2015年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)

2015年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题1．（5分）（2015•成都模拟）设集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2）C．{1，2} D．{3，4}2．（5分）（2015•成都模拟）sin570°的值是（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）（2015•成都模拟）如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个旋转体的休积是（）A．πB．πC．2πD．π4．（5分）（2015•成都模拟）设正项等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a4a6=，a7=，则S4的值为（）A．15 B．14 C．12 D．85．（5分）（2015•成都模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．7 B．9 C．11 D．136．（5分）（2015•成都模拟）在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（）A．96 B．72 C．36 D．247．（5分）（2015•成都模拟）某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程：=x+中的=1.54．由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是（）A．7.2千元B．7.8千元C．8.1千元D．9.5千元8．（5分）（2015•成都模拟）已知m，n是平面α外的两条不同的直线．若m，n在平面α内的射影分别是两条直线m′和n′，则“m⊥n”是“m′⊥n′”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=lnx﹣2[x]+3，其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6]=1，[﹣2.1]=一3）．则函数f（x）的零点个数是（）A．l B．2 C．3 D．410．（5分）（2015•成都模拟）如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（）A．2m B．2m C．4 m D．6 m二、填空题11．（5分）（2015•成都模拟）计算：log62十21og6+（0.1）﹣1=．12．（5分）（2015•成都模拟）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣4＞0在x∈[﹣2，1]时无解，则实数a的取值范围是．13．（5分）（2015•成都模拟）若二项式（x3+）n的展开式中含有x8的项，则正整n的最小值为•14．（5分）（2015•成都模拟）已知直线l：x+y+m=0（m∈R）与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=4相交于A、B两点，则•的最大值为．15．（5分）（2015•成都模拟）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…x n），x i∈Z，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于S n中的任意两个元素A=（a1，a2，…，a n）和B=（b1，b2，…，b n），定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a i﹣b i|，﹣A=（﹣a1，﹣a2，…，﹣a n），记I=（1，2，3，…，n），I∈S n．现有下列命题：①若A=（2，2），I∈S2，则d（A，I）=1；②若A，B，I∈S3，则d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B）；③若A，B，I∈S n，则d（I，A）=d（I，B）=p（p是常数），则d（A，B）不大于2p；④若I∈S2015，B=（x，x，…，x）∈S2015，记f（x）=d（I，B）+d（I，﹣B），则有2015个不同的实数a满足f（a2﹣2a）=f（a﹣1）．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三、解答题16．（12分）（2015•成都模拟）如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=3，CE=2EC1．（Ⅰ）若F是AB的中点，求证；C1F∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D一BE一C的余弦值．17．（12分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=2asinxcosx+2acos2x+b，其中a，b∈R．且ab≠0．（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时．函数f（x）的值域为[1，2]，求a，b的值．18．（12分）（2015•成都模拟）某单位举办抽奖活动，已知抽奖盒中装有“天府卡”和“熊猫卡”共10张．其中．天府卡”比“熊猫卡”数量多．抽奖规则是：参与者随机从盒中同时抽取两张卡片就完成一次抽奖，抽后放回．若抽到两张“熊猫卡，即可获奖，否则不获奖．已知一次抽奖中，抽到“天府卡”和“熊猫卡”各一张的概率是．（Ⅰ）求某人抽奖一次就中奖的概率；（Ⅱ）现有3个人各抽奖一次，用X表示获奖的人数，求X的分布列及数学期望．19．（12分）（2015•成都模拟）设数列{a n}的前n项和是Sn，且满足a1=，S n=n2a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式2n k+7≥恒成立，求实数k的取值范围．20．（13分）（2015•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．21．（14分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）当t=0时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；（Ⅲ）若函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，求实数t的取值范围．2015年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1 A．2B 3D4A．5．B．6．C．7．C．8．D9．B10．A．二、填空题11．11．12．[﹣3，0]．13．4．14．8．15．①③三、解答题16．【解答】（Ⅰ）证明：连结CF交BD于点M，连结ME，根据题意易得：△BMF∽△DMC．∵F是AB的中点，∴==，∵CE=2EC1，∴，于是在△CFC1中，有=，∴EM∥C1F，又∵EM⊂平面BDE，C1F⊄平面BDE，∴C1F∥平面BDE；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建系D﹣xyz如图，则D（0，0，0），B（3，3，0），E（0，3，2），∴=（3，3，0），=（0，3，2），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=﹣2，得=（2，﹣2，3），又平面BCE的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜，＞===﹣，∵二面角D一BE一C是锐二面角，∴二面角D一BE一C的余弦值为．17．【解答】解：（I）∵f（x）=2asinxcosx+2acos2x+b，=asin2x+a（1+cos2x）+b，=asin2x+acos2x+a+b，=2asin（2x+）+a+b（3分），由2x+可得函数f（x）的对称轴方程是x=（5分）．（II）∵x∈[0，]，∴2x∈[]，∴sin（2x）∈[]（6分），①当a＞0时，f（x）∈{2a+b，3a+2b]，根据题意知，解可得（9分），②当a＜0时，f（x）∈{3a+2b，2a+b]，根据题意知，解可得（11分），综上，所求的a，b的值为（12分）．18．解：设10张卡片中，“天府卡”有n张，则“熊猫卡”有10﹣n张，n＞10﹣n，即n＞5，n∈N 由已知得出=，解得n=7（I）记“某人参与一次抽奖活动获奖”为事件A，∴P（A）==，∴某人参与一次抽奖活动获奖的概率为（II）根据题意X～B（3，）∴X的分布列为P（X=i）=（）i（）3﹣i，i=0，1，2，3数学期望E（X）=np=3×=．19．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，将n换成n﹣1，两式相减，化简整理，再由累乘法，即可得到所求数列的通项公式；（Ⅱ）不等式2n k+7≥恒成立，即为k≥对任意的n∈N*恒成立，令b n=，作差判断数列的单调性，求得最大值，由恒成立思想即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，S n=n2a n，①S n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1，②①﹣②可得，a n=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即=，则有a n=a1••…=••…=（n∈N*）；（Ⅱ）S n=n2a n=，不等式2n k+7≥恒成立，即为k≥对任意的n∈N*恒成立，令b n=，b n﹣b n﹣1=﹣=，n≥2，即有b1＜b2＜b3＜…＜b7=b8＞b9＞b10＞…，则b7或b8最大，且为，即有k≥．则k的取值范围是[，+∞）．．20．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c 的关系，可得椭圆方程；（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C2方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由=0，运用勾股定理，可得AB的平方，结合基本不等式可得范围；（Ⅲ）由T，A，B三点共线，•=•=0，可得=+，将y=﹣x 代入椭圆+=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（﹣1，﹣），即有=，a2﹣b2=1，解得a=，b=1，即有椭圆C1的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）C1的长轴与C2的短轴等长，即n=a=，又C1，C2共焦点，可得m==，即有椭圆C2：+=1，①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x2+2y2=2，可得x2=，则|OA|2==1+，将y=﹣x代入椭圆2x2+3y2=6，可得x2=，则|OB|2==3﹣，由=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2，则|AB|2=4+﹣=4﹣=4﹣＜4，又4k2+≥4，当且仅当k2=时取得等号，则有|AB|2≥4﹣=2+，即|AB|2∈[2+，4），②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|2=4，综上可得，|AB|2的取值范围是[2+，4]；（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，•=•=0，可得|OT|2==，即有=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，得x2=，则|OB|2==，则=，又=，则有=+=+，由于﹣=﹣，则==1+，即|OT|=，容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，综上可得|OT|为定值．21．【分析】（Ⅰ）当t=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）先确定原方程无负实数根，令g（x）=，求出函数的值域，方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，即可证明结论；（Ⅲ）利用函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，确定t＜1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：当t=0时，f（x）=x﹣e x+1，∴f′（x）=1﹣e x，∴x＜0，f′（x）＞0；x＞0，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的最大值为f（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=1，可得x=e x（1﹣t）＞0，∴原方程无负实数根，故有=1﹣t．令g（x）=，则g′（x）=，∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴函数g（x）的最大值为g（e）=，∴函数g（x）的值域为（﹣∞，]；方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，∴1﹣t＞，∴t＜1﹣，∴当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；（Ⅲ）解：f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]由题设，x＞0，f′（x）≤0，不妨取x=1，则f′（1）=e t（1+t﹣e1﹣t）≤0，t≥1时，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．①t≤，x＞0时，f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]≤（1+﹣），由（Ⅰ）知，x﹣e x+1＜0，∴1+﹣＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；②＜t＜1，＞1，∴ln＞0，令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[﹣e（1﹣t）x]0＜x＜ln，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，ln）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，此时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln）上单调递增，有f（x）＞f（0）=0与题设矛盾，综上，当且仅当t≤时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数．。