中考数学专题根与系数的关系_答案

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中考数学专题突破复习：题型专项(三)-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

题型专项(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(2021·成都)关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数根，求实数m 的取值范围．解：∵关于x 方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数根，∴Δ＝22－4×3×(－m )<0.解得m<－13.2．(2021·自贡富顺县六校联考)关于x 的方程x 2－(k ＋1)x －6＝0.(1)求证：无论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设方程的一根为2，试求出k 的值和另一根．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(k ＋1)]2－4×1×(－6)＝(k ＋1)2＋24≥24，∴无论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)解法一：将x ＝2代入方程x 2－(k ＋1)x －6＝0中，22－2(k ＋1)－6＝0，即k ＋2＝0，解得k ＝－2.∴x 2－(k ＋1)x －6＝x 2＋x －6＝(x －2)(x ＋3)＝0.解得x 1＝2，x 2＝－3.故k 的值为－2，方程的另一根为－3.解法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ＋1，x 1x 2＝－6. ∵x 1＝2，∴x 2＝－3.∴k ＋1＝2＋(－3)，即k ＝－2.3．(2021·绵阳三台县一诊)关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)假设方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)假设方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝(－4)2－4m ＝16－4m ≥0.∴m ≤4.(2)∵x 1＋x 2＝4，∴5x 1＋2x 2＝2(x 1＋x 2)＋3x 1＝2×4＋3x 1＝2.∴x 1＝－2.∴x 2＝6.∴m ＝x 1x 2＝－2×6＝－12.4．(2021·南充二诊)关于x 的方程x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)假设x 1，x 2满足|x 1|＋|x 2|＝2|x 1x 2|－3，求k 的值．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k －3)]2－4(k 2＋1)＝4k 2－12k ＋9－4k 2－4＝－12k ＋5＞0.解得k ＜512. (2)∵k ＜512， ∴x 1＋x 2＝2k －3＜0.又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0.∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝－2k ＋3.∵|x 1|＋|x 2|＝2|x 1x 2|－3，∴－2k ＋3＝2k 2＋2－3，即k 2＋k －2＝0.∴k 1＝1，k 2＝－2.又∵k ＜512， ∴k ＝－2. 5．(2021·鄂州)关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0.(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2，S 的值能为2吗？假设能，求出此时k 的值．假设不能，请说明理由．解：(1)证明：①当k －1＝0，即k ＝1时，方程为一元一次方程2x ＋2＝0，解得x ＝－1.方程有一个解；②当k －1≠0，即k ≠1时，方程为一元二次方程，Δ＝(2k)2－4×2(k －1)＝4k 2－8k ＋8＝4(k －1)2＋4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．综上，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)∵x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1， ∴S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝x 21＋x 22x 1x 2＋(x 1＋x 2) ＝〔x 1＋x 2〕2－2x 1x 2x 1x 2＋(x 1＋x 2) ＝2k 2－4k ＋2k －1＝2〔k －1〕2k －1＝2(k －1)．假设S ＝2，那么2(k －1)＝2.∴k ＝2.∴当k ＝2时，S 的值为2.6．(2021·荆州)在关于x 的分式方程k －1x －1＝2①和一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0②中，k ，m ，n 均为实数，方程①的根为非负数．(1)求k 的取值范围；(2)当方程②有两个整数根x 1，x 2，k 为整数，且k ＝m ＋2，n ＝1时，求方程②的整数根；(3)当方程②有两个实数根x 1，x 2，满足x 1(x 1－k)＋x 2(x 2－k)＝(x 1－k)(x 2－k)，且k 为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．解：(1)∵关于x 的分式方程k －1x －1＝2的根为非负数，∴x ≥0且x ≠1. ∴x ＝k ＋12≥0，且k ＋12≠1.∴解得k ≥－1且k ≠1. 又∵一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0中，2－k ≠0，∴k ≠2.综上可得，k ≥－1且k ≠1且k ≠2.(2)∵一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0有两个整数根x 1，x 2，把k ＝m ＋2，n ＝1代入原方程得－mx 2＋3mx ＋(1－m)＝0，即mx 2－3mx ＋m －1＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝m －1m ＝1－1m ， ∵x 1，x 2是整数，k ，m 是整数，∴1－1m为整数．∴m ＝1或m ＝－1. ∴把m ＝1代入方程mx 2－3mx ＋m －1＝0得x 2－3x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝3.把m ＝－1代入方程mx 2－3mx ＋m －1＝0得－x 2＋3x －2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.(3)|m|≤2不成立，理由：由(1)知：k ≥－1且k ≠1，k ≠2.∵k 是负整数，∴k ＝－1.∵(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0有两个实数根x 1，x 2，且n ＝1，∴x 1＋x 2＝－3m 2－k ＝3m k －2＝－m ，x 1x 2＝3－k 2－k ＝43. ∵x 1(x 1－k)＋x 2(x 2－k)＝(x 1－k)(x 2－k)，即(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝1，∴(－m)2－3×43＝1.解得m ＝± 5. ∴|m|≤2不成立．。

专题3 巧用根与系数关系解题（含答案）

专题3 巧用根与系数关系解题知识解读根与系数的关系是一元二次方程的重要基础知识，更是解决数学中考及竞赛中有关根的性质、方程参变量的范围及有关代数式的值等问题的重要公式．有时要将表面上好像不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，进而用判别式及根与系数的关系去研究．1如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根是1x 、2x ，那么12b x x a +=- ，12cx x a ⋅=；反之，如果实数1x 、2x 满足12b x x a +=- ，12c x x a ⋅=，那么1x 、2x 是一元二次方程20b cx x a a++=的两个根．数学家韦达最早发现根与系数之间的关系，因此，习惯上也将这一关系称为“韦达定理”．2．一元二次方程根与系数关系在解题中有着广泛的应用，如①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数关系可以验证两个根是不是一元二次方程的两根；②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数；③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值，如2212x x +，1211x x +等；④已知两数的和与积，求这两个数；⑤已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的值；⑥解决其他问题，如讨论根的取值范围，判定三角形的形状等；⑦根的符号的讨论． 3．一元二次方程根的符号讨论：（）有两个正数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩：；（）有两个负数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（3）有两个异号根，且正根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（4）有两个异号根，且负根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（5）有一根为0，必有0c a=．若另一根为正，则0b a ->；若另一根为负，则0ba -<．培优学案典例示范例1 方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a ，b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值；（3）已知a ，b ，c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．【提示】设1x ，2x 为实数，若12x x a +=，12x x b ⋅=，以1x ，2x 为根的一元二次方程为20x ax b -+=，解题的关键是构造方程．【解答】跟踪训练1．若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个非零实数根1x ，2x ，求以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程．【提示】只需求出221211x x +和221211x x ⋅的值．【解答】2．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【提示】由于两个方程的结构相同，所以可把a ，b 看作是一元二次方程213x x +=的两个根．例2：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=的两个实数根．若()()121128x x --=，求m 的值．【提示】若代数式是关于x 的一元二次方程两根1x ，2x 的对称式，则可通过变形将所求代数式用12x x +、12x x ⋅表示求解．在实数范围内，利用根与系数关系解题，千万别忘了判别式0∆≥！【解答】跟踪训练1．关于x 的方程()222110x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，且22123x x +=，求m 的值．【提示】先把2212x x +变形为()212122x x x x +-，根据根与系数的关系，可得关于m 的一元二次方程，求得m 的值，再根据判别式求得m 的取值范围，进而确定m 的值．【解答】2．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实数根，使得()()12123380x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．【提示】将原式变形为()2121231680x x x x +-=-．【解答】例3 设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）若12111x x +=，求132m -的值；（2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．【提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与二次函数最大值的综合问题，解题的关键是把代数式转化为用12x x +与12x x ⋅表示的形式．【解答】跟踪训练若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ，求()21212x x x x ++的最小值．【提示】根据题意，可求出122x x m +=-，21232x x m m ⋅=+-，然后将所求代数式化简并整理成根与系数的关系式，最后带入即可．但必须要考虑m 的取值范围．【解答】例4 已知βα，是方程0132=-+x x 的两个根，求βαα-+22的值.【提示】关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题，关键在于能否转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.技巧1：降次转化.“降次”是一种常用的数学思想方法，该问题所求的式子是二次多项式，可以设法其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.易知αα312-=，所以原式()4311=+=+-=βα.技巧2：升次转化.升次转化相对于降次是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解决问题时常能另辟蹊径.易求31,3122ββαα-=-=，所以原式()()()43123131123222222=+++=++=---+=αββαβαβαα.技巧3：换元转化.利用换元法也能将非对称式转化为对称式，以下给出两种换元方法：（1）和差换元：设n m n m -=+=βα,，由3-=+βα，得32-=m ，即23-=m ，又122-=-=n m αβ，故4132=n . （2）对偶换元：设αβββαα-+=-+=2222B A ，，则有()822=++-+=+βααββαB A ，()()03--=++=βαβαB A .两式相加，得82=A ，所以422=-+βαα.技巧4：常值代换.常值代换相对于一般换元法也是一种逆向思维方式，一般换元法思路较为明显，常值代换则需要对数和式进行深层次观察和分析，但常常能够更快地达到目的.易得312+=α，所以原式()43332222=++=+-+=ααβαααα.技巧5：拆项转化.拆项转化就是围绕“将未知式转化为已知式或对称式”这个目标，将未知式中的某些项拆分成两项或更多项，达到转化目的.拆项方法比较灵活，一般有多重拆法，下面给出两种拆法：（1）()413222=+-=--+=-+βαβαααβαα.（2）()()()()432313231322222=-⨯++-=-++-=-++=-+βαββααββααβαα.技巧6：减元转化.消元作为一种数学思想，不仅能够用于解方程组，而且在数学其他方面也有着广泛的应用.例如，非对称式通过消元（减少参与运算的字母个数）转化为对称式或已知式，下面给出几种转化方法：（1）由题意，得()βββα--=-=+33，.所以原式()4333222=++=---+=ααααα.（2）由题意，得αβαβ11=-=，.所以原式()431131222=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=ααααααα.（因为0132=-+αα，所以31-=-αα）总之，求两根非对称式值的四路是灵活多样的，这诸多的思路都体现了“利用条件把非对称式转化为对称式或已知式”的共性.抓住了这个共性，我们在解决求两根非对称式值的问题时，就会有新的发现。

关于根与系数关系的题及答案

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

中考数学专题训练一元二次方程系数与根的关系(含解析)

2019 中考数学专题训练-一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.、是一元二次方的两根，的值是（）A.-2B. 2C. 3D. 12.一元二次方程x2+3x﹣a=0 的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B. 2C. 4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0 的两个解分别为m，n，则m+n-mn 的值是（）A.-7B.-3C.7D. 34.若关于x 一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0 的两根x1 ， x2 满足（x1﹣1）（x2 ﹣1）=﹣1，则m 的值为（）A. 3B.-3C. 2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0 两根互为倒数有（）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个6.设x1 ， x2 是一元二次方程-2x-3=0 的两根，则=（）A. 6第 1 页B.8C.10D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0 的两根之积是( )A.－1B.－2C. 1D. 28.方程x2+2x-4=0 的两根为x1 ， x2 ，则x1+x2 的值为（）A. 2B.－2C.D. －9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0 的两根，则矩形的对角线之和为（）A. 5B.7C.8D.1010.如果 a，b 是一元二次方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个根，那么 a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.816 C. -16D.11.如是一元二次方的两个实数根，那的值是（）A.B.C.D.第 2 页二、填空题12.设x1、x2 是方程x2-4x+3=0 的两根，则x1+x2= .13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0 的两根为x1 ， x2 ，则x1*x2= ．14.若x1、x2 是方程2x2﹣3x﹣4=0 的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为．15.若a、b 是一元二次方程x2+2x﹣1=0 的两个根，则的值是．16.写出一个以2 和3 为两根且二项系数为1 的一元二次方程，你写的是．17.若方程x2﹣3x+1=0 的两根分别为x1 和x2 ，则代数式x1+x2﹣x1x2= ．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程 x2﹣6x+4=0 的两根分别是 a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2 的值．四、解答题21.已知关于 x 的方程 x2+x+a﹣1=0 有一个根是 1，求 a 的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ， x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系，．请根据该材料解题：已知x1 ， x2 是方程x2+6x+3=0 的两实数根，+和x12x2+x1x22 的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方的两根分别、，∴==3．故选 C．2.【答案】A【解析】【解答】解：设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣a=0 的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出 m+n 与mn 的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0 的两个解分别为 m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选 D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得 x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选 A．【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1 得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1 且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为 1 且△≥0，可得出答案。

中考数学根与系数关系培优练习含答案

中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

备考2023年中考数学一轮复习-一元二次方程的根与系数的关系-解答题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-一元二次方程的根与系数的关系-解答题专训及答案一元二次方程的根与系数的关系解答题专训1、(2018呼和浩特.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1， x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2= ．2、(2017呼和浩特.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值．3、(2019.中考模拟) 设x1， x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？4、(2019.中考模拟) 已知x、y均为实数，且满足xy+x+y＝17，x2y+xy2＝66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．5、(2017台州.中考真卷) 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当，，，与a，b，c 之间满足怎样的关系时，点P（，），Q（，）就是符合要求的一对固定点？6、(2017淄川.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=1的两根为x1， x2，且x1， x2满足x12﹣x1x2=0，试求a的值，并求出此时方程的两个实数根．7、(2017嘉祥.中考模拟) 先化简，再求值（a﹣）（﹣1）÷ ，其中a，b分别为关于x的一元二次方程x2﹣x+1=0的两个根．8、(2016潍坊.中考真卷) 关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．9、(2017黄石港.中考模拟) 若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．10、(2017黄石.中考模拟) 已知﹣3x2+mx﹣6=0的一个根是1，求m及另一个根．11、(2017黄石.中考模拟) 已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且+ =﹣，则m的值是多少？12、(2019巴中.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1， x2是方程的两根且，求m的值．13、(2019四川.中考真卷) 已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．14、(2018遂宁.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1， x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围．15、(2020黄石.中考模拟) 定理：若、是关于的一元二次方程的两实根，则有，，请用这一定理解决问题：已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值.一元二次方程的根与系数的关系解答题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。