七年级数学下册三角形
七年级下册数学三角形的内角和
七年级下册数学三角形的内角和一、三角形内角和定理。
1. 定理内容。
- 三角形的内角和等于180°。
2. 证明方法。
- 方法一：测量法（不完全严谨，但可作为初步感知）- 用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将三个角的度数相加，会发现其和接近180°。
由于测量存在误差，所以这只能是一种初步验证的方法。
- 方法二：剪拼法。
- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角能拼成一个平角，从而直观地说明三角形内角和为180°。
- 方法三：推理证明（以平行线的性质为基础）- 已知：△ABC。
- 求证：∠A + ∠B+∠C = 180°。
- 证明：过点A作直线EF∥BC。
- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C = ∠EAC。
- 又因为∠FAB+∠BAC + ∠EAC=180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，即三角形内角和为180°。
二、三角形内角和定理的应用。
1. 在求三角形内角的度数中的应用。
- 例1：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
- 解：根据三角形内角和定理，∠C = 180° - ∠A - ∠B。
- 已知∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C = 180° - 50° - 60° = 70°。
2. 在判断三角形的类型中的应用。
- 例2：一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，判断这个三角形是什么类型的三角形。
- 解：设三角形的三个内角分别为x，2x，3x。
- 根据三角形内角和定理可得：x + 2x+3x = 180°。
- 合并同类项得6x = 180°，解得x = 30°。
- 那么三个角的度数分别为30°，2×30° = 60°，3×30° = 90°。
七年级数学下册利用“边边边”判定三角形全等(第1课时)课件(新版)北师大版
探究新知
► 活动1 知识准备 如图4－3－1所示，△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分
别是对应顶点，∠B＝42°，∠A＝48°，AB＝13 cm，则∠F＝ _9_0__°，DE＝_1_3__cm.
图4－3－1
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
► 活动2 教材导学 探究三角形全等的条件(边边边) 1．(1)已知三角形的三条边长分别是4 cm，5 cm，7 cm，画
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
► 知识点二 三角形具有稳定性
只要三角形三边的长确定了，这个三角形的形状和大小就完 全确定了，所以三角形具有稳定性．
三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用．比如，房 屋的人字梁具有三角形的结构，它坚固稳定；大桥钢架、输电 线支架、索道支架等都采用三角形结构．这都是三角形的稳定 性的应用．
图4－3－2 综上，试概括你发现的结论．
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
2．已知两个三角形的三条边对应相等，你能判定这两个三 角形全等吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
新知梳理
► 知识点一 边边边 [文字叙述] 三边分别相等的两个三角形__全__等__，简写为
图4－3－5
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
解：用一定长度的绳子在AM和AN上截取AB＝AC，再选取适当 长度(不小于BC)的绳子，将其对折，得绳子的中点D，把绳子的 端点固定在B，C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直BD和CD，确 定出D点在钢板上的位置，过A，D画射线AD，则AD平分∠MAN.在 △ABD和△ACD中，∵AB＝AC(作法)，BD＝CD(线段中点的定义)
七年级数学下册第四章三角形知识归纳
第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形 课件(共65张PPT)
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以 求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角 的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共 边是AC.
1 认识三角形
知识点二 三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直 直角三角形
线)的交
点位置 钝角三角形
交点在三角形内 交点在直角顶点处 交点在三角形外
三条中线交于三 角形内一点(这一 点称为三角形的 重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段 的位置
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内 一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全 在三角形内
三角形内一条,三角形外两条
七年级下册数学 三角形和不等式的复习 知识点讲解【精编】
三角形和不等式复习温故而知新(一)三角形知识梳理1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角边对等边）2、等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
等边三角形的判定：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
3、如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222+=（注意区分斜边与直角边）a b c②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
5、角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
6、互逆命题和互逆定理7、全等三角形课堂复习等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______ ____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________C EA D B等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________. 垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。
苏科版数学七年级下册认识三角形
探究交流
根据：两点之间线段最短！
A
若把A、B看作定点，
c
b 可得AC+BC＞AB；
同理：AC+ AB ＞BC；
B
a
C AB +BC＞AC。
三角形的任意两边之和大于第三边。
A
探究交流
a
b
Bc
C
任意两边之和大于第三边。
才艺展示
1、如图是用三根细棍组成的图形， 其中符合三角形概念的图形是
（D ）
A
B
C
D
才艺展示
2、三条线段的长度分别为： （1）3、8、10 （2）5、2、7 （3）5、5、11 （4）13、12、20
能组成三角形的有（B ）组。 A、1 B、2 C、3 D、4 点拨: 比较较小的两边之和与最长边的大 小即可.
才艺展示
3、有3、5、7、10的四根木条，要 摆出一个三角形，有（B）种摆法。
A、1 B、2 C、3 D、4
小结思考
本节课你有什么收获？
1. 学习了三角形的概念,及三角形的基 本要素,重点研究了三角形3边间的关系.
2. 从三角形3边关系的研究中可知:三 角形的3边长度相互制约----三角形的 任意两边之和大于第三边.
A
C
B
DE
探究交流 三角形按角分有几种分法？
（1）
（2）
（3）
所有内角都是锐角的三角形————锐角三角形 有一个内角是直角的三角形————直角三角形
有一个内角是钝角的三角形————钝角三角形
探究交流
将下列三角形按角分类
①
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2）三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
七年级数学下册课件(北师大版)利用三角形全等测距离
例2 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔
河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出 两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．
导引：因为没有过河的工具， 所以无法直接测量两塔 间的距离，所以，可通 过构建全等三角形，转 化到岸上来测量．
想一想
如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用 绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样 一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连 接AC 并延长到D，使CD＝CA； 连接BC 并延长到E，使CE＝CB， 连接DE 并测量出它的长度，DE 的长 度就是AB 间的距离.
距离．你能说明其中的道理吗？
解：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.
BC＝DC，
在△ABC 和△ADC 中， ACB＝ ACD，
AC＝AC，
所以△ABC ≌△ADC (SAS)．
所以AB＝AD.
3 如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作 一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
个三角形全等的依据是( D ) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5 教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的
A，B 两点间的距离不方便，因此，选点A，B 都能到 达的一点O，如图②，连接BO 并延长BO 到点C，使 CO＝BO，连接AO 并延长AO 到点D，使DO＝AO. 那么C，D 两点间的距离就是A，B 两点间的距离．
一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽 檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态， 这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量 出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
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填一填
9、若三角形三个内角的度数
之比为12∶23∶346 ，则这三个内角 的度数分别是_143_8_00_0、、__5_64_00_0、、__1_890_0_80_0。
10、在△ABC中，根据下列条 件，求∠C的度数。 ③①②∠∠ABB=A⊥4=03B08C，0，∠∠A∶AB=∠3753C0 =，3∶4
学习了本节课你有 哪些收获？
谢谢
【思路点拨】要证明AD平分∠BAE只需证明∠BAD=∠DAE即可， 根据三角形的外角等于不相邻内角的和，则∠ADC=∠B+∠BAD， 又∠DAC=∠EAC+∠DAE，则根据题目的已知条件： ∠B=∠EAC， ∠ADC=∠DAC，可以求得∠BAD=∠DAE。
例3 若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是_____边形。
第十七章 三角形 复习课件
你学会了哪些？
三角形的边
与三角形有关
高
三
的线段
中线
角
角平分线
形
三角形的内角和 多边形的内角和
三角形的外角
多边形的外角和
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周
例1 长比△ABD的周长多3cm， AB与AC的和为13cm，求AC的
长。
解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点， ∴CD=BD。 ∵C△ADC-C△ABD=3， ∴AC-AB=3， 又∵AB+AC=13， ∴AC=8cm，即AC的长度是8cm。
6、同上题图，若
A
△ACD的面积为
630cm2，则△ABC 的面积为1_62_00_cc_mm_2。2 B D C
填一填
7、如图，在△ABC中，CE，
BF是两条高，C50E°=，3205°，则∠EBF的A 度数
∠FBC的度
E
F
数是__24_0_°_。
B
C
看你会不会
解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）·180°=360°，解得 n=4，故这个多边形为四边形。
【思路点拨】抓住多边形的内角和与多边形的外角和的相等关系列 方程，然后解方程可求出多边形的边数。
看你会不会
1、已知一个三角形的三边 长为3、8、x,则x的取值范 围是 5<x<11 。
2、已知一个三角形的三边 长3、a+2、8，则a的取值 范围是 3<a<9 。
∠∠CC== 68590500
填一填
11、如图，在△ABC中，两条
角平分线BD和CE相交于点o，
若∠BOC=1200，那么∠A的度
数是 600 。
A
EO D
B
C
画一画
1、已知：∠a，线段a， 求作：Rt△ABC，使∠A=∠a ∠C为Rt∠，BC=a（要求尺规作
图，保留作图痕迹，写出结论，
但不要求写作法）
填一填
3、等腰三角形一边的长是 53 另一边的长是8，则它的周
长是 181或9 21 。
4、一个三角形的两边长分别 是 2cm 和9cm，第三边的长为 奇数，则第三边的长为__9c_m__。
填一填
5、如图，已知：AD是△ABC
的中线，△ABC的面积为580cm2，
则△ABD的面积是_24_50_cm__2。
【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD。 结合三角形周长公 式知AC-AB=5cm，又AC+AB=11cm， 易求AC的长度。
例2
如图，在△ABC中，D、E分别是BC上两点，∠B=∠EAC，
∠ADC=∠DAC。试证明：D平分∠BAE。
证明： ∵∠ADC=∠B+∠BAD， ∠DAC=∠EAC+∠DAE。 ∠ADC=∠DAC，∠B=∠EAC， ∴∠BAD=∠DAE，即AD平分∠BAE。