与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题

1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．

（1）求∠APC与∠ACD的度数；

（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．

（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

(1)求证：⊙D与边BC也相切；

(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；

(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M

经过的弧长(结果保留π)．

3、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC 在l上．

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．

①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；

②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．

4、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．

（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；

（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；

（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．

5、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．

（1）求证：OF∥BE；

（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG （E、F、O与E、H、G为对应点）如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

6、如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立请说明理由；

（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

答案：

1、解：（1）连接AC，如图所示：

∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。

又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。

∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，

∴∠APC=∠AOC=30°。

又DC 与圆O 相切于点C ，∴OC ⊥DC 。∴∠DCO=90°。

∴∠ACD=∠DCO ﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。

（2）连接PB ，OP ，

∵AB 为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。

当点P 移动到弧CB 的中点时，∠COP=∠POB=60°。

∴△COP 和△BOP 都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP 。

∴四边形AOPC 为菱形。

（3）当点P 与B 重合时，△ABC 与△APC 重合，显然△ABC ≌△APC 。

当点P 继续运动到CP 经过圆心时，△ABC ≌△CPA ，理由为：

∵CP 与AB 都为圆O 的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。

在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，AB=CP ，AC=AC

∴Rt △ABC ≌Rt △CPA （HL ）。

综上所述，当点P 与B 重合时和点P 运动到CP 经过圆心时，△ABC ≌△CPA 。

2、解：（1）证明：连接DE ，过点D 作DN ⊥BC ，垂足为点N 。

∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC 。

∵⊙D 与边AB 相切于点E ，∴DE ⊥AB 。∴DN=DE 。

∴⊙D 与边BC 也相切。

（2）∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝23，∴AD ＝AB ＝23。 又∵∠A ＝60º，∴DE ＝ADsin600＝3，即⊙D 的半径是3。

又∵∠HDF ＝

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∠HADC ＝60º，DH ＝DF ，∴△HDF 是等边三角形。 过点H 作HG ⊥DF ，垂足为点G ，则HG ＝3sin600＝332

。 ∴2HDF HDF 1396033S 333S 2243602

ππ∆⨯⨯=⨯⨯===扇形，。 ∴HDF HDF 39693S S S 3244ππ∆-=-=-=扇形影阴。 （3）假设点M 运动到点M 1时，满足S △HDF ＝3S △MDF ，过点M 1作M 1P ⊥DF ，垂足为点P ，则

191333M P 42=⋅⋅⋅，解得3M P=2

'。 ∴111M P=DM 2

。∴∠M 1DF ＝30º。 此时动点M 经过的弧长为：3031802

ππ⨯⨯=。 过点M 1作M 1M 2∥DF 交⊙D 于点M 2，

则满足HDF M1DF M2DF S ∆∆∆=，

此时∠M 2DF ＝150º，动点M 经过的弧长为：150351802

ππ⨯⨯=。