专题21压轴选择题12019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
专题11函数与导数2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
一、单选题1．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】2．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，令其导数，若函数满足，则有，即在上为增函数，又由，则，，又由在上为增函数，则有；即不等式的解集为（0，2）；故选：D．故选：D．5．若函数有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解故选：B6．已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】二、填空题7．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．【答案】【解析】由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.故答案为：48．若，，，则_______．【答案】1【解析】9．已知函数，若，则实数____【答案】【解析】由题意得，所以，故，解得．故答案为．10．已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是_____.【答案】【解析】由题意得，函数为奇函数，∴. ，∴．∴，∴. ，∴，又，∴所求切线方程为，故答案为：．故答案为：三、解答题13.已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求的表达式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，解得，，解得，所以.14．已知函数．若曲线在处的切线为，求的值；当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）3；（2）.【解析】，又，，故，解得：；15．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】（1）因为，所以，当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即.故当时，，此时；当时，，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则. 令，，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.16．已知函数的导函数满足对恒成立. （1）判断函数在上的单调性，并说明理由；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单调递增，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意. 综上，的取值范围为.又因为，所以曲线在处的切线方程为.20．设函数，（1）当时，求的单调区间；（2）若存在极值点，求的取值范围.【答案】（1）在单调递增；（2）.【解析】（1）当时，，设，则，，当时，，当时，在为减函数，在为增函数，成立在单调递增当或时，当，，,时，作出的图象如图有或，即。
全国卷Ⅰ2019年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z =C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=， 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BDDE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB=， 由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-． 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量， ∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x yy kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ． 由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--， 则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤． （ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++． 因为θ∈R ，所以． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
2019年高考文科数学百校联盟押题卷3套(含解析)
2019届高考全国统一试卷押题卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，则A B =（ ）A ．{}2x x >-B ．{}21x x -<≤C ．{}2x x ≤-D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】∵{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，∴根据集合并集的定义可得{}2A B x x =>-， 故选A ． 2．复数2iiz +=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】∵()()22i i 2i 12i i i z +-+===--， ∴复数2iiz +=在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ． 3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，∴6OA =， ∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．4．设实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x z =-+，直线3y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上截距最小，∴min 3011z =⨯+=，故选A ．5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行程序框图，1n =时，11133S ==⨯；3n =时，11213355S =+=⨯⨯； 5n =时，11131335577S =++=⨯⨯⨯；7n =时，11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯， 9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7 D ．2【答案】B【解析】∵563542a a a a a +=+=+，∴42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件B ．函数()f x =的最小值为2C ．当α，β∈R 时，命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” 【答案】C【解析】当4x =-时，2x <-成立，()ln 30x +<不成立，∴A 不正确； 对()2f x =≥1=时等号成立，3，∴()2f x =>，的最小值不为2，∴B 不正确；由三角函数的性质得 “若αβ=，则sin sin αβ=”正确，故其逆否命题为真命题，∴C 正确； 命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，∴D 不正确，故选C ． 8．已知函数()32cos f x x x =+，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】D【解析】∵函数()32cos f x x x =+，∴导数函数()32sin f x x '=-，可得()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数，又∵222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D ．9．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点， 则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） AB ．1CD【答案】C【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，)M，)B，()0,1,0N ，()13,1,1AM =-，()BN =，设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11cos 5A M BNA M BNθ⋅===⋅，∴tan θ=．∴异面直线1A M 与BN C ．10．齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为A ，B ，C ，田忌上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B b ，(),B c ，(),C c ，共6种，∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C ． 11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线()0x a a =>对称，且当x a ≥时，()2e x a f x -=． 过点(),0P a 作曲线()y f x =错误！未找到引用源。
专题13数列与概率2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
总体
的，以此赋分 分、 分、 分、 分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
法， 省某高中高一（ ）班（共 人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选
C．
D．
【答案】B 【解析】
设正方形 DEFC 的边长为 ，则
，因此所求概率为
，选 B.
6．已知等差数列 中，
A．10
B．9
【答案】A
【解析】
因为在等差数列 中，
所以
，前 10 项的和等于前 5 的和，若
C．8
D．2
， ，
，则
（），
又
，
．
故选 【解析】 设公差为 d， ∵3a3=7a7，项 a1=1， ∴3（1+2d）=7（1+6d）， 解得 d=- ，
∴an=1- （n-1）=
，
令 an≥0，解得 n=10，
∴数列{an}的前 n 项和的最大值为 S10=10+
故答案为：5
三、解答题
13. 已知数列 的前 项和为 ，满足
参考公式：线性回归方程
，其中
，
．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
记
，
，
，
，
．
则从 5 名学生中，任取 2 名学生的所有取法为 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，共有 10 种情况，
其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况是 、 、 、 、 、 、 ，共计 7
种，因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为 ；
【答案】(1)
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
2019届全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文(解析版)
2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤.集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤.则集合A B ＝（ ） A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2． 已知复数z 满足(2)3i z i -=+.则||(z = ) AB ．5CD ．103．下列函数中.与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A. B. C. D.4．某学校上午安排上四节课.每节课时间为40分钟.第一节课上课时间为.课间休息10分钟.某学生因故迟到.若他在之间到达教室.则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）A.51 B. 103 C. 52 D. 545．函数()23sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A. 4πB. 2πC. πD.2π6．若01a b <<<.则b a . a b . log b a . 1log ab 的大小关系为（ ） A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>>7． 若实数x .y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩………….则2z x y =-的最大值为( )A ．10B ．6C ．4D ．2-8． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>.四点1(4,2)P .2(2,0)P .3(4,3)P -.4(4,3)P 中恰有三点在双曲线上.则该双曲线的离心率为( )A B ．52C D ．729． 执行如图所示的程序框图.则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．1110．一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. 11． ABC ∆中.5AB =.10AC =.25AB AC =.点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点.且32()55AP AB AC R λλ=-∈.则||AP 的最大值是( )A B C D12． 在四面体ABCD 中.1AB BC CD DA ====.AC =.BD .则它的外接球的面积(S = ) A ．4πB ．83πC ．43πD ．2π二、填空题：本大题共4小题.每小题5分．13．数列{}n a 中.148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈.数列{}n a 的通项公式14． 已知()f x 是R 上的偶函数.且在[0.)+∞单调递增.若(3)f a f -<（4）.则a 的取值范围为 ．15．在ABC ∆中.角的对边分别为.AaB b B c cos cos cos 与是-的等差中项且.ABC ∆的面积为34.则的值为__________．16．已知抛物线x y C 4:=的焦点是.直线交抛物线于两点.分别从两点向直线作垂线.垂足是.则四边形的周长为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD 中.∠BAD ＝90°. ∠BCD ＝150°.∠BAC＝60°.AC ＝2.AB ＝3＋1．（Ⅰ）求BC ；（Ⅱ）求△ACD 的面积． （18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理.得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2.a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元.根据（Ⅰ）中所求的回归方程.预测x 为何值时.小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中.△PAD 为等边三角形.底面ABCD 等腰梯形.满足AB ∥CD .AD ＝DC ＝12AB ＝2.且平面PAD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离． （20）（本小题满分12分）ABCDP已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记动点P 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点.过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A .B 两点.问是否存在常数λ.使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在.求λ的值；若不存在.说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1.g (x )＝(x －1)e x－mx .m ＞0． （Ⅰ）若f (x )的最大值为0.求m 的值；（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0.且 12ln (m ＋1)＜x 0＜m ．请考生在第（22）.（23）题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.M (－2.0)．以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.A (ρ.θ)为曲线C 上一点.B (ρ.θ＋π3).|BM |＝1． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求|OA |2＋|MA |2的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0.ad ＝bc ． （Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；（Ⅱ）比较a a b b c d d c与a b b a c c d d的大小．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】根据题意可得.12y x y x =+⎧⎨=⎩.解得12x y =⎧⎨=⎩.满足题意01x ≤≤.所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2． 【答案】C【解析】：(2)3i z i -=+.3213iz i i+∴=-=+.||z ∴=．故选：C ． 3．【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数.对照各选项： 为非奇非偶函数.排除 ；为奇函数.但不是上的增函数.排除 ；为奇函数.但不是上的增函数.排除 ；为奇函数.且是上的增函数.故选D. 4．【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为.该学生到达教室的时间总长度为 分钟.其中在进入教室时.听第二节的时间不少于分钟.其时间长度为分钟.故所求的概率515010= .故选A. 5．【答案】C【解析】 因为()21cos233sin cos sin222x f x x x x x -=+=+3sin2226x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以其最小正周期为222T w πππ===.故选C. 6．【答案】D【解析】因为01a b <<<.所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0a b <.综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 7．【答案】B ．【解析】：先根据实数x .y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………画出可行域如图.做出基准线02x y =-.由图知.当直线2z x y =-过点(3,0)A 时.z 最大值为：6．故选：B ．8． 【答案】C【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -.4(4,3)P 中在双曲线上. 则1(4,2)P 一定不在双曲线上.则2(2,0)P 在双曲线上.2a ∴=.221691a b -=.解得23b =.2227c a b ∴=+=.c ∴c e a ∴==故选：C ． 9． 【答案】B【解析】：模拟程序的运行.可得： 11,313i S lg lg ===->-.否；1313,51355i S lg lg lg lg ==+==->-.否；1515,71577i S lg lg lg lg ==+==->-.否；1717,91799i S lglg lg lg ==+==->-.否； 1919,11191111i S lg lg lg lg ==+==-<-.是.输出9i =. 故选：B ． 10．【答案】C【解析】 由三视图可知.该几何体是四棱锥P ABCD -.如图所示. 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===.则5,PA PC PB =====,.故选C ． 11． 【答案】B ．【解析】ABC ∆中.5AB =.10AC =.25AB AC =. 510cos 25A ∴⨯⨯=.1cos 2A =.60A ∴=︒.90B =︒； 以A 为原点.以AB 所在的直线为x 轴.建立如图所示的坐标系. 如图所示.5AB =.10AC =.60BAC ∠=︒.(0,0)A ∴.(5,0)B .(5C ..设点P 为(,)x y .05x 剟.0y 剟3255AP AB AC λ=-.(x ∴.3)(55y =.20)(55λ-.(32λ=-.)-.∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.3)y x ∴=-.①直线BC 的方程为5x =.②. 联立①②.得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大.||AP ∴ 故选：B ．12． 【答案】D 【解析】：如下图所示.1AB BC CD DA ====.BD =.由勾股定理可得222AB AD BD +=.222BC CD BD +=.所以.90BAD BCD ∠=∠=︒.设BD 的中点为点O .则12OA OB OC OD BD ====则点O 为四面体ABCD 的外接球球心.且该球的半径为2R =因此.四面体ABCD 的表面积为22442S R πππ==⨯=．故选：D ． 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分． 13．【答案】=102n a n -【解析】 由题意.211n n n n a a a a +++-=-.所以{}n a 为等差数列.设公差为d . 由题意得2832d d =+⇒=-.得82(1)102n a n n =--=-. 14．【答案】17a -<<． 【解析】：()f x 是R 上的偶函数.且在[0.)+∞单调递增.∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4）.即|3|4a -<.即434a -<-<.得17a -<<.即实数a 的取值范围是17a -<<.故答案为：17a -<< 15．【答案】54. 【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-的等差中项.得AaB b B c cos cos cos 2+=- . 由正弦定理.得A A B B B C cos sin cos sin cos sin 2+=-,AB B A BC cos cos )sin(cos sin 2⋅+=- .由C B A sin )sin(=+ 所以21c o s -=A ,32π=A . 由34sin 21==∆A bc S ABC .得16=bc . 由余弦定理.得16)(cos 22222-+=-+=c b A bc c b a .即54=+c b .故答案为54．16．【答案】.【解析】由题知. .准线的方程是 . 设 .由 .消去. 得. 因为直线 经过焦点.所以. 由抛物线上的点的几何特征知 .因为直线的倾斜角是.所以.所以四边形的周长是.故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1【解析】（Ⅰ）在△ABC 中.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝6. 所以BC ＝6．（Ⅱ）在△ABC 中.由正弦定理得BC sin∠BAC ＝AC sin∠ABC .则sin∠ABC ＝22.又0°＜∠ABC ＜120°.所以∠ABC ＝45°.从而有∠ACB ＝75°.由∠BCD ＝150°.得∠ACD ＝75°.又∠DAC ＝30° .所以△ACD 为等腰三角形. 即AD ＝AC ＝ 2.故S △ACD ＝1．（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7（Ⅱ）x ＝3【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6.y -＝10.5i ＝1∑x i y i ＝242.5i ＝1∑x 2i ＝220.^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45.a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95.所以预测当x ＝3时.销售利润z 取得最大值．（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中.取AB 中点E .连结DE .则ABCDDE ∥BC .且DE ＝BC ．故DE ＝ 12AB .即点D 在以AB 为直径的圆上.所以BD ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD .平面PAD ∩平面ABCD ＝AD .BD 平面ABCD . 所以BD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）取AD 中点O .连结PO .则PO ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD . 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD .所以PO ⊥平面ABCD ． 由（Ⅰ）可知△ABD 和△PBD 都是直角三角形. 所以BD ＝AB 2－AD 2＝2 3.于是S △PBD ＝1 2PD •BD ＝2 3.S △BCD ＝ 12BC •CD •sin120°＝ 3. 易得PO ＝ 3.设C 到平面PBD 的距离为h .由V P-BCD ＝V C-PBD 得 1 3S △PBD •h ＝ 13S △BCD •PO .解得h ＝32．（20）（本小题满分12分）【答案】（1）y 2＝6x （Ⅱ）λ＝43【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C (2.0),半径r ＝3．设P (x .y ).依题意可得 | x ＋1 |＝(x －2)2＋y 2－3.整理得y 2＝6x ． 故曲线E 的方程为．（Ⅱ）设直线AB 的方程为my ＝x －2.则直线CQ 的方程为y =－m (x －2).可得Q (－1.3m )．设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2)． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0.那么y 1y 2＝－12.…8分则|AC |·|BC |＝(1＋m 2) | y 1y 2 |＝12(1＋m 2).|QC |2＝9(1＋m 2)．即|AC |·|BC |＝ 43|QC |2.所以λ＝ 4 3．21.（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）m ＝1（Ⅱ）见解析. . 【解析】（Ⅰ）由m ＞0得f (x )的定义域为(0.＋∞).f '(x )＝ 1 x －1＝1－x x.当x ＝1时.f '(x )＝0； 当0＜x ＜1时.f '(x )＞0.f (x )单调递增；当x ＞1时.f '(x )＜0.f (x )单调递减．故当x ＝1时.f (x )取得最大值0.则f (1)＝0.即ln m ＝0.故m ＝1．（Ⅱ）g '(x )＝x e x －m .令h (x )＝x e x －m .则h '(x )＝(x ＋1)e x .当x ＝－1时.h '(x )＝0；当x ＜－1时.h '(x )＜0.h (x )单调递减；当x ＞－1时.h '(x )＞0.h (x )单调递增．故当x ＝－1时.h (x )取得最小值h (－1)＝－e －1－m ＜0．当x ＜－1时.h (x )＜0.h (x )无零点.注意到h (m )＝m e m －m ＞0.则h (x )仅有一个零点x 0.且在(－1.m )内．由（Ⅰ）知ln x ≤x －1.又m ＞0.则 1 2ln (m ＋1)∈(0. 1 2m )． 而h ( 1 2ln (m ＋1))＝h (ln m ＋1) ＝m ＋1ln m ＋1－m ＜m ＋1(m ＋1－1)－m＝1－m ＋1＜0.则x 0＞ 1 2ln (m ＋1). 故h (x )仅有一个零点x 0.且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ． 即g (x )仅有一个极值点x 0.且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ． 22.（本小题满分10分）【答案】（Ⅰ）(x ＋1)2＋(y －3)2＝1（Ⅱ）[10－4 3.10＋43]．【解析】（Ⅰ）设A (x .y ).则x ＝ρcos θ.y ＝ρsin θ.所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 1 2y . 故B ( 1 2x －32y .32x ＋ 1 2y )． 由|BM |2＝1得( 1 2x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1. 整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．. . （Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数）.则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10. 所以|OA |2＋|MA |2∈[10－4 3.10＋43]．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0.即(a －d )2＞(b －c )2. 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc .即(a ＋d )2＞(b ＋c )2.故a ＋d ＞b ＋c ． （Ⅱ）a a b b c d d ca b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c)c －d. 由（Ⅰ）得a －b ＞c －d .又 a b ＞1.所以( a b )a －b ＞( a b )c －d . 即( ab )a －b ( dc )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc )c －d＝1. 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ．。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
专题24压轴解答题2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
专题4 压轴解答题1．已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）当在上的最小值是时，求m的值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）依题意，.当时，，则在上单调递增；当时，由解得，由解得.故当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在上的极小值点.①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为，即，矛盾.③当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，即.令（），则，∴在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解.综上所述：=.2．已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）【解析】Ⅰ，，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，在上递增，在上递减，所以在处函数有极大值，极大值为，无极小值；Ⅱ任意的，不等式= 恒成立，在上恒成立，设，，令，解得，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，，，实数k的取值范围．3．已知函数.（1）当，求证；（2）讨论函数的零点个数.【答案】(1)见证明；(2)见解析【解析】（1）证明：当时，，令，则，知在递减，在递增，.综上知，当时，.(2)，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，当x趋向于无穷大时，y值趋向于0，图像大致如图：且，综上知，当或时，的零点个数为；当时，的零点个数为，当时，的零点个数为，4．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点，的直线的距离是．1求椭圆的方程；2设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】1由抛物线的焦点坐标为，得，因此，直线AB：，即．原点O到直线AB的距离为，联立，解得：，，椭圆C的方程为；2由，得方程，由直线与椭圆相切，得且，整理得：，将，即代入式，得，即，解得，，又，，则，直线方程为，联立方程组，得，点Q在定直线上．5．已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．6．设函数.(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ) 讨论函数的单调性；(Ⅲ) 设,当时,若对任意的，存在，使得≥，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)，因为,且，所以曲线在点处的切线方程为：.(Ⅱ)令，所以，当时,，此时在上单调递减,在上单调递增；当时,，此时在上单调递增,在上单调递减.(Ⅲ)当时,在上单调递减,在上单调递增，所以对任意,有，又已知存在，使,所以，即存在,使，即，即因为当，所以,即实数取值范围是.所以实数的取值范围是.7．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当时，，．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.【解析】（1）解：由题意知，，.当时，对恒成立，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由题意知，即证当时，对任意，恒成立，令，，所以，.因为，，则，所以函数在上单调递减，所以，当时，，.8．已知函数，.（Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.【解析】（Ⅰ），，，则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，，，，，所以存在切线斜率，使得，，，，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（Ⅱ），当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.9．已知函数．当时，求的单调区间；令，在区间，为自然对数的底．（i）若函数在区间上有两个极值，求的取值范围；（ii）设函数在区间上的两个极值分别为和，求证：．【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减；（2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）时，，可得：函数在上单调递增；上单调递减（2）在区间，为自然对数的底（i）函数在区间上有两个极值在上有两个实数根化为：可得函数在上单调递增，在上单调递减时，取得极大值即最大值，由，时满足条件．（ii）证明：设函数在区间上的两个极值分别为和，……①则……②等价于即……③由①②③得不妨设，则，上式转化为：设，则故函数是上的增函数即不等式成立，故所证不等式成立10．已知函数，a，．当时，讨论函数的单调性；当，时，记函数的导函数的两个零点分别是和，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】时，函数，．．时，，则时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．时，，，，此时函数在上单调递增；时，，则函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．时，，则函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当，时，，令，可得：，可知：函数在上单调递减，在上单调递增．，时，；．由，，可得，于是．．．令．．函数在上单调递减，,即．11．已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】由，得，当时，在R上为增函数，函数最多有一个零点，不符合题意，所以．当时，，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以；若函数有两个零点，则；当时，，；；由零点存在定理，函数在和上各有一个零点．结合函数的单调性，当时，函数有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为．证明：由得，；由，得，；所以；设，则，解得，；所以，当时，；设，则，当时，，于是在上为增函数；所以，当时，，即；所以．12．设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，令，所以，，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.13．已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点的距离比为．（1）求动点P所在曲线E的方程；（2）设点Q为曲线E与轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线，与曲线E相交于异于点的不同两点，点C满足，直线和分别与以C为圆心，为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC 与△QBC的面积之比的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设动点P的坐标为，由题意可得，整理，得：，即为所求曲线E的方程；（2）（解法一）由已知得：，，，即圆C方程为由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0设直线MQ的方程为，与联立得：所以，同理，设直线NQ的方程为，与联立得：所以因此由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称设，，所以，又在曲线上，所以，即故，由于，所以，（解法二）由已知得：，，，即圆C方程为由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0设直线MQ的方程为，则点C到MQ的距离为所以于是，设直线NQ的方程为，同理可得：所以由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称设，，所以，又在曲线上，所以，即故，由于，所以，14．设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.【解析】（1），设，①当时，，；②当时，由得或，记则，∵∴当时，，，当时，，，∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）不妨设，由已知得，，即，，两式相减得，∴，要证，即要证，只需证，只需证，即要证，设，则，只需证，设，只需证，，在上单调递增，，得证．15．已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）证明：当时，，得，知在递减，在递增，，综上知，当时，.（2）法1：，，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得.法2：由得，，当时，，知在上递减，不满足题意；当时，，知在递减，在递增.，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.16．已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.【答案】（I）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【解析】（Ⅰ）的定义域为..（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，∴恒成立，符合题意.②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴对任意的实数，恒成立，只需，且.而当时，且成立.∴符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需即可，此时成立，∴符合题意.（iii）若，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需，即，∴符合题意.综上所述，实数的取值范围是.17．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题可得，当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）即，即，令，则．易得，令，则，所以函数在上单调递减，，①当时，，则，所以，所以函数在上单调递减，所以，满足；②当时，，，，，所以存在，使得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以，所以不满足．综上可得，故的取值范围为．18．已知函数，．（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数的最大值为，求实数的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，因为不等式恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，则，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为．（Ⅱ）由题可得，当时，，函数单调递减，又，所以存在，使得，与函数的最大值为矛盾，不符合题意；当时，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，令，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又函数的最大值为，即，所以．19．已知函数．（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；（2）设，若，证明：函数至少有1个零点．【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）要使函数在定义域内是增函数，需满足，解得，故实数的取值范围为.（2）当时，，，令（*），则，∴方程（*）有两个不相等的实根，且，,若，整理得，又，∴不成立，故；若，解不等式，得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴当时，函数有2个零点，当时，函数有1个零点，若，解不等式，得，此时，故函数在上单调递增，∴，∵，∴函数有1个零点.综上，若，函数至少有1个零点．20．已知函数．当时，求函数单调区间；若恒成立，求的值．【答案】（1）在递减，在递增；（2）【解析】时，，故，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；若恒成立，即，时，，问题转化为，令，则，令，，百度文库- 让每个人平等地提升自我则，，故在递减，，故在递增，，故，在递减，而时，，故，故，时，显然成立，时，，问题转化为，令，则，令，，则，，故在递减，，故在递减，，故，在递减，而时，，故，故，综上：．21。
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专题1 压轴选择题1
1．设函数，若，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
当时，不等式可化为，即，解得；
当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．
2．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.
故选：D
3．已知函数，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
函数，可知时，，
所以，可得解得．
不等式即不等式，
可得：或，
解得：或，即
故选：C．
4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D．
5．在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当
时，三棱锥外接球的半径为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，
所以，又，所以在中，，即，解得.故选D
6．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，及得，，，，
如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，
令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，
所以
于是圆柱的体积，
当且仅当，即时，等号成立.故选B
7．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意，令其导数，
若函数满足，则有，即在上为增函数，
又由，则，
，又由在上为增函数，则有；
即不等式的解集为（0，2）；
故选：D．
8．如图，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，且球的表面积为，点在球面上，则四棱锥体积的最大值为（）
A．8 B．C．16 D．
【答案】D
【解析】
因为球O的表面积是，
所以，解得．
如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，
设矩形的长宽为x，y，
则，当且仅当时上式取等号，
即底面为正方形时，底面面积最大，
此时点P在球面上，
当底面ABCD时，，即，
则四棱锥体积的最大值为．
故选：D．
9. 在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥
的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
三棱锥的体积为，，
，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高P A的一半，
是边长为的正三角形，
外接圆的半径，
球的半径为R=，
球O的表面积为．
故选：D．
10. 已知函数f（x）＝（kx+）e x﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为（）
A．[，）B．（，]
C．[）D．[）
【答案】A
【解析】
由f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，得（kx+）e x＜2x，即kx+＜有且只有一个正整数，令g （x）＝，则g′（x）＝，当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．作出函数g（x）与y＝kx+的图象如图所示，y＝kx+的图象过定点P（0，），A（1，），B（2，），∵，．∴实数k的取值范围为[，）．
故选：A．
11．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
设，
则，
在上递减，在上递增，
，且时，，
有三个零点等价于与的图象有三个交点，
画出的图象，如图，
由图可得，时，与的图象有三个交点，
此时，函数有三个零点，
实数的取值范围是，故选D.
12．三棱锥中，平面ABC，，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.
【详解】
如图所示，设，由的面积为2，得，
因为，外接圆的半径，
因为平面，且，
所以到平面的距离为，
设球的半径为R，则，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.
13．若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )
A．B．（）C．D．（）
【答案】D
【解析】
当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得
最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，
根据图可得故选D.
14. 已知在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则面积的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为
所以，
故，由余弦定理，得
所以，当且仅当时取等号，所以，
当且仅当时取等号,面积的最大值是,故选C.
15.过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设，
，P是线段AB的中点，则，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即：
联立直线与椭圆方程得：
，整理得：
，，代入得：,椭圆的离心率
为:.
故选：C.
16. 正三棱锥中，已知点在上，，，两两垂直，，，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由，，两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，
三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，
∴,
过作，为垂足，,在中，，，
∴，
当垂直截面时，截面圆半径最小.
，.
故选C
17.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选：D．
18. 已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
当x＞0时，函数f′（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，
由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，
由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x ＝e时，函数f（x）取得极大值，
极大值为f（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，
当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，是二次函数，在轴处取得最大值，
作出函数f（x）的图象如图：
要使f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，
则a＜0或＜a＜e，
即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪，
故选：D．
19. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意，可得，
若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即恒成立，
令，
则，故的最大值为1，此时，即，
所以的最大值为，所以，故选D.
20.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
A．B．1 C．D．2
【答案】B
【解析】
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）＝|CD|．
∴1，即的最小值为1．。