2019届高考理科数学第一轮知识点专项题库5

第2讲 函数的单调性与最值一、填空题1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．解析 令函数g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，因此，g (x )在R 上是增函数，又因为g (－1)＝f (－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g (x )＞g (－1)，由g (x )的单调性，可得x ＞－1. 答案 (－1，＋∞)2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是________．解析 由题意可知|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233．函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则函数g (x )＝f (loga x )(0＜a ＜1)的单调减区间是_______．解析 ∵0＜a ＜1，∴u ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，若f (x )为增函数，则 g (x )为减函数，故0≤log a x ≤12，∴a ≤x ≤1， ∴单调减区间为[a ，1]． 答案 [a ，1]4．下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数． 答案 ②5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________． 解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0， 得f (1－x )＜－f (1－x 2)， 所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以⎩⎨⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 答案 (0,1)6．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 答案 ①7．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调减区间为________．答案 (－∞，－1)8．函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．答案 12，19．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增，∴－a 2＝3，∴a ＝－6. 答案 －610．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜ f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 解析根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0 且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 答案 ①③④ 二、解答题11．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．法二 因为f (x )＝1a －1x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数． (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明 法一 因为函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， 所以令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以f (x 1－x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． 法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， 所以f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在R 上为减函数． (2)解 因为f (x )在R 上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1) (x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．14．已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝72.(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，∴－3<a≤0.②当0<a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.∴a＋3>0，a>－3.∴0<a≤1.③当a>1时，f(x)在[1，a]上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(a)＝2a＋2，2a＋2>0，显然成立．综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．。