2018年高考数学黄金100题系列第10题函数的最值与值域文

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函数的值域与最值知识点梳理、经典例题及解析、近年高考题带答案

函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。

函数值的集合叫做函数的值域。

2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；（3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定；（4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时（3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。

（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

2018高考数学黄金100题系列第19题函数与方程问题的分析文

第19题函数与方程问题的分析I ．题源探究·黄金母题【例1】已知()3x f x =，求证：（1）()()()f x f y f x y ⋅=+；（2）()()()f x f y f x y ÷=-．【证明】（1）()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y +=∴⋅=⋅==+．（2）()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y -=∴÷=÷==-．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第82页复习参考题A 组第7题．【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质．【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10nmq p =，则10()nm q p=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【命题意图】本题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-．若对所有,[0,1]x y ∈，|())|f x f y k -<，则k 的最小值为（A ．12 B ．14 C ．12π D ．18【答案】B【解析】不妨令01x y ≤<≤，则()()12f x f y x y -<-．解法一：()()()()()()()()201f x f y f x f f x f y f y f -=-+---⎡⎣()()()()()()01f x f f x f y f y f ≤-+-+-()()11111110112222222x x y y x y x y <-+-+-=+-+-=，即得()()14f x f y -<，另一方面，当10,2u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1,0211,12ux x f x u x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩，符合题意，当12u →时，()110224u f f ⎛⎫-=→ ⎪⎝⎭，故14k ≤．解法二：当12x y -≤时， ()()1124f x f y x y -<-≤，当12x y ->时，()()()()()()01f x f y f x f f y f -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11100122f x f f y f x y ≤-+-<-+- ()()11111122224x y y x =-+=+-<，故14k ≤． III ．理论基础·解题原理1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：()()()(),11f x f x f x f x =---=+都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数()f x 的某种性质：例如()()f x f x =-体现()f x 是偶函数；()()1f x f x +=体现()f x 是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）．（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可用1x 代替x 得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()()1232132f x f x x f x x xff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⇒=-⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩．（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值． 2．双变量函数方程的赋值方法：（1）对,x y 均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如()()()0,1,1f f f -，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大．【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．抽象函数具体模型()()()f x y f x f y +=+ 比例函数：正()f x kx =()()()f x y f x f y +=⋅ 指数函数：()()0,1x f x a a a =>≠ ()()()f x y f x f y ⋅=+ 当()0,x ∈+∞时，()log a f x x = 当{}|0x x x ∈≠时，()log a f x x = ()()()f x y f x f y ⋅=⋅幂函数：()f x x α=()()()()()2,00f x y f x y f x f y f ++-=⋅≠三角函数：()cos f x x = 【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多． V ．举一反三·触类旁通考向1 求抽象函数的解析式（值）【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 【答案】D【例2】已知函数()f x 满足：()112f =，对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()()()()1232014f f f f ++++= （）A ． 1B ． 12-C ． 12D ． 1- 【答案】B ．【解析】由所求出发可考虑判断()f x 是否具备周期性，令1y =，可得()()()()1121f x f x f x f ++-=，即()()()11f x f x f x ++-=，∴()()()21f x f x f x ++=+，两式相加可得()()21f x f x +=--，则可判定()f x 的周期为6，由()()()11f x f x f x ++-=可得：()()()12012f f f +==，即()()1262f f +=，由()()21f x f x +=--可得()()1412f f =-=-，则()()()13542f f f +==-，从而()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，∴()()()()()()()()12320133351620132013f f f f f f f f ++++=+++=⎡⎤⎣⎦，且()()1201442f f ==-．【例3】设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则使等式1144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立的α的集合为．【答案】|2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【例4】设函数()f x 的定义域为R ，()01f =，且对,x y R ∀∈，都有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x 的解析式为________．【答案】()1f x x =+．【解析】观察到右边的结构并非()(),f x f y 的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则1x =时， ()()()()1112f y f f y f y +=--+ ①，1y =时，()()()()1112f x f x f f x +=--+ ②，则求()1f 是关键，结合()01f =，可令0x y ==，则()()()()21000212f f f f =--+⇒=，代入到①②可得：()()()()1112f y f y f x f x x +=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，即()()()()1112f x f x f x f x x +=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，消去()1f x +解得：()1f x x =+．【跟踪练习】1．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】D【解析】偶函数图像关于y 轴对称，所以与x 轴四个交点横坐标，两两关于y 轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D ．2．【2017重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 【答案】 B3．已知()f x 是定义在R 上的函数，04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且对任意的,x y R ∈，都有()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么3520154444f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【答案】0．【解析】函数方程为“和→积”的特点，抓住04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可发现令2y x π=-，则()22222022244x x x f x f x f f f x fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎪+-==-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴可得：自变量间隔2π，，其函数值的和为0，∴将求和的式子两两一组，即：357201320150444444S f f f f f f ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 4．【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()4f x f x +=-，且函数()2y f x =+是偶函数，当(]0,2x ∈时，()ln f x x ax =-（12a >），当[)2,0x ∈-时，()f x 的最小值为3，则a 的值等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】A【解析】因为函数()2y f x =+是偶函数，所以()()22f x f x +=-+，即()()4f x f x +=-．当[)2,0x ∈-时，(]()()()()0,2,?4ln x f x f x f x x ax -∈=-+=--=---．()11x 0ax f a x x +=--=-='，有()12,0x a =-∈-，函数()y f x =在12,?a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭函数单减，在(1,0)a -单调递增．()11113min f x f ln lna a a ⎛⎫=-=-+=+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，故选A ．点睛：本题的难点是对于函数()2y f x =+是偶函数的正确转化，应该得到()()22f x f x +=-+．如果说是()y f x =是偶函数，则应得到()()22x f x +=--．考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等）【例5】定义在()1,1-的函数满足关系()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，()0f x <，若()111,,0452P f f Q f R f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,P Q R 的大小关系为（）A ． R P Q >>B ． R Q P >>C ． P Q R >>D ． Q P R >> 【答案】D ．虑121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x x <，则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，因为12102x x ≤<≤，∴121211130,112224x x x x -≤-<->-⋅=，从而1212101x x x x --<<-，即()()12121201x x f x f x f x x ⎛⎫--=< ⎪-⎝⎭，得到()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴Q P R >>．【评注】本题在证明单调性时，因为考虑了,,P Q R 中自变量的取值，所以只需考虑10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，缩小12,x x 的范围使得判断12121x x x x --的范围较容易．但也可将12,x x 在()1,1-中任取，但是在判断12121x x x x --的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设1212101x x x x --<<-，因为1210x x ->，121201x x x x -∴<-且12121212111x x x x x x x x ->-⇔->--()()11221210110x x x x x x ⇔-+->⇔+->，由()12,1,1x x ∈-可得()()12110x x +->成立，从而121211x x x x ->--．【例6】【2017山东聊城模拟】已知定义域为R 的函数()f x ，若函数()f x y x='的图象如图所示，给出下列命题：①()()110f f '-'==；②函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递增； ③当1x =时，函数()f x 取得极小值；④方程()0xf x '=与()0f x =均有三个实数根．其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C所以方程'00xf x f x ==（）与（）均有三个实数根．不正确；故选：C ．【例7】【2018河北衡水模拟】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1，0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D ．【例8】【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时， ()0f x >．（1）求()1f 的值；（2）证明： ()f x 为单调增函数；（3）若115f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求()f x 在1,12525⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案】（1）f （1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求1f （）的值；（2）根据函数的单调性的定义判断f x （）在0+∞（，）上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f （x ）满足f （x1•x2）=f （x1）+f （x2），令x1=x2=1，则f （1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0．（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f （）＞0，∴f （x1）﹣f （x2）=f （x2⋅）﹣f （x2）=f （x2）+f （）﹣f （x2）=f （）＞0，即f （x1）＞f （x2），∴f （x ）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f （x ）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f （）+f （）=f （）=﹣2，即f （•5）=f （1）=f （）+f （5）=0，即f （5）=1，则f （5）+f （5）=f （25）=2，f （5）+f （25）=f （125）=3，即f （x ）在上的最小值为﹣2，最大值为3．【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键．【跟踪练习】1．定义在[]2013,2013-上的函数()f x 满足：对于任意的[],2013,2013a b ∈-，有()()()2012f a b f a f b +=+-，且0x >时，有()2012f x >，设()f x 的最大值和最小值分别为,M N ，则M N +的值为（）A ． 2011B ． 2012C ． 4022D ． 4024 【答案】D ．【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明()f x 单调，令211,a x x b x =-=（其中12x x <），则可证明()f x 为增函数，从而()()2013,2013M f N f ==-，再利用函数方程求出()()20132013f f +-的值即可2．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对于任意的实数,a b 满足(2)2f =，()()()f ab af b bf a =+，(2)(2),(),,()2n n n n nf f a n N b n N n**=∈=∈，考察下列结论： ①(0)(1)f f =；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列．其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 【答案】D ．【解析】考虑按照选项对函数方程中的,x y 进行赋值．①计算()()0,1f f ，令0a b ==，可得()00f =；令1x y ==，则()()()12110f f f =⇒=，∴(0)(1)f f =，①正确；② 使等式中出现()(),f x f x -，令,1a x b ==-，则()()()1f x xf f x -=--，需要计算出()1f -，结合方程可令1,1x y =-=-，则有()()121f f =--，即()10f -=，∴()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，②正确；③从等差数列定义出发，考虑递推公式()()1112222n n n n n n f f a a +++-=-，因为()()()()12222222n nnnf f f f +=⋅=+，所以可得：()()()()1111122222212222n n n n n n n n nn nf f f f a a ++++++-=-=-=，从而判定{}n a 为等差数列，③正确；④若按照等比数列定义，考虑()()11212n n n n f b n b n f ++=⋅+，则不易于进行化简．可由③出发得到()2nf 的表达式：()1212f a ==，∴()11n a a n d n =+-=，即()22nnf n =⋅，∴()22n n n f b n==，从而可判定{}n b 是一个等比数列，④正确．3．【2017上海闵行二模】设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： (1) 若()y f x =是奇函数，则()()y ff x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则()()y ff x =也是周期函数；(3) 若()y f x =是单调递减函数，则()()y f f x =也是单调递减函数；(4) 若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C4．已知函数()f x 对任意的,m n R ∈均有()()()f m n f m f n +=+，且当0x >时，()0f x > （1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 为R 上的增函数．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】试题分析：（1）要证明奇函数，则需要()(),f x f x -出现在同一等式中，所以考虑令,m x n x ==-，则有()()()0f f x f x =+-，再通过代入特殊值计算出()00f =即可；（2）思路：要证明单调递增，则需任取12,x x R ∈，且12x x <，去证明()1f x 与()2f x 的大小，结合等式，则需要让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧，才能进行作差．所以考虑()2211x x x x =-+，进而21,m n x n x +==．只需判断()21f x x -的符号即可．试题解析：（1）令,m x n x ==-，则 ()()()0f f x f x =+-．令0,0m n ==，则()()()000f f f =+解得()00f =，()()f x f x ∴=--，()f x ∴为奇函数．（2）任取12,x x R ∈，且12x x <，令211,m x x n x =-=，代入方程可得：()()()211211f x x x f x x f x -+=-+⎡⎤⎣⎦，()()()2121f x f x f x x ∴-=-，21x x >，210x x ∴->，依题意可得：()210f x x ->，()()210f x f x ∴->即()()21f x f x >，()f x ∴为增函数．【评注】第（2）问将2x 拆分为()211x x x -+是本题证明的亮点，达到了让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧的目的．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=．（1）设()12f =，求11(),()24f f ；（2）证明()f x 是周期函数．【答案】（1）4112,224f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）答案见解析．（2）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，()()2,f x f x x R ∴=-∈．又()f x 是偶函数，()()()(),2,.f x f x f x f x x R ∴-=∴-=-∈将上式中x -以x 代换，得()()2,f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．考向3 解不等式【例9】【2017广西教育质量诊断性联合考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞ 【答案】C【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得()f x 在R 上是减函数；2．将原命题等价转化为3a x >- 31x ++在[]1,2- 上恒成立；3．利用导数工具求得()max f x ，从而求得正解．【例10】【2017四川南充高级中学4月检测】已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()'f x ，若方程()'0f x =无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞- B ．(,2⎤-∞⎦ C ．1,2⎡⎤-⎣⎦ D ．)2,⎡+∞⎣【答案】 A【解析】因为方程()'0f x =无解，所以函数()f x 为单调函数，因此由()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，得()2017x f x -=m(m 为常数)，即()2017x f x m =+ 为单调增函数，因此()cos sin 0g x x x k =+-≥'在在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．πππ,cos sin 2sin 1,2224x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-∴+=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，因此1k ≤-，选A ．点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．【例11】【2017陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知偶函数在上为增函数，在不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由偶函数可知，可知不等式恒成立，即恒成立，则可得恒成立．即且恒成立．由根的判别式可得．故本题选C ．点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式，然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式，但不能改变变量的定义域．对于奇函数，其图像关于原点中心对称，由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反．【例12】【2017江西南昌三模】定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[)1,2x ∈-时，2|1|,[1,0)()={1,[0,2)2x x x x f x x -+∈-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是_______．【答案】][(),12,-∞⋃+∞【点睛】本题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先利用已知条件求1()=(+3)2f x f x 2|1|11,[4,-3)22={11,[-3,1)22x x x x x -+∈-⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，再利用数形结合思想观察图像求解不等式．【跟踪练习】1．【2017重庆一中5月考】已知函数()()222x x f x x -=-，则不等式()()2110f x f ++<的解集是（） A ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．(),1-∞- C ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞ 【答案】B【解析】()()f x f x -=- ，所以函数是奇函数， ()()()22222ln22ln20x x x x f x x x --='-++> ，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于()()2112111f x f x x +<-⇔+<-⇒<- ，故选B ．【点睛】本题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在[)0,+∞为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便．2．函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，满足()()()f xy f x f y =+，()f x 在区间()0,+∞上单调递增，若m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（）A ． []1,3B ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． (]10,1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． (]1,11,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D ．3．【2017衡水金卷】定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x R ∈，有()()()21,f x f x f +=+且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上恰有六个零点，则实数a的取值范围是（） A ．50,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．5,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．53,53⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令1x =-，则()()()()11121f f f f =-+=，所以()10f =，所以()()2f x f x +=，即函数的周期为2，由此可画出函数()f x 和()log 1a y x =+的图像如下图所示．由图可知()322log 3,3a f a =-==，()542log 5,5a f a =-==，故53,53a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．4．【2017云南昆明下学期第二次统测】定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期．若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时， ()()221x f x x =+，且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞ 【答案】C5．已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数,a b 都满足()()()f a b f a f b +=，且()10f ≠，当0x >时，()1f x >．（1）求()0f 的值；（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上是增函数；（3）求不等式：()()2124f x x f x +<-的解集．【分析】（1）采用赋值法；（2）考虑证明()f x 单调递增，则需构造出()()12f x f x -，即可设21x x >且令211,a x x b x =-=，则有()()()2211f x f x x f x =-，从而()()()()212111f x f x f x x f x -=--⎡⎤⎣⎦，由210x x ->和已知条件可得：()2110f x x -->，所以需要证明()10f x >，即(),0x ∀∈-∞，()0f x >，可考虑结合题目条件和()01f =，令11,a x b x ==-，则有()()()()()1111100f f x f x f x f x =-⇒=>-，从而单调性可证；（3）本题并没有()f x 的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解．由（1）（2）问可得()0f x >，从而()()()()22124024f x x f x x x f f x +<⇒++-<-，再根据单调性即可得到关于x 的不等式，解出不等式即可．由已知可得当10x >时()110f x >>，所以只需证明()1,0x ∈-∞时，()10f x >．令11,0a x b x ==->，()()()()()111110,f f x f x f x f x ∴=-=-．10x <，10x ∴->，()10f x ∴->，()()1110f x f x ∴=>-，()()()()2121110f x f x f x x f x ∴-=-->⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，()f x ∴在R 上单调递增．（3）解：()0f x >，()()()()22124124f x x f x x f x f x +<⇒+⋅-<-．()()()()222242434f x x f x f x x x f x x +-=++-=+-，且()01f =，()()2340f x x f ∴+-<．由（2）可得()f x 单调递增，2340x x ∴+-<，解得()4,1x ∈-．。

2018年高考数学二轮复习规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题课件理.ppt

6分 9分
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 因此，a的取值范围是(0,1).
12分
构建答题模板第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数. 第二步定符号：通过讨论确定f′(x)的符号. 第三步写区间：利用f′(x)的符号写出函数的单调区间. 第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.
规范答题示例1
函数的单调性、极值与最值问题
典例1 (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
审题路线图求f′x ――讨―的论―― 符f―′号――x→ fx单调性 ―→ fx最大值 ―→ 解fxmax>2a－2 .
ห้องสมุดไป่ตู้解答
(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
解答
规范解答 ·分步得分解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
若 a＞0，则当 x∈0，1a时，f′(x)＞0；
当 x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.
所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
5分
所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当 a>0 时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当 a＞0 时，f(x)在 x＝1a处取得最大值，最大值为 f 1a＝ln1a＋a1－1a＝－ln a＋a－1. 因此 f 1a＞2a－2 等价于 ln a＋a－1＜0.

第01题集合的性质与运算-2018原创之高中数学(文)黄金100题系列含解析

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知集合{}{}|37,|210,A x x B x x =≤<=<<求()RCA B ，()R C A B ,()R C A B ，()R A C B .【解析】甴已知利用数轴易得()[)210,37A B A B ==，，, (][)(),210,R C A B ∴=-∞+∞， ()[)(),37,R C A B ∴=-∞+∞，()[)(][),37,,,210,R R C A C B =-∞+∞=-∞+∞，()[)()2,37,10R C A B ∴=，(][)[)(),23,710,R A C B =-∞+∞。

精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第14页A 组第10题【母题评析】本题以不等式为载体,考查集合的运算问题。

本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证,确保准确无误！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津,理1】设集合{}1,2,6,A ={}{}2,4,15B C x x ==∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算.【考试方向】这类试题在考C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，，，选B 。

【例3】【2017高考山东，理1】设函数y =的定义域A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,1-D ．[)2,1- 【答案】D 【解析】由240x-≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<,选D 。

函数最值练习题

函数最值练习题函数最值练习题函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。

在函数的应用中，我们经常需要求函数的最值，即函数在特定区间或整个定义域内的最大值或最小值。

本文将通过一些练习题来探讨函数最值的求解方法。

题目一：求解函数的最大值和最小值考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解该函数在定义域内的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点，即导数为零的点。

对f(x)求导得到f'(x) = 2x - 4，令其等于零，得到x = 2。

因此，x = 2是函数f(x)的驻点。

接下来，我们需要确定函数f(x)的凹凸性。

对f'(x)再次求导得到f''(x) = 2，由于f''(x)恒大于零，所以函数f(x)是上凹函数。

由于x = 2是函数f(x)的驻点，且函数f(x)是上凹函数，所以x = 2处的函数值f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1是函数f(x)的最小值。

接下来，我们需要考虑函数f(x)的端点情况。

由于函数f(x)没有定义域的限制，我们只需要关注其在实数范围内的情况。

由于函数f(x)是上凹函数，所以当x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大；当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大。

因此，函数f(x)在整个定义域内没有最大值。

综上所述，函数f(x)在定义域内的最小值为-1，而没有最大值。

题目二：求解函数在闭区间上的最大值和最小值考虑函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求解该函数在闭区间[0, 3]上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要找到函数g(x)的驻点和端点。

对g(x)求导得到g'(x) =3x^2 - 12x + 9，令其等于零，得到x = 1，x = 3。

因此，x = 1和x = 3是函数g(x)的驻点。

接下来，我们需要确定函数g(x)的凹凸性。

2018年高考数学黄金100题系列第11题函数的奇偶性文

I •题源探究•黄金母题第11题函数的奇性精彩解读x +1【例1】判断下列函数的奇偶性： f X 1X【解析】；f -x - - f X f X为奇函数.【例2】已知函数f X是定义在R上的奇函数，当x_0时, f x =X 1 X •画出函数f X的图象，并求出函数的解析式.【答案】f(x)=«x(1 +x),x 兰0 、—x(x—1), xc0【解析】函数f X是定义在R上的奇函数，则对-x・R都有：f (—X)- - f (x)，当x 0 时，一x • 0,则f ( X)= — f ( —X)= -[ —X(1 - X)] = —X (x-1),那么r X(1 +x),x 启0f(x) =」；函数图象如下：j-x(x-1), xc0【试题来源】例1:人教A版必修一第36 页练习第1 (3)题；例2:人教A版必修一第39页A 组第6题【母题评析】本题借助函数的奇性，利用函数的奇性的定义，求函数的解析式，并利用奇函数、函数图象的性质，画出函数的图象•借助函数的奇性以及函数图象特征解题是高考函数部分重点考察内容.【思路方法】借助函数的奇、性的定义既可以求值，也可以求函数的解析式，而画函数图像是，只需画出y轴右侧的图象，按照函数图象的对称要求，再画出y轴左侧的图象•另外画图时取几个特殊点，以数助形，确保准确无误！II •考场精彩•真题回放【例1】【2017高考新课标I卷】函数f (X)在单调递减，且为奇函数.若f⑴=-1，则满足-仁f(X -2)乞1的x的取值范围是A. [ -2,2] B[-1,1] C • [0,4] D • [1,3]【命题意图】周期性求值.本类题常利用函数的奇性、【考试方向】这类试题在考查题型上，通【答案】D【解析】因为f(X)为奇函数且在(亠，址)单调递减，要使—1兰f(X)兰1成立，则X满足—1兰XE1，从而由一1兰x—2兰1得1兰x兰3，即满足一1兰f(x—2)兰1成立的X的取值范围为［1,3］，选D.【考点】函数的奇性、单调性【名师点睛】奇性与单调性的综合问题，要重视利用奇、函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若 f (X)在R上为单调递增的奇函数，且f (xj + f (x2) A 0，贝U论+x2> 0 , 反之亦成立.1【例2】【2017高考北京卷】已知函数f(x)=3X_(—)X,3则f (x)A.是奇函数，且在R上是增函数B.是函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】f(—乂戶彳」」1］=［丄3X = -f(x )，所以13丿13丿'函数是奇函数，并且3X是增函数，'-1是减函数，根据增0丿函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 A.sin2 x【例3】【2017高考新课标I】函数y- 的部分图1 —cosx像大致为() 常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往借助函数的奇性、单调性、周期性等解题，常考查求值、比较大小、解不等式等.【难点中心】本题是考查利用函数周期性和奇性求函数值，是基础题•利用函数的周期性、奇性求函数值，需要先借助周期性调整自变量的值，再利用奇性调整自变量的符号，最终利用已知函数的解析式求值•而借助周期性、奇性、单调性进行比较大小或解不等式时，还要利用函数的单调性.【解析】由题意知，函数y二Sin2X为奇函数，故排除B;1 —COSX当XY 时，y=o,排除D;当X =1时，Sin2. 0 ,1 -cos2排除A故选C.【例4】【2017高考新课标II卷】已知函数f (X)是定义在R上的奇函数，当X，(-：：,0)时，f (X^2X3 X2，贝Uf⑵‘ ________________【答案】12【解析】f ⑵-一f ( —2) - -[2 ( -8) 4] =12【例5】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2).若当x [-3,0]时，f(x) = 6」，则f(919)= .【答案】6【解析】由f(x+4)=f(x-2) 可知，f X是周期函数，且T =6，所以f(919)=f(6 653 1) = f(1)=f (-1) =6 .Ill .理论基础•解题原理3考点一函数的奇性的基本概念1如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(-x)二f(x)，那么，函数f(x)是函数，函数的图象关于y轴对称.2•如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)二-f(x)，那么，函数f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称.考点二对函数的奇性的理解(1)判断函数的奇性，易忽视函数定义域是否关于原点对称•定义域关于原点对称是函数具有奇性的一个必要条件(2) 判断函数f ( x)是奇函数，必须对定义域内的每一个X,均有f ( —x) = —f (x)，而不能说存在X o使f ( —x o) =—f (x o)，对于函数的判断以此类推.考点三函数的奇性的有关结论(1)在奇、函数的定义中，f(「x) = - f (x), f( —X)= f ( x)是定义域上的恒等式，要注意利用反向使用，如：f (X)- - f ( -X), f(X)= f ( -X).(2)奇函数图象关于原点对称，奇函数f (x)若在X = 0处有意义，贝y f (0) = 0 ;奇函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则其和为零；(3)函数图象关于y轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反.IV .题型攻略•深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比较大小、解不等式有联系.【技能方法】1•判断函数奇偶性的方法(1)定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断•利用定义判断函数奇偶性的步骤:(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称•因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可•反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.2•已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f(x) ± f( —x) = 0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值.【易错指导】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f( —x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提.如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数.V.举一反三•触类旁通考向1函数的奇性的判断【例1】【2018辽宁沈阳模拟】下列函数的图像关于y轴对称的是( )A. y=x2 x B . 丫 = 一丄C . y=2x-2^ D . y = 2x 2»x【答案】D【解折】验证只有D选项，= 足是偶的数定义，故图象关于卩轴对称，选D・【例2】若函数f X R是奇函数，函数g x R是偶函数，则一定成立的是()A.函数f勺(X )1是奇函数 B .函数g ■ f(X )1是奇函数C.函数f f X 是奇函数 D .函数g ||_g X 是奇函数【答案】C5【解析】由题得，函数f x ,g x 满足f -x - -f x,g -x 二gx ，则有 f g —x 二 f g x , g || f -x 二 g ||-f x 二 g || f x , f ||/-x 二 f || -f x —f || f x ，g g -x 「=：g g x ，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的，故选 C【例3】【2018江西新余一中第二模拟】数 y = fx 与y = gx 有相同的定义域，且都不是常值函数,对于定义域内的任何 x ，有f x i 亠f ：；：-x i ； = 0 , g x g ：；：-x =1，且当x = 0时，g x =1，则F x =彳f x . f x 的奇偶性为【答案】偶函数【解析】由条件，得2f (—x ) —2f (x )F -xf_x 一 qf xg (-x )-1 1 1g (x )^-2fx gx -f x fx gx1 -g xi-g x-f X g x - f x f X g x f x 2f x1 -g xg x -1 g x -1为偶函数，故答案为偶函数. 【跟踪练习】1 .在函数 y = xcosx , y =e x x -, y = lg x -2 , y=xsinx 中，偶函数的个数是（）A . 3B. 2C. 1D. 0【参考答案】B【试题解析】叉抒国数/（x ）=xco&x,可知/（-兀）=-葢《＞££ = -/（兀），故国数y = XQO3x 是奇函数' 对于函数『（力=弍+£』（一刃二r +/ （力H 「才（刃『所以函数严弍+工是非奇非偶因数;对于函数/（兀）=1昌Jx'-2，/（-%） = lg-2 =■ f （x ） 7所叹函数F = 1吕J/-2是偶函数；函数/（JC ） = J CS ]DX = /（-X ）『所以函数^=xsinx 罡偶函数一故选B.【点评】先利用定义判断函数的奇性，排除不符合题意的选择支，在借助函数的单调性选取.f x = F x ，故 F xf xg (x )—12•下列函数为奇函数的是（）7x1 32 xA. 2x B. x sin xC. 2cosx 1D. x 22x【答案】A【解析】对于A 选项中的函数/(x) = 2I -^r = 2I -2-i 屈数走义域为R J(—力U3 = 2—2’£= -/W ，故A 选项中的函数为奇ISI 数』对于B 选项中的幽数^(x) = ^siDx ?由于函数网二空与函数乃= siz 均为奇函数，则函数£(兀)二为偶函数；对于C 选项中的函数/J (^)=2COSJC +1,定义域为左』＞r(-x) = 2cos(-x)+l =2cosx + l = Z J (X ),故函数/r(x) = 2cosx+l 为偶函数亍对于D 选项中的函数卩(刃= ＜十2爲^(1) = 3,=则炉(-1)工切⑴，因此函数列兀)"'十2*为非奇非偶国数，故选乩【点评】判断函数的奇性，先看定义域是否关于原点对称，之后再利用定义去衡量，或直接观察，本题中C D 两个选择支为函数，再利用单调性去衡量；这类题为高考常见题，属于基础题. 4 •下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为( )A . y = s in x, x w RB . y = l n x, R,且 x 式 0C . y = e x -e^, x^RD . y = x 3+1,x€R【答案】C.【解析】首先判断奇性： B 为函数，A , C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是函数，所以排除B 、D y =Sinx 在(0 , 2)先增后减，排除 A ,故选C. 考向2函数的奇性与求函数值f 4 +f ^4的值为()A .B . 0C . 2 5D .不确定【答案】B3 •下列函数中，既是偶函数又在区间0,1上单调递减的函数为()1A. y =—x【答案】CB . y = lg xC . y = cos x Dy = x 2【解析】T y = cosx 是偶函数，且在0,二上单减，而 0,1 j 二〔0,二,y = cosx 满足条件，故选 C.【例4】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】已知y 二f x 是奇函数，且f 4 ―一 5，那么【解析】y二f x是奇函数，且f 4 5，所以f -4 = - • 5，那么f 4 f -4 = ,5 - ,5 = 0,故选B.【例5】【2018河北武邑中学上学期第二次调研】已知f X是定义在R上的奇函数，当X_0时，f x ]=5X- m( m为常数)，则f -log5 7的值为( )A. 4 B . -4 C . 6 D . -6【答案】D【解析IZl数为奇函数，则：/(O) = 5° + ^ = m = -1 x>Q时,函数的解析式为：=-4og s7<0,结合奇函数的性质可得：/(-log7) = -/(l^7) = -(5l^7"1) = _(7"L)= ^6 -故选D 点睛：若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0) = 0.【例6】【2018辽宁鞍山一中上学期第一次模拟】已知函数f x为奇函数，且当x 0时，2 1 ’f (x ) = x +-，贝U f (-2 )= _________ .x9【答案】--；22 1 9【解析】因为x 0时，f x =x2，所以f 2 ，又f x为奇函数，所以x 29 9f -2 二-f 2 ，故填-？.【例7】【2018山西省45校联考】若函数f (x )=10ax(10x+1 )是偶函数，贝V a= _____________ .【答案】-12【解析】函数f x i〕=10ax10x1是偶函数，所以f -1二f 1 ,即1010, n-10a 10 1 .11 1故10°10a 11，解得a 二10 2“ 1 1 11 ——x -X ——x当a 时，f x =10 210x1 =10210 2，满足f -x 二f x .21综上可知，若函数f x =10ax 10x 1是偶函数，则a =2【例8】【2016年高考四川卷】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0v x v 1时，f(x)=4x,95则f( ) f(1)= __________ 211【答案】-2【解析】因为函数 f(X )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f(-1) - - f (1),f (-1) = f (-1 2) = f (1),所以-f(1)= f(1)，即 f(1) = 0 ,5111丄5f (『2)= f (~2 -2)= f (匕)=_f (2)=" = -2，所以 f(-2)f (1)- -2-【例9】【2018全国18名校大联考第二次联考】已知函数 f (x )=』X ( m,a 为常数，a>0且a 式1) a x ' 的图象过点A 2,4 , B i d,1 •I 2丿(1)求实数m,a 的值;2^-1 2 x 2 2x 2x _1所以函数g x 的定义域为R .又g -x 二討计=；x ； x ；x =一討片=-g x ，所以函数g x为奇函数.【跟踪练习】 1.【2018山西晋豫名校联考】若对 —x, y • R ，有f x • y 二f x • f y -3,则函数(2)若函数g x =f (X )十1f x _1，试判断函数g x 的奇偶性，并说明理由.1【答案】(1) m =1, a ； (2 )奇函数.2【解析】试题分析：(1)由函数心)£ 的團象过点A(2A)f B造关于用卫的方程组，解方程组可得实数刑工的值;(2)由(1)求出函数 g x =f x -1二f (x )+12x +1 ，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案. 试题解析：(1)把A 2,4, B i 1,丄的坐标代入 .'2m"T = 4,f x 二马，得｛ a ，解得m = 1,a m 1(2) g x 是奇函数.理由如下：由(1)知 f X i ； = 2x ，所以 g x 二f X -1 2x -1f x 1 一 2x 1,分别代入函数解折式，枸【答案】Cf x 在[-2017,2017 ]上的最大值与最小值的和为（）【答案】B【解析】对0兀有于= 兀）一3： ^x-y-Q f 有 /(0) = /(0)+/(0)-3./(0)-3,^y = -x ?有/(0) = /(x )4-/(-x)-3j 则/(x)+/(-x)=6 j令A （JC ） = /（X ）-3 ,则应（工）+匪〔一號）=6则应（力为奇函数：又设1S1数＞列兀）为奇函数，则g （x ）=巩兀）+h （兀）十3 ,而卩（力十方（兀）为奇函数』宙于奇函数在关于原点对称的单调区间內的最大值与最小值互为相反数，则g （x ）的最大值与最小值之和为启.选 E,2 .【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中上学期第一次联考】设 f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于x =1对称，当x ：= [0,2时，f X =2x-x 2，则f 0 • f 1 • f 2017的值为（）A . -1，B . 0C . 1D .不能确定【答案】C【解析】定义在 R 上的奇函数f x 的图象是关于直线 x=1对称，.f 2-x 二f x ,.f||2 -：i x• 2= f x2，即 f x • 2 二-f x ,• f x 4 = f x ，故函数fx 的周期为4 .7f—1i=-f 1[=—1, f 1 =1, f 2 二 f 0 =0, f 3 二 f 一1=一1, f 4 = f0 =0,则 f1f 2f 3 I”f 2017= 504 f 0f 1 f 2f 3f 2016f 2017 =504 0 f 0 f 1 =1，故选 C .]2x ,0 vx 兰 1 3 .【2017河北定州中学】函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f x =4 , 右 f （x-1）,x A11则方程f x 二—在〔-3,51上的所有实根之和为（） xA . 0B. 2C. 4D. 6【解析】由趣意可知，当讥［-却］时，由施数性质可知，/(x)=l 的所有实根之和为S 当*34］x2xgX」A . 4B . 6C . 9D . 12时，畑 = 2",由/\对=2"=丄得牙=斗■当当葢Eg习时，八力= 2",方程于(刘=2"=丄无解，X X所以在区间［3*方程/(x)=l的所有实根之和为4 .x4.【2018辽宁凌源三校联考】已知函数f x为R内的奇函数，且当x_0时，f X - -e x• 1 • mcosx ,记a - -2f -2 , b - - f -1 , c = 3f 3，则a, b, c 间的大小关系是( )A . b :: a :: cB . a ：：c ■. bC . c :: a ： bD . c b ：： a【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：f 0二-e° • 1「m cos0 = 0, m = 0,即当x_0时，函数的解析式为：f x - -e x V，令g x二xf x x丄0，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：g' x = x 1 e x，: x，1 _1,e x一1,. x 1 e x-1, g' x =1 - x 1 e x乞0，即函数g x在区间［0,=上单调递减，且：a二f -2二f 2 ,b二f -1二f 1 ,c二f 3，结合函数的单调性可得：c ::: a ：：： b .故选C.5.【2018江西新余模拟】已知y二f 2x-1为奇函数，y二fx与y二gx图像关于y=x对称，右x1 x2 =0，则g X1 g x2 -( )A . 2B . -2C . 1D . -1【答案】B【解析】T y n f 2x -1为奇函数，故y = f 2x-1的图象关于原点0,0对称，而函数y = f x的1图象可由y = f 2x-1图象向左平移 -个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故2y = f x的图象关于点；'-1,0对称，又y = f x与y = g x图象关于y = x对称，故函数y = g x的图象关于点0, -1对称，•X2 = 0，即禺- -X2，故点x-i, g x1, x2 ,g x2，关于点0,T 对称，故g x-! g x^ _ _2，故选B.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移13【答案】B变换、放缩变换后根据对称性解答的. 6.【2016高考山东卷】已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f(x)=X 3-1 ；当-1乞X 乞1时,1 1 1f ( -X )二 - f (X ); 当 X 2 时，f (X "2)= f (X - 2)•则 f (6)=()(A ) -2 (B ) -1(C ) 0(D ) 2【答案】D【解析】当其j 时，所臥当兀J 时，函数/⑴是周期为1的周期函数，所以Xjfa£ 盒/(6) = /(1),又函数才匕)是奇函数，所/(I) = -/(-D = -11 = 2.故选 D +【点评】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇性与周期性，是高考常考知识内容•本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7 .【2016高考江苏卷】设f (X)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1)上，【答案】因此 f (5a)二 f (3) = f(1) = f(—1) = -1【点评】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么•函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上•解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 考向3函数的奇性与解不等式【例10】【2018广东佛山模拟】设函数 f(x) =丫十“(凶+1 ),则使得f(x)>f(2x — 1)成立的x 的取值范围是 £十①X a, -1 _ x： 0,2 ——x ,0 Ex c1, 5其中"R .若f(_2)弋)，则 f (5a)的值是【解析】f (£)"(-1)汀(2) 1 = f (-)-A .15【解析】函数的定义域为乩很明显函数是偶函数，且莎 >。

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

求函数最值常用的方法及经典例题讲解知识点：一、函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．二、求函数最大（小）值常用的方法．案例分析：例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-类型一、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例 1、求函数1,[1,2]y xx=∈的值域A、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀：1、求函数21yx=-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．2()5522++=x x x f类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)例：求函数3456x y x +=+值域。

实战训练场：1) 求函数213-+=x x y 的值域；2) 函数.11的值域是x x y +-=类型三、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数y =的值域。

例2、求函数的值域。

类型四、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一(二次函数）（02≠++=a c bx ax y ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时)。

高考数学黄金100题系列第08题函数的解析式文(2021学年)

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第8题函数的解析式I ．题源探究·黄金母题【例1】如图,OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f x ,试求()f x 的解析式,并画出函数()y f t =的图象.【解析】当01t <≤时,213()tan 6022f t t t t =︒=;当12t <≤时，11()23(2)(2)tan 6022f t t t =⨯⨯---︒=23(2)32t --+;当2t >时,1()232f t =⨯⨯=3.综上知，223,0123()(2)3,1223,2t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪⎪>⎩精彩解读【试题来源】人教版Ａ版必修一第13页复习参考题B 组第2题【母题评析】本题以平面几何图形为载体,考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式,达到对学生能力的考查.【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化,由此也与函数有了紧密联系,也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想,同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．II.考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标ＩI 】已知函数()2ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥．求a (节选). 【解析】()f x 的定义域为()0，+∞.设()g x =ax -a -lnx ,则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x ，【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别..【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题的形式出现,中等偏上难度,往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系()()g g x ≥1=0,0,故()g'1=0，而()()g'x a g'a x=--1,1=1,得a =1．若a =1，则()11-g'x =x.当０<ｘ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减;当x >１时,()g'x >０，()g x 单调递增．所以ｘ=1是()g x 的极小值点,故()()g x g ≥1=0综上，a =1．【例3】【２０15高考新课标Ⅱ】如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动,记BOP x ∠=．将动P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ )DP CBOAx【答案】Ｂ【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时,即04x π≤≤时,2tan 4tan PA PB x x +=+；当点P 在CD 边上运动时,即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x+=-+++,当2x π=时,22PA PB +=当点P 在AD 边上运动时,即34x ππ≤≤时,2tan 4tan PA PB x x +=+,综上可知【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点,首先明确哪个是自变量x ？哪个是因变量y ，它们对应于几何图形中哪些线段或角,然后结合分类讨论的思想进行求解.tan ,042()322tan ,4x x x f x x x x x ππππππ≤≤≤<==⎨<≤<≤由此可知函数()f x 的图象是非直线型的,排除A ，C.又()()42f f ππ>,排除D,故选B.II Ｉ.理论基础·解题原理考点一函数解析式概念(1)函数解析式定义:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式．（2)解析式优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．考点二基本初等函数的解析式(1）一次函数：,(0)y kx b k =+≠; (2）反比例函数:,(0)ky k x=≠; （3)二次函数:2,(0)y ax bx c a =++≠; (4)指数函数：,(0,1)x y a a a =>≠且; (5)对数函数:log ,(0,1)a y x a a =>≠且; (7)幂函数：,()y x αα=∈R ;（８)三角函数:sin ,cos ,tan ,()2y x y x y x x k π===≠π+. Ⅳ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常在选择题、填空题中均可能出现考查,在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法(方程法）、图象法、性质法等,这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析,如已知函数模型时,常用待定系数法.【易错指导】（1)因为解析具有定义域、对应法则、值域,而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域;(2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时,确定函数的定义域是一个难点,同时也是一个易错点,因为这类题主要涉及到复合函数问题;(３)利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂,因为这类题实质上是涉及到分段函数问题.（4)求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时,除函数解析式本身要求有意义外,自变量的取值还必须符合实际意义. Ⅴ．举一反三·触类旁通考向1 利用待定系数法求解析式【例1】已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =,及(1)()2f x f x x +-=,则求()f x =＿____＿__＿__．【例2】【改编题】已知函数2n (1)l a x x x bx f =+++在点(1,)(1)f 处的切线方程为4120x y --=,则函数()f x =_____＿__＿＿_. 【解析】因为b x x ax f ++=2)(',则由题意8)1(,4)1('-==f f ，则⎩⎨⎧=++=-=+=42)1('82)1(b a f b f ，解得⎩⎨⎧-==1012b a ，所以110ln 12)(2+-+=x x x x f .【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一,适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等),求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较,列出等式，确定待定系数. 【跟踪练习】1.【２017河南安阳一模】已知()'f x 是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数,若方程()'0f x =无解,且()0,x ∀∈+∞， ()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =, ()log 3b f π=, ()4log 3c f =,则a ， b ， c 的大小关系是( )A.b c a >> B ．a c b >> Ｃ．c b a >> D ．a b c >> 【答案】D点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用,以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点.有三个关键点：（１)由方程()0f x '=无解，可知函数()f x 在()0,+∞上为单调函数；(２）由()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦（常数）,可知()2016log f x x -是定值; （3）对于对数函数log (1)a y x x =>，在真数相同底数不同的函数值中,当01a <<时，底数a 越小,函数值越大；当1a >时,底数a 越大,函数值越小．2.【20１8山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知()23g x x =--, ()f x 是二次函数,且()()f x g x +为奇函数,当[]1,2x ∈-时, ()f x 最小值为１,求()f x 的解析式．【答案】()233f x x x =++或()2223f x x x =-+【解析】试题分析:令()2f x ax bx c =++，而()()()213f x g x a x bx c +=-++-为奇函数,故10,30a c -=-=,解得1,3a b ==, ()23f x x bx =++.其对称轴为2bx =-，根据对称轴和区间[)1,2-的位置关系,分成3类讨论当x 为何值时取得最小值,由此求得函数的解析式.【试题解析】设()()20f x ax bx c a =++≠ ()()()F x f x g x =+ 则()()222313F x ax bx c x a x bx c =++--=-++-为奇函数∴ ()()F x F x -=-对任意x 恒成立,即()()()221313a x bx c a x bx c --+-=-----∴()2130a x c -+-=对任意x 恒成立 1,3a c ∴== ()23f x x bx ∴=++()f x ∴的图象的对称轴为直线2b x =-当[)1,2x ∈-时, ()f x 的最小值为1∴ ()1{ 211b f -<--=或122{ 12b b f -≤-≤⎛⎫-= ⎪⎝⎭或()2{ 221bf ->= ∴ 2{131b b >-+=或42{2222b b b -≤≤-==-或4{ 4231b b <-++= 即3b =或22b =-3b =-(舍）综上可知： ()233f x x x =++或()2223f x x x =-+点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式,考查了二次函数的图象与性质,考查了函数的奇偶性与单调性.由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得,a c 的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得b 的值．考向2 利用换元法(或配凑法)求解析式【例3】【改编题】(１)若2211()f x x xx-=+,则()f x =（）Ａ．2()2f x x =+ B.2()2f x x =- C ．2()(1)f x x =+ D ．2()(1)f x x =- （２)已知x xf lg )12(=+,则()f x =___＿_______．【点评】已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,可考虑令()g x t =，反解出()x h t =,将其代入[()]f g x 的表达式中，再用x 替换t 便可得到函数()f x 的表达式;（２)已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 的表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化. 【跟踪练习】1．【四川省双流中学２017—２0１8学年高一上学期期中考试】已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,则()2f 的值为( )A ．13Ｂ．23C ．3 Ｄ.32【答案】B 【解析】令12x =,则12x =,所以()1221312f ==+，故选B.2.【山西省实验中学201７-２０１８学年高一上学期10月月考】若()11f x x +=+,则()f x 的解析式为（）A.()()222,1f x x x x =-+≥ Ｂ．()()22,1f x x x x =-≥ Ｃ.()()222,0f x x x x =-+≥ D.()()22,0f x x x x =-≥ 【答案】A考向3 利用函数性质求解析式【例4】已知)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)1(log 2)()(2x x g x f -=+，则函数()f x =_＿＿____＿＿_＿,()g x =____＿＿_＿___.【解析】∵)(x f 为奇函数,)(x g 为偶函数,∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-.又)1(log 2)()(2x x g x f -=+ ①,故)1(log 2)()(2x x g x f +=-+-，即)1(log 2)()(2x x g x f +=+- ②.由①②得：)1,1(,11log )1(log )1(log )(222-∈+-=+--=x xxx x x f ，22()log (1)log (1)g x x x =++-=22log (1)x =-，(1,1)x ∈-．【例5】函数)(x f y =是R 上的奇函数，满足)3()3(x f x f -=+,当()3,0∈x 时,x x f 2)(=,则当()3,6--∈x 时,=)(x f ＿_______＿__．【解析】因为)3()3(x f x f -=+，所以函数)(x f 的图象关于直线3=x 对称，即)6()(x f x f -=成立．又)(x f 为奇函数,所以()()(6)f x f x f x =--=-+.设()3,6--∈x ，则()60,3x +∈，则6(6)2x f x ++=，所以6()(6)2x f x f x +=-+=-,即当()3,6--∈x 时，62)(+-=x x f ．【点评】已知函数的某些性质（奇偶性、周期性、对称性等),可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程:(1)自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将()f x -转换为()f x 、()f x m +（m 为常数)转化为()f x 等. 【跟踪练习】1．【201８江西六校第五次联考】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x =()()1,{,0log x x x g x x +≥<，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦( ）A.﹣1B.﹣2C.1D.2 【答案】A2．【20１7河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数,且恒成立,当时，,则当时，( ）A ．Ｂ．Ｃ． D ．【答案】B【解析】试题分析：,,,即是最小正周期为的函数，令，则,当时，,，,是定义在上的偶函数,,令,则，,,，当时,函数的解析式为:．所以B 选项是正确的．考点：利用函数的性质求解析式. 【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．考向４利用方程法(消元法)求函数解析式【例6】【改编2０16届湖北龙泉中学等校９月联考】定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 满足:211()2()ln xf x f x x+-=,则()f x =____＿__＿___．【例7】【改编题】定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足:2()2()9x x g x g x e e+-=+-,则()g x =＿__＿＿__＿___.【解析】（1）∵2()2()9x xg x g x e e +-=+- ①,2()2()9x xg x g x e e ---+=+-,即1()2()29x x g x g x e e-+=+- ②．由①②联立解得()3xg x e =-．【点评】消元法适用的范围是:题设条件有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则充分利用变量代换,然后联立方程消去其余部分可求得函数()f x 的表达式．【跟踪练习】1.【2０１8江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-,则()f x 等于A.1x +B.1x -C.21x +D.33x + 【答案】A【解析】∵()f x 对任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，∴用x -代替式中的x 可得()()231f x f x x --=--，联立可解得()1f x x =+,故选A ．点睛：本题主要考查了函数解析式的求法,属基础题；常见的函数解析式方法:①待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法:已知复合函数()()f g x 的解析式，可用换元法,此时要注意新元的取值范围;③配凑法：由已知条件()()()f g x F x =,可将()F x 改写成关于()g x 的表达式;④消去法:已知()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -之间的关系，通过构造方程组得解.２.【20１7河南新乡三模】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立,则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为___＿＿_____.【答案】1315y x =-(或13150x y --=）考向5 根据图象确定解析式【例8】【2018山东枣庄模拟】函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可以是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()x f x x =C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=-- 【解析】根据已知条件可知，函数()f x 为奇函数，所以应排除D ;函数的图象过原点,所以应排除B ；图象过(,0)2π,所以排除A ;故选C ．【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式,主要有两种题型:（１)根据函数图象求函数的解析式,解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点,求出具体的相关的量的值；(2)根据函数图象,同时给出了多个函数解析式,从中进行选择,解答时通常结合函数的性质,结合排除法进行解决.【例９】【20１7安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示,则的解析式可能是( ）A ．Ｂ. C. D.【答案】Ｂ点睛:本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征,独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解. 【跟踪练习】【２017四川成都七中6月１日高考热身考试】如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数,给出下列结论：①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=;③()322fπ=;④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是:____＿____＿．(填上你认为所有正确的结论序号)【答案】②③④考向６建立解析式识别图象【例１0】如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( ）Ａ B C D【解析】如图所示，作MD OP ⊥，垂足为D ,当02x π≤≤时,在Rt OPM ∆中，cos cos OM OP x x ==.在Rt OMD ∆中，1sin cos sin sin 22MD OM x x x x ===;当2x ππ<≤时，在Rt OPM∆中,cos()cos OM OP x x π=-=-，在Rt OPM ∆中，sin()cos sin MD OM x x x π=-=-=1sin 22x -.综上可知1sin 2,022()1sin 2,22x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C.【例１1】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图,半径为2的圆O 与直线MN 切于点P ,射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ,旋转过程中与圆O 交于Q ,设(02)POQ x x π∠=≤≤,旋转扫过的弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致为( )【点评】此类试题比较灵活,是近几年考查的热点之一.解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式,然后作出选择,有时也要根据函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域)，利用动态过程中涉及的界点情况作出判断. 【跟踪练习】1．【201７广西5月份考前模拟】函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为( )A ． B. C. D ．【答案】A点睛:本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用.解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质,综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误,求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数,进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案.２.【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线ＯP 的倾斜角为θ,若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（）Ａ． B.Ｃ．Ｄ．【答案】D【解析】π2cos ,0,,2π2cos ,,π2d θθθθ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以对应图象是D点睛:(１)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去“”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系. 考向７建立解析式解决实际问题【例1２】【2０1８湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示,桶１中的水按一定规律流入桶２中，已知开始时桶1中有a 升水,桶2是空的，t 分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线1nt y ae -=(其中n 是常数，e 是自然对数的底数）.假设在经过５分钟时，桶１和桶2中的水恰好相等.求：（１)桶２中的水2y （升)与时间t (分钟)的函数关系式; （2)再过多少分钟，桶１中的水是8a 升?【点评】在函数应用题中,建立函数的解析式常常设置在解答题的第(１）题的位置上,只有进行正确的建模,才能解答第(１）题后面的其它小题.而建立函数解析时,一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域.【例1３】【２018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过５辆时，每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低０．１万元/辆.根据市场调查,月销售辆不会突破30台.(１)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(30x ,且x 为正整数)，实际进价为y 万元／辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为３2万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车？（注:销售利润=销售价-进价)【答案】（1)30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数（２）该月需售出10辆汽车.试题解析:解：（１)由题意, 当05x <≤时， 30y =.当530x <≤时, ()300.150.130.5y x x =--=-+． ∴30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数;当05x <≤时,()323051025-⨯=<,不符合题意，当530x <≤时，()320.130.525x x ⎡⎤--+=⎣⎦，解得: 125x =-(舍去），210x =. 答:该月需售出１0辆汽车.【例1４】【2０18江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有１0０名工人接受了生产10０0台某产品的总任务,每台产品由9个甲型装置和３个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人,他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时.设f （ｘ)＝ｔ1+t 2.(Ⅰ)求f （ｘ)的解析式,并写出其定义域；（Ⅱ）当x 等于多少时，f （x )取得最小值？【答案】（1)()90001000100f x x x=+- 定义域为｛x |1≤x ≤99,x ∈N ＊｝(2）当ｘ=７５时,f （x ）取得最小值．试题解析：解:（1)因为19000t x = ()2300010003100100t x x==--所以()1290001000100f x t t x x=+=+- 定义域为{x ｜１≤ｘ≤99，x ∈N ＊}．（2）f (x )＝90001000100x x +-=()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦，因为１≤x ≤９9，ｘ∈N *,所以()9100x x->0,100xx->0,所以()9100100x xxx -+-≥2()9100100x x x x--＝6，当且仅当()9100x x-=100xx-，即当ｘ=7５时取等号．答:当x ＝７5时,f （ｘ)取得最小值.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧,使其满足基本不等式中“正"(即条件要求中字母为正数）、“定”(不等式的另一边必须为定值）、“等"(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 【跟踪练习】1．【2017湖南株洲一模】某市家庭煤气的使用量和煤气费（元)满足关系()(),0{,C x A f x C B x A x A<≤=+->已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m的煤气,则其煤气费为____元．【答案】１1．5;点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数,确定函数的解析式，求出了问题320m燃气的燃气费中而获解．２.【2０1８江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（１);投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(２)．（注：收益与投资额单位:万元)（1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元?【答案】（1)()()108f x x x =≥； ()()102g x x x =≥ (2），max 3y =万元【解析】试题分析：(１)根据图象写出函数()()12,f x k x g x k x == ，分别将点()10.125,1,0.5（，）代入对应函数即可求得12,k k 的值,得到函数关系式（２)根据已知条件写出总投资收益的方程()()1202082x y f x g x x =+-=+- ,将其转化为方程()21238y t =--+,通过x 的取值范围求出t 的取值范围,进而可求出y 的最大值.（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元,依题意得: ()()20y f x g x =+- 12082x x =+-()020x ≤≤, 令20t x =-(025t ≤≤,则22082t t y -=+ ()21238t =--+，所以当2t =,即16x =万元时,收益最大， max 3y =万元．【点睛】本题(1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型,根据类型写出()f x 的解析式,再结合其它已知条件确定函数的系数即可.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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第10题函数的最值与值域I ．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()[]2,0,21f x x x =-∈+，求函数的最大值和最小值．【答案】2,23--【解析】设12,x x 是[]0,2上的任意两个实数，且12x x <，则()()()()()()()()121221211212221121121111f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭+---=-=-++++－由1202x x ≤<≤，得()()21120,110x x x x ->++>，所以()()120f x f x <－，即()()12f x f x <，故()f x 在区间[]0,2上是增函数．因此，函数()21f x x =-+在区间[]0,2的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是()02f =-，最大值是()223f =-．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第31页例4改编【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．II ．考场精彩·真题回放【例1】【2017浙江卷5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．【例2】【2017浙江卷17】已知α∈R ，函数a a x x x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式，由[][]41,4,4,5x x x∈+∈，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论．【例3】【2017北京卷】已知0x ≥，0y ≥，且x+y=1，则22x y +的取值范围是__________．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦及导数、恒成立等交汇．【难点中心】求函数最值（值域）通性通法：（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值域）；（3）分离常数法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）配方法；（7）基本不等式法；（8）判别式法；（9）有界性法；（10）图象法；（11）导数法．3【解析】22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈ ，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12；因此取值范围为1[,1]2【考点】二次函数【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y +的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单． III ．理论基础·解题原理一、函数的最值的基本概念设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意I x ∈，都有M x f ≤)(；(2)存在I x ∈0，使得M x f =)(0，则M 为函数)(x f y =的最大值．(1)对于任意I x ∈，都有M x f ≥)(；(2)存在I x ∈0，使得M x f =)(0，则M 为函数)(x f y =的最小值．二、函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的．【易错指导】（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；（2）求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用；（3）使用基本不等式a b +≥容易忽视“一正、二定、三相等”；（4）配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；（5）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性；（6）使用单调性法要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；（7）导数法求函数()f x 在[]a b ,上的最大值和最小值3步骤①求函数在()a b ,内的极值； ②求函数在区间端点的函数值()(),f a f b ；③将函数()f x 的极值与()(),f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． V ．举一反三·触类旁通考向1 观察法解题模板：第一步，观察函数中的特殊函数；第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．【例1】求函数y =【解析】由函数y = 21640,44,2xxx -≥≤≤ 定义域为：2≤x 得：0416,016416<≤≤-<x x ，值域为：[)0,4．【跟踪练习】1．求函数x x f 28)(-=的值域．【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤x 28-＜2．故函数x x f 28)(-=的值域是)22,0[．2．【2017西安八校联考】设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2．6]＝2，[－2．6]＝－3．设g (x )＝a xa x ＋1(a >0且a ≠1)，那么函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x －12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g －x －12的值域为( ) A ．{－1，0，1} B ．{0，1} C ．{1，－1} D ．{－1，0} 【答案】D3．【2017河北唐山一中模拟】若函数12()1sin 21x xf x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n +的值是________．5【答案】4则()()2f x g x =+，即()()2g x f x =-，()f x 在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ，∴当()f x 取得最大值n 时，()g x 也取得最大值()max 2g x n =-，()f x 取得最小值m 时，()g x 也取得最小值()min 2g x m =-，函数()g x 的图象关于原点对称，∴函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最大值和最小值互为相反数，即()()max min 220g x g x n m +=-+-=，即4m n +=，故答案为4．考向2 分离常数法解题模板：第一步，观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+；第二步，对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步，求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域．【例2】求函数253)(-+=x x x f 的值域．【跟踪训练】求函数5143x y x -=-的值域．考向3 单调性法解题模板：第一步，求出函数的单调性；第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．【例3】求函数()f x =【例4】求函数2212x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域．【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域．（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数．（3）本题1x log y ,2y 325x 1-==-都是增函数，利用到了复合函数的单调性．【例5】函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e D ．0 【答案B【例6】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．【答案】－2．7【例7】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．【答案】（1）略；（2）a ＝25．【解析】(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25．【跟踪练习】1．【2017株洲高三摸底考试】定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 【答案】C2．【2017滨州质检】对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．【答案】1【解析】依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，则h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1．3．求函数14)3y x x =≤的值域．4．【2017北京市高三入学定位考试】已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈ （1）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值；（2）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；【答案】（1）1x =；（2）()(01)1(12)52(23)aa f x a a a <≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤<⎩考向4 配方法解题模板：第一步，将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．【例8】求函数()[]246,0,5f x x x x =-+-∈的值域．9【例9】【2017山东省枣庄八中高三月考】函数f (x )＝log 2x·)x 的最小值为______．【答案】－14【跟踪练习】1．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．，当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；【答案】[0，2]．【解析】(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2]．2．【2017辽宁鞍山一中高二下期中考试】函数y x=的值域为．【答案】1[0,]2【解析】由题意得，函数的定义域为101x x -≥⇒≥，所以y x ===所以1[0,]2y ∈．考向5 换元法解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．【例10】求函数y x =+【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞．【例11】求函数212()log (35)(02)f x x x x =-+≤≤的值域．2212111222min 11122235(02),2]()log (35),2]11()log (0)log 5(2)log 3411()log 5log 5,log ].4u x x x u f x x x f f f f x =-+≤≤∴=-+∴====∴=∴12max 33在[0,]是减函数，在[上是增函数。