解】解：（1）由题可得，2(4)4(23)48m m ∆=--+=-方程有两个不相等的实数根，0∴∆>即480m ->．解得12m < （2）由根与系数的关系可得124x x +=，1223x x m =+．22121213x x x x +-≤)21212(313x x x x ∴+-≤即243(23)13m -+≤，解得1m ≥-由（1）可得112m -≤<又m 为整数， 1m ∴=-或0m =【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．【答案】（1）4；（2）32【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k 的值；（2）把已知等式两边平分可得到（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，则x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，继而可得：k +1＝0或△＝0，再分别求出k ，然后根据（1）中k 的取值范围即可求得k 的值【详解】解：（1）根据题意得△＝（k +1）2﹣4（14k 2+1）≥0，解得k ≥32， x 1+x 2＝k +1，x 1x 2＝14k 2+1， ∵x 1x 2＝5， ∴14k 2+1＝5，解得k ＝±4， ∵k ≥32， ∴k 的值为4；（2）∵|x 1|＝x 2，∴x 12＝x 22，∴（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，∴x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，∴k +1＝0或△＝0，∴k ＝﹣1或k ＝32， ∴k 的值为32． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的有关知识点．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．【答案】（1）4m ≤；（2）3＜4m ≤．【分析】（1）由一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，得到△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，解不等式即可；（2）先利用根与系数关系定理，得1x +2x =6，1x 2x =2m +1，代入1212220x x x x ++>，求得m 的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．【详解】（1）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，∴△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，∴9-2m -1≥0，解得：4m ≤（2）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=的两个实数根为1x 、2x ，∴1x +2x =6，1x 2x =2m +1，∵1212220x x x x ++>，∴6+2（2m +1）＞20，解得m ＞3，∵4m ≤，∴m 的取值范围是3＜4m ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）k ＝1或k ＝3；（3）k 的值为﹣3或0【分析】（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑：当k +1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k +1≠0时，根的判别式△=（k -3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k ≠-1，利用求根公式求出x 1、x 2的值，由x 1=-1和x 2为整数以及k 为正整数，即可求出k 的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，△=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0， ∴方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∴()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∴k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∴|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭， 解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．【答案】（1）3m 4≥-；（2）m 3= 【分析】（1）利用判别式得到()222340m m =+-≥，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥， 解得：3m 4≥-， ∴m 的取值范围是3m 4≥-； （2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，∵()()111αβ++=，∴ 0αβαβ++=， 即()2230m m -+=， 解得：1231m m ==-，(舍去)，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=． 13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．【答案】（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．【答案】（1）1k >-；（2）12x =-，20x =【分析】（1）根据方程根的情况可得24440b ac k ∆=-=+>，求解即可；（2）将k 的值代入，求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，24440b ac k ∴∆=-=+>，解得1k >-．k ∴的取值范围为1k >-；（2）k 为（1）中的最小整数0k ∴=∴方程为220x x +=解得：12x =-，20x =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24b ac ∆=-与一元二次方程根的情况是解题的关键．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【答案】（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得：()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴22x ±=，解得1211x x ==【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键． 16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=． （1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出()1221x x m +=-，2123x x m m =-，再由122x x -=得到122x x -==，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．【详解】解：（1）∵方程222(1)30x m x m m --+-=有实数根，∴()224(1)4130m m m =--⨯⨯-≥△，解得：m≥-1；（2）∵12,x x 是方程的两个实数根，∴()1221x x m +=-，2123x x m m =-， ∵122x x -==， ∴()()2242143m m m --⎦-=⎡⎤⎣， 解得：m=0；（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=的一个解，把x=10代入方程得210020(1)30m m m --+-=，解得m 1=8，m 2=15，当m=8时，x 1+x 2=2（m-1）=14，解得x 2=4，则三角形周长为4+10+10=24； 当m=15时，x 1+x 2=2（m-1）=28，解得x 2=18，则三角形周长为10+10+18=38； 当10为等腰三角形的底边时，则x 1=x 2，所以m=-1，方程化为2440x x ++=，解得x 1=x 2=-2，故舍去；综上所述，这个三角形的周长为24或38．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k 的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．【答案】（1）m ＜54；（2）-1． 【分析】 （1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1， 利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根； （2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，3=.解得，m =﹣1（m ＜54） 故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值． 【答案】（1）见解析；（2）6b =-，8c =或12b =-，32c =．【分析】（1）求出该方程的两个根，判断两个根的关系即可．（2）根据20x bx c ++=是倍根方程，可知另一根为2或8．即可分类讨论求出该一元二次方程，即可求出b 、c ．【详解】（1）∵29180x x ++=， ()()360x x ++=，13x =-，26x =-．∵6-是3-的2倍，∴29180x x ++=是倍根方程；（2）∵20x bx c ++=是倍根方程，且有一个根为4，则另一根为2或8． ①当两根为4和2时，()()242680x x x x --=-+=，∴6b =-，8c =．②当两根为4和8时，()()24812320x x x x --=-+=，∴12b =-，32c =，综上所述：6b =-，8c =或12b =-，32c =． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据题干理解倍根方程的定义是解答本题的关键．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．【答案】（1）14m ≥-；（2）14m =-.【分析】（1）根据判别式△=24b ac -≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． ∴△=22(21)4m m +-≥0, ∴14m ≥-; (2) ∵22120x x -=∴1212()()0x x x x -+=, ∴120x x -=或120x x +=, ∴△=0或2m+1=0, 解得14m =-或12m =-(舍去),∴14m =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键.21．关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值． 【答案】（1）34m <；（2）3- 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得()222340m m ∆=-->， 解得：34m <； （2）根据题意，得：()122332x x m m +=--=-，212x x m =∵12111x x +=，即12121·x xx x += ∴2321mm -= 解得：1m =或3m =- ∵34m <∴1m =舍去当3m =-时，20m ≠ ∴m 的值是3-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解． 22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值． 【答案】（1）112m ≥-（2）2m =【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-； （2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值． 【答案】（1）k>-1；（2）1 【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】 解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k ， ∴111a ab -++ =()()()()1111a b a a b +-+++=11ab ab a b -+++=121k k ----+=1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 24．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值． 【答案】(1) 2k ≥；(2) =3k 【分析】(1)根据0∆≥建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为2121212()224⎡⎤+-=⎣⎦x x x x x x ，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，2(4)41(28)0∆=--⨯⨯-+≥k ，整理得：16+8320-≥k ， 解得：2k ≥，∴k 的取值范围是：2k ≥． 故答案为：2k ≥．(2)由题意得：3321212121212()224⎡⎤+=+-=⎣⎦x x x x x x x x x x ， 由韦达定理可知：12+=4x x ，1228=-+x x k ， 故有：2(28)42(28)24⎡⎤-+--+=⎣⎦k k ， 整理得：2430k k -+=， 解得：12=3,1=k k ， 又由(1)中可知2k ≥， ∴k 的值为=3k ． 故答案为：=3k ． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程没有实数根．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 【答案】（1）k≤3；（2）3k =-． 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0， 解得：k≤3，故k 的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去）， 经检验，3k =-是原方程的根， 故3k =-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴2(2)4(2)0k ∆=--+ 解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-， ∴1212222x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=，解得k = 又由（1）知：1k ≤-，∴k = 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值． 【答案】(1)1k ≤；(2)k =. 【分析】(1)根据一元二次方程22210x x k -+-=有两个不相等的实数根得到()()224210k ∆=---≥，求出k 的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴240b ac -≥，∴()()224210k ---≥， ∴1k ≤.(2)∵1x ，2x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122x x +=，1221x x k ⋅=-，又∵211212x x x x x x +=⋅， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴()()221212122x x x x x x +-=⋅， ∴()()22222121k k --=-，解之，得：12k =，22k =-． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵1k ≤，∴k =． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．。
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一元二次方程的根与系数的关系
姓名____________________ 号__________________
01基fli训练
知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1. 若X I、X2是一元二次方程X2+10X+16的两个根，则X1+X2的值是（）
A.-10
B.10
C.-16
D.16
2. 已知X1，X2是一元二次方程X2-4X+仁0的两个实数根，则X1X2等于（）
A.-4
B.-1
C.1
D.4
3.若X1,X2是一兀二次方程2X .-7X+4=0的两根，则X什X2与X1 • X2的值分别是
（）
7 c r 7 c77 c
A.--,-2
B.-, 2C— ., 2 D. —, -2
2222
4.已知一•兀二次方程的两根分别是2和-3,则这个•兀二次方程是（）
2 2 2 2
A.x -6x+8=0
B.x +2x・3=0
C.x -x-6=0
D.x +x-6=0
5. 已知X1、X2是方程X2-3X-2=0的两个实根，则（X1-2）（X2-2）= ___
2 1 1
6. 若一元二次方程X -X-1=0的两根分别为X1、X2，贝V =
知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7. 若关于X的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为X1=-2 , X2=4 ,则b+c的值是（）
A.-10
B.10
C.-6
D.-1
8. 已知关于X的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是（）
A.-2
B.0
C.1
D.2
2 ______________
9. 已知关于X的方程X +X+n=0有两个实数根-2, m.求m, n的值.
10. 不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
2 2 2
（1）X -5X-10=0（2）2X +7X+仁0 （3）3X-1=2X+5
(4) X ( X-1 ) =3X+7 2
(5) X -3X+1=0 (6)3X2- 2X=2
2 ___________________ _ 12. 若X 1,x 2是方程x -2x-1=0的两根，则（x 计1）（x 2+1）的值为 _______ . _______
13. 已知 X 1, X 2是方程 2x 2— 7x + 4= 0 的两根，则（X 1— X 2）2 = __________
14•已知一元二次方程 x 2 • 2x -8二0的一个根2，则另一个根是
15.方程x -（m + 1）x+2m-1= 0 ,当m= _____________ ■寸，此方程两个根互为相反数；当 m= ____ 时两根互为倒数。
16. 已知一元二次方程 x 2-x+2=0，则下列说法正确的是 （）
A.两根之和为1
B.两根之积为2
C •两根的平方和为-3 D.没有实数根 17. X 1, X 2是关于 x 的一元二次方程
x 2-mx+m-2=0的两个实数根，是否存在实数 m 使 丄 —=0成立？则正确的结论是（）
X 1 X 2
A.m=0时成立
B.m=2时成立
C.m=0或2时成立
D.不存在 18.
在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为
-9, -1;乙看错了常数项, 得出的
两根为8, 2.则这个方程为___. 19. 关于x 的一元二次方程x 2+3x+m-仁0的两个实数根分别为 X 1,X 2.
（1）求m 的取值范围；
⑵若 2(x 1+X 2)+X 1X 2+10=0，求 m 的值.
02能力提升
兀二次方程
二0的两根为x ,,x 2，则— X 1 1 = X ?
元二次方程一实际问题（1）预习思路
屈一朮一次方秤*二兀一次力押（组）斧一样再一儿—一次
力fl'也呵以ft为反I夷垄些丈印问毬中数:C X 睪的散学怏空-本
百笊纯讨论如何利川•儿二次方H 分析嶄抉实品阿牆.
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解方程・徘
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容U 求出•甲种马品成*的勺F 均卜降沁 (JL >为 enoo7(xxm 1 ooo ・乙种药M 成本的 ；l THJ 卜'降额(X)为 <6 4XW-3 600)-^2=1 200< 迪贻 乙种构閉说本的年幣禺FRH*较丸 但是・年 ¥均卜•降糯(兀｝不竽岡于华半禺卜繹华I 朴分数人 设屮种词晶成本的勺瞥禺卜-降华为卄则•年1R 屮种玛朋成本为xxw\_n 心 丽林甲WWAJft* ^soood-j)1 JL - F£W 5 (M)0( 1—j )*4=3 000. 解新f M r ;^sO. 225. r =&L 775» 社撫问題的实际jfi 义•甲种为貼的威亭年半同F 降率约为脱苗％・ 乙种鍔品成本的年屮月卜降申足霽少?讷比较jttf 种制品成本的年¥列卜臬率* W --------------------------------- 控过计算・挣鱸常出什么幼论？戌本下耀WJ 较大的霸曷•它的成本下爭寧一定也较大吗？应 怎祥全西地比殺几个对象的变ft 茨况？ o 怜什蛊y
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