导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系式和诱导公式
考纲要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，
sin x
cos x
＝tan x ． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出
π
2
±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考情分析
1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．
2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程
基础梳理：
一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________. 2．商数关系： ________.
对于角“
k π2
±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，
意思是说
k π2
±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦
变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”
双基自测
1．sin 585°的值为 ( )
A ．－
22 B.22 C ．－32 D.32
2．(教材习题改已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2
，则θ等于 ( ) A ．－
π6
B ．－
π3 C.π
6
D.π
3
3．若tan α＝2，则
2sin α－cos α
sin α＋2cos α
的值为 ( )
A ．0 B.34 C ．1 D.5
4
4．(2011²重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.
5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
3π2－A 的值 是________． 典例分析
考点一：同角三角函数的基本关系
[例1] (2011²大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝
________.
变式1若例1中条件变为“若sin θ＝－4
5，tan θ>0”，则cos θ＝________.
[例2] (2012²温州模拟)已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α
的值是 ( ) A.25 B ．－2
5
C ．－2
D ．2
变式2(2011²杭州师大附中月考)如果f(tan x)＝sin2x －5sin xcos x ，那么f(5)＝________. 方法总结：
1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin α
cos α＝
tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
考点二：诱导公式
[例3] (2012²衢州模拟)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝1
log 3
a
a
(a >0，
且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32π＋α的值为 ( )
A.
1010 B ．－1010 C.31010 D ．－310
10
变式3.(2012²聊城模拟)已知f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，f(2 011)＝ 5，则f(2 012)＝
( )
A ．3
B ．5
C ．1
D ．不能确定
方法总结;
利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90° 的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角 直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.
考点三：三角形中的诱导公式 [例4] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．
变式4.△ABC 中，cos A ＝1
3
，则sin(B ＋C )＝________.
方法总结：
1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有
A ＋
B ＝π－
C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π； A 2＋B 2＋C 2＝π
2
.
2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范 围，最后求角．
[考题范例]
(2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－1
2，则tan θ的 值为 ( ) A ．－3或－33 B ．－33 C ．－ 3 D ．－3
2 法一：由sin θ＋cos θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－3
4，
由sin θ·cos θ＝
sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ
＝－3
4， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－3
3，
由于θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝1
2(3－1)<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，|sin θ|>|cos θ|，
∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，
∴tan θ<－1，∴tan θ＝－3
3，舍去． 故tan θ＝－ 3. 法二：由sin θ＋cos θ＝
3－12，
两边平方得sin θ·cos θ＝－3
4，
∴(sin θ－cos θ)2
＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3＋122
， ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，
∴sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝
3＋1
2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＋cos θ＝3－1
2sin θ－cos θ＝
3＋1
2
得sin θ＝32，cos θ＝－1
2.∴tan θ＝－
3.
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α
cos α
化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π
4
＝…. 三个防范
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
本节检测
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A ．sin θ<0，cos θ>0
B ．sin θ>0，cos θ<0
C ．sin θ>0，cos θ>0
D ．sin θ<0，cos θ<0
2．(2012²临沂一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )
A ．－33 B.3
3
C ．－ 3 D. 3
3．(2012²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos
α＝( )
A ．－15 B.15 C ．－75 D.7
5
4．已知tan θ＝2，则
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π
2
＋θ
－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2
－θ
－sin π－θ＝( )
A ．2
B ．－2
C ．0 D.2
3
5．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
17π4的值是________． 6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2
α＋sin α
1＋1
tan 2α
＝________.
自我反思。