根与系数的关系资料 系数公式
根与系数的关系.1根与系数的关系
解： a 2, b 5, c 7 解： a 2, b 3, c 1
=b2 4ac=52 4 2 7
=81>0
b5 x1 x2 a = 2
x1x2
c a
7 2
2
=b2
x1
x24ac==ba5>30
43 2
2
1
∴x原1x2方 程ac 无12实数根
3、 4x2 8x 3 0
2x 12x 3 0
x1
=
1 2
，x2
=
3 2
a 4, b 8, c 3
x1 x2 2
=b a
3 x1x2 4
=c a
4、 6y2 y 15 0
2y 33y 5 0
y1
=
3 2
，y2
=
5 3
5 x1 x2 2
=b a
x1 x2
3 2
=c a
2、 2x2 x 6 0
x 22x 3 0
x1
=
2，x2
=
3 2
a 2, b 1, c 6
1 x1 x2 2
=b a
x1x2
3
=c a
6、用十字相乘法解一元二次方程：
b x1 x2 a = 5
x1x2
c a
6
=b2 4ac=32 4 2 5
=49>0
x1
x2
b a
3 2
x1x2
c a
三次方程根和系数的关系
三次方程根和系数的关系
三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d分别为三次项、二次项、一次项和常数项的系数。
三次方程
的根和系数之间存在一些重要的关系。
首先，我们知道三次方程的根可以是实数或复数。
根据代数基
本定理，一个三次方程在复数域内一定有三个根（可能重根），这
意味着方程的三个根可以用复数表示。
其次，三次方程的根和系数之间存在一个重要的关系，即
Vieta's formulas（维埃塔定理）。
根据维阿塔定理，三次方程的
根与系数之间有如下关系：
1. 三个根的和与系数b/a的符号是相反的，即x1 + x2 + x3
= -b/a。
2. 三个根两两乘积的和与系数c/a的符号是相反的，即x1x2
+ x1x3 + x2x3 = c/a。
3. 三个根的乘积与系数-d/a的符号相同，即x1x2x3 = -d/a。
这些关系表明了三次方程的根与系数之间的紧密联系。
通过这
些关系，我们可以利用方程的系数来推断方程的根，或者反过来，
已知方程的根来推断方程的系数。
另外，三次方程的系数也可以通过根和根与系数的关系来求解。
通过维阿塔定理，我们可以利用方程的根来求解系数，这在实际问
题中有着重要的应用，例如在工程、物理学和经济学等领域。
总之，三次方程的根和系数之间存在着重要的关系，这些关系
不仅帮助我们理解方程的性质，还可以应用于实际问题中的求解和
分析。
《一元二次方程根与系数的关系》 知识清单
《一元二次方程根与系数的关系》知识清单一元二次方程是初中数学中的重要内容，其中根与系数的关系（韦达定理）更是有着广泛的应用。
让我们一起来深入了解一下这个重要的知识点。
一、什么是一元二次方程形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的方程叫做一元二次方程。
其中$a$是二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。
二、一元二次方程的求根公式对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其求根公式为：＄x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
当$b^2 4ac ＼gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 4ac ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 4ac ＼lt 0$时，方程没有实数根。
三、根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的两根为$x_1$，＄x_2$，则有：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b}｛a}＄＄x_1 ＼cdot x_2 ＝＼frac{c}｛a}＄这就是一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理。
四、韦达定理的推导设方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的两根为$x_1$，＄x_2$，由求根公式可得：＄x_1 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄，＄x_2 ＝＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄则：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a} ＋＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac} b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{－2b}｛2a} ＝＼frac{b}｛a}＄＄x_1 ＼cdot x_2 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a} ＼cdot ＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{（b)＾2 （＼sqrt{b^2 4ac}）＾2}｛4a^2}＄＄＝＼frac{b^2 （b^2 4ac)｝｛4a^2}＄＄＝＼frac{4ac}｛4a^2} ＝＼frac{c}｛a}＄五、韦达定理的应用1、已知方程的一根，求另一根及未知系数例如：已知方程$x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$的一个根为 2，求另一个根及常数项。
中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系二次方程是一个常见的数学概念，它的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
解决这个方程的关键是求出它的根，也就是满足方程的x值。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并解释这些关系对解的影响。
1. 一元二次方程的一般解法为了求解二次方程，我们可以使用以下一般解法：1) 判断Δ = b² - 4ac的值：若Δ > 0，则方程有两个不同实根；若Δ= 0，则有两个相同实根；若Δ < 0，则没有实根；2) 计算根的值：若Δ > 0，则实根为x₁ = (-b + √Δ) / 2a和x₂ = (-b - √Δ) / 2a；若Δ = 0，则实根为x₁ = x₂ = -b / 2a。
2. 二次方程根与系数之间的关系接下来，我们将讨论二次方程的根与系数之间的关系。
假设方程的根为x₁和x₂，则有以下关系：1) 根的和与系数的关系：x₁ + x₂ = -b / a。
这意味着二次方程的根的和与系数b和a之间存在着特定的关联。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的和为x₁ + x₂ = -3 / 1 = -3。
2) 根的乘积与系数的关系：x₁ * x₂ = c / a。
同样地，二次方程的根的乘积与系数c和a之间也有着特定的关系。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的乘积为x₁ * x₂ = 2 / 1 = 2。
这两个关系可以帮助我们更好地理解二次方程的性质和解的特点。
3. 根与系数的例题分析为了更加具体地说明根与系数之间的关系，我们来看几个例题。
例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。
首先，我们可以计算出Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 1，由于Δ > 0，该方程有两个不同实根。
根据一般解法，我们可以得到根的计算公式：x₁ = (5 + √1) / 2(1) = 3，x₂ = (5 - √1) / 2(1) = 2。
二次方程的根与系数的关系证明
二次方程的根与系数的关系证明二次方程是数学中一种常见的方程形式，它可以表示成ax^2 + bx + c = 0的形式，其中a、b、c为系数，x为未知数。
在解二次方程时，我们经常关注方程的根，即方程的解。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并进行证明。
假设二次方程的根为x1和x2，我们可以通过求解二次方程得到它们的表达式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a首先，我们来观察系数b。
对于x1，我们可以将其带入二次方程得到：a(-b + √(b^2 - 4ac))^2 + b(-b + √(b^2 - 4ac)) + c = 0展开并整理上式，得到：(b^2 - 4ac) - 2ab√(b^2 - 4ac) = 0继续整理上式，得到：b^2 - 4ac = 4a^2b^2(b^2 - 4ac)将两侧的4a^2b^2分别移到一侧，并化简得：4a^2b^2 + (b^2 - 4ac) = 0我们可以观察到，方程左侧的第一项是b的二次幂，第二项是常数b^2 - 4ac。
而我们知道，二次方程的根与系数有关，可以表示为根的函数。
因此，我们可以将左侧的表达式记作f(b)。
继续观察方程左侧，我们可以将其进行因式分解，得到：(2ab + √(b^2 - 4ac))(2ab - √(b^2 - 4ac)) = 0可以看出，方程左侧是一个因式相乘等于零的形式。
要使等式成立，其中一个因子必须为零。
因此，我们可以得到两个方程：2ab + √(b^2 - 4ac) = 02ab - √(b^2 - 4ac) = 0可进一步整理上式，得到：√(b^2 - 4ac) = -2abb^2 - 4ac = 4a^2b^2上述推导说明，我们通过观察二次方程的根与系数之间的关系，得到了一个等式b^2 - 4ac = 4a^2b^2。
这个等式展示了二次方程的根与系数之间的关系。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系方程的根与系数之间的关系是数学中一个重要的概念，它揭示了方程中各个元素之间的内在联系。
当我们研究一个多项式方程时，通常会关注它的根，也就是方程等号两边相等的情况。
根据代数基本定理，一个n次多项式方程一定有n个复数根，包括重根。
这些根与方程的系数之间存在着一定的关系，可以通过系数来推断根的性质。
我们来看一元一次方程的情况。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为实数系数。
根据一元一次方程的解法，可以得出方程的根为-x/b。
可以看出，根与系数之间的关系很简单，即根是系数的函数。
当系数变化时，根也会相应变化。
接着，我们来看一元二次方程的情况。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数系数。
根据韦达定理，可以得出方程的两个根分别为(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
从这个式子可以看出，根与系数之间的关系更为复杂。
首先，根的符号取决于b的正负号，其次根的大小取决于b^2-4ac的大小。
系数a的变化会影响根的正负性质，系数b的变化会影响根的大小，系数c的变化会影响根的具体数值。
因此，通过观察系数的变化，我们可以推断方程的根的性质。
除了一元二次方程外，更高次的多项式方程也存在类似的关系。
例如，一元三次方程和一元四次方程的根与系数之间的关系也可以通过公式来表达。
在实际应用中，通过研究方程的根与系数之间的关系，可以帮助我们更好地理解方程的性质，从而更有效地解决问题。
总的来说，方程的根与系数之间存在着密切的联系，通过研究这种关系，我们可以深入理解方程的本质。
系数的变化会直接影响根的性质，从而影响方程的解的情况。
因此，在解决数学问题时，我们可以通过观察方程的系数来推断方程的根的情况，从而更好地解决问题。
这种关系不仅存在于数学中，也可以应用到物理、工程等领域，帮助我们更深入地理解自然界的规律。
通过研究方程的根与系数之间的关系，我们可以更好地认识数学的魅力，拓展我们的思维，提高解决问题的能力。
一元二次方程根与系数的关系。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用求根公式公式x₁,x₂=(-b±√(b²-4ac))/2a求得，其中a,b,c是方程的系数，且要求b²-4ac≥0。
我们可以将求根公式进一步化简，得到：
x₁,x₂=(-b±√(b²-4ac))/2a=(-b/2a±√(b²-4ac)/2a)
进一步观察这个式子，我们发现根x₁,x₂与系数a,b,c之间存在以下关系：
1. 系数a越大，根x₁,x₂的绝对值越小；
2. 系数c越大，根x₁,x₂的绝对值越大（符号不变）；
3. 系数b的符号与根x₁,x₂的符号相反；
4. 系数b²-4ac的正负决定了根x₁,x₂是否为实数（b²-4ac≥0）或虚数（b²-4ac<0）。
例如，对于方程x²-5x+6=0，我们可以得到它的两个根为2和3，与系数a=1,b=-5,c=6有关系。
我们可以验证，满足情况3：系数b的符号与根x₁,x₂的符号相反；满足情况4：系数b²-4ac的正负决定了根x₁,x₂是否为实数或虚数；不满足情况1和2。
因此，一元二次方程的根与系数有明显的关系。
根据这些关系，我们可以对方程的根进行大致的估算或推算出方程的系数。
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系数公式一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程及应用求根公式求出方程即根的判别式的两个根存在的三种情况，以，进而分解因式，。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）根，且关于的方程（2）方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数没有实数根，问取什么整数时，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定既要求出判别式的值，又要确定或或的正负情况。
因此解答此题的关键是：的正负情况。
解：∵，∴△＝--4×2×(--7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中若＞0，仍需考虑＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，的一个根为2，求另一个根及的先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当，解得：时，原方程均可化为：∴方程的另一个根为4，的值为3或--1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或--1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程和比两根的积大21，求的值。
有两个实数根，且两个根的平方分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得则，≤0 设方程两根为∵∴∴整理得：解得：又∵，∴说明：当求出意的。
后，还需注意隐含条件，应舍去不合题四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：即有：；解这个不等式组，得又∵，∴当时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：）（变形目的是构造根据根与系数的关系，有：，和）于是，得：∴=0 解法二：由于、是方程的实数根，∴∴说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。
这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，根据根的意义，有的两式相减，得当时，，方程的判别式方程无实数解当时，有实数解代入原方程，得，所以于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为说明：（1）本题的易错点为忽略对除了犯有默认的讨论和判别式的作用，常常的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的【趁热打铁】一、填空题： 1、如果关于的方程的两根之差为2，那么的值必须满足这两个不等式才有意义。
2、已知关于的一元二次方程。
两根互为倒数，则3、已知关于的方程则。
4、已知是方程的两根为，且，的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程，则；的两根为。
和，且6、如果关于的一元二次方程个根是，的值为。
7、已知为。
8、一个一元二次方程的两个根是为：。
二、求值题： 1、已知是方程和是的一个根是，那么另一的一根，则另一根为，的值，那么这个一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的值。
的两个根，利用根与系数的关系，求4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程求的值及方程的两个根。
6、已知方程值及这个相同的根。
三、能力提升题：和有一个相同的根，求的的两根满足关系式，1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
、满足，求的值。
（2）若这个方程的两个实数根3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足请说明理由。
，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。
答案与提示：一、填空题： 1、提示：，，，∴，∴，解得： 2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，；；由，则可判定方程的两根异号。
有两种情况：①设＞0，＜0，；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，∴，∴，。
，∵，∴， 6、提示：设，解得：，由韦达定理得：，，，即，∴。
7、提示：设，，由韦达定理得：，，∴∴，∴ 8、提示：设所求的一元二次方程为，，那么，∴所求的一元二次方程为：二、求值题：，即；；∴设 1、提示：由韦达定理得：，，∴2、提示：由韦达定理得：，，∴3、提示：由韦达定理得：，，∴4、提示：设这两个数为可看作方程方程：是，，于是有，，，因此，所以可得的两根，即，解得：。
，，所以所求的两个数分别5、提示：由韦达定理得，，，∵，∴∴解得：，，∴，化简得：；；以下分两种情况：①当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：；②当时，，，组成方程组：；解这个方程组得： 6、提示：设得方程组：和相同的根为，于是可；；①②得：，解这个方程得：以下分两种情况：（1）当代入①得。
时，代入①得；（2）当时，所以和相同的根为，的值分别为，。
三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12、提示：（1）的判别式△＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；3、提示：可利用韦达定理得出①组：＞0，②＞0；于是得到不等式求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4 4、答案：存在。
提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时，；②当时，；所以的值有两个：；； 5、提示：由韦达定理得：，，则，即，解得： 6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：，，∴，∴，∴，又∵，变形得：，∴，∴系数公式。