七年级(下)数学自招班--第4讲 三角形的角(学生版)

值为 b ，则 a b ___________．
⑷ △ABC 的内角 A 、 B 、 C 满足 3A 5B ， 3C ≤2B ，则这个三角形是
（
）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2 七年级自招班·第 4 讲·学生版
板块二 多边形的内角和与外角和
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多边形的基本概念： ⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点． ⑷ 多边形的对角线：在多边形中，联结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角． ⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形． ⑻ 凸多边形：多边形的任何一边所在直线，使整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称 为凸多边形．
° ， C
⑶ 若一个三角形的三个外角的度数之比为 3∶4∶2 ，那么这个三角形是（ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
°． ）
⑷ 如图， BD 和 CE 是 △ABC 的高， BD 和 CE 交于 H ，已知 DBC 25° ， ECB 40°，
则 A
．
A

D
H
B
C
D
E
A
性质 BDC A B C
A B C D
C D B
A
经典例题
【例5】 ⑴ 如图1 ，则 A B C D E =
．
⑵ 如图 2 ， 1 105° ，则 A B C D E F
．
A
A
E
C
B
E
105°
C
D
B
F D
图1
图2
4 七年级自招班·第 4 讲·学生版
板块四 角平分线模型
A
A1
A2
B
C
D
⑶ 如图，点 M 是 △ABC 两个内角的平分线的交点，点 N 是 △ABC 两个外角的平分线的交
点，如果 CMB : CNB 3: 2 ，那么 CAB
度．
C N
M A
B
【例7】 已知：如图 B 34°， D 40°， AM ， CM 分别平分 BAD 和 BCD ． ⑴ 求 M 的大小； ⑵ 当 B ， D 为任意角时，探索 M 与 B ， D 间的数量关系， 并对你的结论加以证明．
三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个 内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三 个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．
三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于 360 ．
E A
1
2
3C
FB
D
ABF 1 3
，
BCD 1 2 ， CAE 2 3
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模型
A
P
B
C
A
B C
P
A P
B
C
性质
BP 、 CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线 则： P 90 1 A
2
BP 、 CP 分别是 ABC 和 ACB 的外角平分 线 则： P 90 1 A
2
BP 是 ABC 的角平分线， CP 是 ACB 的外角平分线， 则： P 1 A
【例4】 ⑴ 一个凸多边形的内角中，最多有
个锐角．
⑵ 一个凸 n 边形，除一个内角外，其余 n 1个内角的和是 2400 ，则 n 的值为
．
七年级自招班·第 4 讲·学生版 3
板块三 两大模型与角度关系
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模型
A
D
B
C
“飞镖”模型
B
A O
C
D
“8”字模型
飞镖模型结论的常用证明方法
C
D
B
B
E
A
C
多边形的基本性质： ⑴ 多边形没有稳定性．
⑵ 内角和与外角和定理， n 边形 n≥3 的内角和为 n 2 180 ，多边形的外角和都是 360 ． ⑶ n 边形的对角线：一个顶点有 n 3 条对角线，共有 n 3 n 条对角线．
2 ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180 ．
2
经典例题
七年级自招班·第 4 讲·学生版 5
【例6】 ⑴ 如图， BF ， CG 分别是△ABC 的外角平分线， FB ， GC 的延长线相交于 H 点．若 A H ，则 A 的度数是____________．
A F
G
EB
CD
H
⑵ 如图， △ABC 中， A 96 ，延长 BC 到 D ， ABC 与 ACD 的角平分线相交于 A1 ， A1BC 与 A1CD 的角平分线相交于点 A2 ，依次类推， A4 BC 与 A4CD 的角平分线相交于 A5 ，则 A5 ___________， A2015 ___________．
ABF 1， ABF 3
BCD 1， BCD 2
CAE 2 ， CAE 3
A1
2
C
B
3
1+2+3=360
七年级自招班·第 4 讲·学生版 1
经典例题
【例1】 ⑴ 三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不属于哪一类
⑵ △ABC 中，若 A∶B∶C 2∶2∶1 ，则 A
【例2】 ⑴ 已知三角形的三个内角分别为 、 、 ，且 ≥ ≥ ， 2 ，则 的取值范围
是
．
⑵ 在 △ABC 中，三个内角的度数均为整数，且 A B C ， 4C 7A ，则 B 的度
数为
．
⑶ 已知△ABC 中， A 为最小角， B 为最大角， 2B 5A，若 B 的最大值为 a ，最小
经典例题
【例3】 ⑴ 已知一个多边形的内角和是 540 ，则这个多边形是( )
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
⑵ 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
⑶ 在四边形 ABCD 中， D 60 ， B 比 A 大 20 ， C 是 A 的 2 倍，求 A ， B ， C 的大小．
4
三角形的角
板块一 三角形的内角与外角
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定义
示例剖析
A
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180 ．
B
C
在 △ABC 中， A B C 180°
三角形内角和定理的三个推论： ①推论 1： 直角三角形的两个锐角互余． ②推论 2： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ③推论 3： 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．