2.1合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理1．归纳推理（1）由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由__________到__________、由__________到__________的推理．如金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．（2）归纳推理是依据__________现象，归纳推出__________结论，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．由归纳推理所得的结论未必是正确的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的．通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．2．类比推理由两类对象具有某些__________特征和其中一类对象的某些____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由__________到__________的推理．（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．（4）归纳推理是由部分到_________，由具体到__________，由特殊到__________，从个别事实中概括出________的思维模式．类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在___________之处的一种推理模式．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过__________、__________、__________、_________，再进行__________、__________，然后提出__________的推理，我们把它们统称为合情推理．4．演绎推理（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．（3）三段论（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的________；②小前提——所研究的________；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．其一般推理形式为大前提：M是P．小前提：S是M．结论：________．（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_________________．（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．5．其他演绎推理形式（1）假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”．（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”，R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等．注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．K 知识参考答案：1．（1）部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理 （2）特殊 一般2．类似 已知特征 特殊 特殊（4）整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似 3．观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 4．（1）一般性的原理 某个特殊 一般到特殊（2）部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊（3）一般原理 特殊情况 判断 S 是P S 中所有元素也都具有性质P 结论K —重点 合情推理及归纳推理的定义、演绎推理的含义 K —难点 归纳推理的基本方法、三段论模式及其应用 K —易错 误将类比所得结论作为推理依据归纳推理在数、式、数列中的应用观察下列式子：213122+<； 221151233++<；222111712344+++<；……则归纳猜想一般的不等式为A ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ B ．222111211(2)23n n n n+++++<≥C ．222211111(2)23n n n n -++++<≥ D ．222111211(2)23n n n n-++++<≥ 【答案】D【名师点睛】归纳推理的一般步骤：（1）观察分析，发现规律，通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（或猜想）．学科#网归纳推理在图形中的应用有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是 A ．26 B ．31 C ．32D ．36……【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项， 5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B ．【名师点睛】通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：归纳推理在不等式中的应用对任意正整数n ，猜想2n 与2n 的大小．【答案】见解析．【名师点睛】对于与正整数n 有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n 的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．类比推理在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”．类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，0≠b ，则0=a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC S ACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△． 【答案】④【名师点睛】类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的（细微）差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性（相似性）确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．演绎推理的基本形式（三段论）用三段论的形式写出下列演绎推理．（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． （2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角． 【答案】见解析．【解析】（1）每个菱形的对角线都相互垂直………………………………大前提 正方形是菱形…………………………………………………………………小前提 正方形的对角线相互垂直……………………………………………………结论 （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等 ………………………………大前提 ∠1和∠2不相等……………………………………………………………小前提 ∠1和∠2不是对顶角 ………………………………………………………结论【名师点睛】分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来． 在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件：①对任意的1[]0,x ∈，总有()0f x ≥； ②(1)1f =；③若“当120,0x x ≥≥且121x x +≤时，有1212()()()f x x f x f x ≥++成立”，则称()f x 为“友谊函数”．（1）若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值．（2）函数()21xg x =-在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由． （3）已知()f x 为“友谊函数”，且1201x x ≤<≤，求证：12()()f x f x ≤． 【答案】见解析．③若120,0x x ≥≥，且121x x +≤， 则有1212(())[]()g x x g x g x ++-12122121)21[(()]x x x x +-+=--- 12(21)(21)0x x --=≥．故()21xg x =-满足条件①②③，所以函数()21xg x =-在区间[0,1]上为“友谊函数”． （3）因为1201x x ≤<≤，则2101x x -<≤，所以22112111)())(()(f x f x x x f x x f x f x -++≥-=≥（）． 【名师点睛】（1）应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据（大前提），验证条件是否满足（小前提），然后得出结论．（2）在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际应用中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．学科#网不能从所给各数中发现规律而致错已知数列{}n a ：1213214321,,,,,,,,,,,1121231234根据它的前10项的规律，则99100a a +的值为A ．3724B ．76C ．1115D ．715【错解】各数分子的构成规律是1,(2,1)3,2,1),(4,3,2,1),,,(由于13(131)912⨯+=,99918-=,1486-=，∴996293a ==，10051102a ==， ∴99100217326a a +=+=，故选B ． 【错因分析】本题常见错误是不能从所给各数中发现规律，错解虽然注意到了{a n }各项的构成规律，但在计数项数时出现错误，a 99应是分子从14开始的第8项，其分子应为1477-=，而不是6．利用三段论推理时，大前提错误而致错如图所示，在ABC △中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证：ACD BCD ∠∠＞．【错解】在ABC △中，因为,AC BC CD AB >⊥，所以AD BD >，所以ACD BCD ∠>∠．【错因分析】错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但AD 与BD 并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．【名师点睛】利用三段论推理时，（一）大前提必须是真命题；（2）小前提是大前提的特殊情形．1．“三段论”推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是 A ．① B ．② C ．③D ．①②2．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确 3．下列推理是演绎推理的是A ．M ，N 是平面内两定点，动点P 满足|PM |＋|PN |＝2a ＞|MN |，得点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝2n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积为πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S =2⨯底高，可推知扇形面积公式S 扇等于A ．22rB ．22lC ．12lrD ．不可类比5．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．1277．给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，………………大前提 整数是有理数，…………………小前提 整数是真分数．…………………结论 结论显然是错误的，是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误8．“因为四边形是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提 A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形9．已知推理：“因为ABC △的三边长依次为3，4，5，所以ABC △是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________．10．已知：2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒=；2223sin 5sin 65sin 1252︒+︒+︒=． 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明．11．已知()f x =，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．12．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，|f (x )|≤1，证明：|c |≤1，并分析证明过程中的三段论．13．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ．结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误14．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误15．设111()1(2,)23f n n n n=++++>∈N ，计算可得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >．观察上面结果，可得出的一般结论是 A ．21(2)(2,)2n f n n n +>≥∈N B ．22()(2,)2n f n n n +≥≥∈NC ．2(2)(2,)2nn f n n +≥≥∈N D ．2(2)(2,)2nn f n n +>≥∈N 16．如图，第n 个图形是由正2+n 边形“扩展”而来（⋅⋅⋅=,3,2,1n ），则在第n 个图形中共有个顶点A ．)2)(1(++n nB ．)3)(2(++n nC ．2nD ．n17．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系为________________． 18．已知a ＝512-，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系是 ________________．19．如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥F A ，求证：ED ＝AF ．20．（1）证明：当1>a 时，不等式223311a a a a +>+成立；（2）要使上述不等式223311a a a a +>+成立，能否将条件“1>a ”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；（3）请根据（1），（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．21．（2017新课标全国II ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩22．（2016北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛23．（2016新课标全国II ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．24．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________________； ②该小组人数的最小值为________________．25．（2016山东）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++________________．1．【答案】B【解析】此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B．2．【答案】C【解析】A是演绎推理，B是归纳推理，C是类比推理．故选C．学科#网3．【答案】A【解析】B是归纳推理，C、D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．4．【答案】C【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝12lr．故选C．5．【答案】A6．【答案】D【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的外内切球、外接球的半径比为1∶3，则它们体积比为1∶27．故选D．7．【答案】A【解析】推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．故选A．8．【答案】B【解析】结合已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形对角线的有关性质，结合选项可知选B．9．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：ABC△的三边长依次为3，4，5，满足32＋42＝52；结论：ABC△是直角三角形．10．【答案】2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=，证明见解析． 【解析】一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=．证明如下：左边1cos(2120)1cos 21cos(2120)=222ααα--︒--+︒++ 313[cos(2120)cos 2cos(2120)]222ααα=--︒+++︒=， 所以等式成立．11．【答案】3()(1)3f f x x -++=，证明见解析．12．【答案】证明见解析．【解析】∵|x |≤1时，|f (x )|≤1．x ＝0满足|x |≤1，∴|f (0)|≤1，又f (0)＝c ，∴|c |≤1． 证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x |≤1时，|f (x )|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f (0)|≤1． 13．【答案】A【解析】大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．故选A ． 14．【答案】C【解析】∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题， ∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．故选C ． 15．【答案】D【解析】24(2)2f >，35(2)2f >，46(2)2f >，57(2)2f >， 所以推得一般结论是2(2)(2,)2nn f n n +>≥∈N ，故选D ．16．【答案】B【解析】第一个图形是正三角形的每边变成4条线段，第二个图形是正方形的每边变成5条线段，第三个图形是正五边形的每边变成6条线段，第四个图形是正六边形的每边变成7条线段，…，因此，第n 个图形是正2n +边形的每边变成3n +条线段，从而它是(2)(3)n n ++边形，共有(2)(3)n n ++个顶点．故选B ．17．【答案】2·OBC ABC DBC S S S =△△△ 【解析】将直角三角形的一条直角边长类比为与棱AD 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比为△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积，可得2·OBC ABC DBC S S S =△△△． 18．【答案】m ＜n【解析】当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x 为减函数，∵a ＝512-∈(0，1)，∴函数f (x )＝51()2x-为减函数．故由f (m )＞f (n )，得m ＜n ． 19．【答案】证明见解析．20．【答案】（1）证明见解析；（2）能，可放宽为0>a 且1≠a ，理由见解析；（3）若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有n nm m aa a a 11+>+【解析】（1）352233)1)(1()1(1aa a a a a a --=+-+， 因为1a >，所以510,10a a ->->，所以0)1)(1(35>--aa a ，所以不等式223311a a a a +>+成立．（2）因为()()1112345++++⋅-=-a a a a a a ，则对任意0>a 且1≠a ，式子1-a 与15-a 同号，所以条件可放宽为0>a 且1≠a ．（3）根据（1）（2）可推知：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有n nm m aa a a 11+>+． 证明如下：1111()()mn m n m n m n a a a a a a a a +-+=-+-mn m n m nm m n m n aa a a a a a )1)(1()1(1)1(--=---=-+--， 若1>a ，则由1,,1,1m nm n m n m n aa *+->≥∈⇒>>⇒N 不等式成立；若10<<a ，则由1,,01,01m n m n m n m n a a *+->≥∈⇒<<<<⇒N 不等式成立．综上得：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有nnm m a a a a 11+>+成立． 21．【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 22．【答案】B23．【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 24．【答案】6 12【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++= 25．【答案】4(1)3n n + 【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，即(1)n n +，故答案为4(1)3n n +．学科#网。
合情推理与演绎推理优秀教案
0(1,2,,)ia i n >=2.1合情推理与演绎推理姓名班级【学习目标】（1）结合已学过地数学实例，了解归纳推理、合情推理地含义，通过生活中地实例和已学过地教学地案例，体会演绎推理地重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单地推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中地作用.掌握推理地基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.【教学重点】能利用归纳、类比、演绎地方法进行简单地推理.【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含地“三段论”形式.【教学过程】问题一：归纳推理一、创设情境1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6地偶数都等于两个奇质数之和.2.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对20213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=地观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：任何形如122+=nF （*∈N n ）地数都是素数.后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，从而推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学地弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣地现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界地国家着上不同地颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注地问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学地两台不同地计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)地普莱格尔河上有7座桥，将河中地两个岛和河岸连结，如图1所示.城中地居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名地图论问题.这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里.欧拉以深邃地洞察力很快证明了这样地走法不存在.欧拉是这样解决问题地：既然陆地是桥梁地连接地点，不妨把图中被河隔开地陆地看成A 、B 、C 、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点地线，如图2所示.图1图2图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形地一笔画问题了.欧拉注意到，每个点如果有进去地边就必须有出来地边，从而每个点连接地边数必须有偶数个才能完成一笔画.图3地每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次地走法.二、合作探究：1、归纳推理地概念：由某类事物地部分对象具有某些特征，推出该类事物地全部对象都具有这些特征地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般地推理.讨论：(i)归纳推理有何作用？(ii)归纳推理地结果是否正确？2. 练习：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ （2）已知，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥.可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立地类似不等式为.(3). 观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样地结论？ 三、例题讲解例1.已知数列{}n a 地第1项a 1=1，且),3,2,1(11 =+=+n a a a nnn ，试归纳出这个数列地通项公式.例2:汉诺塔问题有三根针和套在一根针上地若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大地金属片不能放在较小地金属片上面.试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?123巩固练习：（1）对于任意正整数n ，猜想（2n-1）与(n+1)2地大小关系？（2）已知数列}{n a 满足11=a ，)12111--+=n n n a a a （，（)2≥n 求}{n a 地通项公式.问题二：类比推理一、 创设情境（1）鲁班由带齿地草叶和蝗虫地齿牙发明锯； （2）人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇； （3）地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转地行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.二、合作探究：1、类比概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象地某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征地推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊地推理.练习：（1）圆与球地特征地类比（课本P73）（2）在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？三、例题讲解例1、类比实数地加法和乘法，列出它们相似地运算性质.例2：类比平面内直角三角形地勾股定理，试给出空间中四面体性质地猜想.问题三：演绎推理一、 创设情境（1）所有地金属都能导电，铀是金属，所以铀； （2）太阳系地大行星都以椭圆形轨道饶太阳运行.冥王星是太阳系地大行星，因此冥王星是. （3）三角函数都是周期函数，αtan 是三角函数.因此αtan 是. 问：上述推理有什么共同特征？ 二、合作探究1、演绎推理：从一般性地原理出发，推出某个特殊情况下地结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊地推理.2、三段论法：（1）三段论式推理是演绎推理地一般模式，它包括：大前提（M 是P ）——；小前提（S 是M ）——；结论（S 是P ）——.（2）集合观点：若集合M 中地每一个元素都具有属性P 且S 是M 地子集,那么集合S 中地每一个元素都具有属性P .讨论：（1）因为指数函数xay =是增函数，xy )(21=是指数函数，则结论是什么？（结论是否正确，为什么？）（2）演绎推理怎样才结论正确？ 3、合情推理与演绎推理地区别：（1）合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路地作用；合情推理地结论正确，有待于进一步地证明；演绎推理是按照严格地逻辑法则，得到新结论地推理过程.演绎推理在都正确地前提下，得到地结论一定.（2）归纳推理：由到，由到；类比推理：由到； 演绎推理：由到. （3）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系地重要思维过程； 合情推理可发现新地数学结论、证明思路等. 三、例题讲解例1：如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC,BE ⊥AC,D 、E 是垂足.求证：AB 地中点M 到点D 、E 地距离相等.分析：：证明过程→指出：大前题、小前题、结论.例2：证明函数x x x f 2)(2+-= 在（-∞，1）内是增函数.思悟小结巩固提高1．观察下列等式，猜想出一般地结论，并证明．2223sin 30sin 90sin 1502++=，223sin 60sin 120sin 1802++=， 2223sin 45sin 105sin 1652++=，2223sin 15sin 75sin 1352++=．2、证明：通项公式为)0(≠=cq cq a nn 地数列}{n a 为等比数列.并分析证明过程中地三段论.3、类比三角形中地余弦定理，在四面体中有怎样地结论？能否证明？4、平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成)(n f 块区域，有8)3(,4)2(,2)1(===f f f ，则)(n f 地表达式为（）A 、n2 B 、22+-n n C 、)3)(2)(1(2----n n n nD 、410523-+-n n n5、在圆内画1条线段,将圆分成两部分;画2条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画3条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么(1)在圆内画4条线段,彼此最多分割成条线段？同时将圆分割成部分? (2)在圆内画5条线段,彼此最多分割成条线段？同时将圆分割成部分? (3)在圆内画n 条线段,彼此最多分割成条线段？同时将圆分割成部分?6、在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形地内切圆半径等于这正三角形地高地31”.拓展到空间，类比平面几何地上述结论，则正四面体地内切球半径.7、在圆222r y x =+中，AB 为直径，C 为圆上异于AB 地任意一点，则有BC AC K k ⋅=-1.你能用类比地方法得出椭圆2222by a x +=1(a>b>0)中有什么样地结论？8、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有n n a a a a a a -+++=+++192121 （n<19,且n )N *∈成立.类比上述性质，在等比数列}b {n 中，若19=b ，则存在怎样地等式？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.eUts8。
合情推理与演绎推理
复习:合情推理
• 归纳推理 • 类比推理
从具体问 题出发
观察、分析 比较、联想
归纳、 类比
提出猜想
复习:合情推理
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似
特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想；
三棱锥
4
4
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四棱锥
5
5
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三棱柱
5
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9
五棱锥
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立方体
6
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正八面体
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12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
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四棱锥
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三棱柱
5
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五棱锥
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立方体
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正八面体
8
6
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五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包 括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 的判断．
2.1合情推理与演绎推理
哥尼斯堡七桥猜想
•18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷 格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一 块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此 问题，他把问题归结为如右图的"一笔画"问题，证明上述走法是不可能的。
合情推理
•归纳推理 •类比推理
从具体问 题出发
观察、分析 比较、联想
归纳、 类比
提出猜想
1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利 (Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
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2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
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3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
合理推理与演绎推理
【思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成
的区域数
S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
【解析】设平面被n条直线分成
S 1 =1＋1=2； 当n=2时，
S n 部分，则 当n=1时，
S 2 =1＋1＋2=4； 当n=3时，
S 3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。
1.
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一
般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般
的推理，归纳推理简称归纳。
(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理，类比推理简称类比。
完全归纳是指没有办法穷尽 全部被研究的对象，得出的
的特征进行归纳。归纳是指 通过对特例的分析来引出普
陈述，结论是从前提中通过 推理而获得的猜想，是普遍
结论只能算猜想结论的正确 与否有待于进一步证明或举
遍结论的一种推理形式，它 由推理的前提和结论两部分
性的陈述、判断。归纳分为 完全归纳与不完全归纳，不
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2.1 合情 推理与演
绎推理
2023
01 一.推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判 断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分 组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由 已知推出的判断，叫做结论。
2.1合情推理与演绎推理
从这个角度看,我们可以把三角形作为四面体的类比对 象。
15
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中
四面体性质的猜想。
P
解:考虑到直角三角形的两 B
条边互相垂直,我们可以选 取有3个面两两互相垂直 a c
的四面体，作为直角三角 形的类比对象。
Cb A E
S2 D S1
S3
F
如图,Rt△ABC中有勾股定理:a2+b2=c2。 类似地,在四面体P-DEF中,∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。 设S1,S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。
……
根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个
不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 5
现在,我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过程: 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两 个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提出猜 想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之 和”。
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个 别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称 归纳）。
8
归纳推理所得的结论仅是一种猜想,未必可靠，还需 证明 例如,法国数学家费马观察到
2 2 1 1 5 ,2 2 2 1 1 7 ,2 2 3 1 2 5 7 ,2 2 4 1 6 5 5 3 7
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
22n 1(nN*) 的数都是质数。
——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现，第5个费马数
2.1合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理历振雨【课前练习】1．三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，请猜想：凸n 边形的内角和是 ()n 2180-⋅。
2．⋅⋅⋅++<++<++<,333232,232232,131232由此我们猜想：<a b b b +m a a +m <。
3．证明在等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，{m,n,p,q 是正整数），则a m +a n =a p +a q ；通过类别，得到等比数列{a n }的一个猜想。
a m a n =a p a q【课堂练习】=-+⋅⋅⋅+++=+++=++=+=)12(53147531353123114.12222n ，猜想，，， 2n5．观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是 ( C )（A ） 10 （B ） 13 （C ） 14 （D ） 1006．已知数列{a n }的第1项a 1=1，且 (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式． 1n7．由数列的前四项: 23,1 , 85,83,…… 归纳出通项公式n a = n n 22+ 。
【课后练习】8．依次有下列等式：222576543,3432,11=++++=++=，按此规律下去，第8个等式为 。
9．观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( A )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123．10．（2000年上海卷）在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式 n a a a +⋅⋅⋅++21 ),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 12n 1217-n b b b =b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 成立．11．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 ( B ) A ．4()22x f x =+ B ．2()1f x x =+ C ．1()1f x x =+ D ．2()21f x x =+ 12．十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，在5进制中数码2004折合成十进制为254。
数学：2.1.1《合情推理与演绎推理-合情推理》PPT课件
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
即:偶数＝奇质数＋奇质数
第五页，编辑于星期日：十二点 一分。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
2.1.合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理
区 别理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确，有待进一 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
这些说法有 什么共同点？
演绎推理：从一般性的原理出发，推出某 个特殊情况下的结论.
1.演绎推理是由一般到特殊的推理 2．“三段论”是演绎推理的一般模式； （1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做 出的判断．
“三段论”的基本格式: M—P（M是P） （大前提） S—M（S是M） （小前提） S—P（S是P） （结论） 3．用集合的观点来理解“三段论” ： 若集合M的所有元素都具有性质P， S是M的一个子集，那么S中所有元 素也都具有性质P。
数学运用
例1:完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论．
解：
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.
结
论
练1 分析下列推理是否正确，说明为什么？
由某类事物的 部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象 都具有这些特征
的推理,或者由个别事实概括出 一般结论
的推理,称为归纳推理(简称归纳). 由部分到整体、 由个别到一般的推理
举例
铜、铁、铝、金、银等都能导电.