根与系数的关系资料
根与系数的关系公式8个
根与系数的关系公式8个1、一次方程的根：如果ax+b=0，则一次方程的根为x=-b/a；2、二次方程的根：如果ax²+bx+c=0，则二次方程的根为x=(-b±√(b²-4ac))/2a；3、三次方程的根：如果ax³+bx²+cx+d=0，则三次方程的根为x=[-b±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d)]/6a；4、四次方程的根：如果ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则四次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)]/12a；5、五次方程的根：如果ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则五次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+½a(3b²-8ac)fa³]/20a；6、六次方程的根：如果ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则六次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²]/30a；7、七次方程的根：如果ax⁷+bx⁶+cx⁵+dx⁴+ex³+fx²+gx+h=0，则七次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h]/42a；8、八次方程的根：如果ax⁸+bx⁷+cx⁶+dx⁵+ex⁴+fx³+gx²+hx+i=0，则八次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h+⁴a(b⁴-3bc²a²+6b²d-8acd)i]/56a。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
三次方程根和系数的关系
三次方程根和系数的关系
三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d分别为三次项、二次项、一次项和常数项的系数。
三次方程
的根和系数之间存在一些重要的关系。
首先，我们知道三次方程的根可以是实数或复数。
根据代数基
本定理，一个三次方程在复数域内一定有三个根（可能重根），这
意味着方程的三个根可以用复数表示。
其次，三次方程的根和系数之间存在一个重要的关系，即
Vieta's formulas（维埃塔定理）。
根据维阿塔定理，三次方程的
根与系数之间有如下关系：
1. 三个根的和与系数b/a的符号是相反的，即x1 + x2 + x3
= -b/a。
2. 三个根两两乘积的和与系数c/a的符号是相反的，即x1x2
+ x1x3 + x2x3 = c/a。
3. 三个根的乘积与系数-d/a的符号相同，即x1x2x3 = -d/a。
这些关系表明了三次方程的根与系数之间的紧密联系。
通过这
些关系，我们可以利用方程的系数来推断方程的根，或者反过来，
已知方程的根来推断方程的系数。
另外，三次方程的系数也可以通过根和根与系数的关系来求解。
通过维阿塔定理，我们可以利用方程的根来求解系数，这在实际问
题中有着重要的应用，例如在工程、物理学和经济学等领域。
总之，三次方程的根和系数之间存在着重要的关系，这些关系
不仅帮助我们理解方程的性质，还可以应用于实际问题中的求解和
分析。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系
在数学中，方程是一种表示数学关系的数学语句。
方程的根是能够使方程成立的数值，而方程的系数是方程中各项的系数。
在许多情况下，方程的根与系数之间存在着一定的关系。
一元一次方程ax+b=0的根是一个数x=-b/a。
这里的a和b是方程的系数。
因此，可以看到，当a不等于0时，方程的根与系数之间存在着一定的比例关系。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，方程的根可以通过求解一元二次方程的求根公式来得到。
这个公式是x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
同样地，方程的根与系数之间也存在着一定的关系。
事实上，当a不等于0时，方程的两个根可以表示为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)和x2=[-b-√(b^2-4ac)]/(2a)。
这里，方程的根与系数之间的关系更加复杂，但仍然存在着一定的比例关系。
对于更高次的方程，例如三次方程和四次方程，方程的根与系数之间的关系会更加复杂。
但是，数学家们已经发现了一些方程根与系数之间的规律，这些规律被称为代数方程的基本定理。
这个定理表明，任何代数方程都有与之对应的一组根，这些根可以由方程的系数来确定。
总的来说，方程的根与系数之间存在着复杂的关系，但是这些关系可以被数学家们用各种方法来研究和描述。
在数学研究中，这些关系可以用来解决各种实际问题，包括物理、化学、工程等领域中的问题。
《根与系数关系》PPT
随堂练习
• 1、求下列方程两根x1、x2的和与积。 (1)、x2-3x=15 (2)、5x2-1=4x2+x
• 2、补充练习：判断下列各个方程后面两个数是 不是它的两个根。 (1)、x2-6x-7=0(-1,7); (2)、２x2+x-３=0（ 3 ，１）
2
（３）x2-８x+１１=0（4 5 ，4 5 ）
x1+x2=
-
b a
x1x2=
c
a
例题分析
例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下 列方程两根x1、x2的和与积。
• （1）、x2-6x-15=0 • :(1)要先把一元二次方程化成标准形式;(2)不要漏除以二次项系 数;(3) 要注意- b 的符号.
用适当的方法解方程: （1）、x2-6x+8=0 （2）、2x2-3x+1=0
观察方程（1）中两根和、两根积与系数 的关系？
方程（2）中的呢？
b b2 4ac b b2 4ac
x1+x2=
2a
+
2a
=?
x1x2=
b b2 4ac * b b2 4ac =?
2a
2a
结论:方程的两个根x1、x2和系数a，b，c有如下关系：
一元二次方程的根与系数的关系
• 因式分解法 • 直接开平方法 • 配方法 • 公式法
你能说一下那种方法可以解 决任意的一元二次方程吗?
复习配方法得出一元二次方程的求根公式
• ax2+bx+c=0(a≠0)
• • •
方程两边都除以a，得：x2+
移项，得：
x2+
b a
x
=-
根与系数的关系
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
《一元二次方程根与系数的关系》ppt课件PPT课件
24．3 一元二次方程根与系数的关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的 两个不相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是( )
A．－1 B．3
C．3或－1
D．－3或1
【错解】C
【错因分析】由根与系数关系求得方程中待定系数的值没有通过Δ
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c的值为____2_ ___．
7．(3分)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方 程的另一个根是___－__3___．
8．(4分)如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1 ＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( A )
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10．(8分)关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根 资料下载：./ziliao/
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一元二次方程根与系数的关系
PPT教学课件
24．3 一元二次方程根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝________，x1·x2＝________． 在应用根与系数关系时应注意两个条件： (1)__方__程__二__次__项__系__数__不__为__0； (2)_____b_2__－__4_a_c_≥__0_____．
A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，3
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
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一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得≤0 设方程两根为则，∵∴∴整理得：解得：又∵，∴说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：即有：解这个不等式组，得；又∵，∴当时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：）（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：，于是，得：∴=0解法二：由于、是方程的实数根，∴∴说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。
这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，根据根的意义，有两式相减，得当时，，方程的判别式方程无实数解当时，有实数解代入原方程，得，所以于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。
【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。
答案与提示：一、填空题：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。
有两种情况：①设＞0，＜0，则；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，，∴2、提示：由韦达定理得：，，∴3、提示：由韦达定理得：，，∴4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，∴，∴，化简得：；解得：，；以下分两种情况：①当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：；②当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：；①②得：，解这个方程得：；以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。
所以和相同的根为，的值分别为，。
三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12、提示：（1）的判别式△＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝44、答案：存在。
提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时，；②当时，；所以的值有两个：；；5、提示：由韦达定理得：，，则，即，解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：，，∴，∴，∴，又∵，变形得：，∴，∴。