2018届高考数学第四章三角函数解三角形课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公式文新人教A版

合集下载

(完整word版)同角三角函数的基本关系-知识点与题型归纳汇总(良心出品必属精品)

1●高考明方向1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．★备考知考情同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、2 和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理《名师一号》P47知识点一同角三角函数的基本关系平方关系：;1cos sin 22=+αα商数关系：sin tan cos =ααα注意：《名师一号》P50 问题探究问题1在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tanα＝sinαcosα，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握．尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．知识点二诱导公式记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限!注意：《名师一号》P50 问题探究问题2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有34 关？无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一、三、四，二、一、二象限角．二、例题分析：（一) 求值例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 （09全国卷Ⅰ文）o 585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)2-2答案：A例1．(补充)（2）17cos 3⎛⎫-π ⎪⎝⎭的值为5 答案：12例1．(补充)（3）()tan 1665︒-的值为答案：1-注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正→正化主[)0,2π→主化锐例1.(4)《名师一号》P51 高频考点例2(1)(2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－126解:(1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.练习:(补充)（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<7【答案】Csin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin168cos10︒︒︒<<。

【配套K12】2018高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形课时跟踪检测十七同角三角函数的基本关系

课时跟踪检测 (十七) 同角三角函数的基本关系与诱导公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45 B ．45C ．35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45． 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3．3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为( ) A ．45 B ．－45C ．2D ．－12解析：选A 由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45．故选A ． 4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12．∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12．答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．45 B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34．又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析：选D ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13．3．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1．∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3．4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1．5．计算：cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C ．32D ． 3 解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3．6．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________．解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan αtan 2α＋1＝－2－22＋1＝－25．答案：－257．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cosθ＝________．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55．答案：558．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334．答案：－3349．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2． 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α．解：由已知得sin α＝2cos α． (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16．(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912．答案：9122．已知f (x )＝cos2n π＋x ·sin 2n π－xcos 2n ＋π－x ](n ∈Z)． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 22k π＋x ·sin 22k π－xcos k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x －sin x2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x ]·sin 2[2k π＋π－x ]cos 2k ＋π＋π－x ]＝cos2π＋x ·sin2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x－cos x2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x ．(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin2π2 018＋cos 2π2 018＝1．倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

高中数学-第四章-三角函数、解三角形-第二节-同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[基本知识] 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α()α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈()π2，π，sin α＝35，则tan α＝________.解析：∵α∈()π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34.答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2 (2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法二知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式()如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×()－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝()－432＋11－()－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ()3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ()3π2＋α＝－sin ()π2＋α＝－cos α＝－35.答案：－352．已知sin ()α＋π6＝45，则sin ()α＋7π6等于________．解析：sin ()α＋7π6＝sin []()α＋π6＋π＝－sin ()α＋π6＝－45.答案：－453．已知tan ()π6－α＝33，则tan ()5π6＋α＝________.解析：tan ()5π6＋α＝tan ()π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ()π6－α＝－33.答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝[]sin ()π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ()3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为()－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ()π2－α＝( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ()π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3()π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈()－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈()－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ()α－π3＝13，则cos ()α＋π6的值是( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ()α－π3＝13，∴cos ()α＋π6＝cos []π2＋()α－π3＝－sin ()α－π3＝－13，故选A.3．(2019·重庆一模)log 2()cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12C.12D.22解析：选B log 2()cos 7π4＝log 2()cos π4＝log 222＝－12.故选B.4．(2019·遵义模拟)若sin ()π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425B ．－1225解析：选A ∵sin ()π2＋α＝cos α＝－35，α∈()π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×()－35＝－2425.故选A.5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ()α－π12＝13，则cos ()α＋17π12等于( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ()α＋17π12＝cos []3π2＋()α－π12＝sin ()α－π12＝13.故选A. [B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B.2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×()－131－()－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，则tan α的值是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈()π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.5．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32，故选B. 7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：()sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈()π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ()－π2－α·cos ()－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则 sin α＝________，cos α＝________.解析：sin ()－π2－αcos ()－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎨⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ()π2－2αcos ()π4＋α的值．解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ()π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ()π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。

高考数学总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

=

=
-

因为 sin θ= ,所以原式=

,

= =6.

+
考点三
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
[例5] (1)(2024·辽宁葫芦岛模拟)若
tan θ等于(

A.
(-)+(-)
+(+)
C.1
D.2
·

(+)·[-(+)] -·

-··(-)
=
=-
·

=-1.

(2)(2024·广东茂名模拟)已知 sin(θ- )= ,则 cos(θ+ )等于
(
A.-
)

B.√
A. -
C.√
-

B.
D.-
-

-
)
解析:(2)tan 193°=tan(360°-167°)=-tan 167°
°
= -°=-
°

,
因为cos 167°=m,
所以sin 167°=
所以tan 193°=-
- ,
-
.故选C.
号,即原三角函数值的符号.

2
1.弦切互化变形:sin α=
sin αcos α=

+

,cos α=
,其中α≠ +kπ,k∈Z.
+

2

+
,
2. 任意负

【高考数学】2018年高考数学(人教文科)总复习(福建专用)：4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

专题四
知识梳理
考点自测
4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
考情概览备考定向必备知识预案自诊必备知识预案自诊关键能力学案突破
-4-
特殊角的三角函数值
角α 角α的弧度数 sin α cos α tan α
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 0
0 1
0 1 1
π
0
0
-
-1
0
-1
专题四
知识梳理
考点自测
4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
考情概览备考定向必备知识预案自诊必备知识预案自诊关键能力学案突破
-5-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对任意的角 α,β 有 sin2α+cos2β=1. ( × ) (2)若 α∈R,则 tan α=cos��恒成立. ( × )
sin��
�� ≠ 2 + ��π,��∈Z . 五
π
π
.
六
π 2
-α 2
+α
-sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
tan α -tan α -tan α
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
π +3
,
A.
专题四
知识梳理
考点自测
4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
考情概览备考定向必备知识预案自诊必备知识预案自诊关键能力学案突破
-7-

高考数学一轮复习教材基础练第四章三角函数与解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式教学课件

教材素材变式
【变式探究】
sin(1+sin2)
=
sin+cos
变式1 增加限制条件
6
A.-5
2
B.-5
若tan θ=-2,则
2
C.5
6
D.5
答案
变式1 C 通解(求值代入法)
能所在的象限)所以൞
4 2 2
sin =
cos =
Sin θcos θ=5-5=5.故选C.
因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二、四象限,(提示:根据正切值的正负,确定角θ可
1
1
2
+
=
+
=
+
=
=
3π
3π
cos[cos(π+)−1] sin(− )cos(−π)−sin( +) cos(−cos−1) −cos2 +cos 1+cos 1−cos (1+cos)(1−cos)
2
2
∴
cos(π+)
2
=
1−cos2
2
=18.
sin2
教材素材变式
2sin+cos 2tan+1 2×2+1
sin2 −cos2 tan2 −1 4−1 3
=
=
=1,sin2α-cos2α= 2
=
=
= ,
4sin−3cos 4tan−3 4×2−3
sin +cos2 tan2 +1 4+1 5
3
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=5.
（2）弦切互化：利用公式 t<

高考数学(理)之三角函数与解三角形专题02 同角三角函数的基本关系(解析版)

三角函数与平面向量02 同角三角函数的基本关系一、具本目标：（1）理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数之间的关系解决相关的问题. （2）高考解读：高考对同角三角函数基本关系式的考查主要是小题为主,或都与诱导公式及其它知识相结合，试题难度不大．但在高考中属于一个分点，同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二，易错点是忽略角的范围.导致整个题出错误.二、知识概述：1.知识要点：（1）22sin cos 1()R ααα+=∈ （2）sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭2.解题技巧：（1)已知sin ,cos ,tan θθθ三者中的一个求另外两个：利用平方关系和商数关系构造方程组求解；（2）已知αtan 的值，求关于αsin 与αcos 的齐n 次分式的值：分子、分母同除以αncos ，转化为关于αtan 的式子求解；（3）1的代换问题：含有α2sin，α2cos ，及αsin αcos 的整式求值问题，可将所求式子的分母看作“1”，利用22sin cos 1()R ααα+=∈代换后转化为“切”，然后求解； (4)对于αsin +αcos ，αsin αcos ，αsin -αcos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值，转化的公式为()ααααcos sin 21cos sin 2±=±.1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15B．5C．3D．5【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，【考点讲解】【真题分析】24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【答案】B2．【2019优选题】设ααcos sin +=t ，且0cos sin 33<+αα，则t 的取值范围是（）（A ）)0,2[- （B ）),3()0,3(+∞-Y （C ）)2,1()0,1(Y - （D ）)2,2[-【解析】由ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+得21cos sin 2-=⋅t αα，故)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233αααααααα+-+=+=23)211(22t t t t -⋅=--⋅ 注意到]2,2[)4(sin 2cos sin -∈+=+=παααt ，所以02<≤-t .【答案】A3.【2019优选题】已知α是三角形的一个内角，且32cos sin =+αα则这个三角形的形状是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】解法1：主要是判断α是钝角、锐角还是直角，又可以等价转化为判断α的某一三角函数值的符号.由α),0(π∈，将32cos sin =+αα两边平方得0194cos sin 2<-=αα，而0cos 0sin <∴>αα故α为钝角.解法2：由)4(sin 2cos sin πααα+=+，若20πα≤<则4344ππαπ≤+<，1)4sin(22≤+≤πα从而2cos sin 1≤+≤αα而132cos sin <=+αα，故α为钝角. 【答案】B4. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】本题的考点是同角三角函数间的基本关系与倍角公式．法一：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【答案】A 法二：由αα2sin 2cos2+可得ααααααααα22222cos sin cos sin 4cos 12sin 2cos 2sin 2cos ++=+=+将上面的式子分子分母同除以α2cos 后，1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222++=++ααααααα化简后得2564. 【答案】A5.【2015福建】若，且为第四象限角，则的值等于（） A ． B ． C ． D ．【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选D ．【答案】D6.【2019优选题】若0tan >α，则下列选项正确的是（）A ．0sin >αB ． 0cos >αC ． 02sin >αD ． 02cos >α 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ．【答案】C7.【2019优选题】已知，则（） A ．B ．C ．D ．【解析】由22(sin 2cos )2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得 23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．【答案】C5sin 13α=-αtan α125125-512512-5sin 13α=-α12cos 13α==sin tan cos ααα=512=-210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-8.【2019优选题】若，则tan2α=（）A ．−B ．C ．−D ．【解析】分子分母同除cos α得：sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-，∴22tan 3tan 21tan 4ααα==-. 【答案】B9.【2019优选题】若sin cos 1,sin cos 1,θθθθ+=-=则a b ab 的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 【解析】由题意可得θθθθcos 1sin ,cos 1sin +=-=b a ，将两式相乘得到：()()θθθθθ222sin cos 1cos 1cos 1sin =-=+-=ab()0sin 12=-θab ，因为0sin ≠θ，所以1=ab .【答案】B.10．【2018优选题】设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是_____．【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-，又(,)2παπ∈，则tan α=22tan tan 21tan ααα===-11.【2017优选题】已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________．【解析】由已知可得tan 2α=-，22sin cos cos ααα-＝．【答案】1-12. 【2019优选题】已知αtan 与αcot 是方程0222=+-m x x 的两根，则=αsin . 【解析】由韦达定理得12cot tan ==⋅m αα，故方程为0122=+-x x ,其两根均为1，于是1cot tan ==αα，若α的终边在第一象限，则22sin ,42=+=αππαk ，若α的终边在第三象限，sin cos 1sin cos 2αααα+=-3434434322222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++则22sin ,452-=+=αππαk ，故=αsin 22±. 【答案】22±13. 【2019优选题】若，则= ．【解析】法一：2cos sin tan ==ααα得ααcos 2sin =， ααααααααα222222cos 4sin cos sin cos sin 2cos 4sin 12sin +++=++∴ 89cos 4cos 4cos cos 4cos 422222=+++=ααααα，故答案为89.法二：ααααααααα222222cos 4sin cos sin cos sin 2cos 4sin 12sin +++=++894tan 1tan tan 222=+++=ααα 【答案】8914.【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ．（1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．【解析】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα．因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()+==αβ，因此tan()2+=-αβ．因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．tan 2α=22sin 21sin 4cos ααα++1.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()53sin -=+απ，则tan α=（）A. 34-B. 43 C . 34 D. 43- 【解析】本题考查的是同角三角函数的关系，由题意可知,()53sin sin -=-=+ααπ，因为53sin =α并且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以54sin 1cos 2-=--=αα，αααcos sin tan ==34-.【答案】A2.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，则的值是（） A.1 B. C. D.－【解析】由已知可得大正方形的边长为1，小正方形的面积是()251sin cos 2=-θθ，这里θθsin cos >，所以可得到51sin cos =-θθ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 1cos sin 22θθθθ可得：53sin ,54cos ==θθ，257cos sin 22-=-θθ，故选D.【答案】D3.已知tan 2θ=，则22sinsin cos 2cos θθθθ+-=（）A ．43-B ．54 C.34- D ．45【解析】2222222222sin sin cos 2cos tan tan 2222sin sin cos 2cos sin cos tan 121θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-===+++＝θ22sin cos θθ-2425-725725【模拟考场】45，故选D ．【答案】D4.已知sin cos 2sin cos αααα-=+，则tan α=__________．【解析】sin cos 1tan 2,2,tan 3.sin cos 1tan ααααααα--=∴=∴=-++Q【答案】-3 5.若sin cos θθ+=，[0,π]θ∈，则tan θ=（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【解析】由题意可知()51cos sin 2cos sin cos sin 222=++=+θθθθθθ，因此可得：054cos sin 2<-=θθ，因为()πθ，0∈，所以0cos ,0sin <>θ，因此得到⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθ，2. 由()59cos sin 2cos sin cos sin 222=-+=-θθθθθθ.由0cos ,0sin <>θ，得到553cos sin =-θθ.又由于55cos sin =+θθ，得到552sin =θ,55cos -=θ,2cos sin tan -==θθθ. 【答案】C6.若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1- 【解析】因为α为第三象限，所以sin 0,cos 0αα<<．因此cos 2sin 123cos sin αααα+==+=--=---，故选择B ．【答案】B7.已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（）A.12B. 32-C. 12D. 23m【解析】由22cos sin 1sin ααα==-可得sin α=， 4221111cos sin 1cos 1sin sin sin sin sin αααααααα+=+=+-=+-1122=+-= ，故选D. 【答案】D8.,那么( )A. B . - C.D . -【易错分析】(1)k 值的正负；（2）tan100o表达式符号易错.【解析】()222180cos 180cos 180sin k -=--=-=οοο,οοοο80cos 80sin 80tan 100tan -=-=,而()k ==-οο80cos 80cos ，所以kk 21100tan --=ο，所以选B.【答案】B. 9．已知54cos ),0,2(=-∈x x π，则=x 2tan （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 【解析】解法1：用常规解法，可先由已知条件求x sin ，再求得x tan ，再应用倍角正切公式求得答案.因为54cos ),0,2(=-∈x x π，所以 53cos 1sin 2-=--=x x ，则43tan -=x . 由此得724tan 1tan 22tan 2-=-=xx x . 解法2：先由已知条件求x sin ，方法同1，由724sin cos cos sin 22cos 2sin 2tan 22-=-==x x x x x x x .cos(80)k -︒=tan100︒=k k解法3：因为)0,2(π-∈x ，235422<<，所以由54cos =x 得64ππ-<<-x ，从而322ππ-<<-x ，则32tan -<x ，故排除A 、B 、C 得答案为D ，这是一个用估值解决问题的灵活方法.解法4：作图如下，点A 在第四象限，作AB x ⊥轴，设OA =5，OB = 4，AB =3，OC 为第四象限的角平分线，OD 为∠COx 的角平分线，右BC = 4，54==OC BO DC BD 及BD+DC =4，解得BD =AB <916, ||x AOB =∠，则84ππ-<<-x ，所以422ππ-<<-x ，于是12tan -<x ，排除A 、B 、C 得答案. 【答案】D10．化简8sin 1-的结果是（）A.4cos 4sin +B.4cos 4sin -C.4sin 4cos -D.4cos 4sin -- 【解析】|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 24cos 4sin 8sin 1222-=-=-+=-，︒>︒=︒⨯≈225228)574(4Θ，224cos ,224sin ->-<∴，4cos 4sin <∴，故选C . 也可以在弧度制下去绝对值符号：2332329441534545ππ≈⨯=<<=⨯≈Θ4cos 45cos 45sin4sin <=<∴ππ.【答案】C 11.已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∵sin 2α＝4sin 2β，∵tan 2α＝9tan 2β，∵由∵÷∵得：9cos 2α＝4cos 2β，∵ ∵＋∵得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， cos 2α＝38，即cos α＝±64.∵【答案】±64xA D yOBC12．已知1sin 3sin cos 3cos 222=-⋅+x x x x ，则=x tan .【解析】由x x 22cos sin 1+=可得x x x x x x 2222cos sin sin 3sin cos 3cos 2+=-⋅+，整理得：0sin 4sin cos 3cos 22=-⋅+x x x x ，而0cos ≠x ，两边同时除以x 2cos 得0tan 4tan 312=-+x x ，解得41tan -=x 或1.【答案】41-或1。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时规范练17 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础巩固组
1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是()
A.sin θ<0,cos θ>0
B.sin θ>0,cos θ<0
C.sin θ>0,cos θ>0
D.sin θ<0,cos θ<0
2.若cos(3π-x)-3cos=0,则tan x等于()
A.-
B.-2
C. D.
3.已知锐角α满足5α的终边上有一点P(sin(-50°),cos 130°),则α的值为()
A.8°
B.44°
C.26°
D.40°
4.等于()
A.sin 2-cos 2
B.sin 2+cos 2
C.±(sin 2-cos 2)
D.cos 2-sin 2
5.sin+cos-tan=()
A.0
B.
C.1
D.-
6.已知α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sin α的值是()
A. B.
C. D.
7.已知sin(π-α)=-2sin,则sin α·cos α等于()
A. B.-
C.或-
D.-
8.已知cos,且-π<α<-,则cos等于()
A. B.-
C. D.-〚导学号24190735〛
9.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是.
10.若f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)= .
11.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=.
12.已知k∈Z,则的值为.
综合提升组
13.若3sin α+cos α=0,则的值为()
A. B.
C. D.-2
14.已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,则下列结论正确的是()
A.3≤m≤9
B.3≤m<5
C.m=0或m=8
D.m=8
15.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-,则sin α等于()
A.-
B.
C.-
D.
16.已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin的值是.〚导学号24190736〛
创新应用组
17.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值为()
A.1
B.-
C. D.-〚导学号24190737〛
18.已知函数f(x)=a sin+b tan(a,b为常数,x∈R).若f(1)=1,则不等式f(31)>log2x的解集为.
课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.B∵sin(θ+π)< 0,∴-sin θ<0,
即sin θ>0.
∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,
即cos θ<0.
故选B.
2.D∵cos(3π-x)-3cos=0,
∴-cos x+3sin x=0,
∴tan x=,故选D.
3.B点P(sin(-50°),cos 130°)化简为P(cos 220°,sin 220°),因为0°<α<90°,所以
5α=220°,所以α=44°.故选B.
4.A
=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.
5.A原式=sin+cos-tan=sin+cos-tan-1=0.
6.B由tan(π-α)+3=0得tan α=3,即=3,sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α=.又因为α为锐角,所以sin α=.
7.B∵sin(π-α)=-2sin,
∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2.
∴sin α·cos α==-,故选B.
8.D∵cos=sin,又-π<α<-,
∴-α<.
∴cos
=-=-.
9.-1由已知得tan α=-2,
所以2sin αcos α-cos2α==-1.
10.- f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-.
11.0原式=cos α+sin α
=cos α+sin α.
因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α+sin α=-1+1=0,即原式等于0.
12.-1当k=2n(n∈Z)时,原式=
=
==-1.
当k=2n+1(n∈Z)时,原式=
=
==-1.
综上,原式=-1.
13.A3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-.
14.D因为θ∈,所以sin θ=≥0,①
cos θ=≤0,②
且=1,
整理,得
=1,
即5m2-22m+25=m2+10m+25,即4m(m-8)=0,解得m=0或m=8.又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.
15.D终边在直线y=x上的角为kπ+(k∈Z),
因为角α和β的终边关于直线y=x对称,
所以α+β=2kπ+(k∈Z).
又β=-,
所以α=2kπ+(k∈Z),
即得sin α=.
16.0∵cos
=cos
=-cos=-a,
sin
=sin
=cos=a,
∴cos+sin=0.
17.B设直角三角形中较小的直角边长为x,∵小正方形的面积是,∴小正方形的边长为,直角三角形的另一直角边长为x+,又大正方形的面积是1,
∴x2+=12,解得x=,∴sin θ=,cos θ=,∴sin2θ-cos2θ==-,故选B.
18.(0,2)由f(31)=a sin+b tan
=a sin+b tan=f(1)=1,
则f(31)>log2x,即1>log2x,解得0<x<2.。