2018年高考数学黄金100题系列第16题对数函数理

第16题对数函数I ．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，(0,1)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-．（2）根据（1）知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- ∴函数()()f x g x +的定义域关于原点对称． 又∵()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-++ ＝()()f x g x +，∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第75页B 组第4题【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力．【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断()f x 与()f x -的关系，进而判定．II ．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（） （参考数据：lg3≈0．48） A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ．【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用．【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项．【例3】【2017高考新课标I 理数】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D ．化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难．III ．理论基础·解题原理 考点一 对数与对数的运算性质 （1）对数的定义如果xa N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． （2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）： ①log 10a =，②log 1a a =，③log a Na N =，④log N a a N =．（2）对数的运算法则：如果0a >，且1a ≠，0>M ，0>N ，那么： 1．M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； 2．=NMalog M a log －N a log ； 3．n a M log n =M a log )(R n ∈． （2）换底公式：log log log a b a NN b=（,a b 均为大于零且不等于1，0N >）；利用换底公式推导下面的结论 （1）ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=．（2）b mnb a n a m log log =，特例：log log n n a a b b = 考点二 对数函数的定义函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自量，函数的定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5x y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 考点三 对数函数图象与性质）上为增函数提示：作一直线1y =，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴01c d a b <<<<<．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2．在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等． 【技能方法】1．转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化，同时要熟练应用公式：log 10a =，log 1a a =，log a Na N =，logb a a b =．2．数式化简与求值的规律含有对数的代数式的化简关键是减少含有对数的项的个数，而含对数的项的合并常用对数的性质，因此，化简要朝这个方向进行．一般有如下规律：（1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并；（2）熟练地运用对数的三个运算性质和换底公式并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧；（3）指数式ba N =与对数式log a Nb =的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的方法步骤： （1）先求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． 4．求函数的最值(或值域)（1）直接法：充分利用函数的单调性和图象直接求解．（2）转化法：利用运算公式将含有对数式的函数转化为求二次函数最值问题，然后采用配方法求解，但需注意自变量的范围．（3）分解法（复合法）：求解步骤：①分解成()log ,a y u u f x ==两个函数；②求()f x 的定义域；③求u 的取值范围；④利用log a y u =的单调性求解． 【易错指导】1．在对数运算中，忽视真数的限制条件，如已知lg lg 2ln(2)x y x y +=-，求的值； 2．错误利用对数的运算性质，如求值：1lg142lglg 7lg183-+-； 3．忽视函数中的定义域，如求函数212log (23)y x x =--的单调递增区间；4．混淆函数定义域与值域的理解，如若函数2lg(1)x ax ++的值域为R ，求实数a 的取值范围； 5．忽视对含参底数的讨论，如已知函数(log 24)a y x x =≤≤的最大值比最小值大1，求a 的值； 6．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求221()3x xy -=的单调区间．V ．举一反三·触类旁通 考向1 对数运算性质的应用 【例1】【2015高考安徽卷】151lg 2lg 2()22-+-=___________． 【答案】1-【例2】用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式：（1）log a xyz ；（2）log a ．【答案】（1）log log log a a a x y z +-；（2）112log log log 23a a a x y z +-．【解析】（1）zxyalog ()log a xy =log a z -log log log a a a x y z =+-．（2）32log zyxa(log log a ax =-211log log log 2log log log 23a a a a a a x x y z =+=+-．【例3】【2018河南南阳一中上学期第三次考试】求值：（1）；（2）941log 1619log 274⎛⎫++ ⎪⎝⎭．【答案】（1）1；（2）432．【解析】（1）原式=．（2）原式()()2122223114log 43323343log 3log 34441612222----=++=++=++=． 【跟踪练习】 1．已知函数3log ,0(),2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1(())9f f 的值为（） A ．14 B ． 13C ． 2D ．4 【答案】A【考点定位】本题考查函数的概念，指数与对数运算等基础知识，意在考查考生的计算能力及分析判断能力能力．2．【2016高考浙江卷】已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b aa b =，则a =_________，b =___________．【答案】4 2【解析】设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =，于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =，解得2,4b a ==．【技巧归纳】进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=．3．【2017吉林梅河口五中高三一模】已知两条直线1l ：y m =和2l ：8(0)21y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图象从左到右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图象从左到右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为__________．【答案】()8181172121221222m m m m +=++-≥=++，当且仅当()1821221m m +=+时，即32m =时取等号，所以ba的最小值为722=点睛：本题主要考查的是对数的运算及均指不定式的运用，难度适中，属于中等难度题．先分别m 表示出A 、B 、C 、D 的坐标，然后表示用A 、B 、C 、D 的坐标表示出投影长度a 、b ，得到8212m m b a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=，然后利用均值不等式求得ba的最小值． 考向2 求对数型函数的定义域、值域【例4】【2017河北唐山二模】函数y =的定义域为__________． 【答案】(]1,1-【解析】要使y =有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数y =的定义域为(]1,1-． 【例5】求下列函数的定义域、值域：（1）y =（2）()212log 23y x x =--．【解析】（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3所以函数的定义域为(]0,3x ∈ ∵31log 0x -≥所以函数的值域为[)0,y ∈+∞．（2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈所以函数的值域为y R ∈．【例6】【2018黑龙江双鸭山一中卖不】已知函数()()()log 1log 3(01)a a f x x x a =-++<< （1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最小值为-4，求a 的值．【答案】（1）()3,1-；（2）2a =试题解析；；（1）要使函数有意义，则有10{30x x ->+>解之得31x -<<，所以函数的定义域为()3,1-．（2）()()()()2log 13log 23a a f x x x x x =-+=--+()2log 14a x ⎡⎤=-++⎣⎦31x -<<()20144x ∴<-++≤．01a <<，()2log 14log 4a a x ⎡⎤∴-++≥⎣⎦，()min log 4a f x ∴=．由log 44a =-，得44a -=，1442a -∴==． 【跟踪练习】1．【2016高考全国Ⅱ卷】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）A ．y x =B ．lg y x =C ．2xy = D ．y=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．2．【2015高考湖北卷】函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．【方法归纳】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数．3．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研】已知函数()()2lg 1f x x =-的定义域为P ，不等式11x -<的解集为Q ，则P Q ⋃=（）A ．()0,1B ．()1,2-C ．()1,0-D ．()1,2 【答案】B【解析】因为210,1x 1x ->-<<，所以()1,1P =-，由11x -<可得02x <<，所以()0,2Q =，所以()1,2P Q ⋃=-，故选B ．4．【2017广西南宁金伦中学高三上学期期末考试】函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，，故函数的定义域为，故选D ．5．【2018湖南衡阳八中模拟】设函数f （x ）=lg （a x﹣b x），且f （1）=lg2，f （2）=lg12 （1）求a ，b 的值．（2）当x ∈[1，2]时，求f （x ）的最大值．（3）m 为何值时，函数g （x ）=a x的图象与h （x ）=b x﹣m 的图象恒有两个交点． 【答案】（1）a=4，b=2；（2）当x=2时，函数f （x ）取最大值lg12，（3）1,04⎛⎫-⎪⎝⎭试题解析：（1）∵f （1）=lg2，f （2）=lg12，f （x ）=lg （a x﹣b x）∴222{12a b a b -=-=，解得4{2a b ==．∴a=4，b=2；（2）由（1）得：函数f （x ）=lg （4x﹣2x），当12x ≤≤时，224x≤≤，∴21142224x xx ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴24212x x≤-≤，故当4212x x-=，即x=2时，函数f （x ）取最大值lg12．（3）若函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x ﹣m 的图象恒有两个交点．则方程4x ﹣2x=m 有两个解， 令t=2x，则t ＞0，则方程20t t m --=有两个正解；故140{m m ∆=+>->，解得104m -<<． 所以当104m -<<时，函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x ﹣m 的图象恒有两个交点． 考向3 对数函数的奇偶性【例7】【2018安徽合肥调研】若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 【答案】C 【解析】()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．【例8】【2017贵州贵阳模拟】已知函数()()()1212f x n x n x =++-，则()f x 是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 【答案】D【例9】【2017吉林实验中学上学期二模】若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．【答案】12-【解析】因为函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，所以()()0lg 220f a =+=，所以221a +=，即12a =-．点睛：解决本题的技巧是利用了奇函数的性质（若奇函数()f x 在0x =处有定义，则0=0f （）），可起到事半功倍的效果． 【跟踪练习】1．【2015高考新课标Ⅰ理】若函数()f x =ln(x x 为偶函数，则 a =___________． 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-＝22ln()ln 0a x x a +-==，解得1a =．2．【2014高考湖南卷】若()()3ln e 1x f x ax =++是偶函数，则=a _________．【答案】32-【名师点睛】此类试题主要表现为已知函数的单调性求相关的参数，其思考方向：（1）利用定义域的对称性建立方程求参数；（2）利用定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-建立方程求参数；（3）若函数()f x 为奇函数，且在0x =有定义，则利用(0)0f =求参数． 考向4 对数型函数的单调区间（单调性）【例10】求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间．【答案】()3,+∞【解析】先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．【例11】【2018湖北省武汉调研】函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()2,+∞D ．()5,+∞ 【答案】D【解析】由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >，根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上，因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数，由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ．点睛：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数． 【跟踪练习】1．【2014高考天津卷】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）A ．()0,+¥B ．(),0-¥C ．()2,+¥D ．(),2-?【答案】D【方法点拨】此类求对数型复合函数的单调区间，首先要搞清楚函数的复合关系，即把整个函数分解为若干个单调函数，按照“同增异减”的法则去判断函数的单调性．要讨论函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行，还要注意区间的端点值．2．【2018广东揭阳模拟】函数()2ln 23y x x =-++的单调递减区间是A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．[1，3）D ．（﹣∞，1） 【答案】C【解析】由复合函数的单调性知原函数的单调递减区间就是使函数2230y x x =-++>时对应的单调递减区间，即[13，）．故本题答案选C ．3．【2018湖北孝感七校联考】函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间是____．【答案】(),1-∞-【解析】函数有意义，则2230x x -->，解得{31}x x x <-或，结合二次函数的性质和复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为(),1-∞-． 4．【2017山东济宁高三3月模拟】若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全． 考向5 对数函数的单调性的应用 【例12】若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c <<B ．c a b << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】B【解析】∵116228=，113639=，∴113223<，1132ln 2ln 3<，∴a b <，又11102232=，11510525=，∴115252<，1152ln 5ln 2<，∴c a <，综上c a b <<，选B ．【例13】【2018河南漯河高级中学高三上学期三模】已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化 【答案】A【解析】不妨设1a ＞，则令10a f x log x b =-=（）＞，则1a log xb -=或1a log x b -=-；故12341111b b bbx a x a x a x a --=-+=-+=+=+，，，，故22142311211211b bx x a x x a -+=+=--，；2222212341111222221111b b b b b a x x x x a a a a -+++=+=+=----故，故选A ． 【例14】【2017山西三区八校二模】设，，，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【例15】【2017江苏无锡江南中学高三考前模拟】设0.50.82x =，2log y =sin1z =，则x 、y 、z 的大小关系为（）A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．z y x << 【答案】D【解析】因为0.50.50.920.820.810.9,log 20.9,sin1sin600.8660.9x y z =>====<=<，所以z y x <<，应选答案D ．【跟踪练习】1．【2018青海模拟】已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】4a ≤【解析】令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420a t a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤，所以实数a 的取值范围是4a ≤．【易错指导】（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．2．【2018安徽六安一中模拟】不等式12log (1)1x ->的解集是_______．【答案】3(1,)2【解析】由log ()1211x ->得1012x <-<，即312x <<． 【名师指导】求对数不等式的解集主要就是利用其单调性，因此必须考察对数的底数，同时易忽视真数的限制条件．3．【2017河北石家庄考前冲刺】已知a =16125b =，161log 7c =，则下列不等关系正确的是（） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】D【解析】由题16125b a ==>=23322216661376,log log 7log 672⎛⎫<=<=< ⎪⎝⎭D ．4．【2013高考全国新课标Ⅱ】设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】D【名师点拨】比较两个对数值大小方法：（1）如果同底数或可转化为同底数的两个对数值的比较，只须确定其对应函数的单调性，利用真数的大小即可比较；（2）如果底数不同且不能转化为同底数的两个对数值，则此时可考虑引入一个中间数，间接比较这两个对数值的大小． 考向6 对数函数的最值（值域）【例16】【2017吉林实验中学高三上学期第二次模拟】已知函数()sin (1)cos t xf x t t x+=>+的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为A ．1B ．0C ．-1D ．-2 【答案】B【解析】由题意，得()sin (1)cos t xf x t t x+=>+表示单位圆上动点()cos ,sin A x x 和单位圆外一点(),B t t --的连线的斜率k ，当直线AB 与圆221x y +=相切时，斜率k 取得最大值和最小值，设切线方程为()y t k x t +=+，即0k x y k t t -+-=，则1d ==，即()22221210t k t k t --+-=的两根分别为,M m ，则1Mm =，即log log log log 10t t t t M m Mm +===；故选B ．点睛：在处理求函数值域问题时，往往结合所给式子的几何意义进行处理可起到事半功倍的效果，常用的有：y b x a--表示过点(),x y 和点(),a b 的直线的斜率，()()22x a y b -+-表示点(),x y 和点(),a b 的距离的平方．【例17】函数2()log )f x x =的最小值为___________．【答案】14-【解析】()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫=⋅+=+=+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以，当21log 2x =-，即2x =时，()f x 取得最小值14-． 【例18】【2018海南模拟】已知1>x ，则x x 27log 9log +的最小值是_______． 【答案】362【名师点睛】与对数相关的函数的最值（值域）的常见三种求法：（1）对形如2()[log ]log a a f x a x b x c =++的函数的最值（值域）问题，可通过换元，然后配方求解，但需注意新的变量范围；（2）直接利用对数函数的单调性求解，但需注意底数与单调性的关系；（3）形如log log a a by a x c x=++可考虑利用基本不等式求解． 【跟踪练习】1．【2018江苏南师附中等四校高三联考】若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________． 【答案】]2,1(【解析】当2≤x 时，2)21()(32=≥-x f ，即函数的值域为),2[+∞；当2>x 且1>a 时，2log )(a x f >，即函数的值域为),2(log +∞a ，由),2[),2(log +∞⊂+∞a ，得22log ≥a ，解得21≤<a ；若2>x 且10<<a 时，2log )(a x f <，与题设不符，所以实数的取值范围是21≤<a ，即]2,1(．【易错点晴】本题属于一道逆向型的问题，中档偏难题．解题时一定要注意对底数a 进行分类．解题过程中还运用了函数值域内中的一个重要性质),2[),2(log +∞⊂+∞a ，并以此为基点建立不等式求出了参数a 的取值范围．解本题的关键是如何理解题设中“值域为),2[+∞”并能建立等价的不等式．2．【2018江苏扬州模拟】若函数2()log (1)(0a f x x ax a =-+->且1)a ≠有最大值，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】(2,)+∞【易错指导】（1）注意真数对应的二次函数的开口方向；（2）注意函数为复合函数，解答时注意利用单调性的复合规律求解；（3）注意定义域要求． 考向7 指数函数的图象过定点【例19】函数log (3)1(0,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C 【解析】根据题意，有(2,1)A --，所以有21m n +=，所以1212()(2)4n m m n m n m n m n +=++=++48≥+=，故选C ． 【方法提炼】因为指数函数log (0,1)a y x a a =>≠恒过定点，则函数log ()(0,1)a y m f x n a a =+>≠所过的定点可令()1f x =求得横坐标，而纵坐标为n ，由此可得定点坐标． 【例20】【2017陕西西安一模】函数过定点，且角的终边过点，则的值为（）A ．B ．C ．4D ．5 【答案】A【跟踪练习】1．函数()()log 2101a y x a a =-+≠且>恒过定点． 【答案】()3,1【解析】当3x =时，1y =，故函数()()log 2101a y x a a =-+≠且>恒过定点()3,1． 2．【2017广东揭阳模拟】若函数f （x ）=3ax ﹣k+1（a ＞0，且a≠1）过定点（2，4），且f （x ）在定义域R内是增函数，则函数g （x ）=log a （x-k ）的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 函数图象过定点()2,4，则2k =，在定义域内为增函数，可知1a >．则原函数为()()log 2a g x x =-．其定义域为()2,+∞且函数为增函数．故选A ．考向8 对数型函数的图象识别【例21】函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B ，D ，故选A ．【题型归纳】对对数函数的图象识别考查主要有两种题型：（1）根据对数函数的图象确定相关参数的值或函数的解析式；（2）根据函数的解析式确定对应的函数的图象．【例22】【201海南海南中学、文昌中学下学期联考】函数()af x x =满足()24f =，那么函数()()log 1a g x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【跟踪练习】1．已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图，则下列结论成立的是（ ）A ．1,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<< 【答案】D【解析】由图可知，log ()a y x c =+的图象是由log a y x =的图象向左平移c 个单位而得到的，其中01c <<，再根据单调性易知01a <<，故选D ．2．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）第三次调研】如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为__________．【答案】考向9 对数函数图象的应用【例23】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】0.5()2|log |1x f x x =-的零点，即为方程0.52|log |1x x =的根，亦即为函数0.5|log |y x =与1()2x y =函数的交点横坐标，因此在同一坐标系中作出函数1()2xy =与0.5|log |y x =的图象，由图象可知零点个数为2个，选B ．【技巧点拨】在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要利用数形结合的思想来解决．【例24】【2018湖北华师一附中9月调研】使()2log 1x x -<+成立的x 的取值范围是___________ 【答案】（-1，0）【解析】在同一坐标系中分别画出函数()2log y x =-和1y x =+的图象（如图所示），由图象，得使()2log 1x x -<+成立的x 的取值范围是()1,0-；故填()1,0-．【例25】【2017重庆4月调研】设函数()22log ,12{ 142,1333x x f x x x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭=-++>-，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[]8,1--【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 【跟踪练习】1．【2018河南郑州一中上学期入学考试】设函数()22122,0{ 2log ,0x x x f x x x ++≤=>，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1224341x x x x x ++的取值范围是（） A ．()3,-+∞ B ．(),3-∞ C ．[)3,3- D ．(]3,3- 【答案】D点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及4x 的取值范围．2．【2017湖南雅礼中学高三下学期月考五】若1x 满足522=+xx ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x （）A ．25 B ．3 C ．27D ．4 【答案】C【解析】x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x ，故选C ．【方法点晴】本题主要考查的是指数函数图象、对数函数图象及图象之间的关系，属于中档题．本题通过化方程解为两函数图象交点问题，将求解方程根的和的问题，转化为直线与指数函数图象、对数函数图象交点横坐标之和的问题．本题利用互为反函数的图象关于直线y x =对称，又52y x =-与对称轴垂直，可知52y x =-与两函数图象交点的中点在直线y x =上，从而求出两交点横坐标之和． 3．【2016高考天津卷】已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________．【答案】12[,)33相等的实数解，则函数|()|y f x =与函数23xy =-+的图象有两个不同的交点，如图所示，则由图可知32116a a<⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得1273a ≤<，因此a 的取值范围是12[,)33．考向10 对数方程的解法【例26】【2015高考上海理】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->2430t t ⇒-+=，1333112x t t x x ->=⇒=⇒-=⇒=．【方法点拨】对数方程的最基本的法则是首先统一底数，然后根据方程的特征利用对数的运算性质，结合对数相等，真数相等去掉对数符号，或通过换元去掉对数符号，转化为代数方程后，利用代数的方法求求解，最后回代验证即可．【例27】【2017河南安阳二模】已知函数，．（Ⅰ）若在上有两个不等实根，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．令，得，则在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为．又，，所以的取值范围为．（Ⅱ），即，等价于，设，则， 所以当时，，单调递减；当时，单调递增．所以在上的最小值为．设，则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在上的最大值为．因为，所以，故．点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）的有效而重要的工具，求解本题的第一问时，依据题设条件将方程问题转化为函数问题，再构造函数运用导数知识分析求解而获解；解答第二问时，则首先将不等式进行等价转化，然后再构造函数运用导数知识及转化化归的思想方法进行分析推证，从而使得问题简捷、巧妙获证．【例28】【2017重庆上学期第一次诊断模拟】已知函数()()ln ,f x x ax b a b R =-+∈有两个不同的零点12,x x ．()I 求()f x 的最值；()II 证明：1221x x a ⋅<．【答案】（1）()max ln 1f x a b =--+，无最小值（2）见解析 【解析】试题分析：（1）求出导函数()1'f x a x =-，()()10,f x x f x a >⇒<∴'在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，()max 1ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--+ ⎪⎝⎭，无最小值；（2）通过11220{ 0lnx ax b lnx ax b -+=-+=，两式相减化为1212lnx x a x x =-，故要证1221x x a <，即证1122212ln 2x x x x x x <-+，不妨设12x x <，令()120,1xt x =∈，则只需证21ln 2t t t <-+，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，通过函数的导数以及函数的单调性求解最值即可．()II 由题知11220{0lnx ax b lnx ax b -+=-+=，两式相减得()1122ln x a x x x --，即1212lnx x a x x =- 故要证1221x x a⋅<，即证()21212212ln x x x x x x -⋅<=，即证()212211221221ln2x x x x x x x x x x -<-+⋅ 不妨设12x x <，令()120,1x t x =∈，则只需证21ln 2t t t <-+设()21ln 2g t t t t =--+，则()212ln 112ln 1t t t g t t t t t-+=='-+设()12ln h t t t t =-+，则()()2210,t h t t ='--<()h t ∴在()0,1上单减，()()10h t h ∴>=，()g t ∴在()0,1上单增，()()10g t g ∴<=，即21ln 2t t t<-+在()0,1t ∈时恒成立，原不等式得证．【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题．不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明． 【例29】【2018浙江嘉兴一中模拟】已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．【答案】(1）；(2)；（3）．时，则，故有，判断出函数的单调性，可设函数在区间上的最大值与最小值分别为，令其两者之差不小于列出不等式，解不等式即可． 试题解析：（1）由，得，解得． （2），，当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．当且时，，，．是原方程的解当且仅当，即；。